DU MOUVEMENT DUN CORPS SOUDE PESANT SUH UN PLAN DONNE
$ I". Cas té l'on n'a pas égard au frottewunt.
447. Pour simplifier, je supposerai que le ne touche le plan donné qu'en un seul point , que j'appellerai K , et qui variera , en général , sur sa surface et sur le plan. Les forces perdues dans chaque instant infiniment petit devant se faire équilibre, il faudra qu'elles se réduisent à une seule force, passant par le point K, normale au plan donné, et dirigée de manière qu'elle tende k appuyer le mobile sur ce plan. Cette résultante sera la pression que ce plan éprouvera , et qui sera détruite par sa résistance, que je représenterai par K . En joignant au poids du corps la force R , de grandeur inconnue, on pourra faire abstraction du plan donné, et considérer le mobile comme entièrement libre.
Son centre de gravité, que j'appellerai G, se mouvra donc comme un point matériel isolé, dont la serait celle du mobile, et auquel on appli- ; , parallèlement k leurs directions, le poids de ce corps et la force R. Au bout du temps i , je représenterai par x x y t ,*i , les coordonnées du point G , rapportées à des axes fixes et rectangulaires , et par x,/*, r, les angles que la direction de la force R fait avec des parallèles k ces aies, menées par le point K. En supposant Taxe des js> positives , vertical et dirigé de bas en haut , et en appelant g la et H la masse du corps , nous aurons
R cos x
pour les trois équations différentielles du mi ment du point G. Si le plan donné est fixe , les M** gles x , §è , r , seront constans et donnés ; s'il est en mouvement, nous supposerons que ce mouvement soit connu , et ne puisse pas être modifié par celui du corps : x, n,t, seront alors des fonctions don* nées de t. Le mobile étant un corps pesant, il faudra , pour qu'il ne se détache pas de ce plan , fixe ou mobile , qu'il soit toujours situé au-dessus ; en sorte que la composante verticale R cos » de la résistance du plan sera constamment positive, et r un angle aigu : les deux autres angles donnés x et fi pourront être aigus ou obtus.
En même temps, le corps tournera autour du point G comme autour d'un point fixe , en vertu des forces R et Ma, appliquées aux point K et G (n° 438) , mais le poids Ma n'influera pas sur ce mouvement de rotation , dont les équations différentielles ne dépendront que de la force R. Pour les former, on prendra pour les seconds membres des équations (a) du n» 418, les momens multipliés par dt, de la force R , par rapport aux trois axes principaux du mobile, qui se coupent au point G. En appelant C , y , les coordonnée* du point K rapportées k ces axes , et x', fJ, r', les angles que fait la direction de la force R avec les parallèles k ces mêmes axe», menées par le point K , ces momens seront
•R cos /»' — CR cos x' , yK cos x r — «R cos »' , CR coa i' — yK cos
CoV -f- (R
M* + (A Adp + (C
A) pqdt C) rpdt
B) qrdt
= R (• cos p
R > cos = R (C cos t
C cos x') dt ,
• COS r') rfl, y cos (*') dt ;
A , B , C , désignant les Lai
, p\ f\ et que les
angulaire de rotation (n- 407 ).
, q,r, delavi-
TRAITÉ DE BÈCAMQTJE.
Il y faudra joindre les équations (7) du n» 410; savoir c
■pdi — sin I sin çdl — cos tdl, \ qdt = sin I cos -f- sin adf , \ (3) rdt = dp — cos «oV,. j
Nous supposerons que les neuf cosinus a , b , etc., dont les valeurs en fonctions de f, 4, 6 , ont été données dans le n° 378, sont ceux des angles que font les aies fixes des coordonnées s , , y ( , s ( , du point G, avec des parallèles aux axes principaux relatifs à ce point , menées par l'origine de ces coordonnées ; et, d'après la signification des angles a , m , » , *\ f', »'» «1 l'équation (8) du n» 9, nous
a' =r a cos a -f- a' cos p + o" cos » , cos /*' — b cos * -f 4' cos /u -\- b" cos », } (4) cos »' — c cos a + e' cos ai -f> c" cos » ,
pour les valeurs de cos a', cos fJ cos »', qu'oo devra substituer dans les équations (2).
sera
par rapport aux plans fixes des jr» , yi , si complètement déterminée au moyen de ces co ordéfinis (n° 378) ; 1a position de l'axe instantané de rotation , dans l'intérieur du mobile , et sa vitesse autour de cet axe , dépendront , en outre , des trois quantités;», q, r : la solution du problème consistera donc à déduire des neuf équations (1) , (2), (3), les valeurs de ces neuf inconnues en fonctions de t ; mais comme ces équations renferment la force R et les trots coordonnées * , C, y , qui sont aussi i n connues, il faudra encore quatre autres équations, que l'on obtiendra de la manière suivante.
