MM

+ « oos + v' cos * + w' cos y' = 0.

-f c cos C == ♦ cos t , •'cos.' + n'cosC+se'cos y> = -¥co%¥,

pour les composantes de 6 et •' suivant cette partie de la normale au point K.; et en éliminant r, an moyen de la quatrième équation (1), l'équation pré-

N N (a cos C — b cos •)» H

- + - + ' T. 1 + (a cos C b cos .)r

+ » cos t — V cos V = 0;

d'où l'on lire

K MM'C [{b cos • — a cos C)r -f- 6 ' cos f— t cos t] ~~ (M + M')t + M»' (i cos « — a cos C). '

Au moyen de cette valeur de 11, les trois premières équations (I) ou (4), selou que les mobiles seront mous ou élastiques, feront connaître les trois composantes u,, v,, w,, ou U, V, W, de la vitesse

DYNAMIQUE , SECOSDB PARTIE.

de G après le cboo , et les trois premières équations (2) ou (6) détermineront de même cetles de U vitesse finale de G'. Quant à la valeur de r, ou de R , elle se déduira de la quatrième équation (1) ou (4).

La quantité If doit toujours être positive, comme nous Pavons déjà remarqué ; et quand sa valeur sera négative, il n'y aura pas de choc entre lea deux mobiles. Le dénominateur de cette valeur est positif ainsi que le facteur Hl'C de son numérateur. Les quantités I et f, contenues dans l'autre facteur, sont aussi positives ; les quantités a, 6, cos «, cos C, cosf, cos* 1 , pourront être positives ou négatives; et leurs signes seront donnés dans chaque vas particulier. A cause de p=© et q~ 0, r sera , abstraction faite du signe, la vitesse de rotation avant le eboc. Pour savoir le signe qu'on devra lui donner dans la valeur de R, je considère un point situé Taxe G», à l'uni te de distance du point G ; la ce point, parallèlement à l'ase Gy, sera v -f- r avant le choc (n° 407) ; d'où l'on conclut que sa partie r devra être positive ou négative , selon que le mouvement de rotation primitif aura eu lieu, de Taie Gs vers l'aie Gy, ou de l'axe Gy vers l'axe Us, c'est-à-dire, dans le sens de la flèche # ou dans le sens opposé. Après le choc, la rotation aussi lieu dans le premier sens ou dans le selon que la valeur de r, ou de R sera positive ou négative.

480. Jusqu'ici nous avons supposé les corps M et M' entièrement libres; mais s'ils sont retentis par un point ou un axe fixe, la détermination

jours des mêmes principes, et ne différera que par le nombre des équations qu'on aura è considérer. Par exemple, si le mobile ■ est retenu par un

te G, les trois premières équations du n° 468 int plus nécessaires pour l'équilibre de M et des quantités de mouvement perdues, pendant le choc, par tous les points de ce corps. Ce point fixe G ne sera pas toujours, comme précédemment, le centre de gravité de H, et les intégrales fxdm,fydm , seront pin* nulles ; mais les sis quantités

R(ocosC-ftcosa) +C(r- *•,) = (>, Il (o cos a — a cos y) + B (q — q,) = 0, R(icos > .-cco.C) + A (p

on remplacera les trois équations précédentes par les trois dernières équations (4), et Ton fera usage des équations (5) au Heu des équations (2).

