A' - AA + (A — C) O' (B — A) B

Eo substituant les valeurs de p cl o dons la première équation (d), et la résolvant à d/, on a

Jt ±J/7b. Cdr

dt = ; r

[k» BA + (B - C) Cn ] 7 [AA — ** + (C — A) Cr» ] ~

ile par

On regardera le dénominateur comme une quantité constamment positive : et Ton preudra , au numérateur, le signe + ou le signe — , selon que la différentielle dr sera positive ou négative , afin que le temps soit toujours croissant , et sa diB'ércntielle toujours positive.

En intégrant cette formule g . on aura la valeur de t en fonction de r; d'où l'on conclura , réciproquement, la valeur de r en fonction de t : les valeurs des trois quantités p, g, r, peuvent donc être censées connues en fonctions de cette variable, ou du moins elles ne dépendent plus que d'une seule intégrale, qui se réduira toujours aux fonctions elliptiques *.

On obtiendra cette intégrale sous forme fiuie,

* Ttjn, Kir c* point, W

d. U TU-ri. ...

sans le secours de ces fonctions, lorsque deux des trois moment d'inertie A, B, C, seront égaux, ou lorsque la conttaute A> sera égale à l'une des trois quantités AA, BA, CA.

415. Si l'on examine avec attention la forme des équations (d), et qu'on ail égard aux formules (8) du n» 41 l,on parvient à découvrir d'autres équations immédiatement intégrales.

En effet, j'ajoute les équations (d), après les avoir multipliées par c, o, a ; ce qui donne

[cdr+(ao — Ap) rd<] C + [Jdy + (cp — ar)qdt] B + [odp + (Ar - cq) pdt) A = 0,

ou bien, en vertu des trois

Cd. cr + Bd. bq + Ad. ap = ».

On trouvera

Cd. c'r + Bd. Vq + Ad. a'p = 0 , Cd. c'V + Bd. Vq + Ad. o"f = 0.

En intégrant, on aura donc

Cr0 + Hqb + Apa =1,

M + Bçft' + Apa' = l\ (A)

Oc'' + BoA " + Aj»o" = f, )

/, f, étant dci constantes arbitraires.

Ces trois intégrales ne sont pas des équations distinctes entre elles j car si l'on ajoute leurs carrés, on trouve, en ayant égard aux équations du n 8 377,

résultat qui rentre dans l'équation / : . et d'où l'on conclut, entre les constantes A, l, t, l ', la relation

Si l'on substitue dans ces équations (A), à la place de a, 6, etc., leurs valeurs en fonctions de4, I, • (n° 378), on obtiendra trois équations entre les six variables 4i •» *> F, î> r » cl ,es constantes arbitraires /, t qui devront être des intégrales des équations (?) du n» 410; et c'est en effet, ce qu'il est aisé de vérifier. Comme ces trois intégrales n'équivalent qu'à deux équations réellement distinctes, il s'ensuit qu'il doit exister une troisième intégrale des équations (7); mais avant de la chercher il est nécessaire de voir ce que signifient les équations (A).

416. D'après ce qu'on a vu dans le n° 409, elles montrent que lesmomens desquantités de mouvement de tous les points du mobile, par rapport aux axes fixes Or, Oy, Os, sont constans et égaux n /, t , t", pendant toute la durée du mouvement. En les comparant aux formules (6) de ce numéro , et observant qu'en vertu de l'équation (/), le moment principal G est égal a la constante A, regardée

positive, on

cos mOx

— , cos mOy = — , cosmOat= — ,

pour déterminer la direction de l'axe Os* de ce mo-

perpendiculaire à cette droite. La position de l'axe Om changera par rapport aux axes mobiles 0x ( , Oy„

on la retrouvera, A chaque instant,

moyen des formules (5) du n° 409, dans lesquelles on peut supposer connues les quantités p, q, r. On pourra donc assigner, A un instant quelconque, le point où cette droite rencontre la surface du bile, et la trace, sur cette surface, de la section ■ plan mobile perpendiculaire à cette droite.

