oos • — cos »] = n
df i
et , en effet, il est aisé de vérifier qu'elle s'accorde avec l'équation (1) do n° 180, relative au mouvement du pendule simple.
En comparant les équations (a) et (6) , on voit que ce mouvement coïncidera avec celui d'un pen-
-, par lesquels ces deux équations
— et
/ •« + *■ différent l'une de l'autre , seront égaux , c'est-kdire, lorsqu'on aura
Cestdonc d'après cette formule que l'on calculera , ainsi que nous l'avons annoncé dans le n° 179, la longueur du pendule simple , correspondant k un pendule donné ; les deux quantités a et A qu'elle renferme pourront toujours se déterminer exactement, ou par approximation, au moyen des règles connues, quand on connaîtra la forme du pendule composé.
Lorsque ce pendule fera de très petites oscillations , il en sera de même k l'égard du pendule i pie. Si l'on désigne par T la durée d'une < , on aura donc (n« 182)
En comptant , pendant un temps considérable , le nombre des oscillations du pendule composé, et divisant le temps total par ce nombre , on aura la valeur de T ; et en la substituant , dans cette dernière formule, avec la valeur de/ correspondante bu pendule qu'on aura employé, on en conclura , comme nous l'avons déjà expliqué (n° 193), la mesure de la pesanteur g avec une extrême précision. Les longueurs du pendule simple étant entre ellea comme les carrés des durées des petites oscillations , si l'on appelle x la longueur du pendule k secondes , et qu'on prenne la seconde pour unité , on aura aussi
* tV
pour calculer la valeur de a d'après celles de / et T.
39fl. Si l'on trace dans l'intérieur du pendule composé, au-dessous de son centre de gravité et dans le plan de ce centre et de l'axe de rotation , une droite parallèle k cet axe, dont / soit la distance k ce même axe , le mouvement des points de cette parallèle ne sera ni accéléré ni retardé par leur liaison avec les autres points du corps. Parmi tous les points decette droite, on appelle proprement centre d'oscillation le point situé sur la même perpendiculaire k l'axe que le centre de gravité.
Soient ABD (fig. 91)la section du pendule perpen . diculaire k l'oxe de rotation et passant par se de gravité , G ce centre , et C le point où celle i
tion est coupée par Taie ; prolongeons la droite CG jusqu'en 0, de sorte qu'on ait
ft»
CG t= o; GO c= — , o
et , conséquemment ,
CO a a + - «= 1 o
Le point Osera le centre d'oscillation; et après avoir fait osciller le pendule donné autour de Taxe perpendiculaire à la section ABD et passant par le point C, si on le renverse et qu'on le Tasse osciller de nouveau autour de Taxe passant par le point 0 et perliro à cette même section , le point C dele centre d'oscillation ; théorème que l'on énonce ordinairement en disant que les centres C et 0 de suspension et d'oscillation , sont réciproques l'un de l'autre.
Eu effet, dans les deux cas , le moment d'inertie HA» est le même, puisqu'il se rapporte toujours à l'axe perpendiculaire à ABD et passant par le point G ; en sorte que la quantité k* ne changera pas. De plus, soit 0' le point du prolongement de OG qui sera le centre d'oscillation , quand 0 sera devenu le centre de suspension ; en uppelant /' la distance 00', sa valeur se déduira de la formule (c), en y mettant
OG au lieu de CG , c'est-à-dire , — au lieu de o, on
f = - + o = J, 00»«=CO| o
et, conséquemment , le point 0* coïncidera aveo le point C.
397. La durée des oscillations très petites , autour des deux axes perpendiculaires à ABD et passant par les points C et 0, est la même et égale à
— ; /étant toujours la distance CO. Ré-
t, si la duréo des oscillations très petites est la même autour de deux axes parallèles, dont le plan contient le centre de gravité G , et qui n'en sont pas équidistans, leur distanco mutuelle sera la longueur / du pendule simple qui oseille aussi dans le même temps.
