DU CHOC DES CORPS DE FORME QUELCONQUE

468. la position et l'état d'an coq» solide en mouvement sont complètement déterminés à un instant donné, lorsque Ton connaît, k cet instant, les coordonnées de son centre de gravité, les composantes de la vitesse de ce point, les directions des trois axes principaux qui se coupent eo ce même point, et les composantes de la vitesse angulaire de rotation autour de ces trois axes. Si ce corps est rencontré par un autre mobile, pour lequel toutes ces choses soient également connues, les composai) tes de leurs vitesses de translation et d« rotation seront changées par le choc, mais non pas les positions de leurs centres de gravité, ni les directions de leurs axes principaux ; car, quoique le choc ne «oit pas instantané , cependant la durée de ce phénonèmeest toujours assex petite pour qu'on puisse faire abstraction du déplacement des différent pointa des denx mobiles, pendant qu'il s'accomplit, ■et, par conséquent, pour qu'on puisse considérer comme sensiblement immobiles leurs centres de gTavité et les points de* deux mobiles qui appartiennent à leurs axes principaux. Le problème du choc des corps aura donc pour objet de déterminer en grandeur et en direction, leurs vitesses de translation et de rotation après le choc, au moyen de ces mêmes quantités avant le choc, et d'après la forme et la situation relotivcs des mobiles.

Nous allons donner la solution générale de ce problème, dans les deux cas extrêmes où les mobiles sont mous et dénués d'élasticité, et où ces corps sont au contraire parfaitement élastique*.

nombre de deux, qu'ils se touchent par un seul point, et qu'ils soient entièrement libres. Soient M et leurs masses, G et G' (6g. 100) leurs centres de gravité, K leur point de conUct, 11K1I la normale à leurs surfaces en ce point. Soient aussi Gs, Gy , G*, les axes principaux de M, et G'*' , G'y', GV, ceux de H'.

Immédiatement avant le choc, désignons paru, r, v, les composantes de la vitesse de G suivant les axes G*, Gy, Gs, appelons en même temps m la vitesse angulaire de H autour de Taxe instantané de rotation, passant par le point G, et f, ç, r, les trois composantes de cette vitesse, autour des mêmes

axes G», Gy, Gs; en sorte que — , — , — , soient les

cosinus des ongles que l'axe instantané fait avec

ces trois droites (n« 407), et qu'on art •* = p* + g» + r* .

Cela étant, si #, y, a, sont lea trois coordonnées d'un point quelconque de H, rapportées aux axea G s-, Gy, G*, les composantes de sa vitesse, parallèles à ces axes et provenant de la rotation du mob»le(n• 418), seront gs — ry, rx — p«,py— q*i P" conséquent, on aura celles dosa vitesse absolue , en y ajoutant les composantes m, *,*>, de la vitesse du point G; ce qui donne

•»+«. — ry, o+r*-j«, *c+n — 9*-

Je désigne par «„ *„ w„p n g„ r„ ce que deviennent «, r , te, p, q, r, immédiatement après le choc. En observant que le point dont les coordonnées sont s, y, s, ne change pas sensiblement de position pendant le choc, les trois composantes précédentes deviendront

«i + fc*— r a. •i+V-Pr»! *>,+P4 — fr*i et comme les axes G#, Gy, G s, auxquels elles sont parallèles, sont anssi supposés immobiles pendant le choc, on aura les vitesses perdues par ce point suivant ces axes, en retranchant ces dernières quantités des précédentes. Si donc en désigne par dm l'élément de la masse H qui répond aux coordonnées g, y, a, nous aurons

[ai — u, + (g — g> — (r — r,)y]dm ,

[w — w, + fp — p,)y — (y — q,)s]dm ,

pour les composantes parallèles k G*, Gy, Gs, de la quantité de mouvement perdue parlas, pendant la durée du choc.