448. Soit L une fonction donnée Je a. , C , y, et représentons par L = 0, l'équation de 1a surface du mobile , rapportée à ses axes principaux qui se cou-
nous aurons (n° 81)
dl dl dl
co«A» = V-, cosa*'=V-, cos = V -, (6) dm dC dy
où l'on prendra le signe de V de manière que les angles a', /a', r*, se rapportent a la partie intérieure de U normale à la surface du mobile, qui sera la partie supérieure de la normale au plan donné. L'une de ces équations sera une suite des deux autres. En mettant les formules (4) à la place de cos x', cos cos r' t e t les joignant ensuite à l'équation L=0, on aura déjà trois des quatre équations
Si l'on représente par s, y, s, les coordonnées courantes du plan donné, rapportées aux mêmes axes fixes que x, , y. , *. , et en observant que a, /a, », sont les angles que fait la normale à ce plan avec ces axes , on aura pour son équation,
s cos -f y os m + x cos » = f ;
{ étant une quantité donnée, qui sera constante , quand le plan donné sera fixe , et, généralement, une fonction donnée de t. D'ailleurs, en supposant, que x, y, s, répondent au point K. qui appartient à ce plan, on aura, d'après les formules du n° 377,
m — Xi am bC -\- ey, } 9 m y. + Clm + b'e + c'y, { (6)
Les valeurs de x, y, », devront donc satisfaire à l'équation précédente; en les substituant dans cette équation , et ayant égard aux formules (4) , on
*, co* A + y, cos M + «. cos » + • coa a' + C coa /*' + > cos »'
pour la quatrième équation qu'il s'agissait d'obtenir.
Lorsque le mobile sera terminé par une pointe, et qu'il touchera constamment le plan donné par son extrémité, les coordonnées •, C, y, du point K seront constantes, et données d'après la position de cette pointe sur la surface et ses disUnces aux plana des axes principaux du mobile, qui se coupent au point G. Bais les équations (6) n'auront plus lieu en un point de cettenature ; l' équation (7), qui exprime que ce point appartient au plan donné, subsistera toujours, et il suffira de la joindre aux équations du numéro précédent, pour déterminer les neuf inconnues du problème et la grandeur de la force R que ces équations renferment.
449. Quand le plan donné sera fixe et borixontal, on le prendra pour le plan des coordonnées * et y ;
il en résultera
COSA = 0, COS/* = 0, COJ»=l, f = 0j
ce qui réduira les formules (4) à
coa a' es a", cos M ' = cot »» = c".
En vertu des deux premières équations (1), le mouvement borixontal du point G sera rectiiigne et uniforme; ta vitesse, parallèlement au plan donné, dépendra de la percussion horixontale que le mobile aura éprouvée à l'origine du mouvement. La troisième équation (1) donnera
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
ce qui fera connaître la
de R,
GrV + fB - A) pqit —
été
M, + (A - C) rpdt = ■ (^~+ »)
kdp + (C - B) orrf/ =
et l'équation (7) se changera en celle-ci :
de laquelle on tirera la valeur de », , pour ta substituer dans les équations précédentes.
Ainsi, dans ce cas, le problème dépendra des équations (3) et (8), qui serviront à déterminer p, q, r, a, 4» 8 > en fonctions de t, comme dans le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe. Si le point k varie a la surface du mobile, il faudra éliminer de ces équations les quantités », C, y, au de L = 0 et des formules (6), qui seront
Co") *,
A êL 4L
V— , A"=V — , c"=V— (10) (U dC dy
Si, au contraire, K de la surface du mobile, on mettra dans les équations (8), k 1a place de *, C, y, les coordonnées constantes et données de ce point. Ce second cas sera celui du mouvement de la toupie sur un plan horhootal, abstraction faite du frottement de la pointe K contre ce plan.
