OD
valeurs de— qui répondent h m rt m'. La force dx
motrice qui tire vers AB, aura alors pour valeur
Pour que la force accélératrice correspondante ne soit pas extrêmement grande et ne devienne pas infinie, quand la masse /* sera infiniment petite, il sera donc nécessaire que cette différence soit aussi très petite, et au moins proportionnelle à p; et comme les quantités H et 11' diffèrent déjà très peu l'une de l'autre, il faudra qu'il en soit de même
a l'égard
dont In
devra être infiniment petite, quand les points m et m' seront infiniment rapprochés de M'. Donc, en aucun endroit de la corde et à aucun instant, lea tangentes mk et tn'k', en deux points infiniment voisius, ue pourront se couper sous un angle fini; ce qu'il s'agissait de faire voir.
Cette conclusion aura encore lieu, lorsque le corde sera composée de deux parties de matières différentes : à leur point de jonction, l'ordonnée y
dy
et son coefficient différentiel — devront avoir i
stumnient une même valeur pour ces deux parties; ce qui fournira, comme lu fixité des points extrêmes, des équations indispensables pour la détermination des fonctions arbitraires, et sans lesquelles lu solution du problème serait indéterminée \
• rej.i, pour cclU lolulinn, U Jeurn U 4» l'Êr,<U P<>'«!<WUif m . XVIlf chVr, p.»' 4«.
TRAITÉ DE 1ÈCAMQEE.
49n. D'Alembert a résolu le premier le problème des cordes vibrantes; la solution qu'il en a donnée est celle qu'on vient d'exposer , et qui est fondée snr l'intégration, sous forme finie, de l'équation
-i — -1; mais au
de la formule («)
du n<> 323, on peut aussi résoudre cette question
Quelles que soient les fonctions données •* et f pourvu qu'elles soient nulles , quand * ss. 0 et quand * = /, on a, d'après la formule citée,
t* = — 2^ysin — •«Wjsin—,
de *, depuis * = 0 jusqu'à
m=zl inclusivement, c'est-à-dire, pour toute la longueur de la corde; «' étant un nombre entier et positif, et les caractéristiques 2 indiquant des sommes qui s'étendent à toutes les valeurs de s, depuis s= 1 jusqu'à s=ao . D'un autre côté, toute «pression telle que
y = (A.in^ + Bcos^)sin(.« + C) f (à)
satisfait, comme il est facile de le vérifier, à l'équation donnée
df dx« U
, = - 2 (J j sin — m'*» ) »- — cos—
8 / /» I tV*' \ ' s*x irai
A, B, a, C, étant des constantes arbitraires. D'après cela, si l'on ,
cette valeur de y satisfera à toutes les conditions la solution.
En effet, chacun des termes des sommes 2 satis-
fera
t à l'équation (c);ptr
ces sommes y satisferont aussi, puisque cette éqii tion est linéaire. Si l'on fait s = 0 ou * = l dans U formule (d) , on a y = 0 , quel que soit I ; ce qui remplit la condition de la fixité des points extré i, la formule (at)<
et si l'on fait 1 = 0 dans ces
dy
de y et—, elles dt
deviennent es et en vertu de l'équation (à) ; ce qui satisfait à l'état initial de 1»
du problème est dne à lagrange, qui a aussi fait voir qu'elle coïncide avec celle de d'Alembert.
Avant Lagrange, D. Bernouilli avait déjà résolu le problème des cordes vibrantes, en prenant pour y une valeur composée de termes compris dans la formule (*), et assujettis à devenir nuls, quel que t, pour * = 0 et pour» =/, c'est-à-dire, au
y = ^A sin ïj? B cos sin —
+ / A lia — - l-B'cos— j-lsui —
/ Unat 3*at\ .
+ ^A'sm — |-B"cos— jsiii— ,
elc.
dans laquelle A , A' , A" , etc. , B , B* , B" , etc. , sont des constantes arbitraires. 11 manquait à cette solution, pour être complète, la détermination de ces coefticiens, d'après un état initial de la corde, donné arbitrairement ; ce qui était, sous le rapport de l'analyse, la difficulté principale de la question : cette formule :/, suffisait, d'ailleurs, pour faire connaître les différens modes de vibrations transversales des cordes sonores, et les lois de ces vibrations.