Ainsi, 1

point fixe, en vertu d'une ou plusieurs impulsions primitives, sans qu'aucune force motrice agisse sur ses points, il existe un plan passant par le point fixe, qui demeure invariable pendant le mouvement, et dont on peut déterminer la position, A chaque instant, par rapport aux plans mobiles des axes principaux du corps.

Nous aurons occasion, dans la suite, de généraliser ce théorème ; maintenant, il va nous servir A trouver la troisième intégrale des équations (7).

417. L'axe Oui étant immobile , nous pouvons le prendre pour l'axe fixe Os, dont la direction est arbitraire p

cos m0 9 , = cos xOy, = V\ cos mOs, = cos *0s, = c",

A cause de G=A et des formules (6) du n» 409, il en résultera

Ap

Cr

sin 8 sin ; ,

sin 6 cos • =

Cr

cos 6 = — :

elles s'acrorderont entre elles , en vertu de l'équation (/"), et serviront A déterminer les angles » et I, en fonctions du temps, d'après les valeurs de /». ?, r.

Maintenant, si l'on élimine dt entre les deux premières équations (7) du n° 410, on aura

sin 1 Idl — sin I sin • pdt -f *> n • cos * tdt \

d'où l'on tire, en vertu des équations précédentes,

H = A P' ± »£ . ftft, ^ A* — C« r» *

donc, à cause de l'équation (•), on aura A — Cr»

kdt; [k)

et en substituaut la formule (g) à la place de dt, il en résultera une valeur de dj, dont l'intégration

se réduira aussi aux fonctions elliptiques, et qui s'obtiendra sous forme finie dans les r'

que l'intégrale de dt. De cette manière, on connaîtra donc la valeur du troisième angle 4 en fonction de r, et, par conséquent, en fonction de i.

Les quantités A— Cr» et A» — C» r» étant positives, en vertu des équations (a) et (f), et A étant aussi une quantité positive, il en résulte que ta vi-

tesse angulaire — sera toujours négative, et que le

mouvement de la droite ON aura constamment lieu dans le même sens. A cause que l'angle 4 <->.-, t compté dans lesens indiqué pur la flèche *(n° 378),

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

i te fera en sens contraire, c'est-idire de Taie Os vers Taxe Oy ; sa direction constante dépendra donc dn sens do l'axe Oy, que nous

418. Les valeurs des six variables/), q,r, ^ , 4, ?, résultant de notre analyse, seront des fonctions du temps, qui contiendront, en outre, quatre constantes arbitraires, savoir, k t h, et les deux constantes qui seront introduites par l'intégration de* formules (y) et (A). Les intégrales complètes des équations (7) et (af), dont ces valeurs dépendent, devraient renfermer six constantes arbitraires ; mais le choix que nous venons de faire, de Taxe Om du

nées x , y, », a fait disparaître deux de ces constantes; car, Om coïncidant avec Os, les angles mOs* et a«Oy sont droits, et, d'après les formules dun°410, il en résulte 1=0 et t'=0. Mous n'avons donc plus, pour achever la solution complète du problème, qu'à déterminer, au moyen des données initiales du mouvementées quatre constantes restantes, et les parties des droites passant par le point 0, auxquelles répondent les angles variables, pendant toute la

Pour cela, supposons que le mobile dont on considère le mouvementée rotation, soit formé, comme dans le n» 388, de deux corps, dont l'un était en repoi et retenu par le point fixe 0, et dont l'autre, i d'une vitesse donnée, est venu frapper le r, et s'y attacher. Soient t* la masse du corps t, via vitesse commune à

■vaut le choc, FF. la direction initiale de son centre de gravité, HEK la section dn mobile par le plan de cette droite FE et du point 0, et / la longueur de la perpendiculaire OL, abaissée de ce point tur cette droite. La percussion qui a produit le mouvement de rotation sera dirigée suivant FE, et égale a ftv. D'après le principe du n» 309, si Ton prend en sens contraire de leurs directions les quantités de mouvement de tous les points du mobile, qui auront lieu immédiatement après le choc, l'équilibre devra exister entre ces quantités de mouvement finies et la force fie prise dans sa direction ; or, pour cet équilibre, il faudra (n° 282) que le moment pvf de cette force soit égal au moment principal de cet quantités de mouvement, et que les axes de cea deux momens soient dans le prolongement l'un de l'antre. Puisque ce moment principal, qu'on a appelé G, est constamment égal à A (n° 416), donc d'abord

k = rf,

pour la valeur de cette constante positive.