. l'état d'équilibre d'un
, la droite GK
si cet état est stable, et qu'après en avoir écarté le mobile un tant soit peu, on l'abandonne à luimême, il fera des oscillations très petites que l'on déterminera, aussi approximativement qu'on voudra, au moyen des équations précédentes. Je me contente d'indiquer cet exemple, comme un exercice de calcul. On pourra supposer, pour fixer les idées et simplifier la question, que le mobile soit un ellipsoïde homogène, ou bien une sphère dont le centre de gravité ne coïncide pas avec le centre de figure.
460. On peut obtenir deux intégrales premières des équations (8).
D'abord en le* ajoutant après les avoir multipliées par c", bf' t a", leurs seconds membres disparaissent , et , en intégrant, on trouve , comme dans le n°416,
Ao> + U'q + U'V = l i
t étant une constante arbitraire qui exprimera la somme des momens des quantités de mouvement de tous les points du corps, par rapport a un axe vertical passant par le point G.
Pour obtenir une seconde intégrale de ces mêmes équations (8), je les «joute, après les avoir raultir,9,f;ce<
Crdr + *qdq + Apdp = m (££ + s) M** -
+ C(eV - *T) + y («"g - Vp)] dt ,
(8) du n» 411, d. »,
Crdr + *qdq + Kpdp = H (±±- + g ) (.«fa" + CJi» + ydc").
l'équation (0) , par rapport a t, on a <fa, + «fa" + CdV> + y«V' = — (o"«U + V'dC +
Or, le second membre de cette équation est nul , quand K est toujours le même point de la surface du mobile, puisque alors ses coordonnées », C, y t
sont constantes. Il place à cette surface; tions (10), on a
ue K se dedes
o'd. + o"dC + c*
,dl dl dl x
VdL ;
quantité nntle, à cause que l'on a L = 0 pendant toute la durée du mouvement, et, conséquemment, dL = 0. On aura donc, dans ces deui cas,
*da" + Cdh> + ydc" es — <fc, j
d'où il résulte
Odr + iqdq + Kpdp + H (±fl + a)i-, = 0, et, en intégrant,
O. +Bo. + Ap* + 1 (^-+ «J*. ) =
k étant la constante arbitraire.
Ces deux intégrales suffiront pour résoudre le problème , lorsqu'il s'agira d'un solide homogène
terminé par une surface de révolution ; ce qui a lieu, par exemple, dans le cas de la toupie. L'axe de figure est la droite (.K; en supposant que C soit le
y sera la longueur de GK.; et, etc" = cosê, on aura
», = - y COS »,
pour l'ordonnée verticale du point G. La première équation (8) donnera r = «, en désignant par n une consUnte arbitraire qui représentera la vitesse de rotation du mobile autour de son axe de figure. Hais d'après les valeurs de a" et b" (n° 378), et le» deux premières équations (3), on a
les deux intégrales qu'on a trouvées deviendront donc
Cn cos i — A sin» I — = |, dt
A ( ,in * » tît + ar) + ■ (>• *" - 1* «. •) * »,
en comprenant — Cn» dans la constante k.
Ces deux dernières équations feront connaître , au moyen des fonctions elliptiques, les valeurs de 4 et f en fonctions de t, la troisième équation (3) donnera ensuite la valeur de * , et le problème sera résolu, comme celui du n° 436, dont nous nous som-
461. Le mobile étant toujours un solide de révolution homogène et terminé par une pointe, et ce corps touchant constamment le plan donné, par l'extrémité K de cette pointe, supposons mainte-
Kdp + (A — C) npdt
Adj — (A — C) nqdt
L'équation (7) deviendra de
nant que ce plan soit en mouvement , de sorte que les angles x, /u, r, et la quantité { soient des fonctions données de t. L'axe de figure répondant an moment d'inertie C, les deux autres momens B et A seront égaux, les coordonnées « et C seront séro, et y exprimera la longueur de GK. En désignant parn une constante arbitraire, la première équation (2) donnera encore r — n ; en sorte que la v itesse angulaire du mobile autour de son axe de figure , sera constante, comme dans le cas du plan fixe. Si l'on a égard aux formules (4), I tions (2) deviendront
tty (o cos a -f- a' cos t* -f a — »> (* COS X + V COS M + «
cos r) dt, \ ' cos ») dt. f
*. COS A + y, cos M + *i COS f + y (c COS A + c' cos M + c" COS ») = f j (18)
et les équations (1) et (2) ne changeront pas.
