BD MOOVBMBHT DUS CORPS SOLIDE ENTIÈREMENT LIBRE

433. Pour se représenter avec plus de facilité le ■t «l'un corps solide dans l'espace, on y ie deux autres mouvemens, l'un de rotation, autour d'un des points du mobile, et l'autre de tr uiulation, commun à tous ses points. Cela revient évidemment à regarder, à un instant quelconque, la vitesse de chaque point comme la résultante de deux autres vitesses, dont l'une soit égale et parallèle à celle du point que l'on prend pour centre du mouvement de rotation, et dont l'autre soit particulière à chaque point du mobile : en ayant sentent égard aux vitesses particulières, le corps »ur du centre, comme autour d'un point fixe ; et, en vertu de la vitesse commune, tous ses points sont transportés dans l'espacr, d'un moule mouvement de rotation.

Le mouvement de translation peut être révolutif autour d'un autre corps en repos ou lui-même en mouvement. Il n'y a pas de rotation toutes les fois qu'une face ou une section déterminée du mobile reste constamment parallèle à elle-même; il y a, au contraire, rotation dans le même temps que la révolution, lorsque le mobile tourne constamment la même face vers le corps central. C'est ce second cas qui a lieu dans le mouvement des satellites au tour de leurs planètes. La lune tourne toujours la face vers la terre; et le rayon vecteur qui va i de la terre au centre de la lune, rencontre toujours en un même point la surface du satellite (n° 141); d'où il résulte que la rotation de la lune sur elle-même et sa révolution autour de la terre,

est 27 ',32 180. On démontre, dans la Mécanique céleste, que l'égalité de ces deux mou vemens subsistera toujours, quoique le mouvement révolutif s'accélère de siècle en siècle (n°244); en sorte que le mouvement de rotation participe également à cette accélération, dont Laplace a assigné la cause.

Tant qu'on aura seulement pour but de décomposer le mouvement d'un corps en deux mouvemens plus simples et plus faciles a concevoir , on pourra choisir arbitrairement le centre du mouvement de rotation ; mais lorsqu'il s'agira de déterminer effectivement ces deux mouvemens, nous prendrons pour ce point le centre de gravité du mobile, parce qu'alors, dans le premier instant, ces deux mouvemens se détermineront indépendamment l'un de l'autre, et qu'il en sera de même, dans plusieurs ci s, pendant toute leur durée : le choix de ce centre de rotation rendra toujours plus simples les équations différentielles des deux mouvemens, ainsi qu'on va le voir.

434. Appelons G le centre de gravité du mobile, H sa masse, et dm un élément quelconque de H. Au bout du temps I, compté depuis l'origine du mouvement, désignons par t , y , s, les trois coordonnées rectangulaires de ce point matériel, et par *i , y, , s, , celle du point G par rapport aux mêmes axes. Nous aurons

Mil = fsdm, My. = fi dm, Ma, = ftdtn,

en étendant les intégrales à la masse entière. Si l'on différence ces équations par rapport à /, on pourra effectuer cette opération sous les signes/. On aura,

et, pour en conclure les composantes de la vitesse initiale du centre de gravité, il suffira de connaître les valeurs de ces dernières intégrales à l'origine du mouvement.

Pour cela, supposons qu'à celle époque des parties (*, m", etc., de M, reçoivent des vitesses qui soient les mêmes pour tous les points de chacune d'elles, et que nous représenterons partir 1 ,»'', etc.; en sorte qu'elle prendraient les quantités de mou- M e, M V, >»V', etc., si elles étaient libres.

D'après le principe du n u 353, l'équilibre doit exister entre ces quantités de mouvement, prises en sens contraire de leurs directions, et prendront réellement, dans le premier tous les points du mobile, lesquelles seront, parallèlement aux axes x, y, s, les valeurs initiales de dx dy dx

— dm, —dm, — dm, relativement à l'élément dm. dt dt di

Or, les directions des vitesses», t>", etc., étant

, on pourra décomposer, parallèlement à ces «es, les quantités de mouvement qui leur correspondent. Si donc on désigne par P, Q, R, les sommes de ces composantes, suivant les directions des », y, s; positives, et si l'on observe que, par hypothèse, le mouvement est entièrement libre, il faudra qu'on ait pour l'équibre dont il s'agit,

pour la valeur particulière tdonc

. Les équations (l)

ds\ t/f/t d%\

à l'origine du mouvement; et l'on en conclut que la vitesse initiale du centre de gravité sera la même en grandeur et en direction, que si la masse entière H du mobile y était concentrée, et que toutes les quantités de mouvement pv, *sV, etc., ou leurs composantes P, Q, R, y fussent appliquées parallèlement à leurs directions respectives.

