Si le centre de gravité G demeure en repos, dx dy
— = 0 et — = 0 , les équations (I) don-
cos • = — sin I , cos C= cos», e=r — ;
dt
et pour que les équations (2) soient satisfaites , il faudra que les intégrsles /sin I dt ptf cos ê d<r soient nulles; ce qui ne dépendra que du contour de b , et aura lieu, par exemple, toutes les fois qu'il sera symétrique autour du centre de gravité de cette base. L'équation (3) deviendra
dm kg
d'où l'on tire
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
qu'on ait
dt ~ '
en appelant c la constante Jrd<r. Le mouvement de rotation sera donc uniformément relardé ; et si l'on oppelle fl la vitesse initiale angulaire, on aura, à un instant quelconque.
hegt
ce qui montre que ce mouvement se terminera au
bout d'un temps eiprimé par , pour lequel on
hcy
aura * = 0, et le corps sera en repos.
Lorsque la vitesse de rotation sera, au contraire, rapport à celle du mouvement de
et qu'on négligera le carré de r — , les
di
e« = - 2 lin I — — cos I \ r -, \o7 H / dt
On déduira de là et des mêmes
1 l 1 fis dy
- = - + -(-.inl
v « «I \fc dr
rdl
)rd\
1 dx 1
,dx
COS a =
dy
— cosH sia i)-r —
* d< Jdtdt
\dy \ ,ds dy dirdt
I— cos H sin»] —
s. di «A* 4 *
L'origine des coordonnées polaires r et I étant le centre de gravité de la base 4, on a d'ailleurs
fr sin td* = 0, fr cos *d* = 0.
Cela étant, si l'on substitue ces valeurs de cos «et cos C dans les équations (2), et si l'on observe que yeV= 6, elles deviendront
d« x h 9 d * d*y dy
Pour plus de simplicité, je supposerai la base h symétrique autour de son centre de gravité , de manière qu'on ait
cos C
en désignant paru la vitesse du point G, de sorte
fr* cos • sin « dv = 0, fr» sin» laV = fr*
td* = by
y étant une ligne donnée. Par la substitution des valeurs de cos « et cos C , l'équation (3) se 1 alors à
d« • Ao>. di
* dïr r*» (6)
Les intégrales complètes des équations (4) sont
dx dy
— =("- cm • , - = (o - hgt) sin , ;
a et • étant les deux
arbitraires. On en
■ a a — hgt j
et l'on voit que le mouvement du point G sera uniformément retardé, et que a et « seront la vitesse initiale et l'angle que sa direction fait avec 1' des x. L'équation (S) devient
d* » hgy* dt
dt* *«(o — hytj dt *
en désignant par fl la constante arbitraire, qui exla vitesse angulaire initiale. Les valeurs de
son intégrale complète est donc
dt
« et — ou «, seront d'autant plus approchées , que dt
le produit de fl et de la plus grande valeur de rsero une plus petite fraction de la vitesse si; elles montrent que les mouvemens de translation et de rotation finiront ensemble au bout d'un temps égal a
464. Lorsqu'un corps solide se meut sur un plan fixe, en le touchant constamment par un seul point de sa surface , il peut arriver plusieurs cas qu'il importe de distinguer.
1° Le corps peut rouler, sans glisser , sur le plan fixe, de manière que les deux courbes tracées sur ce plan et sur la surface du mobile, qui sont les lieux géométriques de leurs points de contact successifs, aient constamment des longueurs égales.
2f> Le mobile peut tourner sur lui-même, en touchant constamment le plan fixe , en on même point de ce plan.
3° Le corps peut glisser sans tourner, de sorte que le point de contact soit constamment le mémo point de sa surface.
4» Enfin, il peut glisser et tourner à la fou sur le plan fixe.
Dans le deuxième et dans le troisième cas, le
frottement du mobile contre le plan fixe est! que si le contact avait une étendue quelconque , sa grandeur est proportionnelle à la pression qui a lieu au point do contact, et sa direction contraire à celle du la vitesse de ce point. En le désignant par H, et la pression par P, on a II — M»; le coefficient A étant le même que dans le n° 468. Cette loi est une conséquence de ce que le frottement est indépendant de l'étendue du contact ; elle aurait besoin , toutefois , d'être vérifiée par des expériences directes. La force H est ce qu'on appelle un frottement de la première espèce.
Dans le premier cas , le frottement du mobile contre le plan fixe se nomme un frottement de $econde #-pèc«. L'observation fait voir que cette force est généralement très petite, et peut être négligée.
Dans le dernier cas, les deux espèces de frottement ont lieu en même temps; on néglige celui de la seconde espèce par rapport au frottement de la première espèce, qui est dirigé, à chaque instant, en sens contraire de la vitesse du point de contact, et toujours proportionnel à la pression en ce point.
Ces résultats ne conviennent pas au cas où le point de contact est l'extrémité d'une pointe, ou quand il appartient à une arête vive ; ils auront en* core lieu lorsque le mobile sera un cylindre quitouchera le plan fixe suivant une ligne droite; et, toutes les fois que sa surface n'aura n'y pointes ni arêtes vives, ils suffiront pour former les équation* différentielles des mouvemens de translation et de rotation. L'exemple suivant montrera comment on en devra faire usage pour cet objet.
