AP

469. Elle n'est point intégrable sous forme finie, à moins qu'on ne néglige les termes qui proviennent de la résistance de l'air ; ce qui la réduit à

en faisant, pour abréger,

C et C éUnt les detii consUutes arbitraires , et a I» base des logarithmes népériens.

En substituant cette valeur de s dans les terme» de l'équation du mouvement qui proviennent de la résistance de l'air, et intégrant de nouveau cette équation, on aura une valeur de s plus approchée; mais nous nous arrêterons à la précédente ; et pour déterminer les constantes C et C, j'appellerai y la

valeur initiale de * : on aura s = y et — = 0,

quand t — 0; d'où il résulte

et, par c

à un instant quelconque.

Si l'on appelle » le temps que le poids P emploiera à atteindre la poulie B, c'est-à-dire , à parcourir la distance y, on aura à la fois 1 = I et s = 0; d'où l'on conclut

Lorsque t sera donné par l'observation , cette équation servira à déterminer la valeur de a, et, par suite, celle du coefficient h relatif au frottement du poids P en mouvement sur le plan horizon tai. Dans cette eipérience , on pourra prendre pour P' un poids quelconque, pourvu qu'il surpasse le frottement qui a lieu dans l'état d'équilibre. Si le poids « est très petit par rapport aux poids P et P', C sera une très petite fraction , et l'on pourra développer les exponentielles en séries très convergentes, suivant les puissances de C.De cette manière, on aura

et si l'on néglige tout-à-fait la quantité C , on aura

ce qui doit être, en effet , puisque alors le mouvement du poids P est uniformément accéléré.

Quelque soit k uioutciuvnt du tystèuie que nous

considérons , la tension de la partie liorixootale de la corde ABC est constamment égale à la plus petite des deux forces qui agissent à ses extrémités (n« 362), c'est-à-dire, au frottement H augmenté de la résistance de l'air, exercée sur la surface de M . Elle est donc constante et égale à H , ou *P, pendant toute la durée du mouvement, lorsqu'on fait abstraction de la résistance de l'air; et sa valeur, mesurée par l'extension d'un ressort placé dans la longueur de cette corde, peut aussi servir à déterminer le coefficient ».

460. Les valeurs que l'expérience a données pour ce coefficient , soit par l'observation du temps I , soit par la mesure de la tension de la corde , varient avec le degré de poli des surfaces frottantes et la matière des corps ; elles ne dépendent pat, comme celles du coefficient f(n° 260), du tempa pendant lequel les corps ont été en contact avant de glisser l'un sur l'autre. Qunnd celles-ci ont atteint leur maximum , elles surpassent toujours les valeurs correspondantes de h; en sorte que, dans l'état de mouvement, le frottement H est moindre que le frottement F quia lieu à l'instant où l'équilibre va commencer à se rompre ; et la tension de la oorde en mouvement est aussi plus petite que celle qui avait lieu au dernier moment de l'équilibre.

Le poids P étant en repos, l'équilibre subsiste tant que le poids P' est plus petit que F ; mais on a remarqué que si P*, quoique moindre que F, surpasse notablement H , il suffit «l'agiter un peu le

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

plan horitontal , par de petitea percussions , pour que le poids P te mette en mouvement.

Quand le coefficient A est connu , il «t facile de déterminer le mouvement du poids P sur un plan incliné. Je désignerai par s* l'inclinaison de ce plan •ur un plan hnriiontal, qui devra surpasser l'angle sous lequel l'équilibre commencera h se rompre , ou être tel qu'on ait tang » > f (n° 269). Les composantes de P, parallèles et perpendiculaires a ce plan , seront P sin s et P cos ». La première , diminuée du frottement H , sera la force motrice du mobile, dont! est la masse; en appelants l'espace parcouru au bout du temps l, on aura donc

M £li = P sin s - H.

