Si l'on suppose M' =M, les équations (8) deviennent

6, cos MGl = — cos H'GI', •/ coa H'GT = — * cos HGL ,

d'où l'on conclut que dans le choc do deux parfaitement élastique» et égaui en masses,

les

vitesses parallèles à la normale au point de contact, lorsque cette normale, commune aux deux surfaces en ce point, passe à la foi» par ce» deux centres.

le point G' fera en repo» avant le choc, en qu'on ait I' — 0 et que, de plo», la musse H, à raison de sa densité, sera très petite et négligeable par rapport a M', on aura, en vertu des lions (7^

l ( .o S HG/=0, •/ coa H'G'/' = 0,

en sorte que les centres de gravité G et G' de corps mous n'auront, dans ce cas, aucune vitesse normale après le choc. Mois, en vertu des équations (8), si ces corps sont, au contraire, parfaitement

1/ cos E'G'P = 0 , », cos HGf = - I cos HGL ;

ce qui montre que le centre de gravité G' ne prendra aucune vitesse, et que G prendra, après le choc, noe vi'essc normale égale et contraire à celle qu'il avait auparavant.

Il est aisé d'en conclure que le centre de gravité G sera réfléchi en faisant avec la normale an point de contact des deux mobiles, l'angle de réflexion égal I Ta ngle d'incidence.

En effet, prenons sur le prolongement de GL (Cg. 102), une partie gG pour représenter, avant le choc, la vitesse de G, qui se mouvra de g ver» G ; •oit toujours GH la normale au point de contact des deux mobiles, laquelle passe par hypothèse, par le point G} décomposons la vitesse gG en deux autres, l'une aG, dirigée suivant cette normale, et l'autre AG parallèle au plan tangent : la seconde ne sera pas changée par le choc, et la première sera changée en une vitesse cG égale et contraire à aG. Donc, si l'on achève le rectangle Gédc, et qu'on prolonge la diagonale Gd d'une quantité Gl = Gd, la vitesse du point G , après le choc, sera G/, en

de réflexion HG/, sera égal à l'angle d'incideuoe UGg, et, de plus, la vitesse du mobile aura la même

grandeur avant et après le choc. Ce cas est celui d'un corps élastique qui vient rencontrer un obstacle fixe, doué également d'une parfaite élasticité.

476. Lorsque les mobiles sont des sphères homogènes, la condition que la normale HÏ.H' (6g. 101) passe par leurs centres de gravité G et G', est toujours remplie. Par conséquent , si ces corps sont parfaitement élastiques , ils échangeront , en se choquant , leurs vitesses dans le sens de la droite qui va d'un centre à l'autre, et conserveront, sans altération , leurs vitesses ]>erpendiculaires à cette droite; et, quand ils viendront frapper un obstacle fixe et aussi parfaitement élastique, il» se recuiront on faisant l'angle de réflexion égal à

C'est sur ces principes qu'est fonde le jeu de bittard; mais il faut observer que non seulement ils supposent l'élasticité parfaite des bandes et des W- Ut; mais que la non-altération, par le choc, de la vitesse des mobiles, soit parallèlement à leur plan tangent commun, soit parallèlement aux bandes qu'Us rencontrent , n'a tien que quand on fait abstraction du frottement provenant de leur rotatiou et du glissement d'une surface sur l'autre. On va voir, par exemple, que l'angle de réflexion dépend de la rotation de la bille , et qu'il n'est plus égal à l'angle d'incidence, quand on tient compte du frottement de la bille contre la bande. La même chose a lieu dans le ricochât d'un boulet : le frottement de ce projectile contre le terrainet sa vitessede rotation influent aussi sur l'angle de réflexion, qui peut être, pour cette raison, différent de l'angle d'incidence.

Cette questiou nous fournira l'occasion d'expliquer comment on doit avoir égard au frottement dans le choc des corps, et de compléter ce que nous avons dit, sur ce genre de résistance , dana le second paragraphe du chapitre précédent. Flous allons d'abord exposer les principes qui nous guideront dans cette matière délicate; on y est conduit par l'analogie ; mais ils auraient besoin, ainsi que les conséquences qui s'en déduisent, d'être confirmés par des expériences directes.