En vertu du principe général de la Dynamique (n» 363), les quantités de mouvement ainsi perdues par H et M' devrout se faire équilibre; et, d'après ce qu'on a vu dans le n u 265, on formera les équations d'équilibre de ce» deux corps solides, appuyés l'un contre l'autre, en considérant chacun d'eux isolément, après avoir joint aux forces relatives à H, une force inconnue 71, dirigée suivant k U , et aux forces appliquées k M f , la même force N agissant au point k suivant RU'.

Ces forces N, dirigées suivant K H et K H ', seront les quantités de mouvement imprimées par le choc aux masses M et M'; et, avant d'écrire les équations d'équilibre, on peut remarquer que les effets du

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

choc, qu'elle» serviront à déterminer , serout le* mené*, pour la masse H, par exemple, que si l'oa appliquait à une partie arbitraire p de cette masse, ayant son centre de -ravi te sur la droite KH, une vitesse k parallèle à KH, et telle que Ton eût pJt=l(j car il est évident que la résultante des quantités de mouvement de p serait N , en grandeur et en direction : la percussion exercée sur H , suivant M, équivaut donc toujours, comme nous lavons le n» 436, à des vitesses égales, irapri-

Il cos « + f[m — », + (f —

n cos c 4* / [• — r i + ( r —

N cos y + f[w — HP, + {p —

N (o cos C — 4 cas ») + /[• - *i + (* - O m - -/[•-«, + (9-9,) •-

mées, parallèlement à cette normale M, à toua les points d'une partie de M , qui a son centre de gravité sur cette droit*.

488. Cela posé , désignons par a , b , c , les trois coordonnées de K, rapportées aux axesGx,(jy, G», et par «, C, y, les angles que la droite KH fait avec des parallèles a ces axas , menées par le point K ; le* six équations d'équilibre des quantités de mouvement perdues par tous le* pointa de H , se-

Pi) y

V y] dm P,) *] *■

(P — Pi) ») **■

^ — r,) y] ydm

N (e co* » — a cos y) + /[« — «, + (9 — 9<) # — (r - r J yl zdm

— /[» — *», + f> — ft) y — (f — 9,1 *] xrfm

îl (6 cos y — c cos C) + /[»—•»< + (P - R) F - (9 - 9») *] vrf«

— /[• — »l + (P - Pi) »)

Tes intégrales s 'étendant à la masse entière H. I de H, et que Gx, Gy,Gs, sont ses axe* principaux, A. caaae que le point G est le centre de gravité } ou a

J*dm = 0, fydm =0, Jaatas =0, = 0, /«fdm=», f n ém = 0.

Désignons, d* plu», par A, B, C, les qu'on ait

A = /(•• + »)at», B = /(..+ «.)*.,

d'inertie de ■ par rapport à ces mêmes axes de sorte C =/(*»+ r)dm.

.six

libre se réduiront a

W cos m + H (« — u,) = 0 , H cos C + ■ (r — p,) = O ,

H COS y+ ■(.-*,,) = 0,

Il (o ce* C - ô cos .) + C (r - r.) =0, H (a cos « — o cos y) + B — q t ) = 0 , N (A cos y - ccos C) + A(j» — ft)=0,

Par rapport à M' et k ses axes principaux O'x' , G'y' , G's' , je désignerai les quantité* qui entrent dans ces équations par le* même* lettres, avec un trait supérieur; en aorte que, par exemple, 0, y', seront les angle* que fait la droite KH' avec de* parallèles k ces axes, menées par le point K., et que a' , c' , seront les coordonnées de ce point, :s à ce* même* axes. En observant que la de II doit être U même pour les deux corp* ■ et ■', les équations d'équilibre des quan-

de mouvement perdue* par

H coa«' + M'(«'-*»/) = 0,

Il co* C +■•(•»— r/) = 0,

W co* y ' + ■•.(»'— »/) = °»

H (o' cos P — V cos •') + C (r* — r/) = 0,

ri (*' cos - o' co.y') + B» (j- - « /) = 0,

» (*'eo.y-«'eo*C) + A'^-p;) = 0.