435. On peut supposer que r*, f*' t (*", etc., sont les masses de corps animés des vitesses r, r', v", etc., qui sont venus frapper simultanément un m repos, et y sont restés attachés, lier une masse totale 1, dont le centre de gravité G a pris la vitesse qui a pour ses trois comdx\ dy x i%\

posantes les valeurs de—, —, —, données par les dt dt dt

équations (9).

Le problème serait différent si lescorpschoqnans ne restaient pas attachés au corps choqué après les percussions. Concevons qu'une masse M en repos •oit frappée par un autre corps en mouvement, qui touche M en un seul point E (fig. 95) de sa surface ; supposons , de plus, que pendant la durée du choc il n'y ait pas de glissement de l'un des corps sur l'autre, ou du moins, s'il y en a un d'une très petite étendue, faisons abstraction du frottement considérable auquel il pourrait donner lieu (n» 363); osons, enfin, que EF soit la normale en E a la de H, et comprise dans l'intérieur du On verra , dans un autre chapitre , que le mouvement de H sera le même que si une certaine partie p de la masse, dont le centre de gravité se» rait situé sur EF, recevait , auivant cette direction, une certaine vitesse e, commune à tous ses points. La droite EF est donc la direction du choc ; et son intensité , c'est-à-dire , la quantité de mouvement fiv , sera déterminée , dans ce chapitre , d'oprès le mouvement du corps choquant et la forme des deux corps, élastiques ou non élastiques.

Cela étant, si l'on appelle V la vitesse que prendra le centre de gravité G de H, elle sera dirigée suivant la droite GD, parallèle à EF, et elle aura

pour valeur le rapport de f*v à M, de sorte que Ton aura

MV = M v.

si la vitesse V do < vité est donnée par l'observation, en la multipliant par H, on aura la quantité de mouvement qui a été imprimée au corps choqué, suivant la partie intérieure de la normale k la surface , menée par le point E où le choc a eu lieu ; propriété qui appartient exclusivement au centre de gravité G , et qui n'aurait pas lieu , en général, pour la vitesse que prend le point E , ou tout autre point de I, i ou non snr la direction du choc.

43o. Afin que l'on voie plus < le mouvement de rotation d'un corps se trouve simplifié, quand on le rapporte à son centre de gravité, supposons d'abord que l'on veuille déterminer ce mouvement autour d'un point déterminé C (fig. 96) de ce corps, que nous ferons ensuite coïncider avec son centre de gravité G.

Soient CA , en grandeur et en direction , la vitesse du point C, et BD celle d'un autre point quelconque B du mobile. Par le point B , tirons une droite BE égale et parallèle à CA, et achevons le parallélogramme BEDF. On pourra remplacer la vitesse BD par ses deux composantes BE et BF; et ai

points du mobile , ils auront tous une vitesse commune, égale et parallèle a CA, et chacun d'eux aura, en outre , une vitesse particulière. Or, si l'on imprime au point B et i tous les autres points du corps , une vitesse égale , parallèle et contraire à CA, on réduira le point C au repos , sans altérer le mouvement de rotation autour de ce point, qui sera dû aux vitesses particulières des autres pointa, •avoir, BF pour le point B. Pour déterminer ce i vement , on pourra donc considérer C < point fixe, après avoir imprimé à tous tes du corps , des quantités de mouvement égales i produits de leurs masses et de la vitesse CA,et dirigées en sens contraire de CA. Or, la i de toutes ces forces parallèles et proporti aux masses, sera égale à leur somme, et par le centre de gravité G, comme la i forces qui proviennent de la pesanteur ; par conséquent, si l'on désigne par TJ la vitesse CA , et toujours par H la masse du mobile , il suffira de joindre aux quantités du mouvement données, qui peuventètre imprimées simultanément a différentes parties de H , une autre quantité de mouvement BttJ, dirigée suivant la droite GA', parallèle et contraire à CA. On déterminera ensuite le mouvement de rotation autour du point C , par les régies du chapitre précédent , et comme si C était un point fixe.