Le système des équations (1), (3), (11), (12), donc servir a déterminer les neuf inconnues p, q } a, 4i >> »! , t/i , si , R , mais l'intégration rigoureuse de ces équations est impossible; et, pour en déduire des valeurs approchées des inconnues, qui ne soient pas très compliquées , on est obligé de restreindre la généralité de la question, par différentes suppositions que l'on énoncera k mesure qu'elles seront nécessaires.
462. Je supposerai, en premier lieu, que la rotat.on du mobile autour de son axe de figure est très
rapide, et que les différens mouvemens du plan donné sont très lents par rapport à cette rotation; en sorte que, si, par exemple, la perpendiculaire an plan donné, menée par le point R, oscille de part et d'autre ou tourne autour de la verticale qui passe par ce même point , la durée de chaque oscillation ou de chaque révolution soit très grande, relativement à une révolution du mobile autour de Taxe RG, et de même, si le plan donué exécute des oscillations parallèlement k lui-même.
Je supposerai, secondement, que les angles 4 eU varient aussi très lentement par rapport k l'angle t,
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
hypothèse qui devra être confirmée à posteriori, par let valeurs que l'on obtiendra pour cet trois an-
En négligeant, dan* une première approximation, la différentielle é\ que contient la troisième équation (3), et en supposant qu'on ait*=0 quand t=0, *, à un instant quelconque. An moyen a aura alors
a cos x -j- a ( os fj. + a" cos - — V sin nt -f- Q cos ni,
icosx -f- l cosu|i i.msi = Pcoss< — Qsinnf,
où Ton a fait, pour abréger,
P=cosx cos I sin 44* co * M cos I cos 4 — cos r sin I,
Q=cot x cos 4 — cos f* sin 4 ;
et les équations (11) deviendront
Kdq + (A - C) *pdt=ly{9 sin nt + Q cos «r)«7,
kdp — (A — C) nqdt = R>(Q sin nt — V cos nt)A.
Or, dans la seconde hypothèse, les quantités Pet Q varieront très lentement; il en sera de même, comme on le verra tout à l'heure , à l'égard de R; en intégrant ces équations , on pourra donc considérer, dans une première approximation , P, Q, R , comme des quantités constantes , et n'avoir égard qu'à la variation de sin nt et cos nt dans leurs seconds membres. Si m est une très petite fraction de n , et que le coefficient de sin ni contienne, par exemple , un terme qui ait cos ml pour facteur,
sin nt devrait être remplacé par 1 sin (n +m) t -f-
— t sin (« — m) <; en regardant comme constant le
coefficient de sinnt, cela revient doncà négliger stf à l'égard de ni , du moins dans la première approximation.
De cette manière, les intégrales
(A — C) ni (A — C) nt Rv fn p = D sm ^ + E cos v j-i ^ (Q cos «J + P sin mt) t
(A - C) nt (A - C)
+ — (Q sin nt — P cos nt) • Cn
D et E étant les deux constantes arbitraires. Pour les déterminer, je suppose qu'à l'origine du mou- Taxe instantané de rotation a coïncidé : l'axe de figure ; on aura alors p — 0 et Ç—Q, I t = 0 ; et si l'on désigne par P', Q', R', les valeurs de P, Q, R, qui ont eu lieu, à la
que, il en résultera
i donc, à un instant quelconque ,
M t~ (A — C)nt M (A — C) nt\ cosnl) J,
— R (P sin *i + Q
-Q'sin
— R (P cos nt — Q sin nt)
En faisant 9 = nt dans les deux premières équations (3), on en déduit ,
sin Irf4 = (t» sin n t + j cos ni)dl , rft = (o sin dt — p cos nf)dt;
et en y mettant pour p et q leurs valeurs précédentes , il vient
sin
Or, si C n'est pas une très petite fraction de A , il faudra , pour que I et 4 varient très lentement , comme on l'a supposé , que les termes dépendons
Cnt Cn* de sin — et cos — A A
let j condition que l'on remplira toujours, en supposant qu'à l'origine du mouvement, l'axe de figure KG coïncidait avec la perpendiculaire au plan
En effet, à l'origine du mouvement, soient t l'angle que la perpendiculaire au plan donné fait
TRAITÉ DE MÉCAJUQEE.
avec la verticale , et »' l'angle que sa projection horitontale fait avec la droite d'où l'on compte l'angle 4- A cette époque, on aura (n° 8)
rust— rus •, r-OS/* = siniCOSt', cos x — sin i sin i 1 ,
et en supposant que 4' p 1 *'' soient les valeurs initiales de 4 et I, il en résulter.