Pu 9i« r n p/i i! » r /i 1°° contiennent ce* douae équations (1) et (2) , elles renferment encore l'inconnue N ; elles seront donc en nombre insuffisant pour déterminer ce* treixe inconnues ; et il y faudra joindre une treisième équation , que l'on obtiendra par la considération suivante , dan* le ca* de* corps dénués d'élasticité.

460. La solution du problème serait, en effet, indéterminée, si l'on cousidérait les deux mobiles comme abeoluuient dur» , et qu'on fit abstraction

de ta compression qu'ils éprouvent pendant la durée du choc. Mais en ayant égard à cette compression, quelque petite qu'on la suppose , on conçoit qu'elle est due à ce que les points des deux mobiles, par lesquels ils viennent se toucher, n'ont pas la même vitesse suivant la normale commune a leurs surfaces. A raison de la différence des vitesses normsles de ces deux points, les deux corps s'appuient et sa compriment graduellement l'un contre l'autre ; en même temps , cette différence diminue par degrés infiniment petits, jusqu'à ce qu'elle ait entièrement disparu ; et quand les deux mobiles sont dénués d'élasticité, le phénomène du choc est achevé à l'instant où cette différence est devenue nulle , et ces deux corps conservent la forme qu'ils ont prise à cet instant de leur plus grande compression. C'est cette égalité des vitesses normales des deux points de contact , à la fin du choc , qui fournit la treiiième équation demandée, et qui fait disparaître l'indétermination du problème.

En tant que le point K appartient au corps H, ses coordonnées, rapportées aux axes G*, Gy, G*,

sont a, b, c ; en les substituant à la place de s, y, s* dans les formules du n° 467, on a, immédiatement après le choc, s^+c.c— rf>, v, + r,o-p ( c, w,+pb — g,c, pour les composantes de sa vitesse parallèles à ces trois axes; et comme », C, y, sont les angles que la droite KH fait avec les directions de ces composantes, on en conclut

h + î,° — r fi) «» • + + r , a — F. e ) c0 * c

pour la vitesse finale de ce point suivant cette droite. Si Ton considère le même point K comme faisant partie du corps M', sa vitesse après le choc, suivant la direction K H', sera

W+fcV-r,V) «»• •'+ W + '>'- P,V) cosC

+ K+p/6- g »co.y.

Or, pour que, dans les deux cas, la vitesse normale du point K soit la même, et dirigée dans le même sens, il faudra que ces deux dernières quantités soient égales et de signe contraire, ou que leur somme soit nulle ; par conséquent, on aura

K + 9.c - r,b) cos . + («/ + o.V - r,'V) co.

+ (v, + r,a - p,c) cos C + (./ + r/o* - p,V) cos f / (3)

+ + Pi* - cos y + (U,/ + p,b' - q;a') cos y» = 0. (

Les équations (1), (S), (3), du premier degré, par rapport aux inconnues N , u t , v t , etc. , donneront ( dans chaque cas particuler , des voleurs entièrement déterminées pour ces quantités qui feront connaître l'état des deux mobiles après le choc, et les quantités de mouvement, égales et contraires, que la percussion leur aura imprimées suivant la normale commune à leurs surfaces

470. Maintenant, si les deux corps sont élastiques, il faudra distinguer trois époques successives dans le phénomène du choc : la première répondra a l'instant où les deux mobiles commencent à se toucher par un point K de leurs surfaces ; la deuxième sera celle de leur plus grande compression, où les vitesses normales du point K seront égales et dans la même sens pour ces deux corps ; la troisième sera la fin du choc, où les deux mobiles se sépareront l'an de l'autre, après avoir repris exactement leurs formes primitives, s'ils sont supposés parfaitement élastiques.