De plus, si Ton mène par le point 0 l'axe du

du mobile , cette droite sera aussi l'axe du moment principal, que nous avons pris pour l'axe Os; les directions Os-,, Oy„ Or„ des trois axes principaux du mobile, seront également données à l'origine du mouvement ; les angles que font ces droites avec Os seront donc connus ; et d'oprès le numéro pré-

* cos sOs. A en» sOy, k cos sOs,

de p, q, r. En les («), on aura la valeur de la

tuant dans l'c constante A.

On prendra arbitrairement pour les droites Os-,, Oy ( , Os,, les parties qu'on voudra "1rs axes principaux du mobile qui se coupent au point 0; mais après les avoir choisies, et avoir fixé les points de la surface du mobile où ces portions de droites viennent aboutir, elles ne devront plus changer pendant le mouvement.

Le sens de la percussion exercée sur le mobile, suivant la direction FE, déterminera celui de la rotation autour de chacun des axes O r , Oy„ Os,, à l'origine du mouvement, et, par conséquent, les signes des valeurs initiales de j>, q, r (n° 409). On saura donc aussi, d'après les équations précédentes, si les angles sOr,, sOy„ sOs„ sont d'abord aigus ou obtus ; et il suffira d'avoir égard à l'un de ces angles, plus petit ou plus grand que 90°, pour déterminer la partie de la perpendiculaire au plan de la section HEK, qu'on devra prendre pour l'axe Os on Om, et qui sera, pendant toute la durée

du mouvement, l'axe du moment principal des quantités de mouvemens de tous les points du mobile.

L'intersection NON' du plan de la section HEK. et du plan des axes Or, et Oy ( , sera aussi connue, à l'origine du mouvement. Pour connaître la partie ON de cette droite, à laquelle répondent constamment les angles 4 et t> , il suffira donc de savoir si, a cette époque, a ou ÏNOx est un angle aigu, ou un angle aigu augmenté de 190°; et comme on a

cos sOs, == -i. sin i sin t, cos sOy, = — sin I cos s,

il suffira d'avoir égard au signe de l'un de ces < nus, ou de la valeur initiale d'une d< et q

La droite fixe Os est entièrement arbitraire dans le plan de la section HEK. Pour plus de simplicité, je supposerai qu'elle coïncide avec la position initiale de ON. En faisant 4 =0 dans les valeurs de a', f, c', du n° 378, on aura, à l'origine du i

cos yOx, = cos t sin f, cos yOy, = cos • cos • , cos yl)s, = sin I.

QigiJi

les valeurs initiales dos angles • et », aigus ou obtus, il suffira Jonc de considérer le signe de cosyOjr, ou cosyOy,, pour connaître la partie de la perpendiculaire h Ox ou ON, qu'on derra prendre pour l'aie fiie Oy, et, par conséquent, le sens

de la vitesse —, qui aura lieu de OH vers Oy, et di

restera le même pendant tout le mouvement.

Toutes choses restant d'ailleurs les mêmes, si le sens du choc primitif est seul changé, les valeurs initiales dep, o, r, changeront toutes trois désigne ; en supposant que les angles primitifs 1 et 9 fussent aigus axant ee changement, ils deviendront» — * et w -f- et les droites Om et ON se changeront dans leurs prolongemens. En mettant r — • et «■ -f • au lieu de I et • dans les équations précédentes, il n'en résultera aucun changement pour les valeurs initiales des angles yO*,, yOy,, yOs,. La droite Oy résultera donc la même; mais la vitetso angulaire — étant

dt

toujours négative et dirigée de Ojc vers Oy, et Otr coïncidant actuellement avec ON', le sens de cette

milite.