P' = cos 6' sin . cos (.' — 4') — sin V cos . ,
Q' = .in,.in(,'-4').
Or, si Taie de figure a été perpendiculaire au pion donné, quand le mouvement a commencé, on aura 4' = et = d'où il résultera F=0 et Q'=0j
sin *d4
Cn
453. Maintenant , il faut encore supposer que la perpendiculaire au plan donné et l'axe de figure du
pendant toute la durée du mouvement. Le supplément de l'angle # sera constamment très petit; car I est l'angle obtus , compris entre la verticale menée de bas en haut par le point G, et la droite menée de G vers le point K qui est au-dessous de G. Nous négligerons le cane de sin J , et nous prendrons cos • = — 1. Les quantités cos a et cos m seront très petites ; en négligeant leurs carrés, ou aura cos » = 1. On a d'ailleurs (n° 378)
c = sin I sin 4# — »"> • C0B 4> c"= cos • = — 1,
En négligeant donc les produits sin I cos x et ( cos p, l'équation (12)
Si s= y + t — Mi cos X — y x COS *.
Si donc , indépendamment de la petitesse de cos x et cos p, les oscillations verticales du plan donné sont aussi supposées très petites , les variations de s, le seront également ; la valeur de R , donnée par la troisième équation (1), savoir,
cos ,u, sin t, il suffira de mettre Ma à la place de R , dans les équations (13). En y mettant aussi les valeurs, de P et Q,
>te>
(sin I - cos A sin 4 - cos ^ cos 4)4*,
A = ^(ces x «M 4 - ce. M .in 4) 4l.
Le» deux premières équationa (1) deviendront , en
= ycos^. (14)
de e
-— = g cos k, — — s= dt» t dt* j
En différentiant par rapport à t et c 1 , et mettant d% an lieu de 4. sin I, on a
do = sin 4 J* + cos 4 sin «4 , de' = cos > d 5 — sin 4 tin 644 >
et si l'on substitue dans ces formules , à la place de sin 144 et dt , leurs valeurs précédentes , il en
de - cWl = - m cos m4#, dc'+ cmdi = s» cos x*,
où l'on a fait, pou
Cm
à Pinte-
gration de ces équations linéaires, à coefficiens constans et du premier ordre, par rapport ans inconnues c et c'. C'est aussi en employant ces mêmes inconnues, c'est-à-dire , sin I sin 4 •* sin • cos 4i dans le problème du mouvement de la lune autour de son centre de gravité, que Lagrange a ramené à la forme linéaire les équations différent tielles de ce problème ; ce qui l'a conduit a l'explication complète du phénomène de la hbration , qu'il n'avait pas donnée dans ses premières recherches sur ce sujet.
464. En intégrant les équations (16) par la méthode ordinaire, désignant par A et A* les deux arbitraires , et remettant pour c ci c'
très peu de M?; et si l'on néglige et de chacune des quantités cos x,
ce que
sin I sin 4 = A sin ml + A' cos ml
— m sin mt J (cos t* nu mt — cos x cos mt) dt
— m cos mt f (cos /* cos mt + cos x sin mt) dt, sin l cos 4 = A cos ml — A' sin ml
— m cos mt f (cos /* sin mt — cos x cos ml) dt + m s.n ml y (cos m cos ml + cos* sio ml) dt.
Je supposerai que les intégrales indiquées dans ces formules commencent avec f, et je représenterai , comme plus haut , par V et 4' les valeurs initiales de « et 4 i en faisant I = 0, on aura
A = sin V cos 4', A' = sin sin 4',
pour les valeurs de A et A', qui seront nulles , lorsque Taxe de figure du mobile sera vertical à l'origine du mouvement, auquel cas on aura V == 0.
Lorsque les \alcurs de cos x et cos /* en fonctions de I, seront effectivement donnée» , on effectuera . les intégrations indiquées, et les équationa (16) fe-
DYNAMIQUE
approximation; la seconde et les suivantes n'auraient d'entre difficulté que leur longueur.
