La longueur naturelle de l'élément que
nous considérons étant de. et sa longueur devenant
dx + du, quand il est soumis à la tension T, ou
aura
du
si Ton représente par U l'allongement total de la verge , lorsqu'elle est soumise à une tension constante et donnée A (as 493).
Je supposerai qu'aucune force donnée n'agit sur les points de la verge ; on fera alors X es 0 dans l'équation du mouvement; et en y mettant pour T sa valeur, il en résultera
d*~ ~ °* d7? ' (1) ou ^^J^ F
On aura, en outre,
du du
e== «7' ' = 7,' T = ÎS>
en désignant par v la vitesse du point W , et par * la dilatation de la verge en ce même point. Quand la valeur de s sera négative, cette dilatation se changera en une contraction ; et la tension T agira dans le sens M'A ou dans le sens M'B, selon qu'il y aura effectivement, dilatation ou contraction. L'étal de la verge, à un instant quelconque, sera
donc connu , lorsqu'on aura déterminé u en fonction de * et f; mais pour obtenir sa valeur, il faudra joindre à l'équation (1) celles qui répondent à l'état initial de la verge et à ses extrémités. Or , quand t — 0, je supposerai qu'on ait
de sorte que fs et p'x soient des fonctions données arbitrairement, depuis * = 0 jusqu'à *==/, en prenant pour C la position initiale de A. De plus, à chaque extrémité fixe de la verge, il faudra qu'on ait u = 0, pendant toute la durée du mouvement ; et T exprimera la pression que ce point fixe aura à supporter. A chaque extrémité libre qui ne sera
sollicitée par aucune force donnée, il faudra qu'on du
ait de même T ss 0, ou — = 0, pour toutes les vadx
leurs de t.
496. On résoudra ce système d'équations de la même manière que celles qui répondent aux cordes vibrantes, soit en partant de l'intégrale sous forme finie de l'équation (l), soit par des formules semblables à celles du n° 490. Voici en employant ces formules les résultats qui répondent aux différentes hypothèses qu'on peut faire sur les extrémités de la verge.
1° Si les deux points A et B sont fixes, il faudra que les fonctions données ex et a'* soient nulles pour t = 0 et pour * = /, et l'on aura, comme dans le numéro cité ,
Toutes les fois que at augmentera de Zi, cette valeur de « et celles de v et * qui s'en déduisent , et par suite l'état de la verge , redeviendront les mêmes qu'auparavant ; par conséquent, si l'on appelle T la durée d'une vibration entière, et n le nombre des vibrations dans l'unité de temps, on
en sorte que le ton sera le même que si la verge était une corde flexible vibrant longitudinalement.
2o Si le point A est fixe et le point B entièrement libre, il faudra que les fonctions •* et soient
dfx
nulles, quand * = 0, et que l'on ail »"»>i— = 0 quand r = /; l'expression de « sera alors
TRAITÉ DE IÉCAHIQUE.
le» sommes 2 l'étendant t ou j ours à tontes les valeurs du nombre entiers, depuis s=l jusqu'à s==qo . En effet, tous les ternies de cette taleur de m salisà l'équation (1); ils remplissent, quel que
•oit t , les conditions u = 0 quand m — 0 et — = 0
quand s = / , qui répondent à ce second cas ; et , pour i = 0, on en <
(=»' -JW
ce qui est effectivement vrai , en vertu de l'équation (7) du n° 329.
La valeur de u et celles de « et de « qu'on en déduit, redeviendront les mêmes, toutes les fois que ai augmentera d'un multiple quelconque de 42; par conséquent, si Ton appelle T' la durée d'une vibration entière de la verge, ou l'intervalle compris en* tre déni retours consécutifs de la verge au état, on aura
Cette durée sera donc double de celle qui avait lieu dans le premier cas, et le nombre des vibrations dans l'unité de temps sera seulement moitié. Donc le ton longitudinal d'une verge fixe à un bout et libre à son autre extrémité, est a une octave au-dessous du ton de la même verge fixe par ses deux bouts; ce qui est effectivement confirmé par l'expérience.
3° Enfin, si la verge est libre à ses deux bouts , do*
les valeurs de — devront être nulles pour x=0 et as
pour * = /, et l'on aura,
cos — — ex'aV I cos —j— en» — j- (1), ainsi qu'à la
les sommes 2 s'étendant, comme précédemment, à toutes les vnleurs du nombre entier s*, depuis *=1 jusqu'à s* = ao .
Cette valeur de u satisfait , effectivement , à PéV
du 1 ^ 2
- = *<x sa— / eVoV + dr / «/• |
ce qui s'accorde avec la formule (8) du n° 329.
