DU MOUVEMBNI DUR CORPS SOLIDE AUTOUR DUR POINT FIXE
$ I". Formules préliminaires.
404. Considérons d'abord en loi-même, et indépendamment des forces qui le produisent , le mouvement de rotation d'un corps solide de figure quelconque, autour d'un point fiie appartenant à ce corps, ou qui y soit invariablement attaché.
Soient 0 (fig. 88) ce point; 0*, Oy, 0*, trois axes fixes et rectangulaires, choisis arbitrairement; 0*,, Oy,, Os,, trois autres aie* rectangulaires, fixes dans le corps , et mobiles avec lui autour du point 0. Dans la suite, nous supposerons que ces dernières droites sont les axes principaux du corps; mais mainlenaut leurs directions sont entièrement arbiient aussi * , y, s , les coordonnées d'un quelconque M du corps, rapportées aux preaxes , et *„ y,, *„ ses coordonnées rapportées i0*„0y ( , Os,, du n» 377,
* = •*> + + "it y = a'x, + 4y, + c>» n
et les neuf coefficiens a , 4 , etc., seront liés entre eux par les équations (2) , ou par les équations (4), de ce numéro.
Il est évident que ces quantités a , b , etc. , sont les mêmes, à chaque instant , pour tous les points du corps; mais elles varient pendant le mouvement, et l'on doit les considérer comme des fonctions du
temps. Au contraire, les coordonnées x lt y () « () *». rient d'un point k un autre du mobile; mais elles restent constamment les mêmes pour un même point, et ne varient pas avec le temps. En représentant donc le temps par #, et différentiant par rap-
dx da db de
dt dt dt dt
dy da' aV de'
dm da!' db" de" dx dy dx
Ce» valeurs de — , — , — , exprimeront, à un dt dt dt
instant quelconque, les composantes parallèles aux axes 0*, Oy, Oa, de la vitesse du point M. Si donc on veut connaître les points du corps dont la vitesse est nulle à cet instant , on les déterminera en égalant ces quantités à xéro; ce qui donne
*,eu + y ( d4 + s,<fc = 0 , s,da' + y t db< + M,de> = 0, x l da"+y l db"+ a,«V'=0.
Or, en ajoutant ces équations, après les avoir multipliées par e , a», c"; faisant , pour abréger,
cdb + e'db' + c"d5" = pdt, cda + c'da' + c"do" = — f* ;
et observant que l'équation c» + e'» + c"» ss 1 donne ede + e'dc 1 + c" oV' = 0 ; il vient
py, - qx, es 0.
Si l'on ajoute ces mêmes équations (1), après les avoir multipliées par 4, b', b", on trouve
rx , - P'-t = »,
en faisant , pour abréger,
Mo + Vda< + b"da' = rdt ,
et observant que l'équation b* -f- -f. 4"» — i donne bdb -f l'df -f b"db" — 0 , et que, d'après l'équation 4c + 4V + 4"c" = 0 du n» 877 , on a
bdc + b'de' + 4'oc" = — cdb — c>db' — e"db" = — pdt.
i , les équations (1) étant multipliée» par a , a 1 , a", et ensuite ajoutées, il en résulte
?*, = rg, = 0;
car on a a<fû + a'da' + a 'do" = 0 , h cause de a* -f a'* + a"* = 1 ; et , de plus , les équations 6a + Va' + b"a" = 0 et ca + c'a' + c"o" = 0 du cité «
adb + a'db' 4. o"do" = — bda — b'da' — b"da" = — rdt, ado + a' de' + a" dé' — — oda — c'aV - c'W = qdi.
Au lieu des équations (1) ,
1 , de cette
M, - 9*. = °» "1 —t*i = °» - Ti = °- ( a )
Chacune de celles-ci est très ; et elles appartiennent a une l'origine 0 des coordonnées.
Il suit donc de cette analyse que tous les pointa l , dont la yitessc est nulle à un instant quel- ». sont rangés sur une droite passant par le de rotation. Cette droite peut être regardée comme immobile pendant un instant infiniment petit; donc, pendant cet instant, le corps tourne autour de cette droite comme autour d'un aie fixe; et Ton doit se représenter le mouTeiucnt de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe , comme ayant lieu, à chaque instant, autour d'uu aie qui reste immobile pendant un intervalle de temps infiniment petit. En général , la position de cet axe dans l'intérieur du corps change , d'un instant à l'autre , pendant le mouvement ; et , pour cette raison . on l'appelle la** instantané de rotation.
