Supposons qu'on ait, à l'origine du mouvement
y = *x , -=•'*; dt
ces deux fonctions ex et p x seront nulles pourx=0 et pour x = J, et données, depuis x = 0 jusqu'à x = /, par la Sgure initiale de la corde et d'après les viteues imprimées, à celte époque, à ses différons point*. En faisant * = 0 dans la formule (3) et daus sa différentielle par rapporta *, on aura
•x=/x + Fx, an =nX-. — a — ;
et si l'on fait
- fïxds a * r
DTNAaUQUE, SECONDE PARTIE.
et qu'on mette { au lieu de «, on en déduira
l*f, Ff = i«f. (•»)
La fonction *f contiendra une constante arbitraire; mais il est ét ident qu'elle disparaîtra dans la formule (3) , qui se compose de la somme des valeurs de fi et F;, relatives à deux valeurs différentes de {. On peut donc faire abstraction de cette constante , et supposer, pour fixer les idées, que la fonction 0f s'évanouisse, quand f = 0. Les équations (4) feront alors connattre les valeurs de/} et Ff, mais seulement depuis { — 0 jusqu'à t —l, puisque les fonctions 9; et *f ne sont données que dans cet intervalle.
Les points A et B étant fixes, il faudra que les valeurs de y qui répondent à* = 0 et X—l, soient constamment nulles. En faisant al = f , on aura donc, d'après l'équation (3),
pour toutes les valeurs de la variable positive ?.
En vertu de la première de ces deux équations, les valeurs de F ( — f ) seront égales et de signe contraire à celles de f( . Si l'on met dans la seconde équation (6), / -f- { à la place de f , et qu'on la retranche ensuite de la première, il vient
f(2l + t)=fti
ce qui fera connaître fï, depuis i = 0, jusqu'à t — to, quand celte fonction a un» été déterminée, depuis i = 0 jusqu'à t = 21. Enfin, en supposant t<l, et mettant t—f à la place de{,dunsla seconde équation (5), on a
f{2i - () = ~ If.
Par conséquent, les valeurs de/"(2/ — f ), depuis ( =s u jusqu'à t = If ou, ce qui est la même chose, celle de fi depuis ; = / jusqu'à ; = Si, seront connues, d'après les valeurs de Ff, depuis f = 0 jusqu'à t =i.
Ainsi, les valeurs de/? et Ff étant données par les équations (4), depuis ( = 0 jusqu'à ? = /, les équations (5) détermineront celles de f(l + f j et de F ( — (), depuis ( — 0 jusqu'à ( = 00 . On connaîtra donc toutes les valeurs de ces deux fonctions, d'où dépendent celles de y, pour tous les points de la corde et à un instant quelconque du mouve-
dfi d¥{
ment. Les valeurs correspondantes de — et — t
it dt
• rfy
et, par suite, celles de —, serontaussi connues ; et dt
les valeurs de a et — s'obtiendront de la même dt
manière. Par conséquent, on connaîtra la figure de la corde, et les vitesses transversales de tous ses pointa à un instant quelconque ; ce qui est la solution complète du problême , en ce qui concerne le .
mouvement de la corde, perpendiculairement à sa direction naturelle.
Il n'y a rien, dans la question, qui puisse servir à déterminer les valeurs /' ( — f), non plus que celles de F;, qui répondraient à ( > /; de sorte que ces parties des deux fonctions arbitraires, dont Psj. sage de la formule (3) n'exige pas la connaissance, resteront tout-à-fait indéterminées.
487. Pour connaître la valeur de y qui résultera des équations (3), (4), (6), je considérerai successivement la partie de cette valeur provenant de la figure initiale de la corde, ou de la fonction ex, et celle qui provient des vitesses initialesde ses différens points, ou de la fonction
1° A l'origine du mouvement, soit ACB (fîg. 106) la projection donnée de la corde sur le plan des x et y, de sorte qu'en prenant sur AB la partie AD=x, l'ordonnée correspondante DC soit ax. Après avoir prolongé AB, je trace la courbe BC'A', égale à ACB, mais inversement placée, de manière que, si l'on prend BD e= BD, l'ordonnée D'C soit égale et de signe contraire à DC. Sur les deux prolongemens de A A , je répète indéfiniment la courbe ACBC'A' , en sorte que A'C'B C' A" soit la position que prendrait ACBC'A', si cette courbe glissait parallèlement à Taxe des x, jusqu'à ce que A vînt en A' et A' en A", et que AC^C^A, soit la position de A'C'BCA, après avoir glisse de même jusqu'à ce que A' vint en A et A en A, , et de même au delà de A" et de A r Cela fait, si l'on prend deux abscisses
AE = * + or , AE' = x — al ,
dont la seconde pourra être positive ou négative, et qu'on élève les ordonnées correspondantes EF et ET', positives ou négatives, leur demi somme
f (EF + E'F') ,
sera la partie de y dépendante de la figure initiale de la corde.
