BA „ *» — CA — »'*• + — S

le la surface du cône dont il s'agit.

6° Pour que ce cône et le précédent ne soient pas imaginaires, il faudra que les quantités A* — A A, A> — BA, *• — CA, ne soient pas toutes trois de même signe. Cela étant , si A est le plus grand et C le plus petit des trois momens d'inertie principaux, 1rs denx quantités A» — AA et A» — CA devront être rie signes contraires. Or, selon que la troisième quantité A« — BA aurn le même signe que A» — AA ou A» — CA, les sections de ce* deux cônes seront des ellipses perpendiculaires à l'axe du plus grand ou a Taxe du plus petit moment d'inertie. Par conséquent,, pendent touta la durée du mouvement, l'axe instantané de rotation ne s'écartera de l'un de ces deux axes principaux , que de quantités limitées ; et , en même temps , cet axe principal no s'écartera non plus que de quantités limitées , de Taxe Om perpendiculaire au plan de la percussion primitive et du point 0.

420. Lorsque l'axe instantané de rotation 01 (flg. 88) s'écarte très peu de l'un des trois axes principaux, par exemple de l'axe 0*,, pendant toute la durée du mouvement, on peut déterminer sa position et celle du mobile à un instant quelconque, d'une manière très simple, et sans recourir aux fonctions elliptiques. A la vérité, cette autre solution du problème n'est qu'approchée ; mais on pourra pousser l'approximation aussi loin qu'on voudra : celle à laquelle nous nous arrêterons suffira pour compléter ce qui a été dit dans le n° 389, sur les propriétés mécaniques des axes principaux, (n» 406)

.in ios ( = yr+* :

Vf* + 9' + rs

l'angle 10*, étant très petit par hypothèse , p c t q seront deux fractions très petites de r ; si Ton néglige leur produit, la première équation (d) se rédoit à dr — 0, et donne r = n ; n étant une constante erbitraire qui exprimera la vitesse de rotation

du corps , ou la voleur de \/ p« -i- qi + r* , en né- 1 les carrés de p et q. Les deui autres

équations (d) deviendront

Bdo+ (A-C)«pdl = 0, > Kdp + (C - BjnodJ = 0. f (l >

Pour les intégrer, je fais

p=C.i„(^ + > ), o = C'co. (*',+ >);

C, C, y, n', étant des quantités constantes. En substituant ces valeurs de p et ç'dans les équations (1 ), et supprimant ensuite le sinua ou cosinus qui se trouve facteur commun à tous leurs termes, il vient

BC'«'-(A-C)Cn = n, ACn'(B-C)C»:=0;

d'où l'on tire

y ab »

• étant une constante qui restera arbitraire, ainsi que y. Si donc on fait , pour abréger,

il en résultera

p = . L/ B (B - C) sin (ftif + y), i

9 = • V A (A - C) cos (*»< + >), \ (2)

pour les intégrales complètes des équations (1).

Si l'on projette l'axe instantané 01 sur le plan des jr, et y ( , et qu'on appelle ( l'angle que fait cette projection avec l'axe des y,, on aura

tang f = — ;

de plus , lu valeur de sin IOs, se réduit à 1 j

sin ios, = - +

au degré d'approximation où l'on s'est arrêté; par

conséquent, le* valeurs précédente* de p et q feront connaît ru immédiatement, à chaque instant, la position de Taxe de rotation dans l'intérieur du mobile. On va voir les conséquences qui en résul-

431. Si , à l'origine du mouvement , cette droite a coïncidé exactement avec l'aie 0;, , il faudra qu'on ait p = 0, et q = 0, quand t = 0 j ce qui exige que la constante • soit nulle. Alors on aura constamment p = 0 et q — 0 ; et Taxe instantané 01 coïncidera , pendant toute la durée du mouvement , avec l'aie 0 1 , qui demeurera immobile ( n° 405 ). Lors donc que le corps retenu par le point fixe 0 sura commencé à tourner autour de l'un des trois aies principaux qui se coupent en ce point, il continuera indéfiniment à tourner autour de cet axe, comme s'il était entièrement fiie , ce qui est la proposition du