Si le corps M est retenu par un axe fixe G s , qui ne sera plue un axe principal, la quatrième équation du n° 4fl8sera seule nécessaire pour l'équilibre de R et des quantités de mouvement perdues par B.

nme Taxe de rotation coïncide alors avec G*, avant et après le choc, on aura p = 0, q — 0, p, = 0, q, = 0 ; et les trois composantes de la vi» tesse de G étant aussi nulles, cette équation se réduira encore à

R (o cos C — 5 cos m) + C (r — r,) = 0 ;

C étant toujours le moment d'inertie par rapport à

u, », w, u, , t>„ u- ( , seront xéro ; et eu prenant pour Gs, Gy, G», les trois axe* principaux de M qui se coupent en ce point G , les trois dernières équa-

2R (a cos C — b cos .) + C (r - R) = 0.

iront

comme dans le numéro cité. En y joignant les six équations (2) relatives ou corps M' , que je continuerai de supposer entièrement libre, et l'équation (3) dans laquelle on fera «7=0, Vf=°i u/,=0, on aura les dis équations nécessaires pour déterminer la valeur de >' , et les mou vemens des deux corps après le choc, lorsqu'on les supposera dénués d'é-

lorsque les deux n tiques ; et en y joignant l'équation (3) et celles qui répondent au corps M', ou aura toutes les équations nécessaires pour déterminer R et les mouvemens des deux mobiles après le choc.

481. Au lieu de deux corps seulement, si trois ou un plus grand nombre de mobiles se choquent uultanément, on formera les équations d'équilibre des quantités de mouvement perdues, dans le choc, par chacun de ces corps , en le considérant isolément, après avoir joint aux quantités de mouvement perdues par tous ces points, d'autres forces inconnues R, R', R", etc. , appliqués aux pointa de contact de ce corps avec tous les autres, et dirigées, de dehors en dedans, suivant la normale è sa surface. Pour tous les mobiles, ces forces inconnues seront en même nombre que les points de contact de ces corps ; car elles représenteront des quantités de mouvement égales et contraires pour les deux mobiles qui se touchent en chaque point. Mais , à l'instant de la plus grande compression , c'est-à-dire, à la fin du choc des corps dénués d'élasticité, l'équation (3) aura lieu pour chaque poist de contact ; d'où il résulte qu'on aura toujours un

cet instant, l'état de tous les mobiles , et les valeurs de R, R', R", etc. Quand les mobiles seront parfaitement élastiques , on obtiendra la solution du problème , pour chacun d'eux séparément, par la considération employée dans le n° 470.

482. Pour donner un exemple simple de cette solution générale, soieut H, H', #*, les masses de trois sphères homogènes, dont les ceutres sont G, G', C (fig. 104). Supposons que /* soit en repos avant le

par M et A', qui ta touchent aux points K et K Si M et M 1 ont un mouvement de rotation avant le choc, il ne aera pas changé par le choc ; et u n'en prenant aucun pendant cette percussion, on aara seulement à déterminer , eu gTandenr et en direction , lea vitesses de G, G', C, après le choc, au moyen des vide G et G» i

Désignons donc, avant le choc , par 0.6, c, les composante» de la vitesse de G, parallèles à trois axes fixes et rectangulaires Os-, Oy, Os, et par a', V, c*, les composantes de la vitesse de G', parallèles

u 1 ' , ce que deviennent ces six composantes à l'instant de la plus grande compression , et par «„ »„ w„ les composantes suivant les mêmes axes, de la vitesse de C à cet instant. Soient aussi <*, C, y, les angles compris entre le rayon KC et des parallèles aux axes Ox, Oy, Os, menées par le point k, et * \ C, y\ le* angles que fait le rayon K'C avec des parallèles à ces axes, menées par le point K'. Appelons, à l'instant dont il s'agît, N la quantité de mouvement communiquée à /» par I suivant KC, ou à H par u suivant KG, et If' celle qui est communiquée k n psr H' suivant K'C, ou à H' par /* suivant K'G'. Les neuf équations d'équilibre des quantités *V cos - + v, cos C + w, eos y

de mouvement perdues, et des forces R et H', qu'il

H (a — u) — N cos m = 0 , H (6 — v) — N cos C = 0, M (c — w) — H cot y = 0, V{a'—*) — W cos 0, E'(4't,') — H' co* C = Q t V(e'—u/) — IV cos yf= 0,

Ilcos » 4- N' 00s — 0, •N cosC +H'cosC- 0, Wcos > + W 00.^-^=0,

en 1

de KG et K'C.