En effet , soient a et o' les distance* inégales du centre de gravité h ces deux droites parallèles , et , conséquemment, a -f- a' leur distance mutuelle; soit aussi M*» le moment d'inertie par rapport à Taxe parallèle passant par le centre de gravite. Puisque la durée des oscillations est la même autour des deux droites, il faudra qu'on ait
|s fti
d'où l'ou tire
é es a ou ai
dono , en rejetant la première valeur de o', nous
Par conséquent, ai l'on mesure la distance a -f- o des deux axes synchrones, on aura la longueur du pendule simple qui correspond à la durée commune
Ce moyen a été employé avec succès , en Angleterre, pour déterminer la longueur du pendule simple , sans aucun calcul relatif à la forme du pendule composé •»
398. Il y a une infinité d'axes différons autour desquels les petites oscillations d'un même corps sont d'égale durée.
D'abord, il est évident que lo valeur de / et la durée des oscillations seront les mêmes pour tous les
tans du centre de gravité , puisque , pour tous ces axes , les quantités * et a, comprises dans la formule (c), ne varient pas. On peut aussi changer la direction de ces axes et leur distance au centre de gravité , sans que la valeur de / soit changée; car si l'on appelle », C, les ongles que la parallèle à l'axe de suspension, menée par le centre de gravité, fait avec les trois axes principaux qni se coupent en co point, et que l'on désigne par A , B , C , les momens d'inertie relatifsà ces axes, et par MA» , comme précédemment, celui qui répond à la parallèle, on aura , d'oprès l'équation (c) du n° 376 ,
MA» = A cos» » -f B cos» C + C cos> y,
et, par conséquent ,
A cos» • + B cos» C 4- C cos» > , = 0 + ^
Or, on peut évidemment donner à a, », C, y, une infinité de valenrs différentes, pour lesquelles cette valeur de l restera la même.
Si l'on voulait que cette fonction l fût un minimum par rapport aux variables a, », C, y, il résulte de sa forme qu'en supposant A la plus petite des trois constantes A, B, C, il faudrait d'abord qu'on eût • = 0, C = 90°, y = 90", et , conséquemment ,
, - Ma ' + A ■ 1 SZ »
d'où l'on conclut, par la règle ordinaire a =
— pour la valeur de a qui répond au mini-
mum, fM = z\/^ —
pour ce minimum.
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
309. Nous savons que la réslstanco <!'un milieu n'influe pas sur la durée des petites oscillations du pendule simple , d'une longueur donnée (n° 190) ; mais il faut aussi prouver que cette force ne change pas non plu» la longueur du pendule simple , dont le mouvement est le même dons l'air que celui d'un
Or, pour déterminer ce mouvement , il faut joindre aux forces Xdm et Ydm, que renferme le second membre de l'équation (3), et qui agissent sur tous les points de la masse du mobile, les composantes de la résistance de l'air, exercée sur les élémens de sa surface. Supposons donc que coite résistance soit exprimée, généralement, par la somme de plusieurs puissances de la vitesse , et , pour une vitesse quel» conque t, représentons-la, sur l'un ité de surface, par
Àr - + À»*' + A»*" + etc.,
A, A ', A", etc., », »', «", etc., étant des constantes données. Soit f la distance d'un point M de la surface du pendule, à l'axe de rotation; sa vitesse, au bout du temps f,sera fu.cn désignant toujours par* la vitesse angulaire à cet instant. Si l'on appelle • l'angle que fait sa direction avec la partie intérieure de la normale en ce point, on aura p» cos • pour' sa composante suivant cette droite; et, d'après ce qu'on a dit précédemment (n» 366) , c'est cette composante normale qu'il faudra employer pour la vitesse s», dans l'expression de la résistance qui répond au point H. En appelant de l'élément différentiel de la surface , en ce même point, et Rd> la ré-
R = Ai
cos
# — 1 JÊ
A'f m cos
Je désigne par f* et ? les angles que fait la nori intérieure au point I , avec des parallèles aux axes des x et des y t menées par ce point ; les composantes de la résistance suivant ces droites seront R cos ftde et R cos »d<r; et si l'on appelle st' et y' les
aVR cos >d<r — y'R cos
pour la partie du second membre de l'équation (3), relative à l'élément da ; par conséquent , en prenant l'intégrale de cette quantité dans toute la portion
d» » ga sin 5
de la surface du mobile qui éprouvela résistance du milieu, on aura la quantité qu'on devra ajouter è ce second membre, pour avoir égard à cette résistance. Je fais, pour abréger,
z> cos . - y* cos t* = #, et cette quantité aura pour expression :
A-* /{, * cos* «> + A» cos*' «fc + «te.