405. Supposons que la droite 101' soit cet axe au bout du temps t; les équations (2) seront celles de ses projections sur les trois plans des coordonnées x„ y„ s,; d'où l'on conclut facilement
IOx
cos 10 a, ss
kV + +
Lors donc que les trots quantités p,q,r, seront connues , ou pourra assigner la position de l'axe instantané, par rapportaux axet mobiles 0 r . 0y ( Os,; et , d'après le signe qu'on donnera au radical , la partie 01 de cette droite , à laquelle ces formules appartiendront, sera complètement déterminée : dorénavant, nous regarderons toujours ce radical comme une quantité positive.
Toutes les fois que p, q, r, seront des cqnstantcs, l'axe de rotation restera fixe dans le corps , c'est-àdire, qu'il le traversera constamment dans les mêmes points. Or, les points du corps dont la vitesse est nulle à chaque instant, étant toujours les mêmes, ils demeureront immobiles pendant toute la durée du mouvement ; donc , dans ce cas, l'axe de rotation sera aussi une droite fixe dans l'espace.
D'après l'équation (3) du n« 9, et les notations du n<> 377 , on aura
cos IOx = a coc IOx, -|- b cos IOy, -f e cos 10s, , cos IOy = o' cos IOx, + *' c0 « IOy, + *' cos IOx, , cos IOx = a" cos 10*, + 4" cos IOy, + c 'eos ÎOs, ;
en vertu des équations (3) , on aura donc
ap -f- bq -J- cr
cos IOx
cos IOy =
cos IOa =5
pour déterminer la direction de l'axe instantané, par rapport aux axes fixes Ox , Oy , Os. Il en résulte que quand q, r, seront des quantités constantes, les numérateurs de ces formules devront aussi être indépendans de 1; ce qu'on vérifiera effectivement, dans la suite.
400. Puisqu'à chaque instant le mouvement n lieu autour de la droite 101' comme autour d'un axe fixe, il en résulte que tous les points du corps ont, pendant un instant infiniment petit, une même vitesse angulaire autour de cet axe ( n» 384 ). Pour en déterminer la valeur , considérons le point qui se trouve sur l'axe Os„ à une distance du point O égale à l'unité; nous aurons relativement à ce
point, x,= 0, y, = 0, s,= 1; sa vitesse absolue sera donc
y/ 11' 4- dy ' 4. lil — I / dcl + * 1 j dc ' d/« + ~kT + dt> ~y ov«
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
dx dy dx
d'après le* valeurs précédentes de — , — , — ; et
dt dt dt
l'on aura , pour sa distance à l'axe de rotation ,
ain IOs, = l/l — cos» 10*, =
vitesse absolue par cette dis-
\/ do* + de'* + de".
pour la vitesse angulaire. Or,
— pdt = bdc + Vdc' + 6"dc", qdt tsa oio + «»aV + o"d«" j
d'où l'on déduit, en ayant égard aux équations du n° 377,
(p* + g « ) dt* = de* + dV» + de"' - (ede + c'd* + c"dc"> ;
quantité qui se réduit à de» •f-dc'» + dc"» , à cause de ede + e'dc' + e"de" = 0. Donc , en appelant si la vitesse angulaire au bout du temps f , et la considérant comme une quantité positive, on aura simplement
On voit que cette vitesse sera constante toutes les fuis que la position de Taxe de rotation sera invariable; mais la proposition inverse n'est pas également vraie ; et il est possible que l'axe instantané change de position , sans que la vitesse angulaire change de valeur, ou , autrement dit, il est possible qne les quantités p, g, r, soient variables, et que la valeur de « demeure constante.
407. On appelle p, q t r, les composantes rectangulaires de la vitesse de rotation » autour des axes Ox, , 0y (> Os,; et l'on dit aussi que chacune de ces trois quantités est la vitesse angulaire du mobile aotonr de l'axe correspondant.
Or,les équations (3) peuvent être remplacées par
p = .cosI0* n ? =*cosI0y,, r = „cosI0j ( ; et l'on peut écrire les équations (4) sous cette f«
• cos I0# = ap + bq -f er,
• cos IOy = dp + b q + cV, - cos 10* = «<>+ i" y + c"r,-
d'où l'on conclut que la décomposition des vitesscs do rotation suit les mêmes lois que celle des vitesses de translation, en remplaçant les directions de celles-ci par les directions des axes de rotation.