L'équation (S), appliquée donnera, en même temps, cos • + V COS C + m cos y .

m, cos 4- v, cos C + tv, cos y' — «' cos + v' cos C + w' cos y'; et l'on aura , de cette manière , les onxe équations I inconnues R, V , u, », etc. nécessaires et suffisantes pour déterminer les onxe 1 Si noas faisons

points K et K',

t sera l'angle GCG', et k et k' En observant que

cos» a 4- cos» C 4- cos» y = 1 , les équations (a) donneront

• cas. +• cosC + u, cos y =k

sr'eos.' + t.' cos? + »p'cos > ' = *' ,

«,«>»• + *, co» C + w, cos y = -I— ,

• . . ■ . H' -|- N cos f «, COS COS C' + U/CPS y' = — !-- J

au moyen de quoi les équations (&) deviendront «W =N (■ + M ) + K'M cos t, WnV=z H' (I' + M ) + W cos /,

d'où l'on tire

* (M' 4. M ) Mg - VMM> cos >

— (M + /*)(B' + /u)MM'cos. * 1

y (M -f- m) M' m — KM/* co» f

- (H + M )(M' + M )-llll'co».* 5

valeurs qui devront toujours être des quantités positives. Après qu'on les aura substituées dans les équations (a), on en déduira immédiatement les valeurs des neuf composantes «,«, etc., des vites-

cos » cos »' -f cos C cos P -f cos y cos y' = cos I, a cos • + I co» C -f- c cos y = *, a' cos .' + *' cos C + e cos y' = *',

ses de G , G' , C , qui auront lieu à la fin du choc , lorsque les trois mobiles seront dénués d'élasticité.

S'ils sont, au contraire, parfaitement élastiques, et qu'on désigne, à la fin '

primitives de G et G' suivant GK et G'K

cos» 4. cos» C + cos» >' = 1 1

trois corps, par U, V, W, les composantes de la vitesse de G, par V, V, W, celles de la vitesse de G', par U, , \ , W , celles de la vitesse C, on aura , par la considération déjà employée dans le n« 470, ces neuf équations :

H (« — U) — N cos • := 0 ,

H (• — V) — Il cos C = 0,

■ [w — W) — N cos y = 0 , (ir* — U') — W cos 0,

M' (»/ — V) — FT 00s C = 0 ,

M'(u/W) - N'cos y'— 0,

Neos. + r es» .' + »(«, -UJae,

H cos C + W cos C 4- /. (*, — V,) = 0 ,

Il cos y 4- W cos y' 4- M {w, — WJ t= 0.

En ajoutant chacune d'elles à celle qui lui correspond parmi les équations (a), il vient

1 (o — V) — 2ÎI cos » = 0, M (0 — V) — 2N cos C = 0, H (c — W) — 2N cos y = 0, M'(o'-U r ) - 2N'cos »'= 0, M' (6' — V) — 2N' cos C = 0, M' (c» — W) — 2N' cos y' = 0 , 2N co» » 4- 2ÎS"' cos *' — ftV, = 0 , 2rïcosC4-2«»cosC'- /1 »V 1 = 0, 2Ncosy 4-2N'cosy'— f.Wp 0;

et il ne restera plus qu'à

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE. iOl

nier es équations les valeur précédentes de N et N', pour en déduire ensuite immédiatement les valeurs des neuf inconnues U, V, W, U', V», W, U„

V Lelvitesse. finale, de. po ntsG G' C, seraient encore les mêmes, si les chocs de M et de H' contre ft, au lieu d'être simultanés , se succédaient k un

très petit intervalle de temps, de sorte que ces

pendent ce temps très court. Les durées très c ourtes des deux chocs, simultanés ou successifs, peu 4 » vent aussi être inégales, et l'instant de la plut

KetE. P •P» ta « P°