2° Supposons que les ordonnées de la courbe ACB, au lieu d'être les déplacemens primitifs des pointa delà corde, représentent maintenant leurs vitesses initiales , divisées par a; en sorte qu'en prenant
AD = x, on ait DC= — a'x. Traçons une autre a
courbe ACH (fig. 107), telle qu'à l'abscisse AD=x
réponde l'ordonnée DC = - ffxdx = *x. L'in-
tégrale commençant avec x, et U fonction »'x étant aussi nulle, quand x = 0, celle courbe touchera l'axe des x au point A. Si l'on prend AB — /, et que BH soit l'ordonnée correspondante, on aura
BH = iy| ,'xrfx ,
et la tangente en It sera parallèle à l'axe des abscisses, à cause que l'on a ♦>'* = 0, quand x = l. Je
TBAITÊ DE MÉCANIQUE.
trace la courbe HC'A', égale à AGI, et placée de manière qu'en prenant Bit = BI), onaitD'C'=DC; puis je répète indéfiniment la courbe AGI C'A', fur le* deux prolongement de AA', comme daoa la construction précédente; et cela fait, ai l'on prend
\K • - ot, AK ' = m — at ,
dont la leconde pourra être positive ou négative, et qu'on élève le* ordonnée* correspondante* KL et K L', positives ou négative*, on ai
i- (KL - K'L'),
pour la partie de y qui résulte de* vitesse* initiales des points de la corde. La valeur complète de y
V**-, (» + rP) + i (KL -K'L'); (a)
et la même construction donnera la
pondante de — . En effet, on a dt
d.EF dt
(LKl dt
d.EF
d.E'F' dt
«LEF
d.KL d.K'V
d.KL
** — a f d U à.tT\ » /d.KL d.K'L'\
Or, si l'on mène par les points F, F' , L, L', (fig. 106 etl07), les tangentes F/", Vf, Li, L'f, et les droites Fsr, V'x, Lx, L'r, parallèles à l'axe des x et dirigées i le sens des s positives, on
d.ET
d.EF
±H = tang sTf,
= Ung *F/\
•LU d.K'L'
— = tang xU , -j— = Ung *LT ;
il en résultera donc
= - (Ung sYf - tang xTp) , dt 2
+ — (Ung xU + Ung xLT),
laquelle les angles seront toujours aigus, mais positifs ou négatifs; ce que U figure indiquera pour chacun des points F, F', L, L'.
On construira de 1. tfl
de «et— .
dt
488. II résulte de la construction de* courbes représentées par les figures 106 et 107, que quand le produit at augmente de», l'o <*S
— , exprimée* par les formules (o) et (6),
nent le* valeur* qu'elles avaient auparavant. Il en
dm
est de même à l'égard des valeurs de * et — . Par
dt
conséquent, la corde revient au même état, pour sa forme et pour les vitesses transversales de tons ses poinU, au bout de chaque inUrvalle de temps 2/
égal à— .Dans le vide, et en
A et
fixes, la
de petites
dont la durée serait pour chaque
tière, l'allée et le retour compris. Hais U resisUnce de l'air et la communication d'une partie du mouvement de la corde à ses points extrêmes A et B, affaiblissent graduellement les amplitudes de ses oscillations, et finissent par les anéantir, sans alté-
ble à celui que nous a présenté le mouvement du pendule dans l'air (n<> 100), et que je me contente d'indiquer comme une conséquence de l'analyse, confirmée par l'observation.