Cette détermination exigera donc que l'on connaisse la vitesse U dn point C ; mais lorsque ce point sera le centre de gravité G , il est évident qu'après avoir appliqué an mobile la quantité de

DYNAMIQUE, 8EC0SDB PARTIE

MU, dont la direction passera par ce point G, on en pourra faire abstraction ; car une force quelconque , passant parle centre d'un mouvement de rotation, ne peut influer en aucune manière sur ce mouvement , puisqu'elle ne saurait faire tourner le corps autour de ce point, plutôt dans un sens que dans le sens opposé.

Concluons donc que quand on imprime simultanément des quantités de mouvement données, en grandeur et en direction, à différentes parties d'un corps solide, le mobile commence à tourner autour de son centre de gravité, comme autour d'un point fixe, et sans qu'on soit obligé d'ajouter aucune autre quantité de mouvement à celles qui

437. En combinant ce théorème avec ce qui précède, on déterminera complètement le mouvement initial d'un corps solide de forme quelconque, de quelque manière qu'il soit produit.

Pour fixer les idées , supposons que le mobile dont le centre de gravité est G (fig. 95), et dont la masse est 1 , soit frappé en un point E de sa surface par un autre corps qui s'en détache après le choc. En prenant pour son mouvement de translation celui du point G , et ayant seulement égard à ce mouvement, tous les points du mobile décriront, dans le premier instant, des droites parallèles à la normale EF; on pourra toujours, comme on l'a

dit toot a l'heure, déterminer leur vi mune, qui sera lu vitesse complète du point G; mais, pour plus de simplicité, je la supposerai donnée par l'observation , et je la représenterai par V. Indépendamment de ce mouvement de translation , le corps tournera autour du point G comme s'il était fixe, et qu'une partie de la masse H, dont le centre de gravité serait sur la droite EF, reçût une quantité de mouvement équivalente à ■V. Par conséquent, dans le premier moment, la direction de Taxe instantané de rotation et la vitesse angulaire du mobile autour de cet axe, se détermineront d'après les équations (Z) du n° 418, dans lesquelles on fera

A = UVf f

f étant la perpendiculaire GL, abaissée du point G sur la droite EF.

Appelons, pour cela , m cette vitesse angulaire, et » , C, y, les angles que fait la direction de Taxe instantané avec les trois axes principaux du mobile qui se coupent au point G; soit aussi HEK la section du mobile qui renferme le point G et la droite EF ; par le point G, élevons sur ce plan une perpendiculaire, et représentons par a, 6, e, les angles qu'elle fera avec les axes auxquels répondent*, C, y : d'après les équations (/) et les formules (3) du n° 406,

Km cos • = A cos a, Be eos C = A oos », C- cos > I = * cos e;

A, H, C, étant les trois momens d'inertie du mobile par rapport aux mêmes axes. On en déduit

A' cos» a *• cos> b k* cos* e

Les valeurs de o, b, e, seront données dans chaque cas ; on connattra donc la vitesse • ; et les équations précédentes détermineront les angles *, C, y y c'est-à-dire , la direction de l'axe instantané.

Si la perpendiculaire à la section HEK. coïncide avec l'un des trois axes principaux, de sorte qu'on ait , par exemple , a — 90°, b = 90 e , e = 0 , il en résultera » = 90°, C = 90", y =s 0, et l'axe instantané coïncidera aussi arec le même axe principal; d'où il suit qu'un corps libre, qui est frappé dans le plan de deux des trois axes principaux relatifs à son centre de gravité, commencera à tourner autour du troisième axe. En mettant pour A sa valeur, celle de la vitesse initiale de roUtion sera , dans ce cas,

Réciproquement , il est aisé de conclure des équations précédentes que le mobile ne peut commencer à tourner autour de la perpendiculaire au plan de la section HEK. , de manière que

soient égaux aux angles a , 6, e , ou à leurs supplémens, à moins que cette perpendiculaire ne soit un des axes principaux qui se coupent au point G.

