Je suppose que le mobile toit une sphère
homogène, posée sur un plan fixe horizontal. On imprime a ce corps un mouvement de rotation autour d'un diamètre horiiontal, et à son centre une vitesse horizontale et perpendiculaire à ce diamètre. 11 est évident que le mobile tournera autour de ce diamètre, qui sera transporté parallèlement à lui-même et au plan fixe, et que le centre de figure et de gravité décrira une droite horizontale, dans le plan vertical perpendiculaire à l'axe de rotation. II s'agit de déterminer, à un instant quelconque, les vitesses de ces deux mouvemens.
La figure 99 représente une section du mobile , perpendiculaire à son axe de rotation et passant par son centre G. La droite AK.B est la section du plan fixe; la parallèle CGD est la droite que décrit le point G, et le contact, au bout du temps quelconque r, a lieu au point K. A cet institut soient s la
dx
distance CG, comptée o partir du point fixe C; — la
dt
vilesse du point G, » la vitesse angulaire du mobile autour de son axe de rotation, qui sera regardée comme positive ou comme négative, selon que la rotation aura lieu dans le sens indiqué par la flèche « ou en sens contraire. En appelant, au même instant, t> la vitesse absolue du poiut K, et désignant
par e le rayon KG de la sphère, ou dx
dt
Selon que cette quantité sera positive ou négative, le point R s'avancera vers B ou vers A; et le frottement qui a lieu en ce point K. en sens contraire de e, sera dirigé suivant KA ou suivant KB Quand on a v = 0,1e corps roule sans glisser, et le frotte* ment n'est plus que de la seconde espèce.
Cela posé, désignons toujours par P le poids du
corps, par g la gravité, par — le moment d'inertie
par rapport à l'axe de rotation, et par fcP le frottement au point K. En supposant, pour fixer les idées, la vitesse e positive, et, conséquemment, le frottement dirigé suivant KA, les équations différentielles des mouvemens de translation et de rotation seront
si la
car le centre G devra se i P
— du mobile y était réunie, et que le frottement j
fût appliqué parallèlement à sa direction ; et, en même temps, le mobile devra tourner autour de son axe de rotation, comme si cet axe était fixe, et que le point d'application du frottement et le sens de cette force ne fussent pas changés. Le mobile étant une sphère, on a aussi
les équations précédentes auraient encore lieu, mais avec une valeur différente de *■ , si ce corps était un solide de révolution, ou un cylindre droit à baie circulaire, tournant, dans ces deux cas, autour de l'axe de figure.
Eu supposant le coefficient A constant, et intégrant les équations (o), on a
dx
- = a - hgt, dt
a et a étant les deux constantes arbitraires qui re-
dx
présenteront les va'eurs initiales des vitesses — et •. On aura, en même temps,
Par hypothèse, la constante a-f- c* est positive ; la vitesse v l'est donc aussi pendant un temps I, au
DYNAMIQUE