Si donc on désigne par T U durée d'une vibration ou oscillation entière de la corde, et par n le nombre des vibrations qui auront lieu dans l'nnité
» pi
Le ton d'une corde sonore est d'autant plus élevé qu'elle fait un plus grand nombre de vibrations en un temps donné ; il est donc déterminé par le nombre n, lequel est, comme on voit, indépendant de la grandeur des amplitudes, supposées très petites. Pour une même corde, ce nombre est proportionnel à la racine carrée de la tensiou «; pour cordes d'une même matière et d'une même scur, le poids t» est proportionnel à la longueur /, et le nombre n, à tension égale, en raison inverse de cette longueur; enfin, pour deux cordes de même longueur et également tendues, n est en raison inverse des racines carrées de leur poids. Ces
par l'expérience. Toutefois il y a des cas dont nous parlerons bientôt, où la corde, à raison de son éUt initial, se divise en parties égales, jointes par des poinU qui demeurent immobile* pendant touU la durée du mouvement ; ce qui éléte le ton proportionnellement au nombre de ces parties aliquote*. Si les points de la corde n'ont pas de vitesses ini-
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
tiales, on aura simplement
1 1 dy y — — EF + — ET', —
2 2 dt
En considérant avec attention la forme de la courbe représentée par la figure 106 , on Terra que toutes lea fois que ai sera un multiple quelconque de /, la
vitesse — sera nulle et la corde reprendra la même dt V
figure, mais située dans des positions alternativement inverses l une de l'autre. ACB (fig . 108) étant ** figure, quant f = 0, ce sera encore sa figure et sa position, quand ai sera un multiple pair de/; mais lorsque ai sera un multiple impair de /, la corde prendra la position inverse AC'B, telle qu'en faisant AD' = BD, on ait D C = — DC. Dans ces deux positions extrêmes ACB et AC'B, les vitesses transversales de tous les points de la corde seront xéro; et la corde emploiera le temps» T d'une demivibration, a passer de Tune à l'autre.
489. En général, les parties des lignes que représentent les figures 100 et 107 ne sont pas les prolongemens analytiques l'une de l'autre; ces lignes forment des courbes discontinue t, c' est-a-dire, des courbes dont tous les points ne sont pas assujettis à la même équation entre l'abscisse et l'ordonnée; mai v aux points dejonction A,, B it A, B, A', B*, etc. (fig. 106), A„ H„ A, H, A', H', etc. (fig. 107), de deux portions différentes, la tangente est toujours commune aux deux parties adjacentes. La courbe relative à la forme initiale de lu corde, et celle qui représente lu loi des vitesses imprimées a tous ses points, peu vent aussi être des courbes discontinues, ru qu'en chacun des points où leur forme ;e, la tangente reste néanmoins la même pour les deux parties adjacentes.
Cette restriction est fondée sur ce que par leur nature, la force accélératrice d'un point matériel et la vitesse dont il est animé, sont toujours des quantités finies, existantes et mesurables ; en sorte que dans les problème* de Dynamique, les fonctions du temps qui expriment les vitesses et les forces accélératrices des différens points d'un mobile, ne doivent jamais devenir infinies. Ici, la condition relative aux vitesses est remplie; car les vitesses s'expriment par la formule (&), au des tangentesde certains angles, multipliées par la constante a; et par hypothèse, ces angles ne s'élèvent jamais à 90°, et sont, au contraire, toujours très petits. Quant aux forces accélératrices , elles deviendraient infinies, dans les points où deux portions de la corde se couperaient sous un angle fini, et ces forces croîtraient sans limite, prés de semblables points dejonction.
En effet, soient m et m' (fig. 105) deux points de la corde, très rapprochés de M', et dont nous rendrons ensuite les distances a ce point infiniment petites. Considérons, à un instant quelconque, les
= - (tang ,Tf - tang xt'f).
forces qui agissent sur la portion mîl'm' de la corde, c'est-à-dire, les tensions qui ont lieu a ses extrémités, et sont dirigées suivant les parties mk et m'A' des tangentes en m et m'. Représentons ces tensions par H et H , et par u la masse de wiMW. Pour que la force accélératrice, parallèle à AB, de cette petite masse, ne devienne pas infinie, quand m »«« infiniment petite, il faudra que la différence H— H' soit très petite et au moins proportionnelle à ,a.De plus les composantes de H et H' perpendiculaires
à AB et parallèles a l'axe des y, seront B
dy dy
substituant — à —, comme dana dx di
le n° 484, et désignant par