Lorsque le mobile sera une sphère homogène ou composée de couches concentriques , la perpendiculaire EF passera par le point G, qui sera son centie de figure. On aura donc f— 0, A= 0, m = 0; en sorte que le mobile ne prendra aucun mouvement de rotation. Quand on parvient, par une percussion, à faire touruer sur elle-même une sphère entièrement libre, c'est toujours parce que le corps choquant glisse plus ou moins sur cette sphère , et le mouvement de rotation est alors produit por le irottement qui a lieu pendant lo durée du choc.

Quelle que soit la forme du corps choqué , si le corps choquant s'y attache, les formules précédentes auront encore lieu, en y mettant la quantité de mouvement du second corps avunt le choc, à la place de MV, et prenant pour f la perpendiculaire abaissée du centre de gravité des deux masses, sur la direction primitive du centre de gravité du second corps : A, B, C, seront alors les momens d'inertie principaux du corps formé des deux masses réunies.

438. Occupons-nous maintenant du mouvement de la niasse H au bout d'un temps quelconque t, et

considérons successivement ses mouvemens du translation et de rotation , rapportés l'un et l'autre à son centre de gravité.

1° A cet instant, soient X , Y, Z, les compo-

santes parallèles ans aies des * , y, s , de la force accélératrice donnée qui agit sur l'élément quelconque dm ; les forces perdues par ce point riei, pendant l'instant cil, seront (n° 391)

parallèlement aux mêmes aies. Le mobile étant entièrement libre, il faudra pour l'équilibre des forces perdues par tous ses élémens, que les in-

tégrales de ces quantités, tiére, soient égales à léro; aura

de nouveau les équations (1), on a d* x, f>d*

dt* J du ' " dt* -J dt* B -J diT dm '

il en résultera donc

d'où l'on conclut que pendant toute la durée du mouvement, le centre de gravité G du mobile se meut comme si sa masse entière M y était concentrée, et que les forces motrices qui agissent sur tousses points, ou leurs composantes , y fussent appliquées parallèlement à leurs directions.

2° Après avoir détruit , comme dans le n° 436 , le mouvement de translation initial du mobile , supposons qu'à chaque instant on communique à tous ses points des accroissemens de vitesse infiniment petits , égaux et de direction contraire à celui qui a lieu, au mémo instant , pour le point G. Ce point sera réduit au repos pendant toute la durée du mouvement ; et la rotation autour de ce même point ne sera point altérée. Or, cela revient évidemment à appliq uer, pendant toute la durée du mouvement, à tous les élémens du mobile, des forces accélératrices égales et contraires à celle du centre de gravité ; les forces motrices correspondantes étant parallèles et proportionnelles aux masses de ces points matériels , leur résultante passera constamment par le point G ; on en pourra donc faire abstraction , en déterminant le mouvement de rotation autour de G. Par conséquent , ce mouvement sera le même , à chaque instant , que si G était un point fixe , et que les forces qui agissent, à cet instant , sur le mobile, ne fussent pas

Ces deux théorèmes sont semblables a ceux des «as 434 et 430 , qui se rapportent à l'origine du mouvement ; mais il ne s'ensuit pas que pendant toute sa durée, le mouvement de translation du mobile et son mouvement de rotation autour du centre de gravité , soient indépendans l'un de l'autre, et puissent se déterminer séparémeut, comme ii cette origine. Les équations (3) seront celles du

mouvement de translation , et les équations. (7) et (a) des n°» 410 et 412, celles du mouvement de rotation , en prenaut , dans celles-ci , le centre de gravité G pour l'origine des coordonnées. Or, quand les forces motrices appliquées aux diflerens points du mobile dépendront de leurs positions absolues dans l'espace , les coordonnées de ces points , dont ces forces seront des fonctions données, entreront à la fois dans ces systèmes d'équations différentielles, qui ne pourront plus s'intégrer séparément, et les deux mouvemens qui dépendent de ces équatious, infiueront l'un sur l'autre. On ne pourra, généralement, intégrer ces équations différentielles simultanées et déterminer les deux mouvemens do mobile, que par approximation ; toutefois, ils seront indépendans l'un de l'autre dans deux cas particuliers que nous allons considérer.