401. Les formules (d) et («) mettent en évidence les lois du mouvement de la corde vibrante, que l'on a énoncées dans le no 488; elles montrent aussi que le ton peut quelquefois s'élever, comme on l'a dit dans ce uuméro, et le nombre m des vibrations dans l'unité de temps , devenir un multiple de sa valeur générale , sans que la tension de lu corde ait été changée.
Eu effet, supposons que les valeurs de ex' et «V soient telles que l'on ait
/'I in*' /*» i*x'
^ •x'sin—dr^O.y o »'*' sin— oV=0, (y)
pour toutes les valeurs de s qui ne sont pas des mul.
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
tiple» d'an nombre donné es; conditions que Ton peut remplir d'une infinité de manières différentes. Les formules (d) et (•) ne renfermeront que des
sinus et
des multiples de^;
queut, l'état et U position de U corde redeviendront les mêmes toutes les fois que at augmentera d'un ZI
multiple de-; et d'après la
de c, celle du (no 488),
c'est-à-dir«, qu'il se trouvera augmenté dans le «pport de m à l'unité.
Dans ce cas, la formule (d) ne
y = 0 pour les points équidistaus N,
R", etc., de la corde (fia;. 109), qui répondent à
i U Mi
* = — » = — i — — , etc. ; en sorte que ces points, m m m
au nombre de m — t , demeureront immobiles , comme les points extrêmes A et B, pendant toute la durée du mouvement. Pour cette raison, on appelle les pointa II, H», R", etc., des nm*d* dt vibrations. A l'origine du mouvement, ils n'auront reçu aucune vitesse, et n'auront pas été écartés de la droite AB. Les parties de la corde ACN, NCN', YC'N" etc., situés alternativement d'un côté et de Fautre de AB, vibreront comme des cordes isolées, dont les longueurs AN, IW, NU», etc n sont toutes
i I —, et dont les ribrations isochrones et
ég.l
ai
La
dit ions exprimées dre, par exemple ,
mrx
M ss h sin —, s* = 0;
a étant une constante donnée. Cela suppose que les points de la corde n'ont pas reçu de vitesses initiales, et qu'à l'origine du mouvement elle était formée de m parties égales et situées alternativement d'un côté et de l'autre de AB. Chacune de ces parties de courbe est ce qu'on appelle une trochoïd* , qui a /
pour longueur —, et pour hauteur h. Dans ce cas,
1* formule (d) se réduit ou seul terme de la première partie, qui répond à s = m. En effectuant
l'intégration relative à on a
. mwx y = h lin cos
vixat
la figure de la corde est donc composée, pendant toute la durée du mouvement, d'un nombre m do trocholdes , d'une largeur constante et d'une hauteur variable ; et elle coïncide avec la droite AB ,
tontes les fois que ai est un multiple impair de — .
Cette solution particulière du problème des vibrantes esi celle que Taylor avait f que la solution générale fût connue.
492. Tout ce que nous avons dit par rapport aux vibrations transversales s'applique immédiatement aux vibrations longitudinales. Il suffira, pour avoir à un instant quelconque l'expression de la variable u du n» 483, de mettre dan» celle qu'on a trouvé* pour y, la constante • du n» 484 a la place de a. On prendra alors pour ex le déplacement du point 1 (fig. 106) à l'origine du mouvement, suivant la longueur de la corde, c'est-à-dire, la valeur initiale de HP; et a'* exprimera la vitesse initiale du point B, suivant MB ou MA, selon qu'elle sera positive ou négative. Ces fonctions tx et p'x seront données arbitrairement , depuia s = 0 jusqu'à fmjj et si elles changent de forme dans cet intervalle, il faudra que , pour les valeurs de * où cela arrivera , chacune de ces fonctions et son coefficient différentiel aient cependant la
Il résulte de là que si l'on appelle T' U entière d'une vibration longitudinale , c'est-à-dire, l'intervalle entre deux états identiques de la corde, et »' le nombre de ces
• 39 * pi
Ce nombre »' et le ton de le corde qu'il détermine, ne dépendent pas de sa tension m ; cependant l'observation indique que le ton longitudinal s'élève un peu quand la tension augmente ; circonstance qu'on peut attribuer à ce que la longueur de la corde , comprise entre les points A et B, restant la même, son poids p diminue quand on l'étend davantage.
