V 1— ( 1+C )CM

En intégrant, on aura donc

c i arc (sin = \/ 1 -f- C» COS) «) j

c étant la constante arbiUire. Pour t = 0, on a • = ■ et cos « = 0 ; l'angle qui répond au sinus séro est téro ou un multiple quelconque de tr ; on a donc

c = »*, en désignant par s* un nombre entier positif, négatif ou séro ; et en remettant pour cos u sa

i..= . jus-

L'engle I décroissant d'abord

^ |/T+7T' on prcndr ' lc

ets==0; croissant ensuite depuis cette dernière tqleur jusqu'à !=•, on prendra le signe inférieur et s==l; décroissant de nouveau, depuis • = • jusqu'à

quation précédente, !•=•» —

sin»

9 ( 1 + Ct )

et ainsi de suite. C'est de cette manière qu'on doit déterminer la constante arbitraire, ajoutée à un arc de cercle que l'on considère comme une fonction de son sinus ; mais il est plus simple de passer de Tare au sinus, avant cette détermination.

A un instant quelconque, on aura, d'après l'é-

En appelant T le temps pendant lequel l'angle! passera de sa plus grande valeur « à sa plus petit* valeur, qui suit immédiatement, ou reviendra de la plus petite à la plus grande, on en conclut

Au moyen de cette valeur de , celle de d4, qui est donnée par la seconde équation (9), sera

qu'on ait4 = 0

t — 0, ou en déduit

= arc I tang = I ~ " K ~ i

L l/T+cT J a

formule qui déterminera le mouvement rétrograde du nœud ascendant N sur le plan horisontal passant par le point 0. Si la constante C n'est pas nulle , les voleurs de l'arc compris dans cette formule seront

arc (tong = ao ) = w , arc (tang = 0) = », arc(Ung= - co ) = f», etc.,

i, ui uucino, troisième, etc., intervalles de temps T, par conséquent, l'arc parle premier intervalle

de temps T, sera

pendant les deux premiers intervalles T, il sera an bout des trois premiers, on aura

- wC

et ainsi de mite. Il en résulte que les rus par le nœud N pendant les intervalles T successifs seront tous égaui entre eux, et auront pour va-

laquelle est d'autant moindre, que la constante C sera un plus grand nombre.

Quant a la valeur de e, si l'on néglige le carré de • dans l'équation (2), et qu'on suppose • = 0 quand t = 0, on aura

• = nt + 4;

ce qui achèvera de déterminer la position du mobile à un instant quelconque.

432. Quel que soit l'angle «. supposons actuellement que l'angle I demeure à peu prés constant, et par conséquent très peu différent de «, pendant

toute la durée du mouvement. Fat

I = « — «, o*l = — <*«; et considérons u comme une variable très petite. En négligeant les puissances de « supérieures au carré, on aura

sirr» » = sin» • — « sin 2. + «» cos 2a,

cos I — cos • = « sin a — -j- «• cos ■ ;

et à ce degré d'approximation, l'équation (7) donne

-^- = 2- «»•-- (cos . + 4C)i 9 m

d'où Ton tire

|/ 2« sin • — «> (cos • -f- 55 )

En intégrant et observant que « = 0 quand t = 0, il vient

Pour que la variable «soit toujours très petite, comme je l'ai supposé , il faudra que la quantité C soit très grande ; ce qui exige, en général, qu'on ait imprimé au mobile une très grande vitesse de rotation autour de son axe de figure. On pourra alors mettre 4C» à la place de cos •-j-4C» , et l'on aura, plu.

u m sin a sin

En mettant • — « au lieu de I dans l'équation (8), négligeant le carré de «, et supposant que l'angle a ne soit pas nul, ce qui permet de supprimer le facteur sin» a,

dt C x x

d'où l'on tire

En vertu de l'équation (2), on aura, en même temps,

a = nt + 4 cos *,

en supposant les angles a et 4 nuls à l'origine du mouvement; et la position du mobile, à un instant quelconque, sera complètement déterminée.

On conclut de » = m — u, et de cette valeur de 4» 1" quê quand le mobile que nous considérons a reçu une très grande vitesse de rotation au-

tour de son axe de figure, après que cette droite a été écartée de la direction verticale, son équateur conserve une inclinaison à peu près constante, sur le plan horizontal passant par le point 0, pendant toute la durée du mouvement qui en résulte; 2» qu'en même temps l'intersection de ces deux plans prend un mouvement à très peu près uniforme, très lent par rapporta la rotation du mobile, et qui est direct ou rétrograde, comme on l'a déjà dit (n<> 430), selon que le centre de gravité du corps est au-dessus ou au-dessous du plan horizontal. Pourvu que l'angle « ne soit pas xéro, l'angle 4 et le mouvement du nœud sont indépendans de sa grandeur. L'inégalité «de l'inclinaison de l'équateur, et celle quia lieu dans le mouvement du nœud, sont d'autant moins sensibles , que la rotation est plus rapide, et la quantité C un plus grand nombre.

Il existe, dans beaucoup de cabinets de physique, une machine de Bolinenbergcr, qui représente fidèlement toutes les circonstances de ce mouvement de rotation, de même que la machine d'Athood montre aux yeux toutes les circonstances du mouvement des corps graves. I.c mouvement de rotation est produit au moyen d'un fil enroulé sur l'équateur du mobile, et attaché à l'un de ses points, que l'on déroule rapidement, comme dans le jeu de la t.-upic.

On remarquera que quand a est xéro, I l'est aussi ; ce qui rend l'équation (8) identique, et l'angle 4 indéterminé ; l'angle •— 4, égal à nt, représente alors le mouvement du corps autour de son axe de figure, qui demeure constamment vertical.