Mais, si à l'origine du mouvement l'aie 01 s'écartait un peu de 0* , les valeurs initiales de p et q, et, conséquemment, la constante « , seront seulement très petites. Or, pour que les valeurs de p et q demeurent toujours très petites , il faut que la constante /soit réelle; car, lorsqu'elle est imaginaire, le sinus et le cosinus contenus dans les équations (2) se changent, par les formules connues, en exponentielles réelles, et les valeurs de y et g, qui en résultent, croissent indéfiniment avec le temps t. La réalité de / exige que le moment principal C soit le plus grand ou le plus petit des trois momens d'inertie A , B, C. Donc , quand l'aie instantané de rotation a été un tant soit peu écarté de l'aie principal qui répond au moment d'inertie moyen , cet écart augmente avec le temps , et ne reste pas renfermé entre de très petites limites ; et, au contraire, lorsqu'on l'a un peu écarté de l'axe principal auquel répond le plus grand ou le plus petit moment d'i-

nertie , il s'en éloigne très peu, et ne fait que de très petites oscillations pendant toute la durée du

Il y a donc une différence essentielle entre les trois axes principaux du mobile qui se coupent ao point rue 0 : en supposant que A soit la plus grande, et C la plus petite des trois quantités A, B, C, le mouvement de rotation est stable autour des axes Or, et Oz , et ne peut être qu'instantané autour de l'axe 0y ( . S'il s'agit, par eiemple, d'un ellipsoïde homogène, retenu psr son centre de figure, le mouvement est stable autour du plus grand ou du plus petit de ses trois diamètres principaux, et non stable autour de son diamètre moyen.

422. Dans le cas de l'instabilité du mouvement , les formules (2) n'exprimeront les valeurs approchées de p et q que pendant les premiers instans du mouvement, et tant qu'elles seront très petites, comme le supposent les équations (1), dentelles sont déduites.Pour avoir les valeurs de» q, r, à un instant quelconque, il faudra alors recourir à la solution rigoureuse do problème. Dans le cas de le stabilité , les valeurs approchées de p et q , donnée* par les équations (2) , subsisteront pendant toute la durée du mouvement; et l'on déterminera de le manière suivante celles des trois angles 4 » • » •-

Je supposerai , comme dans le n» 418 , que le mouvement a été produit par le choed'une masse f», dont tous les points avaient une vitesse », parallèle a une droite FE (fig. 93), passant par le centre de gravité de et comprise dans le plan des s et y. Les équations (a*) auront lieu comme précède ment ; et en désignant toujours par f la < celte droite au point 0, ta quantité k qu'elles i ferment sera encore le moment/*»/ de la percussion initiale. Ao moyen de r = n et des formule. (2), ces équation, (s),

sin • sin » s=

sin I cos • = cos t

cos (M + >), } (3)

Le. angle. » et r étant donnés à l'origine du mouvement, si l'on fait <= 0 dan. le. deux première, de ce. équation. , on en déduira le. valeur, des dc*u constantes « et y. Ces deui équations feront ensuite connaître les valeurs de s et I & un instant quelconque, après que la constante is aura aussi été déterminée. Il faudra que • soit une quantité très petite, pour que les valeurs de p et g, données par les équations (2 J, soient très petites, comme on l'a supposé. Cela étant , • sera constamment un très petit angle, et l'aie principal Oz , dont s'écarte très peu l'aie instantané de rotation, très peu de l'axe 0* perpeu-

diculaire à la direction FE de la tive.

En négligeant le carré de 1,1a tion (3) se réduit a

t*vf = Cn,

sera , a

ce qui fera connaître la constante N , qui très peu près, la vitesse angulaire du i de l'axe instantané.

La troisième équation (7) dun° 410 se réduiia

ndt = de - e*4 {

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

d'où Ton tire

c étant une constante arbitraire, que Ton déterminera d'après les valeurs initiales de • et 4 - Cette dernière équation fera ensuite connaître l'angle 4 » un instant quelconque ; ee qui complète la solution du problème.

423. Lorsque le mobile est un solide de révolution, dont Os, est Taxe de figure , on a B = A ; la première équation (d) se réduit! aV = 0; r est donc une constante arbitraire n ; et toutes les formules du n > 420, ainsi que les équations (3), ont lien rigoureusement.

