AA
Ung >' = -. — || = tang y - |ft ,
pour déterminer l'angle de réflexion y' d'après l'angle d'incidence y et le coeflicient A.
Si la vitesse absolue du point K est constamment négative, ou dirigée suivant KB, le frottement sera dirigé suivant KA , et il suffira de gnes des termes multipliés par A, dans du cas précédent, qui deviendront
a' = a + 2AA, « = « + ~, Ung y' = Ung y + 2A.
Pour que ce cas ait lieu , il faudra que la vitesse initiale du point K soit en sens contraire de celle de G, ce qui suppose que la roUtion primitive ait lien dans le sens opposé à celui qui est indiqué par la flèche t. A cause de
o' +■ c«' = a -f- c» -J- 7AA ,
il faudra, en outre, que cette quantité négative a -f- e. l'emporte sur le terme positif 7 Ai. Dans ce second cas, l'angle de réflexion surpassera l'angle d'incidence, Undis que, dans le premier cas, y' était moindre que y.
La vitesse du point K étant positive au commencement du choc, si elle devient xéro à un certain insUnt de sa durée, et qu'elle reste ensuite nulle jusqu'à la fin, on prendra, d'après le n° 478, AM (A + *') pour l'effet toUl du frottement , en désignant par b' la vitesse verticale de G à l'instant dont il s'agit, et regardant A' comme une quantité négative ou positive, selon que cet insUnt arrivera pendant que le mobile se comprime ou pendant qu'il revient k sa figure primitive. On en conclura,
et, par suite,
Ung y' = Ung y —
Si U vitesse du point K est xéro dès le < ment du choc, on aura b' = — 6; et le frottement étant uul, ou de la seconde espèce, pendant toute la durée de la percussion, il n'influera pas sur les valeurs de a', •', Ung y'. Si, au contraire, la vitesse de K ne devient nulle qu'à la fin du eboe, on aura b' = b, et ces formules coïncideront avec celles du premier cas. Généralement, la valeur de b' sera inconnue, et l'on saura seulement qu'elle ne peut pas dépasser ± b; mais comme on suppose nulle la vitesse finale du point K, il faudra qu'on ait
d'où l'on tire
et par conséquent ,
fia — 2c«
tung y' = Uog y —
La vitesse du point K étant positive dans une première partie du cboc , si elle devient négative dans la partie suivante , et que V soit la vitesse verticale, positive ou négative, de G, à l'instant de Ce changement de signe, les quantités de mouvement imprimées à H, suivant la direction de KG, seront H [b + V) et H (4 — *') pendant ces dcui parties de la percussion. D'après le n° 476, on prendra donc Al (6 + V)—kV {b—b') pour la quantité totale de mouvement produite par le frottement suivant la direction K.B ou KA. , selon qu'elle sera positive ou négative ; et comme cette quantité se réduit à 2hMb' t on en conclut que les formules relatives à ce quatrième cas se déduiront de celles du premier, en y mettant V au lieu de b. On y changera le aigne de h, comme dans le second cas, si la vitesse de K a d'abord été négative, pour devenir ensuite positive. Hais la quantité V n'étant pas donnée, ces formules ne feront pas connaître la
flexion , et l'on saura seulement que l'une ou l'autre est moindre que dans le premier ou le second cas.
La question serait encore plus compliquée, si le projectile tournait autour d'un aie qui ne fût pas perpendiculaire, comme nous l'avons supposé, au plan vertical dans lequel le point G ae meut avant le choc. Le frottement ferait alors sortir ce point de son plan pendant la percussion \ et non seulement l'angle de réflexion différerait de l'angle d'inces deux angles ne seraient i un plan vertical, a' cos * es V cos
479. Maintenant, pour montrer, indépend du frottement, l'influence du choc sur le ment de rotation, prenons un exemple simple, dans lequel la normale au point de contact des deux mobiles, qu'on peut regarder comme la direction du cboc, ne passe pas par le centre de gravité de l'un de ces deux corps.
Supposons que dans le choc l'axe instantané de rotation de M coïncide avec l'un des axea principaux qui se coupent à son centre de gravité, par exemple, avec Taxe Ga (fig 100); on aura alors jc=0 et o = 0. Supposons aussi que le point K et la normale commune aux deux surfaces en ce point, soient compris dans le plan des axes G* et Gy; ce qui reodra nulles les deux quantités c et cos y. En faisant
p=0, fs=0, c = 0, cosy=0,
dans les deux dernières équations (1) ou («), on en conclut p, — 0 et q t = 0, ou P sss 0 et Q = 0 ; en sorte que, dans les deux cas des corps mous et des
corps élastiques, l'axe de rotation coïncidera en-
en ayant égard aux suppositions précédentes, l'équation (3) se réduira à
(n cos C — b cos »}r ( -J- u, cos » + «*, cos C + «/ cos m! + x/ t cos C -f- w,' cos y' = 0;
et, en la combinant avec les équations (6), on CDdé-
core, après le choc, avec l'axe G s, et le choc changera seulement la vitesse de rotation i Taxe instantané, conformément à avons déjà vu dans le n° 437.
Prenons pour le corps M' une sphère homogène. La direction du choc passera par son centre de gravité , on aura donc, comme dans le n» 472, e> coe = o' cos y', b' cos y' = e' oos C ;
Menons par le point K des parallèles aux directions des vitesses ( et I' de G et G' avant le cboc ; soient t et f les angles que oes parallèles font avec KH ;
1 + (• cosC— Aoos •) r l + «scos«4-vcos£