456. Le vitesse de rotation n, imprimée an mobile autour de son axe de figure, étant supposée très grande , la quantité m sera généralement très petite. Il résulte donc des formules (16) que les variations de cos x et cos u, provenant des petites oscillations de la normale au pian donné sur lequel le mobile s'appuie , seront très affaiblies dans la valeur de I. Par conséquent, si le mobile est terminé à sa partie supérieure par une surface plane perpendiculaire i son axe de figure , et qu'à l'origine du mouvement cette surface soit horitontel» et l'axe vertical , ce qui fera disparaître les termes multipliés par h et *', cette surface conservera sensiblement son horixootalité pendant toute la durée du mouvement, malgré les petites oscillefions du plan donné , et cela d'autant plus exactement que la vitesse de rotation imprimée au mobile sera plus considérable. C'est sur ce principe qu'est fondé le moyen qui a été proposé pour obtenir à la mer, indépendamment des mouvomens de revis* et de tangage du vaisseau , un borixon artificiel qui puisse servir aux observations astronomiques.
sin tnt et cos mt comme des quantités constantes dans les intégrales que contiennent les formules (16). Ainsi, par exemple , en intégrant par partie,oo.ura
/ COS X COS nxtdt = cos mt J cos X dt + m sin mt ff < os x dfi -f etc.,
t les valeurs de • et 4, et , par quent, la position de l'axe de figure du mobile, à an instant quelconque. D'après la troisième équation (3), on aura, en même temps ,
f = nt - 4 + 4',
en y faisant cos • = — 1 , et supposant »=0, 11=0. Les deux premières équations (3), lesquelles on fera simplement s = »<, donneront les valeurs de pet y, lesquelles, en les joignant àr=s, détermineront , à un instant quelconque, l'axe de rotation et la vitesse angulaire du mobile autour de cet axe. Enfin, par deux intégrations successives , on tirera des équations (14) les valeurs de x, et y, en {onctions de f ; d'où l'on déduira immédiatement celles de si et R.
Les valeurs approchées de toutes les inconnues du problème seront donc déterminées , au moyen des valeurs donuées de cos x et cos |u, Au moyeu de ces valeurs approchées, on pourra calculer celles des quantités qu'on a négligées dans cette préapproximation; en oyant égard, dans une approximation , a ces quantités ainsi cal- , on parviendra à d'autres valeurs des incon-
1 on continue de cette manière, on obtiendra , par le procédé général des approximations successives,
\ | ftîïS^e 1 H e*0€ s*&^©$
a la
et si les variations de cos * sont très rapides par rapport à celles de sin mt et cos mt, quoique très lentes par rapport à la rotation du mobile , cette série sera très convergente et pourra se réduire à son premier terme; ce qui revient a considérer coi. mt comme une quantité constante dans l'intégrale /cos x cos mtdt.
De cette manière, et en supposant k = 0 et k=Q, les formules (16) se réduiront a
sin Isin4=— si/cos^«, sin • co*4= m/cos x dt.
Si l'on suppose aussi que le centre de gravité du mobile n'ait reçu, k l'origine du mouvement , aucune
vitesse horixontale , de sorte qu'on ait — = 0 et
-=0, quand I « 0,1e. équation. (M) dt
ffL=y/co.x*, ^-=,/co.m*;
avec t .
équations précédentes. En les élii tant pour sa sa valeur, on aura donc
*«nl.in4=-Î2l^ l «ulcos4=^ — .
^ Cn dt » wn,co •*— Ci» dt
La différence de signe dans ces deux formules provient de ce que l'angle 4 augmentant de 00», l'axe des abscisses positives va tomber sur l'axe des ordonnées négatives, et celui-ci sur Taxe des abscisses positives ( n» 378 ) j en sorte qu'ei 4 +90» dans la première formule, il y faut, même temps, chsnger y, en — *i j ce qui < la seconde formule.
En divisant ces équations l'une par l'autre, il vient
Or, si l'on i ne par le point G un plan perpendicu laire à l'axe de figure GK, 4 est l'angle que fait l'intersection de cet équateur du mobile et du plan horixontal des Si et y t , avec l'axe des x, ; d'ailleurs, les variables *i et y, sont les coordonnées de la projection du point G sur ce plan horixontal ; il en résulte donc que cette intersection est constamment parallèle à la tangente à la courbe décrite par la projection horisoutale du centre de gravité du mobile. Si l'on appelle u la vitesse horixontale de ce point, de sorte qu'on ait
aW««
dt>
3fi
•in I
pour le sinus de l'inclinaison du mobile fur le plan boriaontal , laquelle inclinaison est le supplément de l'angle t.