L'angle I n'est plus assujetti à être très petit; mais , en vertu de la troisièmo équation (3), sa valeur est constante pendant le mouvement; en sorte que l'axe de figure du mobile décrit un cône droit à base circulaire, autour de la droite Os perpendiculaire à la direction FE du choc primitif. En désignant par » la valeur constante et donnée de cet angle I, on aura

tàvf cos • = Ca,

pour déterminer la constante ». D'après les deux premières équations (3), on aura aussi

*i« *» fi tin* • = •» A* (A — C),

pour déterminer la constante »; et en vertu des équations (2) la vitesse angulaire « autour de l'axe instantané sera (n» 408)

• sj/«. + iiiitaTil î

ce qui montre que celte vitesse sera constante , de manière que le mobile tournera uniformément, soit autour de l'axe instantané, en vertu de cette vitesse , soit autour de son axe de figure, en vertu de la vitesse n.

Les deux premières équations (3) donnent aussi

tant; » sa toog (JM + >), • = + y.

La troisième équation (7) du n» 4t0 devient

ndt — . 3 ndi m cos idy j

en désignant par e une constante arbitraire , on en déduit

cos t A

par conséquent, l'ongle #, compté sor un plan perpendiculaire k l'axe de figure, et l'angle 4» compté sur le plan du eboe primitif et du point 0, varient l'un et l'autre uniformément.

424. La stabilité du mouvement autour des axes principaux du plus grand et du plus petit moment d'inertie, ayant été conclue des équations (2), qui ne sont qu'approchées, on pourrait conserver quelque doute sur l'exactitude de celte conclusion }

mais on démontre rigoureusement la stabilité dont il s'agit, au moyen des intégrales exactes (e) et (f) des équations du mouvement.

En effet , en multipliant la première par C, et la retranchant de la seconde , on a

D désignant , pour abréger, la constante A» — CA. Si donc l'axe instantané s'écarte très peu de l'axe principal Os, à l'origine du mouvement, de sorte que les quantités p et q soient très petites a cette époque , la constante D sera aussi très petite ; d'où je conclus que les valeurs de p et q devront rester très petites pendant tonte la durée du mouvement, lorsque les deux différences A — C et B — C seront de même signe ; car il faudra , en vertu de l'équution( 4), que leurs carrés , multipliés par des quontites de même signe, et ensuite ajoutés, donnent constamment une somme très petite. On peut même, dons ce cas, fixer des limites aux voleurs de p et 7 , et l'on voit qu'on aura toujours

Hais si les différences A — C et B — C sont de signe contraire, et que la constante D soit encore supposée très petite, on conçoit que l'équation (4) pourra néanmoins être satisfaite , sons que les valeurs de p et f soient astreintes à demeurer constamment très petites; et, en effet, l'analyse du n° 420 montre qu'alors ces valeurs ne sauraient être supposées très petites pendant toute la durée du mouvement.

Au reste, les axes principaux relatifs on point fixe 0 sont les seuls axirs qui puissent rester les mêmes dans l'intérieur du mobile , et demeurer en repos , quand ils ne sont pas entièrement fixes , ainsi qu'on l'a déjà vu dons le n» 389. Cela résulte actuellement des équations (d). En effet, pour que l'axe instantané de rotation conserve toujours la même position , il faut que les trois quantités p, tf , r, soient constantes. On a donc dp = 0, dq = 0, dr = 0 ; ce qui réduit les équations (d) à

(B-A)pg = 0, (A-C)rj»=0, (C-B) qr=0.

Si les trois roomens d'inertie A , B , C, sont inégaux, il faudra supposer nulles deux des trois quantités p, g, r, pour satisfaire à ces équations; et alors l'axe instantané coïncidera avec l'un des trois axes Or,, Oy„ 0*,. Si deux de ces trois momens d'inertie sont égaux , de sorte que l'on oit B = A, par exemple, la première équotion disparaîtra , et l'on satisfera aux deux autres en prenant r — 0. L'axe instantané sera donc alors situé dans le plan des deux axes 0*, et Oy, ; mais ou sait que, dans un pareil cas , toutes les droites comprises dans ce plan , et passant par le point 0, sont des axes principaux ; l'axe de rotation immobile sera donc encore un oxc principal. Enfin , lorsqu'on a

TRAITE Dl MÉCAlflQUI.