476. Eu formant les équations d'équilibre des quantités de mouvement pordues dans le choc, par

les deux masses H et M', nous niions point tenu compte des quantités de mouvement produites par les poids de ces corps pendant la durée de la percussion, parce que celte durée étant très petite, ces quantités, qui lui sont proportionnelles, sont aussi très petites, et peuvent être négligées par rapport à celles que les mobiles reçoivent de leur choc mutuel. Mais il n'en est pas de même, comme nous l'avons déjà remarqué (n° 363), à l'égard du frottement qui a lieu pendant le choc, lorsque les surfaces des deux mobiles en contact glissent l'une sur l'autre. Quoiqu'on n'ait pas fait d'observations sur l'intensité de ce frottement, on peut supposer, par induction, qu'il suit les lois générale* du frottement des corps soumis à des pressions proprement dites, puisque la percussion n'est autre chose qu'une pression d'une très grande intensité, exercée pendant un temps très court. On peut donc admettre que pendant la durée du choc le frottement, • chaque instant, est proportionnel à la grandeur de la pression normale, qui appuie, à cet instant, les deux mobiles l'un contre l'autre; qu'il est dirigé , pour chaque mobile, en sen» contraire de la vitesse relative du glissement de ce mobile sur l'autre, et indépendant de la grandeur de cette vitesse; et qu'il disparait, ou devient négligeable, quand le glissement se change en un simple roulement.

Or, la quantité totale de mouvement imprimée à M suivant la normale KH (6g. 100), a été représentée par H, quand ces deux mobiles sont dénués d'élasticité, ou par 2N, quand ils sont parfaitement élastiques. Si donc, pendant toute la durée du choc, la surface de M glisse, dans une même direction, sur celle de M', et qu'on appelle Q la quantité de mouvement imprimée à M par le frottement, en sens contraire de cette direction, on aura Q=*N, dans le cas des corps dénués d'élasticité, et Q = dans le cas des corps parfaitement élastiques ; A étant un coefficient qui ne dépend que de la nature des surfaces de M et M', au point de contact K, et pour lequel on pourra prendre celui qui a été déterminé par l'expérience, relativement à des pressions ordinaires (no 450).

Si le glissement a lieu dans un sens pendant une partie du choc, et dans le sens opposé pendant l'autre partie, on aura Q = A (N' — N"), en désignant par N' et It" les quantités de mouvement produites par la percussion pendant ces deux parties du choc, de sorte que N ou 2N soit leur somme V -f- Pi", et en supposant W > H". Si , à la fin de la première partie, le glissement se change en un simple roulement, on prendra Q = AN', en négligeant le frottement de la seconde espèce, qui aura lieu pendant la seconde partie.

En appelant Q/ ce que Q devient relativement à M', il est évident que Q' sera, dans tous les cas, une quantité de mouvement égale et directement opposée à Q ; car la pression normale que M' exerce sur M pendant toute la durée du chort , est de même

grandeur que celle de M sur M', et la vitesse relative du glissement de M' sur M est toujours égale et contraire a celle du glissement de M sur M'.

Il résulte de là que pour former les équations d'équilibre des quantités de mouvement perdues pendant le choc par le corps M, en ayant égard an frottement , H suffira de joindre à la quantité de mouvement > on 2N, imprimée à ce mobile suivant la normale K.H , une autre quantité de mouvement Q, perpendiculaire à k II , et exprimée comme on vient de le dire ; et que pour obtenir , en même temps, les équations relatives à M', il faudra joindre à la quantité de mouvement N ou 2N, dirigée suivant KU', une quantité de mouvement Q' égale et contraire à Q. C'est ce que nous allons faire, dans le cas du choc d'un projectile sphérique et homogène contre un obstacle fixe.