Depuis la première jusqu'à la seconde époque, le phénomène est le même que si les deux mobiles étaient dénués d'élasticité. Ainsi, l'on déterminera, au moyen des équations précédentes, les doute composantes m„ v n etc. , des vitesses de translation et de rotation des mobiles à l'instant de leur plus grande compression, et la quantité de mouvement N que chacun des deux corps aura reçue, suivant KH pour H, et suivant KU' pour ■'. Depuis la deuxième époque jusqu'à la troisième, ces deux corps, en revenant à leurs formes primitives, rece-

vront, suivant ces directions, une nouvelle quantité de mouvement, qui sera encore égale à !■, dans le cas d'une parfaite élasticité. Par conséquent , cette seconde partie du phénomène devra

identique avec la première, mais exercée sur des corps animés des vitesses de translation et de rotation qui ont lieu à la fin de la première partie.

D'après ce principe, conforme à ce qui a déjà été expliqué dans le n° 360, si l'on appelle à la troisième époque, U, V, W, les composantes de la vitesse du point G, suivant les axes G*, Gy , Gs, et P, Q, H , le* composantes de la vitesse angulaire de M autour des mêmes axes, on aura, pour déterminer ces six inconnues, les six équations

11 cos»+M(« ( — U) = 0,

N cos C -f» 1 (*, — V} = 0 ,

R cosy-f ■(«/,— W) = 0,

H (acosC— i cos •) + €(»■, — R) = 0,

R (ecos. — ocos>) + B(a ( — Q) = 0,

N (ocosy — ccosC) -f A(p, — P) = 0,

qui se déduisent des équations (1), en y mettaut U, V, W, P, Q, R , à la place de -, , », , w,, y, , <j„ r„ et ces dernières quantités au lieu de si, f, w, p, q, r, et en conservant la quantité H.

Pour faire disparaître les inconnues intermédiaires />, , q n r,, j'ajoute chacune de ce* six équations à l'équation (1) qui lui correspond »

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

ce qui

2JI cos. + M(si-U)=0, 25 eo.C + B(e-V) = 0,

an coi > + w)=o,

211 («cos C -» £ coi •) + C (r — R)= 0, «H (e co» m — ocoi y) + B (q — Q) = 0, 211 (i cos y — c cos C) + A (p — P) = 0.

Cet équations (4) sont celles de l'équilibre dei quantités de mouvement perdues par M pendant le durée totale du choc, jointes k la quantité de mouvement 2N imprimée à cette masse, suivant la

y mettra pour 5 la valeur de cette inconnue, qu'on tirera de l'équation (3), après y avoir substitué les valeurs des inconnues u„ v lt etc., «/, e/, etc., données par les équations (1) ot (2). Nous nous dispenserons d'écrire ici l'expression générale de cette quantité N, qui serait très compliquée, et dont on calculera, sans difficulté, la valeur numérique, dans chaque cas particulier. Si les deux mobiles n'étaient pas supposés parfaitement élastiques , N serait moindre dans la seconde partie du choc que dans la première; il faudrait prendre alors pour sa valeur, dans la seconde partie, une fraction /'de sa valeur, déduite des équations (1), (2), (3), et ractt r e ( 1 -f f) y l\ la place de 2lf dans les équations (4), Cette fraction f dépendrait du degré d'élasticité des deux mobiles, et ne pourrait se déterminer que par des expériences faites sur des corps de la même matière, dans le cas le plus simple, par rapport à leur forme et k leur mouvement primitif. Nous nous bornerons a considérer le ces de l'élasticité parfaite, en observant, toutefois, que la remarque qui termine le n° 467 a également lieu , quel que soit le degré de l'élasticité.

Quant au corps H', si l'on désigne, I la fin du choc, par U', V, W, les composantes de la vitesse de G' suivant lea axes GV, G'y' : GV, et par P\ Q', R', les composantes de la vitesse angulaire de H* antour de ces axes , on aura pour déterminer ces six inconnues des équations semblables aux équations (4), savoir :

2N cos •' + ■'(« — IT)=:0, 2N cosC' + r(e'-V') = 0, 2N cosy' + M'K-W^O, 2N {c/co%P — o'cos»') + C'(r* R') = 0, iît W cos •'— <r* cos y') + B' — QT) = 0, 2N (6' cos c» cos C) + A' (p' — P)= 0.