A = I = C , cet trou équations tout identiques , ri l'on peut prendre le» valeurs de p, ç , r, arbitrairement; mois aussi, dans ce cas particulier, toutes les droites qui passent par le point 0 sont des axes principaux ; par conséquent , dans tous les cas, l'axe de rotation , s'il demeure immobile, ne pourra être qu'un axe principal.

$ 111. Solution d'un cas particulier do moueomtent d o rolotiond'unoorvtpesint.

425. Lorsque le point fixe 0 n'est pas le centre de gravité du mobile, et qu'on ne fait point abstraction de la pesanteur, on n'est parvenu, jusqu'à présent, à intégrer le système des équations (7) et 5) des n°> 410 et 413, que quand le mobile est un solide de révolution, et que la point 0 appartient à son axe de Bgure. C'est ce cas particulier que nous allons maintenant considérer.

Supposons que l'axe principal Oc, soit l'aie de figure, et qu'on ait, par conséquent, B = A. Sun* posons aussi que le rentre de gravité G du mobile (fig. 94) appartienne à l'uxedea i ( positives, de sorte qu'on ait (n« 413) « = 0 et C = 0 , et que y soit une quantité positive et donnée , qui représente la dislance OG. L'axe Os étant vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, l'angle t ou sOs, sera aigu ou obtus , selon que le point G se trouvera au-dessous nu au-dessus du plan borixontal mené par le point 0. Daus ces deux cas, les équations (4) de-

Cdr = 0,

Kdq- (C - k) rpdt = ya»*gdt , ( (1)

Mp + (C - A) « - yvmgd* , I

les quantités a" et 4" qu'elles renferment étatlt , d'après les équations («),

a" = — lin ( sin f , 4" = — «in 6 cos

Ifous appellerons èquatevr du mobile la section perpendiculaire a son axe de figure , et passant par le point 0. Soient NEIf'E' cette section , et ROîf' la droite suivant laquelle elle coupe le plan horizontal mené pur ce point fixe. Toutes les droites qiai passent P >r ce point et sont comprises dans cette section, étant des axes principaux, l'angle e pourra se rapporter a l'une quelconque d'entre elles ; et E étant un point déterminé du mobile, on pourra prendre pour a l'angle NOE. L'angle 4 , dont la troisième équation (7) renferme la différentielle, sera l'angle INOx, compté à partir d'une droite fixe ()*, menée arbitrairement dans le plan horisontal. On aura donc, à un instant quelconque,

»Os, = e, ÎSOE = a, KO* = 4 ;

et Ion a suffisamment expliqué , dans le n" 378, comment la position du mobile sera déterminée, sans aucune ambiguïté, au moven des trois angles 4, • et •

I 42e. En désignant par ir une constante arbitraire, on aura r = n , d'après la première équation (1). Le mouvement de rotation du corps sera donc uniforme, parallèlement à son équateur. Pour d'Unir la direction de ce mouvement , nous supposerons que le point N soit le nœud ascendant de l'équalcur ; en sorte que, quand le point E parviendra au point- N, ton rayon EO s'élèvera audessus du plan horizontal , en vertu de la vitesse angulsire n, qui sera alors nne quantité positive. En effet , d'Après la troisième équation (7) du n» 410, on aura

dp = ndt + cos tsty. (2)

Lorsque le point E est en If, l'angle • estxéro ou un multiple de 2»; et, dans l'instant suivant, il s'élèvera ou s'abaissera , selon que l'angle p augmentera ou diminuera (n° 378) ; donc , pour qoe le point E s'élève comme on lé suppose , en ayant seulement égard au mouvement du corps parallèlement à son équateur, il faudra que le premier terme de dp soit positif.