D'aillenrs, la pression sur ce plan étant l'antre composante P cos s, on aura aussi

H = AP cos s ;

à cause de P= My, l'équation précédente deviendra donc

^-=(1 - A coti) 9 . in »;

ce qui montre que le mouvement sera uniformément accéléré, et le même que si le frottement n'existait pas, et que le sinus de l'inclinaison fût diminué dans le rapport de 1 — A cet t à l'unité. Cette quantité 1 — A cot s est positive , puisque l'on a, par hypothèse, A < /"et f cot s* < 1.

461. Le frottement H étant proportionnel à la pression, et indépendant de l'étendue de la surface frottante, il s'ensuit que les poids P et P' du n° 467, restant les mêmes , le mouvement de P sur le plan horitontal ne changera pas, quelle que soit l'étendue de sa base, pourvu qu'elle ait toujours le même degré de poli. Ainsi , en prenant pour ce corps un parailélipipède rectangle, d'une matière homogène , et dont toutes les faces soient également polies, son mouvement horitontal sera toujours le même, si on le pose successivement sur chacune de tes faces ; et il en sera encore de même , sur un plan incliné, sans le secours du poids P'.

Au reste , cette proposition , que le frottement est indépendant de l'étendue et du contour de la base de P, et simplement proportionnel au poids P, revient à dire qu'à chsque point de cette base , le frottement est proportionnel à la pression relative à ce point. En effet, soient 4 cette base, oV l'un de ses élémens différentiels , et fit la pression verticale que supporte cet élément, de sorte que p représente la pression rapportée à l'unité de surface. H faudra que la résultante des pressions exercées sur tous les élémens de 4, reproduise le poids P appliqué au centre de gravité G; il faudra donc qu'on ait

yp«v = p, (•)

et ai l'on mène par la projection du point G sur le plan fiie, deux axes horixontaux et rectangulaires, dont l'un sera , par exemple, la projection de la droite GB, et qu'on appelle s la distance de aV a cette projection , et y sa distance à l'autre axe , on devra aussi avoir

fxpd* t= 0 , fypd* = 0; (4)

ces intégrales et celle que contient l'équation (a) s'étendant a la base 4 tout entière. Cela étant, supposons le frottement de l'élément oV sur le pUn fixe, proportionnel à la pression pd<r qu'il éprouve, et représentons- le par ApoV, en désignant par A un

de la surface dr ; un us aurons

pour le frottement total ; et comme les frottement de tous les élément sont parallèles à la direction GB du mouvement, tî Ton appelle*, la distance de leur résultante H au plan vertical passant pnr la droite GB, on aura également

Ht = / kxpdtr.

Or, si la base du mobile a le même degré de poli dans toute son étendue , le coefficient A sera constant, et il en résultera

H = A/paV = AP, Ex, =z hfrpd* = 0 ;

par conséquent, le frottement total ne dépendra que du poids P, quels que soient l'étendue et le contour de sa base; et la direction de cette force tombant , à cause de x, = 0, dans le plan vertical passant par la droite GB, elle ne pourra imprimer aucune rotation au mobile , dont le mouvement sera parallèle à ce plan , comme on l'a supposé.

Lorsque les centres de gravité du poids P et de la base 4 sont situés sur une même perpendiculaire a cette base, comme dans le cas d'un prisme ou d'un cylindre vertical , on satisfait aux équations (o) et (4), en supposant la pression p constante et égale au rapport de P à 4. Réciproquement, pour une valeur constante de p, les équations (4) donnent

fmèt = 0, fyd* am 0 ,

ce qui exige que le centre de gravité de 4 coïncide avec la projection horixontale du point G; par conséquent, lorsque cette condition n'est pas remplie, la pression p varie nécessairement d'un point à un antre de la base du mobile. La détermination de sa valeur en un point quelconque est alors un problème très difficile, qu'on ne peut résoudre qu'en ayant égard à la flexibilité de la matière du mobile et a celle du plan horitontal sur lequel il t'appuie, et qui donnerait lieu, tant cette considération , à une indétermination apparente, comme dans le problème du n<> 870.