Telle est donc la solution complète et générale du problème du choc, dans le cas de deux corps entièrement libres, dénués de toute élasticité, ou parfaitement élastiques. On l'étendra, sans difficulté, au choc simultané de trois ou d'un plus grand nombre de mobiles ; nous en donneront plus bas un exemple.

471. On peut conclure des équations précédentes que le choc des corps H et B' n'altère nullement les vitesses de leurs centres de gravité G et G', parallèlement au plan tangent commun en K a leurs deux surfaces.

En rffet, par le point G menons une droite parallèle à ce plan, qui fasse des angles x, ju, », avec les axes Gx, Gy, Gs; cette droite étant perpendiculaire à la parallèle a KH, menée par le même point G, on aura

cos » cos x + cos C cos /* + cosy cos t=0;

Et d'après, cela, si l'on ajoute les trois premières équations (1) ou (4), après les avoir multipliées pat cos x, cos/*, cos », il e

H COS X -f- V CO» f* + W COS » S=S M ; COS X -f- V, COS fx M*, COS »

= U cos x + V cos si -f- W cos f;

qni montre que la vitesse de G, suivant une dîqueleonqne, parallèle au plan tangent en R, sera la même avant et après le choc des corps mous ou élastiques. Il suffira donc , pour connaître , en grandeur et en direction, la vitesse finale de G, de déterminer, dans chaque cas, la vitesse de ce point après le choc, parallèlement a la normale K II , et avec la vitesse de G parallèle au

plan tangent en K, qui avait lieu auparavant, et qui n'aura pas changé pendant le percussion. La même chose aura lieu relativement au centre de gravité G' de B'.

En ajoutant les trois dernières équations (1) ou (4), après les avoir multipliées par cos y, cos C, cos «, il vient

O cos y -f- Bo cos C -f- A» cos »

= O, cos y -f- Rç, cos C -f- Ap, cos • = CR cos y -f BQ cos C -f AP cos *.

Or, ces trois quantités égales sont les momens par rapporté l'axe KH (u° 409), des quantités de mouvement dont sont animes tous les points de H, avant le choc, à l'instant de la plus grande comi. ù la fin du choc ; d'où il résulte que la me change rien k la grandeur de ce moment, pour le mobile M, et, de même, pou» le mobile M', mous ou élastiques.

472. Appliquons maintenant à différens exemples les équations générales que

nues.

Supposons d'abord que la normale KH au point de contact des deux mobiles, passe par le centre de gravité G de H, de manière qu'elle soit la droite KGH (fig. 101). D'après la signification des lettres », C, y, o, 6, c, il est aise de voir qu'on aura

a cos € = 4 co* • , c cos m = a cos y , 6 cos y = c cos C;

alors les trois dernières équations (1) et (4) donne-

mouvement de rotation do celui-ci, et n'influe que sur son mouvement de translation.

Si la même normale passe aussi par le centre de gravité G' de M', de sorte qu'on ait

a' cos C — V cos »', (f cos a. 1 — a? eos y\ V cos y' — é cos C,

Pi — P> ?«=?» r i = r > V=P> Q = ?» * = r; (et ,i le4iei ,] e ro ution disparaîtront de l'équace qui signifie que la direction de Paie instantané ««°n (3), qui se réduira à

de M et la vitesse de rotation seront les mêmes im- M co§ +^. 9 cos c -f- w cos y + * ' cos -

niédiatement avant et après le choc. Donc, toutes , , - . . '

e, cos C + if cos v = 0 ; les fois que la normale au point de contact passe T ' • * '

par le rentre de gravité de l'un des deui mobiles maia les trois premières équations (1) et (S)

ou élastiques, le choc ne change rien au

If = H [(«, — u) cos ai + (e, — •) eos C + (w, — w) cos y ] , » R = M' [(«/ — *.') cos «' + (•/ — e') cos C + (w/ — »') ces >'] ; I { '

et de ces diverses équations, on conclut

et en divisant ces équations par H et M* et les ajoutant ensuite à la précédente, il en résulte lf If

- + - + u co. . + c cos C + w cos y +«» cos .'