La résultante « étant une quantité positive, et ayant pris la partie déterminé 01 de la droite 10V pour l'axe auquel elle se rapporte, les composantes p, q t r, dont les axes sont 0*,, 0y ( , 0* ( , seront positives ou négatives , selon que ces droites feront dis angles aigus Ou obtus avec l'axe 01; et généralement , on devra regarder comme égales , mais de lignes contraires, les composantes de » rapportées aux deux parties d'une même droite , ou dont les a\es seront le prolongement l'un de l'autre.
408. Non seulement on peut, au moyeu des trois quantités f>, ç, r, déterminer la vitesse angulaire do
corps et la position de son axe de rotation , par rapport aux axes mobiles 0x„ 0y„ Os,, mais on peut aussi exprimer les vitesses et les forces accélératrices de ses différens points , décomposées suivant ces trois axes; ce qui nous servira, comme on le verra bientôt , à trouver de la manière la plus directe, les équations de son mouvement de rotatiou. En effet, les composantes de la vitesse du point H dx dy ds
étant — , — , —, par rapport aux axes fixes 0* , dt dt dt
Oy , Os, il s'ensuit que les composantes de la même vitesse, par rapport aux axes 0x„ 0y„ 0*„ seront
dx dy dx
a - + a' - + o" -, dt dt dt
dx dy dx
*- + *- + •"-, dt dt dt
ds dy dx
dt dt dt
d'après les notations du n° 377 , et parce que la composition des vitesses suit les mêmes lois que celle des forces. Or, en substituant dans ces cxdx dy dx
pressions les valeurs de — , — , —, du n° 404, dt dt dt
et effectuant des réductions qu'on a déjà faites dons ce numéro , on trouve
dx dy dx
a - + a' - + a" - = qx, - ry„ dt dt dt
ds dy dx
b - + *' - + A" - = dt dt dt
ds dy ds
c - + c' - + c" - = py, - 1'»
dt dt dt
par conséquent, les trois quantités çs, — ry ( , rx, — pz t , py, — qs n qui sont nulles pour tous les points du corps situés sur l'axe instantané de rotation , expriment, pour un autre point quelconque I , les composantes de sa vitesse , parallèles aux droites Os-,, Oy,, 0»,.
On tire de cet
, en ayant égard à celle* do n° 877,
— = o {çm, - ry,) + I (r*, - ps,) + o fa - qx t ), ai
- = a' (9s, - ry,) + b< (rx, - ps,) + c> (py, di
d l = a''(ç, ( ry,) + V{r* t - pm t ) + «"G*, - 9*»);
et en différentiant par rapport à I, il vient d«s
— = a [Mflq — y,dr) + 6 (*ylr - s,dp) + e (y,dp - * cJj)
+ (9«, - «*« + (»», - P») <» + («f. - 9*,) ^ = o' M ~ »A) + *» (»r* " *,+) + ' (** ~ * A) + (9», ~ 1.) + (rx, - ps,) oV + (py, - ç*,) oV,
+ (9«, - HT,) *»" + (r», - ,,,) db'>+ fa, g ,,)rfc".
d«jr d*y d»s
accélératrice du point H ; si donc on désigne par p„ q n r„ les composantes de la même force , | tes parallèles aux axes 6*es Ox, Oy, O*, de la force l lèles aux axes 0#,, Oy„ O*,, on aura
= • dir+ a 'ir + 0 "dïr'
Or, en
celles du n° 404 , oo trouve
d*x de ■— »
dl«
yA + (py,
*/d? + (rx,
9*,) 9 d * + {p*, ry,) r* + (ç« (
P*,) Pàt + (ry,
rx,) rdl, 9«<) 9*i
et en divisant par **», on aura les valeurs de p„ 9„ r„ exprimées au moyen des variables p, 9 , r, et de leurs différentielles.
409. Si l'on considère a un instant quelconque les quantités de mouvement dont tous les points du corps sont animés, leur moment par rapporta chacun des trois axes Ox ( , Oy„ O*,, suivant la définition du n» 273 , pourront encore s'exprimer au moyen des quantités p, 9, r.