477. Pour fixer les idées , je supposerai que l'obstacle fixe que la sphère M vient frapper est un plan horixontal, et que cette sphère tourne, avant le choc, autour d'un axe horixontal , perpendiculaire à la direction GH de son centre de gravité. La figure 103 représente une section du plan fixe et de M par ce plan vertical. Tout éUnt aemblable de part et d'autre de cette section, le point G ne s'écartera point de ce dernier plan pendant le choc, M continuera de tourner autour du diamètre perpendiculaire à ce même plan, et le même point de contact K glissera, pendant cette percussion le long de AB, intersection de ce plan vertical et du plan fixe.

Immédiatement avant le choc , j'appelle a la vitesse horixontale de G, dirigée suivant GO, 6 sa vitesse verticale , dirigée auivant GK, et ^ l'angle d'incidence HGK, de sorte qu'on ait

tang y = —.

Le mobile M étant supposé parfaitement élastique» ainsi que l'obstacle fixe qu'il vient frapper, il perdra d'abord, en se comprimant, sa quantité de mouvement verticale MA, puis il reprendra, en revenant à sa figure primitive, une quantité de mouvement é^ale et contraire; en sorte qu'après le choc, le centre de gravité G aura une vitesse verticale t, dirigée suivant le prolongement GE de G K Si donc on appelle, à celte époque, o' sa vitesse horixontale, dirigée suivant GD, ou en sens contraire, selon qu'elle sera positive ou négative; que GH' soit la direction de ce point, et qu'on désigne par y' l'angle de réflexion EGH', on aura

tang >' = b

La droite GH' sera située à gauche de la verticale EK, comme la droite GH, ou à droite de EK, selon que la quantité a' sera positive ou négative. Pour que l'angle de réflexion soit égal à l'angle d'incidence, il faudra que cette vitesse a' soit positive et

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

égale k a; la différence y' — y de ce» deux angles sera toujours de même signe que sV — a; et le point G rétrogradera quand la vitesse o' sera néga-

Soit aussi * la vitesse angulaire de rotation de M avant le choc , laquelle vitesse sera considérée comme positive ou comme négative , selon qu'elle aura lieu dans le sens indiqué par la flèche $, ou dans le sens opposé. Désignons par »' ce que devient cette vitesse angulaire après le choc. Le problème consistera a déterminer les valeurs de cl et d'après celles de a et •. Selon que la vitesse absolue du point K sera positive ou négative, c'est-èdire, dirigée suivant KA ou suivant KB , pendant une partie de la durée du choc, ou pendant sa durée entière, la solution présentera différens cas distincts, que nous allons examiner successivement dans le numéro suivant.

478. Je supposerai , en premier lieu , que la vitesse du point K soit positive, ou dirigée suivant KA, pendant toute la durée du choc. En appelant e le rayon GK de H, cette vitesse sera a -f- c» a. u commencement, et a' -f- c»' à la fin ; de sorte que ces deux quantités devront être positives. La quantité totale de mouvement imprimée à M suivant GK , soit pendant que le mobile se comprime, soit pendant qu'U revient à sa figure primitive, éUnt égale à 2116 , la quantité de mouvement provenant du frottement, et dirigée suivant KB, sera 2AM6, d'après le n» 476 } par conséquent, la vitesse horizontale a' du centre de gravité G après le choc, sera la même que si la masse H y était réunie, et que les quantités de mouvement Ma et 2AM6 y fussent

appliquées, en

qui i

En observant que 2/5 Me» est te moment d'inertie de M par rapport à son axe de rotation, et que 2AMAc est le moment, par rapport au même axe, du frottement dirigé suivant KB , on verra , sans difficulté, que la diminution . - de la vitesse angulaire de rotation sera déterminée tion

iMc (• — a») = 2AI6C; d'où l'on tire

De ces valeurs de •' et .', il résultera

sr* + = o + „• - 7M;

le cas que nous examinons, il faudra que k

îîf V*" °*' aU *' i P°» iu,re i »<>»t plus grande que

on aura