SXEMPLES DU MOUVEMENT DON CORPS FLEXIBLE

$ Vibrations d'une tord» fUxiilê.

483. Soit A MB (fig. 106) une corde parfaitement », très peu extensible, homogène et partout »me épaisseur, tendue suivant sa longueur par une force équivalente à un poids donné <*, et attachée par ses deux extrémités k des points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à « ; et on U regarde, par conséquent, comme rectiligne dans son état d'équilibre. Cela étant, supposons qu'on i un tant soit peu de cette direction, et qu'on i de petites vitesses k tous ses points ; cette i oscillera de part et d'autre de la droite AIB; •t U s'agit de déterminer, k un instant quelconque, sa position et les vitesses de ses différents points.

An bout du temps quelconque t, supposons que cette corde forme la courbe AM'B, plane ou k double courbure , dans laquelle M' est la position qu'a prise le point quelconque 1. Soit P la projection de M' sur la droite AIB ; faisons

AP = m + «;

ipary et m les deux nées de B', perpendiculaires entre elles k Taxe AB. Les déplacemens des points de la corde étant supposés très petits, les variables u, y, z, seront aussi très petites, et la question consistera k déterminer leurs valeurs en fonctions de * et t.

Appelons d» l'élément différentiel de la courbe AH'B, qui répond au point H', et • la densité de la corde en ce point, multipliée par l'aire de la section perpendiculaire k sa longueur en ce même point, de sorte que tds soit l'élément de sa masse. Bans l'état d'équilibre, les élémens de cette masse sont proportionnels aux longueurs, puisque la corde est homogène et d'une épaisseur constante; la longueur

longueur de la comme la masse de ger pendant le

p et Me poids et la

, et g la gravité; et ne doit pas

Si cet élément tdt était sollicité par une force motrice donnée, dont les composantes parallèles aux axes des coordonnées fussent représentées par Xwi», Y«i», Zid», les composantes suivant ces axes, de la force perdue pendant l'instant df, seraient

bre de ces forces, qui seront celles du de la corde, il faudrait mettre

k la place de X, Y, Z, dans les équations (1) du n° 3*8, et y substituer pour td* sa valeur précédente. Or, les quantités X, Y, Z, étant nulles, paf hypothèse, il en résulte

Td (x + si) p *u

ds -Jl do '

T étant la tension de l'élément ub, et en < que #+ m est l'abscisse du point auquel ces éque-

on les a réduitet à la forme linéaire, par la tidération du peu d'étendue de* vibration* de la corde.

484. L'élément de la longueur de la corde étant dt dans l'état d'équilibre et étant devenu dt dans l'état de mouvement, et les tensions qn'il éprouve, dans ces deux états, ayant « et T pour mesures, leur différence T — m devra être proportionnelle au rapport de «on ettensioo dê—ds a sa longueur primitive dt (n» 283); on aura dooe

q étant on poids constant et donné, qui dépendra de la matière et de l'épaisseur de la corde. D'ailleurs, on a

dr» = (dx + du)' + dy + ds* ;

de plus, si AB'B,

les pointa de la de se*

dz

— ea dt

ÂT^-ïrT' di^= 0,

— seront de très petites fractions; en négligeant dt

leurs carrés, il en résultera donc

dt = dx + du, T = . + ? -;

dx

dudf

et si l'on néglige également les produits et

dx dt

dudt

, les équations (1) deviendront

dx dt

dTT» HT ~ a dxT> W

où l'on a fait, pour abréger,

Les variables t>, y, s. étant séparées dans ces équation* (2), ou en conclut que les vibrations de la corde , parallèles aux axes de », y, x, seront indépendantes entre elles, et coexisteront ensemble, sans s'influencer mutuellement. On voit, de plus , que le* vibration* tramrcrsaies seront le* mêmes dans 1* sens de* y et dans le sens des s; en sorte qu'il suffira de considérer les premières, par exemple. Quant aux vibrations longitudinales, nous voyons aussi, en comparant la première des équations (2) à l'une des deux deruières,qu'elles suivront les mêmes lots que les autres, dont elles ne différeront que par la grandeur du coefficient , qui surpassera a» dans le rapport de q à *.