Cec différentes formules, et les conséquences qui s'en déduisent , subsisteront tant que la vitesse « de rotation du mobile autour de son axe de figure sera très grande; mais la résistance de l'air et le frottement de la pointe K contre le plan sur lequel le mobile s'appuie , diminueront continuellement cette vitesse; et quand elle aura cessé d'être très grande , l'axe GK s'écartera de plus en plus de U direction -verticale , et le mobile finira par tomber sur ce plan , comme dans le cas de la toupie ordinaire.
On doit aussi observer que les oscillations verticales du plan donné , d'où il résulte des variations alternatives de la quantité;, n'ont aucune influence sur les variations des angles 4 et I. Hais si le plan donné s'élève ou s'abaisse verticalement d'un mouvement uniformément accéléré , U quantité t comprise dans son équation (n° 448), renfermera un
terme ± - g't* , dans requel g* représentera une
quantité constante et positive. La valeur de R dont on a fait usage dans le n° 463, au lieu d'être lia, sera alors M {g ± g') ; on devra donc remplacer g par g + g 1 dans la valeur de m; en sorte qu'un mouvement de celte nature influera sur les varialions de I et 4. Si le plan donné s'abaisse , auquel cas on devra prendre le signe inférieur devant a', il faudra qu'on ait g' < g, sans quoi la valeur de R deviendrait négative; ce qui signifierait que le mobile cesserait de s'appuyer sur le plan donné, qui tomberait plus vite que ce corps pesant, et s'en détacherait par conséquent.
§ II. Cas où Fon a égard au frottement.
45A. Dans l'état actuel de la science, les lois du frottemeut des corps en mouvement ne peuvent être déterminées que par l'expérience; avant d'introduire cette force, d'un genre particulier, dans les équations du mouvement d'un corps qui s'appuie sur un plan donné, nous allons donc faire connaître les résultats généraux de l'observation sur cette matière *.
1° Le frottement d'un corps solide sur un autre est indépendant de la vitesse du mobile;
2" Il ne dépend pas non plus de l'étendue de la surface frottante;
3» Il est proportionnel à la pression totale exercée sur cette surface.
* !.. < «périmée» le» plut rvceotrt «or ce »ujet important tout Celle» de M Marin, officier d'artillerie alladie à l'École dt Meta, duot le u ji ail e»l iittéré dan» le tome V i al\
Cet deux deraiéres lois sont celles qui 1 lieu dans l'état de repos (n° 269), à l'instant où l'équilibre va ae rompre, et quand le contact dea corps a duré assex long-lemps pour que le frotte, ment ait atteint son maximum.
Relativement à un fluide qui coule sur un corps solide , le frottement suit des lois différentes. On admet, d'après l'expérience, qu'il est alors proportionnel à la vitesse du fluide et à l'étendue de la surface, et qu'il ne dépend pas de la pression. Quand il s'agit d'un fluide aériforme , il y a lieu de croire que le frottement augmente ou diminue avec la densité , comme nous l'avons supposé dons le n« 444; de sorte qu'à température é«ale, il se trouve dépendre indirectement de la grandeur de la pression.
457. Supposons actuellement qu'un corps solide, dont la base est une surface plane d'une étendue quelconque , soit posé sur un plan fixe et horizontal, et que la verticale menée par son centre de gravité G (fig. 98) rencontre le plan fixe dans l'étendue de cette base, ce qui est la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre. Soient M sa masse, et P son poids. En un point A de sa sorface, situé dans le plan boriaontal mené par le point G, attachons une corde qui vienne passer snr une poulie fixe R, de sorte qoe BA soit le prolongement de GA. A l'extrémité inférieure C de cette corde , suspendons un autre corps dont la masse soit ■', et le poids P 1 , et qui ait son centre de gravité G' sur la verticale menée par le point C.