Pour le faire voir, soit dm l'élément différentiel de la masse du corps qui répond au point M , et dont les coordonnées sont x ( , y„ a,; les composantes parallèle» aux axes Ox n Oy„ Os,, de sa quantité de mouvement seront 1rs produits Jes vitesses
q»i — ry n rx,— ps„ py, — 9*,, mu.«pi«« k— — » en désignant par L , M , N , les momens par rapport aux axes Os, Oy„ Ox„ des quantités de mouvement de tous les points du corps, on aura donc, d'après ce qu'on a vu dans le n° 274 ,
L = /[(". — p«>j — (9*1 — ry,)y,l*", M = /1(9*i - m,)*, — (py. — 9*>i]*"i N = /[ f pyj — 9 x /)y, — ( r *< — p*i) a i] Jm '■>
les intégrales s'étendant à la masse entière du mobile. On simplifiera ces valeurs en prenant pour Ox, , Oy ( , Os, , les trois axes principaux du corps qui se coupent au point O ; ce qui rendra nulles les trois intégrales /x ( y,dm, /V,d<", /y,*r*"> cl en
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
désignant par A, B, C, les trois , da sorte qu'on ait
L = Cr, ■ = Bo, 1 = Ap.
Les quantités r, q , p, auront donc constamment les mêmes signes que L , M , N ; par conséquent, leur* signes dépendront du sens dans lequel le corps tournera autour de chacun des trois axes principaux : selon , par exemple, que le corps touri , parallèlement au plan jr,Oy„ de Ox, vers 0y„
Af
cos mOx > = — , cos mOy, = G
le sens opposé , le moment L (o» 274) et par suite la vitesse r, seront des quantités positives, ou des quantités négatives; et , réciproquement , le signe de r fera connaître, a chaque instant, lé sens de rotation autour de Os .
D'après les théorèmes du n* S8l , si Ton désigne par G le moment principal des quantités de mou-
i,on aura
G = |/ A» p» + D» q* + C« rs ;
en regardant ce radical comme une quantité positive» si la droite Om (fig. 93) est l'axe de ce moment, sa direction par rapport aux axes mobiles 0*,, 0y„ 0s„ sera déterminée par les formules
Bç Cr
— , eos mOs, = — ; (5)
et pour déterminer s* direction par rapport anx «et fixes Ox, Oy.Os, on aura
G cos mOx = A/M + Bqb + Oc, J G cos mOy = àpa' + Bo* + Cr*, (fl) G cos mOs = Apa"+ Bqb» + Oc"; )
équations dont les seconds membres sont les momens des quantités de mouvement du mobile par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Os.
410. La position de ce mobile a chaque instant , par rapport aux axes fixes, dépend des trois angles 4, », du n° 378; car au moyen de ces angles, les trois sections du corps que l'on a prises ponr les plans mobiles des coordonnées x, . y t , » , , sont déterminées de position à l'égard de ces plans fixes ; et il suffit même de connaître la position de deux sections non parallèles d'un corps solide, pour que les positions de tous les points de ce corps soient entièrement connues. D'ailleurs, quand les angles 4, I, a, seront connus, les coefficiens a, 6, etc., le seront aussi, et l'on connaîtra, par conséquent, les coordonnées x, y, a, d'un point quelconque du mobile. Le problème du mouvement de rotation autour d'un point fixe se réduit donc , en dernière analyse, à déterminer eu fonctions du temps, les valeurs de 4, », Or, quand les valeurs dep, q, r, sont connues, celles de ces trois angles dépendent de trois équations du premier ordre , que l'on obtiendra en substituant les valeurs de a, ô, etc. (n» 378), en fonctions de 4, », •, et celles de leurs différentielles, dans les valeurs de pdt t qdt, rdt , savoir :
pdt — — bdc — Vdd — A"dc" , qdt = ade + a'dtf 4. a"dc" t rdt = bda + b'da' + b»da".
Les valeurs de c , tf^e", ne contenant pu* l'angle a, il s'ensuit que celles de pdt et qdt ne contiendront pas sa différentielle; et comme les valeurs de b, 4», 6", se déduisent de celles de a. a', a",
en augmentant a d'un angle droit, la valeur de — pdt se déduira de même de celle de qdt. Le coefficient de d» sera l'unité dans la valeur de rdt; car, d'après les formules du n° 378, on a
da da' da"
d'où il résulte
da da' jun
6 + 4» + y =i. + V* 4- V = 1, da de <*•
pour lu valeur de ce cottBxient. Toutes réductions faites, la substitution des valeurs dea, 6, etc., dans celles de pdt, qdt, rdt, donne
pdt — sin s sin taVf. — cos ad* , J qdt = cos a sin td4 4- sin ad» , | (2) rdt = da - cos »d4. )
On peut remarquer que l'angle 4 n'entre pas dans ces formules; et, en effet, l'angle 4 011 NOx étant compté à partir d'un axe Ox entièrement arbitraire, les valeurs dep, q, r, ne doivent pas changer quand on augmente ou diminue cet angle d'une quantité constante.