Il est visible que ; est la longueur de la plus courte distance entre l'axe de suspension et la direction de la vitesse p» du point H , comprise dans un plan perpendiculaire a cetaxo; ; ncdcpenddono pas du temps , non plus que l'angle • et le rayon p ; par conséquent, si l'on fait
ftf cos* ida ta y,ft*' cos*' .dV « y \ eto.,
ces intégrales y, y\ y", etc., seront des constantes dépendantes de la forme du corps , et dont les valeurs pourront être différentes dans deux oscillations consécutives. Pour déterminer leurs limites, on circonscrira au mobile, dans sa position d'équilibre, un cylindre perpendiculaire au plan vertical passant par l'axe fixe; la courbe de contact de ce cylindre avec la surface du corps divisera cette surface en deux parties , dont l'une éprouvera la résistance de l'air, pendant que le mobile se mouvra dans un sens, et l'autre, pendant qu'il se mouvra dans le sens opposé; ces intégrales devront donc s'étendre a l'une de ces deux parties pour une oscillation entière, et à l'autre partie pour l'oscillation suivante; et quand ces deux parties seront différentes, les valeurs dey, y', y", etc., le seront aussi dans deux oscillations consécutives. Ces valeurs ne changeront pas, dans le cas d'un mouvement révolutif.
Cela posé , après avoir ajouté la quantité précédente au second membre de l'équation (3), ou, ce qui est la même chose , après avoir retranché cette quantité divisée par le moment d'inertie
H (a» + *»), do le valeur de — du u° 894 , nous
df*
aurons
pour l'équation do mouvement d'un pendule quelconque dans un milieu résistant. On aura do même
£1 — L 8in | B.* - R'-* -etc.,
pour l'équation du mouvement du pendule sim- 9 ga Ky
pic dont la longueur est /; B, B', B", eto., désignant des coefhciens i
Les vitesses et les positions initiales des deux mobiles étant supposées les mêmes , ai l'on veut que leurs mouvemens le soient aussi , il suffira et il sera nécessairo de prendre
etc.
TRAITÉ DE lÉCASIOUB.
ce qui détermine la valeur de I, qui coïncider* aveo la formule (e), et celles deB, B», B", etc. , pour toute la durée de chaque oscillation.
Ainsi, quelles que soient la forme d'un pendule et la lot de la résistance du milieu dans lequel il se meut, on voit qu'il y a toujours un pendule simple dont le mouvement est le même que celui du pendule donné ; que la résistance du milieu dans lequel le pendule simple doit se mouvoir, se déduit de celle du milieu donné , et de la forme du pendule composé ; et que la longueur du pendule simple ne dépend que de cette forme , et nullement de la résistance.
Toutefois , il n'en résulte pas que la longueur de ce pendule correspondant à un pendule donné, soit la même dans l'air et dans le vide : la perte de poids que le pendule composé éprouve dans l'air, et qui n'est pas la mémo dans IVtnt du mouvement que dans l'état de repos , influe sur la longueur du pendule simple , réduite au vide, ainsi que nousl'avons déjà dit (n° 191).