Si i on suppose que letdeux centres de gravite

TRAITÉ DB

MÉCAHIQUÏ

soient sur une même verticale, on aura donc à la fois, quel que soit le coefficient h.

—Jkdr, iJhU=fhsd<r.

Par conséquent, la base restant la même, lo frottement total H sera proportionnel au poids P, comme si le degré de poli était le même dans toute l'étendue de cette base; mais, en général, on n'aura plus x — 0 , la direction de la force H ue coïncidera plus avec la projection horitontale de la droite GB , et quand le poids P entraînera le poids P sur le plan horizontal, le frottement fera tourner le mobile autour de la verticale qui passe par son centre de gravité G.

462. Le poids P étant toujours posé sur un plan fixe horizontal, et la projection horitontale du point G coïncidant avec le centre de gravité de la basse b, supposons que l'on imprime à ce corps , par un moyen quelconque, des quantités de mouvement parallèles au plan fixe , qui ne le fassent pas trébucher , c'est-à-dire , qui ne détachent pas sa base h de ce plan. Le mobile prendra deux mouvemens horixontaux, l'un de translation, qui sera celui de son centre de gravité G , et l'autre de rotation , autour de la verticale passant par ce point. Or, il s'agit d'examiner l'influence du frottement sur ces deux mouvemens différens.

Représentons par — dV le frottement éprouvé par b

l'élément aV de ô, et dont la direction sera contraire à celle de la' vitesse de cet élément. Appelons r sa distance à l'axe de rotation ; au bout du temps t, désignons par a et y les coordonnées rectangulaires du centre de gravité de 6, rapportées à des axes fixes menés arbitrairement dans le plan horitontal, et par • l'angle que fait r avec le prolongement de x. Les coordonnées de de seront, au même instant, x -J- r cos I et y -J- r s ; n i ; et si l'on désigne par ■ la vitesse, et par » et C les angles que fait sa direction avec des parallèles aux axes des* et y, on aura

r cos m = r sin ê — ,

dt dt

dy dl

r coi C = - + r coj I — , dt dt

pour les deux composantes de cette vitesse. Celles du frottement seront, en même temps,

feP

cos CaV.

Or, le mouvement du centre de gravité G étant le même que si la masse du mobile y était concentrée, et que les forces motrices de tous ses points y appliquées parallèlement è leurs directions,

nous au:

ment,

=-/co.-*,

=--/co.^,

en désignant par y la gravité , de sorte que— soit la

masse , et supposant le coefficient h constant dans toute l'étendue de b.

En même temps, le mobile tournera autour de U verticale passant par le point G, comme si cette droite était fixe, et que les forces qui agissent sur ce corps ne fussent pas changées. Le moment du frottement de d<r sera égal à la différence des momens de ses deux composantes, et aura pour valeur

fcP

CaV

r cos • +

AP cos aaV

, r sin I,

en supposant que la rotation a lieu dans le sens où l'angle • augmente, c'est-à-dire, de l'axe des x positives vers celui des y positives. Cela étant , si l'on désigne par » la vitesse angulaire du Pfe.

bout du temps f , et par— son moment i

rapport à l'axe de rotation, on aura (n° 392)

fe. = -/ (cos C oos I - cos - sin I) rds, (3) dt b

pour l'équation du mouvement autour de cetoxr,

dans laquelle on fera • = — , et l'on étendra l'inté-

grale à la base entière b du mobile.

Dans ces équations (2) et (3), les variable* «, y,», ne sont pas séparées ; les mouvemens de translation et de rotation dépendent ainsi l'un de l'autre, et ne peuvent être déterminés, en général, que par approximation. Il y a deux cas qui peuvent se résoudre aisément, et que nous allons considérer.