439. Si le mobile n'est soumis qu'à la seule action de la pesanteur, les équations (3) seront celle* du mouvement d'un point matériel pesant, dans le vide; quels que soient la forme du corps solide et son mouvement autour de son centre de gravité , ce point décrira donc dans l'espace une parabole tangente à lu direction de ta vitesse initiale , dont le paramétre dépendra de la grandeur de cette vitesse ; et son mouvement sur cette courbe sera le même que celui d'un point matériel isolé (n° 208). D'un autre côté , le poids du corps étant une force appliquée constamment à son centre de gravité, il n'aura aucune influence sur le mouvement de rotation autour de ce point, qui sera uniquement dû aux percussions initiales, et le même que si le centre de gravité ne se déplaçait pas.

Supposons , par exemple , que le corps soit un ellipsoïde homogène Huppé par un autre corp»

qui le touche au point E de sa surface (fig. 96) } la

DYNAMIQUE, SECONDB PARTIE

droite 6D, parallèle à la normale EF, sera la tangente à la parabole que le point G va décrire ; et l'on construira aisément cette courbe , d'après la vitesse initiale du point G, que je représenterai par V. Concevons, de plus, que la section HEK du point G et de la droite EF comprenne deux des aies de figure de l'ellipsoïde ; a et I étant leurs demilongueurs , C le moment d'inertie par rapport au troisième axe, et M la masse du corps, on aura (n° 870.)

Or, le mobile devra tourner autour du point G , comme s'il était dénué de pesanteur, et que ce point ne prît aucun mouvement; mais alors l'axe perpendiculaire à la section HEK demeurerait tout entier immobile (n 0> 380 et 437) ; et sa vitesse angulaire de rotation serait donnée par la formule relative au mouvement initial d'un corps solide autour d'un axe fixe. Donc, en la désignant par m , observant que la quantité de mouvement imprimée au mobile est équivalente à IV, et appelant / la perpendiculaire GL abaissée du point G sur la droite EF, nous aurons , d'après la formule (1) du n° 388,

ou bien , en mettant ponr C sa valeur,

Les deux vitesses • et V sont ainsi liées l'une à l'autre, parce qu'elles résultent toutes deux d'une même percussion.

Ainsi , tous les points du mobile décriront des paraboles parallèles a la trajectoire de son centre de figure; et, en même temps , le corps tournera uniformément autour de l'axe perpendiculaire à la section îiEK, qui sera emporté en restant constamment parallèle à lui-même

440. Si le mobile est une sphère homogène ou composée de couches concentriques , dont tous les points soient attirés ou repoussés en raison inverse du carré des distances, par les points d'autre corps en repos ou en mouvement, la résultante de toutes ces forces sera la même que si la masse entière du mobile était réunie à son centre de gravité; car chacune d'elles sera égale et contraire à la réaction de la sphère sur le centre dont elle émane. Par conséquent, le centre de gravité se mouvra comme un point isolé, soumis a des attractions ou répulsions données; et le mouvement de rotation du mobile sera indépendant de ces forces, et le même que si le centre de gravité demeurait en repos; en sorte que, dans ce cas , les deux mouvemens de translation et de rotation seront encore indépendans l'un de l'autre.

Abstraction faite de la non-sphéricité parfaite des couches de la terre, elle tournerait donc constamment et uniformément autour d'un de ses diamètres, qui serait toujours le même et demeurerait toujours parallèle à lui-même ; en même temps le mouvement elliptique de son centre de gravité autour du soleil serait troublé par l'action des autres planètes, mais rigoureusement indépendant du monvement de rotation.

441. Il n'en est plus de même lorsqu'on a égard à l'aplatissement du sphéroïde terrestre. D'abord , •i l'axe de rotation n'a pas coïncidé exactement , à l'origine du mouvement , avec l'axe de figure , l'axe instantané de rotation oscillera autour de cette droite (n° 421), et rencontrera successivement la terre en difiérens points de sa surface. Lea pôles et l'équateur se déplaceraient donc à la surface du globe ; et il en résulterait, pour les différons lieux de la terre, des ebangemens dans leurs latitudes géographiques. L'amplitude de ces oscillations serait arbitraire; mais leur durée dépendrait des différences entre les momens d'inertie de la terre; et d'après ce qu'on sait sur ces différences, cette durée serait d'un peu moins d'une année. Or, dans cet intervalle de temps, les observations 1rs plus précises ne font connaître aucune variation dans la distance du tènitk d'un lieu déterminé de la terre au point où l'axe de rotation va rencontrer le ciel. Il en faut donc conclure que les oscillations dont il s'agit, si elles ont existé autrefois, sont devenues tout-à-fait insensibles à l'époque actuelle; en sorte qu'il n'existe plus maintenant que les forces permanentes , provenant des attractions du soleil, du la lune et des planètes sur le sphéroïde terrestre , qui puissent faire varier la direction de l'axe de rotation de la terre.