400. Pour déterminer le mouvement d'un treuil et de deux poids suspendus, l'un à la roue et l'autre au cylindre , on formera , comme dans le n° 391 , la somme des momens des forces perdues à chaque instant par tout les points du treuil, puis on ajoutera a cette somme les momens des forces perdues dans le même instant par ces deux poids, et on égalera a léro la somme totale de tous ces momens. Or, supposons qu'une corde soit enroulée sur la roue et a ttachée par un bout à un point de sa circonférence, et désignons par m la masse du corps suspendu verticalement à l'autre bout ; soit aussi m' la masse du corps suspendu verticalement à l'extrémité d'une seconde corde enroulée sur le cylindre et attachée par l'autre extrémité à sa surface; au bout du temps I, si l'on appelle « et s»' les distances des centres de gravité de m et m' au plan horitontal passant par l'axe du treuil , les forces perdues par ces masses pendant l'instant dt, seront
"V ~ *») el1w ' ( y ~~ îîr) ; ,ear * momo^, por
rapport à l'axe du treuil, se déduiront de ces forces en multipliant la première par le rayon de la roue que j'appellerai c, et la seconde par le rayon du cylindre que je désignerai par c' ; et parce que ces forces tendent à faire tourner le treuil en sens contraire l'une de l'autre , il faudra donner le signe -f au moment de l'une , et le signe — - au moment de l'autre. PourGxer les idées, je supposerai que ce soit la première force qui tende à faire tourner le treuil dans le sens où il tourne réellement , ou , autrement dit, je supposerai que ce soit la masse m qui descende et la masse m' qui s'élève. On en
i de l'équation (3) se
trouvera augmenté de gme — gm'c', et son premier
d'tt d'u
membre, de m—— a — m— — c'; d'ailleurs Tindt* dt*
tégrale que contient le second membre sera léro ,
parce qu'elle doit s'étendre a tous les point» du
treuil, dont le centre do gravité est aur l'axe de
— ffdm 4- me
du treuil et des
pour l'équation du deux masses m et m'.
Pendant toute la durée de ce mouvement, la vida
tesse — de m est égale à la vitesse c« du point de la dt
où la corde commence à se détacher de sa circonférence, et dont le rayon est horizontal ; la vioV
tesse — de m' est de même égale et contraire a U dt
vitesse c'm du point de la surface du cylindre , dont le royon est aussi horisontal, et qui est situé d» l'autre côté de l'axe : on a donc
== Cm
du'
dt
(U. + „ c . + «V. ) - = g[mc - mV), dt
en désignant par H la masse du treuil, et par MA* son moment d'inertie par rapport à l'axo de rotation.
Si l'on suppose nulles, pour plus de simplicité, les vitesses initiales du treuil et des masses m et m', on aura, à un instant quelconque,
(me — tw'c') gt " MA* me» -4- m'o'» '
et, sans aller plus loin, on voit que le mouvement du treuil sera uniformément accéléré.
Les tensions des cordes auxquelles les masses sa et m' sont attachées, auront pour mesure les forces perdues par ces masses; en les désignant parT etT', on aura donc
et si l'on appelle p, p*, P, les poids de ces corps et du treuil, de sorte qu'on ait
p—mg, ft = m'g, p = Ho ,
(pc — ptc')pc P*. + pc» + pV.
P*' + PC + P'c"
UYNAMIQl'E, SECONDE PAITIE.
A cause que le poids p descend, ce qui suppose pc > p'e', la tension T sers moindre que ce poids , qui serait sa «leur dans l'état d'équilibre, etla tension T' sera plus grande que p 1 .
Les pressions exercées sur Paie du treuil par les forces centrifuges de ces difFérens points, se détruisent évidemment deux à deux, b cause de la symétrie de ce corps autour de cette droite. La ebarge totale que l'axe éprouvera pendant le mouvement, se composera donc seulement du poids du treuil et des tensionsT et T'; de sorte qu'en appelant H cette force verticale , on aura
En substituant pour T et T' leurs valeurs, il en résultera
(pc — pc')*
ce qui montre que cette ebarge est toujours dre que celle qui o lieu dans l'état d'équilibre, et qui est égale à P -f- p + p'.