L'éqnilibre subsistera tant que le poids 1' , augmenté du poids de la portie verticole de la corde , sera moindre que le frottement de H sur le plan fixe , et de la corde sur la poulie B; et si P' augmente graduellement , l'équilibre se rompra a l'instant où P' surpassera cette somme de frottement, diminuée du poids de la corde verticale. Si l'on néglige ce dernier poids relativement à P', et que l'on désigne por F et F' les frottemens de I contre le plan fixe et de la corde contre la poulie fixe, qui ontlieu immédiatement avant la rupture de l'équilibre, on aura
La pression exercée sur la base de H est le poids P de ce corps ; le frottement F est donc proportionnel à P. D'après ce qu'on a vu dans le n° 302, le frottement F' est aussi proportionnel à la force F ; par conséquent, ou a
F = fP, V = /-F,
en désignant par f et f des fractions indépendantes des grandeurs de P et F. Au moyen de cet valeurs, l'équation précédente devient
d'où l'on tire
P'^P+ZYP;
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
• I instant ou 1 équilibre ro m m en ce a se rompre, cette équation déterminer* la valeur de f, relative au corps M et au plan lioritontal sur lequel il est posé, quand on connaîtra la valeur de fqai répond à la corde et à la gorge de la poulie. Le moyen indiqué dans le n° 269 fait connaître cette valeur de/*, indépendamment d'aucune autre quantité de même nature, d'après l'angle tous lequel le mobile commence a glisser sur un plan que l'on incline graduellement.
468. Dès que le poids P', augmenté du poids de la corde verticale , l'emportera un tant soit peu sur la quantité F + F', l'équilibre sera rompu , et, à plus forte raison, pour un poids P* encore plus grand. Le corps H glissera sur le plan horisontal , ttW descendra verticalement. Pendant ce mouvement, j'appellerai H le frottement de M contre ce plan , qui sera une fraction donnée de la pression P. Quant a la poulie B, on pourra supposer qu'elle est entièrement fisc et demeure immobile, ou bien, qu'elle tourne autour d'un axe horisontal , perpendiculaire au plan de la corde ABC Dans le premier cas, il y aura, pendant le mouvement, un certain frottement H' contre la poulie, qui sera différent de F', et devra être ajouté à H ; dans le second cas, si la corde ne glisse aucunement sur la poulie, il n'y aura aucun frottement de l'une contre l'autre; mais il faudra tenir compte du mouvement communiqué à la poulie par l'intermédiaire de la corde, comme si elle y était attachée. Je supposerai que ce soit le second de ces deux cas qui ait lieu.
Pour former l'équation du mouvement, désignons, au bout du temps quelconque t, par s et s' les parties horizontale et verticale de la corde ABC, et par p et m' leurs masses. Les vitesses de H
dz dm'
et H', à cet instant, seront et — ; et l'on
dt dt
d*. eV»
par a — et a! les résit-
dt* dt* l'air exercées à leurs surfaces ; a et a' étant des constantes qui dépendront de leur forme et de leur étendue. Si l'on appelle g la gravité, les forces motrices appliquées au système seront donc
<tV*
le poids (M'-f/*) g, diminué de la résistance ci ,
H , augmentée de
, par rapport à l'axe
et la force ds»
tance a — df
do la poulie B, devront se retrancher l'un de l'autre ; et en appelant c le rayon de celte poulie circulaire, on aura
pour leur différence. Les
effectivement lieu seront (M'-f-j»') dans le
df
mr—m
vertical , — (H /u) — dans le set dt*
et celle* de tous les pointa de la poulie. Les ™« mens de toutes ces forces par rapport a l'axe de la poulie devront s'ajouter ; et la vitesse angulaire de 1 dt'
la poulie étant , si l'on représente par m ta
e dt
masse , et par mk* son moment d'inertie relatif à ton axe, on en conclura, comme dont len°392, mk* d« s'
— — pour le moment de ces dernières forces c dt»
par rapport à cet axe; par conséquent , la somme des momens des forces effectives, par rapport au
Or, pour que les forces motrices appliquées au système fassent équilibre, ou moyen de l'axe de la poulie, aux forces effectives, prises en sens contraire de leur direction, il faudra que les deux quantités (a) et (6) soient égales entre elles; d'où
ds*
La corde ABC étant regardée comme inextensible , la somme de ses parties sera constante ; en appelant / sa longueur totale , on aura donc
dz'
dt d>
Soient « le poids de la corde entière, et p le poids de la masse m de la poulie , on aura aussi
gp = — , = * — —y 9™ — Pi
on a
et parce que le poidtP, on a, en
en désignant par h un ce Au moyen de cas différentes valeurs , l'équation