Puisque r est la vitesse angulaire du mobile autour de l'axe Oa„ il s'ensuit que rdt doit être l'angle décrit dans le plan des x, et y, pendant l'instant dt, par chacnn des axes Ox, et Oy ; cet angle serait dp, si la droite ON , à partir de laquelle on compte l'angle a dans ce même plan , était immobile ; mais dans l'instant dt , l'angle NOx augmente de d4 , dout la projection est cos id\ sur le plau des x, ety ( ; et, selon que l'angle» est aigu ou obtus, il est aisé de voir que la différentielle de doit être diminuée ou augmentée de cette projection , pour avoir le déplacement de Ox, ou Oy,, par rapport ù une droite fixe dans le plan de ces axes. Par conséquent on aura , dans tous les ras , rdt t= da — cos »dv}., comme on vient de le trouver.
411. Il existe entre les cosinus a, 6, etc., et les i utiles dans beaucoup d'occasions, et qui sont exquantités p . o , r, des relations qui peuvent être | primées par les équations différentielles
de sb (09 — bp) dt, de' = (d'y — b'p) dt, de' 1 = {a"q — b"p) dt , )
db = \cp — ar) dt, db> r= {c'p — a'r) dt, db'' = (c"p — a"r) dt, l (8)
da = (br — co) dt, da! = {Vr — c'a) dt, da» sa (b"r — c"q) dt. \
On obtient les trois premières de ces équations , en ajoutant les équations
ado + a'dc' + a"dc" = qdt, bdc + i'dc' + b"dc" =-pdi, ede + c>dc< + e>'de" = 0,
après les avoir multipliées respectivement, soit par a , b , c , soit par a' , b', c', soit par <r", b", c", et 00 ayant égard aux équations du n° 377. On obtient les trois suivantes , en opérant d'une manière analogue sur les équations
cdb + c'db' + c"db" = pdt, adb + a'db' + a"db" = — rdt, bdb -f b'db' -f b"db" = 0;
et en opérant de même sur les équations
bda + b'da! 4. b"da" = rdt, cda -f- c'do' -f- c"da" — — qdt, ada + o'rfa' + a"da" = 0,
on parvient aux trois dernières équations (8). On a encore les équations
pda 4. qdb -f- cdr = 0, pda' + 9*' , 1- cdr 1 = 0, pda" + qdb"+ cdr" = 0,
qui sont une conséquence immédiate des neuf équations (8), etqui serrent à vcriGer l'invariabilité des numérateurs des formules (4), lorsque p, q, r, sont des quantités constantes.
$ II. Équation» du moutemtnt do rotation autour d'un point fixe.
412. Tout ce qui précède étant établi, supposons maintenant que des forces motrices données agissent sur tous les élémensdu mobile, et cherchons, en ayant égard à ces forces , les équations différentielles de son mouvement autour du point GxeO.
Au bout du temps / quelconque , désignons par X,dm, ï ,dm. 7. dm, les trois composantes parallèles aux axes principaux 0* ( , Oy, , 0z t , de la force motrice de l'élément dm. Si ce point matériel était libre , ces forces lui imprimeraient, dans l'instant dt, suivant leurs directions, les vitesses \ t dt, !',<//, 7. t dt. Les accroissemens de vitesse qu'il reçoit réellement, suivant ces directions, sont les quantités p t dt , q t dt , r t dt , du n° 408 ; les composantes de la force perdue par l'élément dm, pendant l'instant dt, sont donc
(X, - p,) dm, (T, - ft l dm, (Z, - rj dm.
Le corps sera donc en équilibre n 350), en supposant tous ses élémens sollicités par de semblables forces. Or, les équations d'équilibre d'un corps solide , autour d'un point fixe, sont au nombre de trois (n<> 268), qui seront, relativement à ces forces,
- f*) *, - (X, - p,) y,] dm = 0, /Pi -F*) »|- (Z, -r,)#,]d» = 0, f[h ~ O y, - (Y, - q t ) *>] dm = 0;
les intégrales s'étendant à la masse entière du mobile.