401. On appliquera ces différentes formules à la macbine tfAthood, en ; faisant c' = c, et elles feront connaître toutes les circonstances du mouvement des deux poidsinégauxpelp', dont l'un monte et l'autre descend dans cet appareil.
Si l'on appelle , par exemple , h la bauteur dont le poids p descend dans un temps donné I, oo aura |a valeur de * en intégrant celle de du ou de cmdt, depuis 1=0 jusqu'à fc=l; ce qui donne
7 (P - PV 5»' P*» + (P + P>« "
Les poids P, p, pt, ainsi que le rayon de la roue, sont donnés ; la quantité *» peut être calculée d'après U forme de U roue ; et l'on peut mesurer la hauteur h. Par conséquent, si le temps • est donné par l'observation , celte formule fera connaître la valeur dec. Hais quelque soin qu'on apporte dans cette expérience , elle ne sera jamais susceptible d'une précision comparable à celle du pendule; car, dans celleci , la durée de chaque oscillation s'obtient en divisant le temps pendant lequel le pendule a oscillé, par le nombre très grand des oscillations qu'il a faites , ce qui rendra toujours l'erreur à craindre, sur la durée d'une seule oscillation, beaucoup moindre que l'erreur inévitable sur la mesure do temps I dans la machine VAthood.
On fait ici abstraction de la masse du fil auquel sont suspendus les deux poids p et p"; il serait facile d'y avoir égard de la même manière que dans le problème du n° 356; mais alors la loi du mouvement serait plus compliquée. On néglige aussi la résistance que l'air oppose aux mouvemens des deux poids p et p' : pour en atténuer l'effet, et aussi pour rendre le temps I plus facile à mesurer, on ralentira ces mouvemens, eu diminuant l'excès de l'un de ces poids sur l'autre.
402. On a aussi employé le pendule pour déterminer la vitesse des projectiles de l'artillerie. Cette machina est ce qu'on appelle le pendule de Robinê, du nom de l'ingénieur qui en a le premier fait usage : die consiste en une masse très considérable,
boulet dont on veut connaître U vitesse , pénètre dans cette masse sans la traverser, et met le pendule en mouvement; on mesure la grandeur de l'arc que décrit un point déterminé de la masse totale ; d'où l'on conclut facilement sa quantité de mouvement , et, conséquemment , le vitesse du boulet è l'instant où il a atteint le pendule.
Soient, en effet, AEBF (fig.92) une section du pendule par un plan perpendiculaire à l'axe fixe et par son centre de gravité, G ce centre, O le centre d'oscillation (o° 306), G le point où cette section coupe l'axe, île sorte que CGO soit une droite verticale, dans l'état d'équilibre. Soient aussi B le point ou le prolongement de cette droite rencontre la surface inférieure du pendule, BB' l'arc de cercle qui sera décrit par ce point B et dont C est le centre, E le centre de l'ouverture circulaire que le boulet fait à la surface du pendule , ou , plus généralement, la projection de ce point sur le plan de la section AEBF. Appelons p la masse du boulet, t> sa vitesse à l'instant du choc, f\n perpendiculaire abaissée du point C sur la direction de v, projetée sur le plan de AEBF, H la rousse du pendule et du boulet, a la distance du centre de gravité de H à l'axe fixe, M (a* -f k' ) son moment d'inertie par rapport à (n» 386)
pour la valeur de fl qu'il faudra substituer dans l'équation (a) du n<> 394, dans laquelle on fera aussi « — U, puisque le pendule part de sa position d'équilibre. Il s'en écartera jusqu'à ce qae la vitesse angulaire soit nulle ; par conséquent, si Ton désigne psr C l'angle BOB*, on aura, d'après cette équation (a),
g étant la gravité. En désignant par b la corde de l'arc BB', et par c le rayon CB, nous aurons
cos C = l - JL.