Cela étant, si son second terme est aussi positif, il augmentera la valeur de dp , qui sera donc plus grande que si le nœud If était immobile; par conséquent, son mouvement projeté sur l'équateur sera rétrograde, ou en sens contraire du mouvement du corps , parallèlement a ce plan. Le contraire aura lieu, et le mouvement du nœud sera direct, lorsque le second terme de la valeur de dp sera négatif. Dans le second cas , si le second terme l'emportait sur le premier, la valeur de dp serait négative, et le point E, parvenu en N, s'abaisserait au-dessous du plan horizontal , au lieu de s'élever au-dessus; mais cela n'empêcherait pas que If ne fût toujours le nœud ascendant , eu égard au mouvement du corps autour de son axe de figure.

Ainsi , le sens du mouvement du nœud ascendant If dépendra du signe qu'aura , à chaque instant, le produit de cos 6 et o\}. ; et ce mouvement sera direct ou rétrograde, selon que cos • et a%\ seront de signe contraire ou de même signe.

427. En ajoutant les équations (1), après les avoir multipliées por c", 4'', a'', les seconds membres des deux dernières se détruisant, et Ton trouve, comme dans le n° 416,

Crf.rcV + kd.qb" + Ad. pa" = 0 ;

donc , è cause de r = s», c" = cos I, et des valeurs de a" et 4", on aura , en intégrant ,

Cm cos I — A (psint sina-J-çsinl cose)=/, (3)

/ étant une constante arbitraire , qui exprimera , comme dans le numéro cité , le moment des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à l'axe Os. Dans le mouvement que nous considérons , le moment de ces quantités de mouvement est donc une quantité constante, mais seulement par rapport à l'axe vertical, et non plus par rapport à tous les axes passant par le point 0.

DTilAIIQrE, SECONDE PARTIE.

lu deux dernières équations (l), «près les avoir multipliées para et»; ce qui donne A (pdp + 0#V) = y (p »io • cot • - ,,n I tin 9) Vgdt.

i en vert ii des deux premières équations (7) du n«4l0,en ■

p sin » cos » — q sin • sin « = — sin • — ;

A [pdp 4- qdq) = — Hcj, sin «s»;

et en intégrant et désignant par * la bitrarre,ilen

A(p. + r) = WU>co. 1+4. (4)

D'après les équations (?) qu'on vient de citer, on d'arlleors

p sin I sin 9 + ï ••«• • co » • — »»"' • — i

. , d4« tfti

au moyen de quoi les équiitions (3) et (4) être changées en celles-ci :

Cm cos • — A siu» I — = /,

(d±* di* \

Les équations (2) et (A) donneront des valeurs de J<, ci l. df , dont chacune sera de la forme F*dv ; il ne s'agira donc plus que d'intégrer ces trois formules différentielles , pour avoir les valeurs de I , 4 1 9 , eu fonctions de I ; or, leurs trois intégrales se réduiront, dans tous les cas , aux fonctions elliptiques. Muis, sans recourir à ces fonctions , on pourra aussi obtenir des valeurs approchées de 4 » 9, 1, en fonctions de r, dans les exemples que nous donnerons plus bas , après avoir déterminé les trois constantes arbitraires n , /, A, que contiennent les équations précédentes. Les trois nouvelles constantes qui seront renfermées dans leurs intégrales, se détermineront d'après les valeurs de 4, 9, •, qui ré|>ondent à 1 = 0 : celle de I sera donnée; on prendra, si l'on veut, 4 = 0 et 9 = 0, pour les valeurs initiales de 4 et 9.

428. Quelles que soient les quantités de mouvement que prendront les points du corps à l'origine du mouvement, leur moment principal relatif au point 0 , et la direction de son axe , seront connus , d'après les percussions qu'on aura exercées sur le mobile à cet instant, et auxquelles ces quantités do mouvement inconnues , prises en sens contraire de leurs directions, devront faire équilibre (n° 353).

Par la règle du n° 281 , je décompose ce moment principal en trois autres moroens, dont les axes

rectangulaires soient la partie Os, de l'axe de figure qui comprend le «estera de gravité G, une droite perpendiculaire a Os et contenue dans le plan vertical de Os et 0*,, et une droite horizontale perpendiculaire à ce plan. Ces trois droites étant des axes principaux, le moment par rapport à Os, aura Cr ou Cm pour valeur (n» 409) ; il ferait donc connaître la valeur de m; mais je supposerai, au contraire, cettn vitesse donnée directement , et je prendrai Cm pour ce moment.