La considération des axes principaux simplifie les termes résultant de la substitution des valeurs de p ( , 5,, r M sous les signes J En observant qu'alors les intégrales / s y dm , jz r dm , j'y z dm, sont nulles, et désignant par A, B, C, les trois roomens d'inertie principaux du mobile, de sorte que A , B , C , représentent les mêmes intégrales que dans le n>409, et qu'on ait, par conséquent,
f{*t — y,* ) dm == B — A.
/( V — *,» ) dm = A — C, /(y,. - V)*» = C-B,
les trois équations précédentes deviendront Cdr + (B — A) pqdt = Hdt t 1 Bdq + (A - C) rpdt = Qdt, (o) Adp + (C-B) ? rd/ = PA, )
où l'on a fait , pour abréger,
/(*.*, -y,X,)dm = R, f(M,X, - *,Z,) dm == Q, f[yl, ~ %TJ dm = P.
413. Les composantes X„ Y,, Z ( , étant celles des forces données, suivant les axes mobiles 0x ( , Oy ( , Om,, leurs valeurs dépendront de la direction de ces droites dans l'espace , ou des trois angles 4 , I, a ; les quantités P, Q , R , seront donc des fonctions de 4 , • , • , données dans chaque cas particulier; par conséquent, le problème du mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, conduit m six équations différentielles du premier ordre , entre les six inconnues p, q , r, 4, », », et la variable!, savoir, les trois équations (a), jointes aux trois équations (7) du n° 4 1 0. En éliminant, dans les premières équations, les trois inconnues p,q, r, au moyen des dernières équations, on obtiendrait trois équations différentielles du second ordre, relatives à 4> •> qui sont les inconnues définitives duproblémc ; mais il vaut mieux conserver les six équations du premier ordre.
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
Nons nous borneront a considérer' le cas ou la pesanteur est la seule force qui agisse sur les points du mobile. Prenons , dans ce cas , l'axe Os vertical et dirigé dans le sens de cette force constante que nous représenterons par g ; ses trois suivant les axes 0x„ 0y„ 0*„ seront
X, = ,a», Y, = gb", t, = gc'\
de 377)
o" = cos «Or, , A" es cos *0y„ c" cos %Qa, ;
et si l'on désigne par H lu mnsse du mobile, et par • , C , y, les trois coordonnées constantes de son centre de gravité , par rapport à ces axes mobiles ,
a" = — fin • sin », b» = —
414. On parvient facilement à intégTer les équations (A), lorsque leurs seconds membres sont nais j ce qui a lieu quand on fait abstraction delà pesanteur, ou bien , lorsque le point fixe O est le centre de gravité du mobile , et où l'on a , conséquemmeut , m = 0, C = 0, y = 0.
Les équations (A) se réduisent alors A
= MC, f lt dm s M 7 ,
Ca") My, -c") My, yV<) My.
Cdr + (B — A) pqdt = 0, Bdy + (A — C) rpdt = 0, Adp + (C — B) qrdt = 0,
Or, si on les multiplie par r, y . et qu'on les ajoute, il vient,
Crdr+Byoy + Apdp = 0;
k* — BA + (B — C) Cr« P% ~ (A — B) A '
de sorte qu'on ait
fx/lm —, M», fy,dm
il en résultera
Q = fra»
P = (Ce" Les équations (a) deviendront i Cdr 4- (B — A) pqdt = («A" — Ca") Mydr, Bdy + (A - C) rpdt = {y a"- me») Mydr , Kdp + (C — B) qrdt = (Ce" — yb") H 5 rf/,
auxquelles il faudra joindre les équations (7) et celles-ci (no 378):
•in • cos », c" = cos ». (c)
et , en intégrant, on a
O» + By» + Ap> = h; (*)
A étant une constante arbitraire. Si l'on ajoute ces mêmes équations, après les avoir multipliées par Cr,By,Ap, il en résulte
Oror+B. qdq -J- A» pdp c= 0;
d'où l'on tire, en intégrant,
A» étant une seconde constante arbitraire , qui ne peut être qu'une quantité positive , uiusi que la première.
Ces équations [•) et(/") donnent