+ *'cœC+u*,osy=0.

Or, si GL et G'l.' sont les directions de G et G' avant le choc et i et r* leurs vitesses initiales, on aura

• cos HGL = u cos * + ■ cos C -f- w cos y , cos H'G'L' = «' cos + r 1 cos <• + W cos y\

d'après ce que les lettres m, r, w, C, y, ar*, e* f u»', •', C, >', représentent. On aura done

■M'Qcos HGL + t' cos H'G'L') M + M'

pour la valeur de H, qui devra être essentiellement positive : lorsqu'elle sera négative, qu'il n'y a pas de choc entre les

De même, si G/ et GT sont les directions de G et G' à l'instant de la plus grande compression des deux mobiles, et 6 et 8', leurs vitesses au instant, on aura aussi

I, cos HG/ =

Ht cos IIGL

1/ roa H'G7 =

-M'y cos H'G'L' i

H'I'co. H'G'f — Il cos UGI

pour les composantes des vitesses de G et G' suivant GH et G'IT. à l'instant que nous considérons. Elles sont, comme on voit, égales et contraires; d'où il snit qu'à l'instant de la phis grande compression, les centres de gravité des deux mobiles ont la même vitesse, en grandeur et en direction, suivant la normalo au point de contact K. Dans le cas des corps moui, cette vitesse normale sera celle qui aura lieu après le choc. Lorsque les deux mo-

on aura

», cos HGJ = U eos • + V cos C + W cos y , •/ co* H'G'P = U» cos .' + V cos C + W cos

%, CM H(. I =«, cos* -j-f, msC -f- w, cos y ,

•/ cos H'G'f = ■/ cos + •/ cos C + w,' cot y\

(M — W) t cos HGL — 2M'i' cos H'G'L' M + V

fM' — M) »' ens H'GL' — SH( eos HGL

en supposant que les vitesses I, et 1/ et les directions Gl et Vf se rapportent 4 U fin du choc. Donc, en vertu des trois premières équations (4) et (6), et de la valeur qu'on vient de trouver pour H, nous auront

I, cos HG/

H'GT =

I + fi'

pour les composantes des vitesses finales de G et G' suivant lea directions GH et G'H'.

473. Dans le eu particulier où les deux points G' et G' se meuvent, avant le choc, sur la normale HKH', leurs vitesses perpendiculaires à cette droite seront nulles, et elles le seront encore après le choc ; ea sorte que l'on aura

cos HGL = ± l , H'G'L' = ± 1 ,

cos HG/ = ± 1 , HG/ = ± l,

selon le sens de leurs directions, en considérant, dans tons les cas, les vitesses I, I', •„ S/, comme des quantités positives.

Si G et G' vont dans le même sens avant le choc, par exemple, de H' vers H, l'angle HGL sera xéro, et l'angle H'G'L' égale a deux droits; en vertu dos (7), on aura donc

,T ,„ , Ml 4- M l'

: I, cm H'G'f = — l.l.r-»'—

cosUGi:

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

Si, au contraire, G ri G' vont ou devant l'un de l'autre avant le choc», de manière que le point G ce

| ûonV("

cuve de II ver» H , et le point G' de H' ven M, on

fl, coi H'G'f = ± 1 ,

HGL = co» fl'G'L' == - I, et lea équa-

Ml - M'â'

les aignea «upérieura ou inférieur» ayont lieu aelon que la différence Ml — M'»' sera positive ou négative. On appliquera de même le» formulea (8) à ces déni hypothèses.

Ces résultats coïncident avec ceui qu'on a obtenus dana lea n" 361 et 362, relativement au choc des corps sphériques et homogènes; mais on voit de

plus qu'ils sont indépendans de la forme de ces corps et de leur mouvement de rotation, et qu'ils supposent seulement que les centres de gravité de» deux mobiles se meuvent, avant le choc, sur la normale au point de contact.