Je désignerai par 1» le moment par rapport au second axe, et par m le moment par rapport à l'axe horixontnl; en sorte que la valeur initiale du 1

ment principal sera [ C» m* 4- M' 4* "»* , " cause de B — A et r = m , son carré est A> ; > 4- '/' ) 4-C»Mi(n» 400), a un instant quelconque; si donc on appelle * la valeur initiale de l'angle I , on aura, en vertu de l'équation ^4),

(2B«> cos ■ 4- A) A = m» + «•• ,

à l'origine du mouvement ; ce qui 1

* aa

— 2ïo> ens a.

L'axe du moment désigné par /» fera un angle m 4- 80* avec O*; l'axe du moment m étant perpendiculaire à celle verticale, ce moment n'influer* pas sur le moment / par rapport à 0s ; d'après l'expression générale de E du n u 2Sl, nous aurons donc simplement

/ = Ce cos • — fê sin m.

On devra se rappeler que dans ces valeurs de h et/, l'angle* sera aigu ou obtus, selon qu'à l'origine du mouvement , lu centre de gravité G du mobile se trouvera au-dessous ou au-dessus du plan horixontal , passant pur le point O.

420. Pour vérifier ces différentes formules, je suppose que la masse M du mobile soit concentrée a son centre de gravité, et qu'il se change en un pendule simple dont y sera la longueur.

Dans ce cas, on n'aura point à considérer l'angle 9, et le mouvement dépendra seulement des angles 4 et I. Si le point matériel G a reçu , à l'origine , une vitesse A' perpendiculaire à GO et dirigée dans le plan GOs, et une vitesse A perpendiculaire à ce plan, on aura

On aura aussi

C = 0, A = M) ' - Il en résultera

h = (Ai 4- À - - S n nos ») H / = - Vyk siu . ;

TRAITÉ DE KÉCAMQFE.

ions (A . ili'vicnilront

y siii» • — = * lin dt

(dl> dit \ • i " , £-+â-) = 4,

•Tec les éque-

el il est aisé de les Taire lions (5) et (8) du n° 205.

Lu première, rnuitipliée par— ydt, exprime que l'aire décriteautnur du point 0 pendant l'instant dt, pnr la projection horizontale du rayon vecteur GO du mobile, est constante et égale a sa valeur initiale — yAsin*. Le premier membre de la seconde est le carré de la vitesse de ce point matériel, au bout du temps <; et *» -f *'« étant le carré de cette vitesse à l'origine du mouvement , cette équation est In formule du n° 159.

430. Dans le cas d'un corps qui ne se réduit pas à un point matériel , si l'on écarte le mobile de sa position d'équilibre, qu'on lui imprime une vitesse de rotation autour de son ose de figure, et qu'on l'abandonne ensuite n lui-même, les deux quantités ia et m seront nulles, on aura

/ = Cn cos h = — 2lyy cos • ,

et les équations (5) deviendront

sin» t — — — (eus I — ros •), j

+ *'* + 8 J> ( CM • — cos •) ;

En vertu de la seconde , la différence cos • — cos • est toujours positive; en vertu de la première, la différentielle d \ le sera donc aussi ; par conséquent (n» 486), le mouvement du nœud ascendant H sera direct, quand cos I sera négatif , ce qui suppose 1* centre de gravité G au-dessus du plan horizontal passant par le point 0 ; et ce mouvement sera rétrograde , lorsque G sera au-dessous de ce plan , ce qui répond a cos I positif.

Quand ss sera léro , la différentielle à\ , et par suite la différentielle d> donnée par l'équation (3), seront xéro; les angles 4 «* • seront donc constans, et pourront être supposés nuls; le mouvement se changera dans celui du pendule ordinaire, autour d'un axe horisontal par rapport auquel le moment d'inertie est A ; et, effectivement, en faisant d\=-0 dans la seconde équation (6), elle se réduit a l'équation (a) du n° 394 , quand on suppose dans celle-ci la vitesse initiale égale à xéro.

*Vr

L'élimination de — entre les deux équations (6)

dl* , dt* 2Kgy