Je substitue cette valeur dans l'équation précédente , et j'en déduis ensuite celle de r> ; ce qui donne
n> gai*
n étant le rapport de M à /u, qui sera un très grand
Toutes le» autres quantités contenues dans cetto formule seront aussi connues. La distance e se nie* suro immédiatement -, la corde b est donnée au moyen d'un ruban attaché au point B, et passant dans un anneau fixement attaché au terrain : la partie de ce ruban qui se déroule et traverse l'anneau pendant l'élévation du pendule , est effectivement égale à 6. Si le tir est horixontal, la quantité/* est la distance de l'axe de la pièce à l'axe de rotation ; si le tir s'écarte nn peu de l'horixontalité, auquel cas la droite qui va du point E à la bouche du canon n'est plus horizontale, il est facile Je calculer, avec une approximation suffisante, la quantité qu'il faut ajouter à la distance des deux axes, ou qu'il en faut retrancher, pour avoir la valeur de/". Quant aux quantités a et Jfc, on peut les calculer d'après la forme du pendule et les densités de ses parties; mais leurs valeurs s'obtiennent aussi par l'expé-
On attache une corde à la partie inférieure du pendule; on fait passer cette corde sur une barre fixe , parallèle à l'axe de ce mobile, et élevée à ta même hauteur, au-dessus du terrain; puis, à l'autre bout de la corde, on suspend un poids qui soulève le pendule jusqu'à ce que son centre de gravité se trouve au niveau de l'oxe et de la barre. Dans cette position, si l'on appelle M' le poids suspendu & la corde, et a' la distance donnée do la barre à l'axe, on a cette proportion :
qui fait connaître la valeur de a.
Si l'on fait faire au pendule de petites oscillations, et qu'on appello T la durée d'une oscillation entière, et I la distance du centre d'oscillation à l'axe de suspension, on aura (n« 396)
d'où I on tire
oT» a
et la valeur de k sera connue d'après celle de a. Au moyen de cette valeur de a' -f A» , on aura, plus
noTao
pour l'expression de la vitesse du boulet.
403. Si la bouche du canon n'est pas très éloignée du pendule, la voleur de e, donnée par cette formule différera peu de la vitesse de projection du boulet; et en supposant connu le coefficient de la résistance de l'air, il sera facile de calculer an moyen de la formule (5) du n° 312, la quantité dont on devra augmenter cette quantité c, pour avoir la vitesse de projection. Maison obtiendra immédiatement la grandeur de cette dernière vitesse, en attachant fixement le canon au pendule : la quantité de mouvement imprimée au pendule, ainsi composé, sera alors la masse /a du boulet, multipliée par la vitesse du boulet à la bouche du canon, dont le recul, k raison de la compressibilité de la matière, ne commencera pas sensiblement avant que le projectile ait parcouru toute la longueur de la pièce ; par conséquent, la valeur de r, donnée par la formule (a), sera celle de la vitesse de projection, sans aucune correction, et sans qu'on ait besoin de connaître le coefficient de la résistance.
En tirant successivement à différentes distances données du pendule, ovec un même canon , chargé de la même manière, on aura autant de valeurs de e, dont les différences entre elles et avec celle que l'on obtient quand le canon fait partie du pendule pourront servir à vérifier la loi de la résistance de l'air, sur laquelle est fondée la formule («) du n« 212, et & déterminer le coefficient de cette résistance.
On a fait, en Angleterre, nn grand nombre d'expériences au moyen du pendule de Robins, employé des deux manières que nous venons d'indiquer *. Une des conséquences les plus générales qu'on en a déduites, consiste en ce que, toutes choses d'ailleurs égales, les carrés des vitesses de projection sont à peu près entre eux comme les poids des charges, et que ce rapport approche d'autant plus d'être exact, quela longueur de la charge est moins considérable , relativement à celle du canon.
* Kmttrtlti êTpérùntf t de l'injUi., I.
. par Ch. Huttoat.
parti, par YilUntrojrf, et la