Or, à raison de la non-sphéricité des couches de la terre , ces forces renferment une partie , à la vérité très petite par rapport aux attractions sur le sphéroïde entier, dont la direction ne passe pas constamment par son centre de gravité. C'est cette partie qui produit les perturbations du mouvement de rotation , savoir, la prèctSMÙm des iqvùtoxei U la nutatton de l'uxe de la terre.

En vertu de la précession, la rétrogradation annuelle des équiuoxcs sur l'écliptique fixe de 1300 estde 50",36482 ; sur le plan de l'orbite de la terre, rendu mobile par l'actiou des autres planètes , c'est-à-dire, sur l'écliptique vraie , elle est un peu moindre , et égale à Ô0",23427, comme nous l'avons déjà dit dans un autre endroit (n« 219).

La nutation est une oscillatiou de l'axe de la terre, qui s'approche et s'éloigne alternativement de la perpendiculaire au plan de l'écliptique : elle est due à l'attraction de la lune; sa période est celle du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire, ou d'environ 18 ans; et son amplitude s'élève à 9",40 (n« 223), en supposant la masse de 1j lune égale à un soixante-quinxième de celle de la terre. Les actions du soleil et de la lune sur le sphe-

roîde terrestre ne produisent qu'une variation très lenlc et qui ne sera sensible qu'après une longue suite de siècles , dans l'inclinaison de l'cquateur sur l'écliptique ; la diminution annuelle do l'obliquité de l'écliptique, que Ton observe et qui s'élevait à Q",45714 au commencement du siècle, est due aux actions planétaires qui font varier le plan de l'orbite de la terre (n° 244).

V ii examen approfondi de la question a fait voir que les mêmes forces qui produisent les variations que nous venons d'indiquer dans la direction absolue, ou rapportée à des lignes fixes , de Taxe de rotation de la terre, sont impuissantes pour déplacer cet axe, dans l'intérieur du sphéroïde, non plus que pour faire varier sa vitesse de rotation. Ainsi, la terre tourne constamment autour d'un même diamètre, qui est son axe de figure; et son mouvement est uniforme autour de cette droite mobile, dont la direction change continuellement dans l'espace. Le jour sidéral est donc constant, il en résulte que le jour moyen (n° 111) Test aussi, ou, du moins, il n'est soumis qu'à uue variation séculaire tout-à-fait insensible; et l'uno ou l'autre de ces durées peuvent être prises pour unité de temps.

Pour tout ce qui concerne cette importante théorie, dont je n'ai pu ici qu'indiquer succinctement les principaux résultats, je renverrai à mon lémoire sur le mouvement de ta terre autour de eon centre de gravité, inséré dans le tome VU des Mèmoires de l'Académie des sciences .

442. L'invariabilité du jour est confirmée par les observations les plus anciennes , qui font voir que sa durée n'a pas changé d'un centième de seconde, par exemple, depuis 2600 ans, ainsi que nous allons l'expliquer.

Si la durée du jour était variable, les longitudes et les latitudes du soleil, de la lune et des autres corps célestes, calculées en la supposant constante, ne s'accorderaient plus avec les longitudes et les latitudes observées ; le mouvement de la lune autour de la terre, à cause de sa rapidité , serait le plus propre à nous éclairer sur ce point ; et si la variation du jour était progressive , les différences entre le calcul et l'observation seraient d'autant plus grandes qu'elles se rapporteraient à des époques plus éloignées de la nôtre.