493. En comparant ce nombre s»' à celui des vibrations transversales delà même cordej on a
en sorte que, toutes choses d'ailleurs égales, le ton
aigu que celui qui répond aux vibrations transversales, dans le rapport de |/£~à
Le poids g est la tension qu'il faudrait employer ponr doubler la longueur naturelle de la corde, en supposant que la loi de son extension fut constante. En effet, si l'on suppose que, pour une tension donnée A, la longueur d'une partie quelconque de la corde augmente dans le rapport de 1 t s l'unité, l'élément adjacent an point M, qui éprouve successivement les tensions « et T dans l'état d'équilibre et dans l'état de mouvement, augmentera
dans les rapports de l + — et de H à l'unité;
A A les longueurs dx et ds, dans ces deux états, seront donc entre elles comme A + tm est à A + JT ; en sorte que l'on
d'où l'on tire
ds - ds t (T - m)
en négligeant le carré de la fraction l. D'après les valeurs de ds — dx et de T — « du n° 484 , on aura donc
par conséquent , q sera la tension qui répondrait a i ■ — . 1, ou qui doublerait la longueur de la corde,
ment.
Comme la tension « d'une corde sonore est toujours très éloignée de celle qu'il faudrait employer pour en doubler la longueur, il s'ensuit que le rap-
port
{/Ldun'k
n est toujours très considéra-
ble. On peut le déterminer, à priori, d'après l'allongement de la corde produit par la tension *, et t; car si l'on appelle y cet al-
puisque tt est celui qui répond à la cette valeur de « et
A; et
l'expression de — , il
d'où l'on conclut, réciproquement.
pour la valeur de 1'
de — .
Ce rapport très simple du nombre des vibrations longitudinales à celui des vibrations transversales d'une même corde, a été vérifié par une expérience que H. Cagniard-Latour a faite sur une corde très longue, dont les vibrations transversales étsient lentes pour qu'on pût les cou
§ II. Vibrations longitudinales d'une verge élastique.
404. Cette verge sera homogène ; et , dans son état naturel, je la supposerai prismatique ou cylindrique : lu figure 110 représente alors une section faite par le filet moyen AU, c'est-à-dire, par la droite qui passe par les centres de gravité de toute* les sections de la verge perpendiculaire à sa longueur (n» 314). Si la verge est, par exemple, un cylindre h base circulaire, AB est son axe de figure; son diamètre est très petit, et dans tous les cas, les dimensions des sections normales sont très petites par rapport a la longueur de cette droite ; mais elles sont , cependant , asseï grandes pour que la verge résiste à la flexion, et soit ce qu'on appelle une verge élastique (n«306).
Dons le mouvement longitudinal de cette verge , que nous allons d'abord considérer, tous les points appartenant à une même section normale auront , à chaque instant, la même vitesse parallèle à AB ; en sorte qu'il suffira de déterminer le mouvement d'un point quelconque M de cette droite.
Prenons sur cette droite un point fixe C ; et, dans l'état noturel de la verge, représentons par * la distance CM, qui sera positive ou négative, selon que 1 appartiendra à la partie CB ou à la partie CA de AB. Dans l'état de mouvement, soit M', au bout du temps t, la position que prendra ce point M; faisons MM' = si ; et considérons u comme une quantité positive ou négative, selon que ce déplacement aura lieu du coté de B ou du côté de A , de sorte qu'on ait toujours CM' = s + «. Il s'agira de déterminer la valeur de u, en fonction de * et t
Appelons p le poids de la verge, / sa longueur AB, et g la gravité. Dans l'éUt naturel de la verge , le masse de l'élément qui répond au point M, et qui e
pds
dx pour longueur, sera Cette masse ne changera pas pendant le mouvement; et si l'élément est sollicité par une force accélératrice X, dirigée dans le sens M'B ou M'A, selon qu'elle sera positive ou négative, sa force perdue pendant l'instant dt <
is par T la tension du agité sou extrémité M', et sera une quantité
DYNAMIQUE, SECONDE PABTIE.
tive ou négative, selon qu'elle aura lieu du dedans
dï
en dehors , ou du dehors en dedans ; T + — dx
di
ciprimera la tension qui agira , en sens contraire de T, à l'autre extrémité de cet élément ; il sera dono tiré, dans lo sens M B, par une force égale à
*rr
— dx; et, pour l'équilibre de cette force et de la sisj
précédente, il faudra qu'on ait
ce qui s'occordc avec l'équation (a) du n° 319, Aux deux bouts A et B, il faudra, en outre, que
la valeur de T soit égare à une force particulière,
qui agira suivant AB a l'extrémité A, et suivant le
prolongement àv AB a l'extrémité B.