Enfin , on déterminera les constantes arbitraires qui seront njoutées aux intégrales des formules (y) et (A) , de manière qu'on ait t — 0 et 4 = 0 , à l'origine du mouvement , e' est-à-dire , pour la valeur initiale et donnée de r.

419. Maintenant, nous ferons remarquer quelques propriétés générales du mouvement que nous venons de déle rminer.

1» D'après les formules du n" 408, le carré de la vitesse de l'élément dm du mobile, à un instant quelconque, a pour expression

(8*< — 'a,)* + i rx , — P- 3 .)* + (Pf, ~ ï x /j* •

En multipliant relie quantité par dm , on aura la force vive de ce point matériel ( n" SOI ) ; et en intégrant ensuite , d.nis toute l'étendue de la masse du corps, on obtiendra la somme des forces vives dont il est animé au bout du temps 1. Or, en supprimant les tenues multipliés par Jx^dm, fw/tÀm^ fy : z dm , à cause que les coordonnées y r z , sont rapportées à des axes principaux, et ayant égard aux valeurs des moinens d'inertie A, B, C , on a , pour celte

et si l'on élimine — entre celles-ci , on aura

Aj>* -f Bo« + Cr» ; donc , eu vert II de l'équation (e), la somme des for-

A (À. - A A) + B (A» — B»; y'» + C (A« - Cft) a* = 0 ;

cet vives de tout les points du 1 pendant le mouvement.

2° Si l'on appello • la vitesse angulaire 1 de Taxe du moment principal, qui coïncide stfliament avec Os, cette composante de la vitesse m , relative à l'axe instantané , se déduira de eelleci , en la multipliant par le cosinus de l'angle que fait l'axe instantané aveolaxe Om , d'après le n« 407 1 on aura donc

• - a"p + **, + Cr;

et si l'on substitue pour a", 6'', c", leurs valeurs trouvées dans le n» 417, et qu'on ait égard* l'équation (a), il en résultera

La vitesse angulaire du mobile, parallèlement au plan dans -lequel la percussion primitive a eu lien, est donc constante et égale à la somme des forces vives de tous les points du corps , divisée par. le moment de ceUe percussion par rapport au centre fixe.

3° Soient y\ s', les d'ordonnée* d'un point quelconque de l'axe instantané, rapportées aux axes Ox„ 0y„ Os„ et « la distauce do ce point à leur

origine 0. En observant que — , — , — , sont les co-

sinus des angles que font ces droites avec l'axe instantané (n» 407), on aura

ru ■

sidenc eu multiplie les équations (•) et (f) pur — , elles deviendront

A*'« + By'« + Ca«. =

d'où l'on conclut que l'axe instantané de rotation demeure toujours sur la surface d'un cône du second degré, que l'on peut tracer dans l'intérieur du mobile , lorsque les constantes h et A sont connues. Ce cône se change en un plan , qnand le carré de A est égal .. l'un des produits Kh , B&, CA; il devient un cône droit à base circ ulaire, ayant pour axe l'un des

trois axes principaux relatifs à ce point, toutes les fois que deux des coefliriens de l'équation précédente sont égaux.

4-> L'axe Om ou O* du moment principal de* quantités de mouvement, étant immobile, la suite des droites suivant lesquelles il traverse le corps pendant le mouvement, se trouvera sur un cône

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

qui a h point 0 pour sommet. Or, ce cône est aussi du second degré , comme le précédent. En effet, si l'on appelle y", s", les trois coordonnées d'un

O x , 0y„ Os,, et si Ton désigne par t ce point à l'origine 0, on aura

*" = a"u„ y» = b'm, a» = c"n„ et, par conséquent ,

Ap = — , Bo =

Cr = — .

En

les équations (•) et

et par

+ y"t + *"» = «,« ; de si,» , on en conclut :