Cela étant, soient / et I les longitudes vraies de la lune et du soleil à une époque déterminée. Si l'on sait qu'à cette époque il y a eu une éclipse de lune ou de soleil, la différence l — t devra s'écarter d'un multiple de 180", d'une quantité moindre que la demi-somme des diamètres du soleil et de la lune; si donc on appelle /cette différence, abstraction faite du multiple de 180° qu'elle peut contenir, il faudra que t n'excède pas un demi-degré, et soit même, en général, beaucoup au-dessous de cette limite. Or, on a calculé, dans la Connaissance dt$ Tempe de 1800, les valeurs de l qui répondent à 27 éclipses observées par les Chuldéens, les Grecs et les Arabes ; les valeurs qu'on a trouvées pour cette

différence sont tantôt en plus , tantôt en moins, et toutes très petites. La plus grande, qui répond à une éclipse observée 382 ans avant l'ère chrétienne, s'élève à — 27'41"; pour l'éclipsé la plus ancienne, observée par lesChaldéens 720 ans avant notre ère, la valeur de t est 2" seulement. Cette comparaison prouve l'exactitude des tables lunaires que noua possédons, et la nécessité des inégalités séculaires que Laplace y a introduites. Elle fait aussi voir que la durée du jour, qu'on a supposée constante dans le calcul des longitudes de la lune et du soleil, n'est, en effet, sujette à aucune variation progressive. Hais pour qu'il ne reste aucun doute sur ce point important, calculons la valeur de t, correspondante à l'éclipsé la plus ancienne, qui résulterait d'une semblable variation, si elle existait.

443. Prenons pour unité l'intervalle de temps qui forme aujourd'hui le jour moyen; supposons que, depuis une époque très éloignée, cette durée ait diminué, d'un jour au suivant, de la quantité constante a, Soit n le moyen mouvement delà lune, c'est-à-dire, le nombre de degrés qu'elle décrit dans chaque unité de temps, abstraction faite des inégalités de son mouvement vrai ; les arcs parcourus aujourd'hui et les jours précédens seront a, a (1 + •), a (l + 2 a), a (1 + 3 a), et l'arc décrit pendant un très grand nombre t de jours, sera nt «m (1—1), ou, à très peu près, ax+-J «ai»

Le terme ai est déjà compris dans la valeur de /, calculée d'après les tables, en considérant le jour comme constant ; la variation du jour augmenterait

donc de— «ai 1 , la longitude vraie de la lune, i

une époque séparée de nous par un nombre t de jours. Celle du soleil, à la même époque, serait augmentée de-i «n'f», en appelant a' le moyen mouvement diurne du soleil ; à raison seulement de la variatiou du jour, on aurait donc à cette époque

et, par rapport à l'éclipsé observée 720 ans avant notre ère, ce serait toute la valeur de la différence des longitudes de la lune et du soleil, puisque cette différence calculée en supposant le jour constant, n'est que de 2", ou à peu près nulle.

Soit s le nombre de siècles contenus dans le nombre /de jours; on aura

t es (3652o>.

C = (66o2o>, m sa (38525>, m' = (38S2ô)i»' s

l'équation (l) se changera en celle-ci :

dans laquelle C sera maintenant la diminution séculaire du jour, et m et m' représenteront les mouve-

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

«le I. lune et du leurs valeurs déterminées au tiona modernes, on a

D'après

géant les fractions de degrés . Or, si l'on suppose que le jour a diminué d'un dix-millionième depuis la plus ancienne éclipse chsldéenne,onaura

Cs = 0,0000001, s sa £5,32;

et il en résultera

i l'éclipsé observée.

On ne peut donc pas admettre que la durée du jour ait diminué de cette fraction, un peu moindre qu'un centième de seconde, dans un intervalle de temps qui surpasse vingt-cinq siècle*. S'il eiistait des variations périodiques dans la durée du jour, il en résulterait des illusions dans la mesure du temps, qui produiraient des inégalités apparentes dans lea moovemens des astres. Ces inégalités seraient fuciles à distinguer, parce qu'elles suivraient toutes la i le soleil et les planètes, et le leurs grandeurs seraient proportionnelles, pour iacun de ses corps, à la rapidité de son mouve-

lité de cette nature dans les mouvemens des corps célestes. Ainsi l'observation, d'accord avec la t h font-, prouve que la durée du jour moyen n'est sujette k aucune variation, périodique ou progressive, qui ait une grandeur sensible.