Lorsque^ ftVeV n'est pas aéro, la vergo, indépendamment de ses vibrations, a un mouvement progressif et uniforme, dont la vitesse, commune à tous ses points, est égole à cette intégrale divisée pari. Si on la suppose nulle, la verge deviendra au même état, pour les valeurs de «qui différeront
entre elles, d'un multiple de — ; en sorte que la
dans l'unité de temps , seront les mêmes que dans le premier cas. Il en résultera donc que le ton d'une verge fixe par les deux bouts, esta YunUton de relui de la même verge entièrement libre ; ce qui est aussi conforme à l'expérience.
Au reste, il ne s'agit , dans ce qui précède , que
dm
— = 0 pour dx
m = Q et pour * = /, qui doit avoir lieu, quel que soit I, dans ce troisième cas. Pour fc=0, elle i
du ton fondamental, ou le plus bas, d'une vergo élastique. La remarque du n° 491 sur les noeuds de vibrations et sur les élévations de ton qui leur correspondent, s'étendra sans difficulté au mouvement de cette verge, dans chacun des cas qu'on vient
497. Quand la verge dont nous considérons ta mouvement longitudinal, s'étendra indéfiniment de part et d'autre du point C, on n'aura plus à tenir compte de ce qui arrive à ses deux bouts et les valeurs de la vitesse v et de la dilatation o, relatives à un point et un instant quelconques, se déduiront immédiatement de l'intégrale de l'équation (1) sous forme finie, daus laquelle il suffira de déterminer les deux fonctions arbitraires, d'après les valeurs initiales de s> et s, qui seront données en fonctions de s.
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE
m = t(* + at) + 4(0 - at) ;
• et 4 indiquant le* deux fonctions arbitraires. On en déduit, à un instant quelconque ,
dt \ dx z
- = a = *(« + «<) , dt(x-at) dx dx T a*
Pour f = 0, je suppose qu'on ait
r = /», a = Fjt.
Dans le cas que nous considérons, ces deux fonctions seront données pour toutes les râleurs positives ou négatives de U variable ; en faisant t =z 0
d'où l'on lire
T ox * '
rt par conséquent,
aVJ.(,a<) 1 % I
^ -~ 0* 0< ) zâ ~ ^
Quels que soient t et jr, on aura donc r = ±f{, + ai) + -1 f(« - a<)
+ lF(* + ol)-lF( 1 r-o < ),
formules qui feront connaître l'état de la verge à un instant quelconque ; ce qui est la solution complète du problème.
498. Ces équations (2) renferment les lois de la propagation des ondes sonores le long d'une verge élastique, et, généralement, dans une barre solide, homogène, d'une longueur indéfinie, et dont les sections perpendiculaires à cette longueur sont partout les mêmes et d'une petite étendue.
Le son partant du point C, la barre aura été ébranlée, à l'origine du mouvement, dans une étendue peu considérable, de part et d'autre de ce point. En désignant par Sa la longueur de l'ébranlement primitif, les fonctions fx et F* seront nulles
depuis * sa jusqu'à * = ce , et depuis m ss — • y jusqu'à m = — ce ; elles seront données arbitrairement et indépendamment l'une, de l'autre , pour toutes les valeurs de s comprises entre ± • ; et les fonctions f(m + at), f(m — at), F (* + at), F (s — at), n'auront aussi de valeurs différentes d« téro que quand la quantité * -f- at ou * — at, contenue tous le signe/ ou F, sera plus grande que — • , et plus petite que • , en ayant égard aux signes et en regardant a comme une qualité positive.
D'après cela , dès quo at aura surpassé 2a, on aura e = 0 et s — 0 pour tous les points compris dans l'étendue de l'ébranlement primitif; en sorte que le mouvement de cette partie de la barre ne
durera que pendant un temps égal à — . Pour un
point H situé au delà de cet ébranlement, du côté des x positives, on aura
*>•, n«+o») = 0, f(*+««) = 0; et les équations (2) se réduiront à
v = -f[x-at) f(s-at),
2o 2 d'où il résulte
Tant qu'on aura x > ai -f a . ces valeurs de v et a seront nulles; elles le redeviendront dès qu'on aura x < at — • ; l'ébranlement parviendra donc
au point H au bout d'un temps égal à ■ *; sa du-
rée sera — ; et la partie de la barre qui sera ébran- ■
lée à la fois , et dont H fera partie, aura 2m pour longueur. Les mêmes résultats auront lieu du côté des * négatives.
Ainsi, de part et d'autre de l'ébranlement primitif, il se produira une onde sonore, d'une étendue constante et égale à celle de son ébranlement, qui se propagera uniformément avec la vitesse a.
Les vitesses propres que prendront successivement les points de la barre , ne varieront pas avec distances au lieu de l'ébranlement primitif; en i que l'intensité du son, qui dépend de la grandeur de ces vitesses, sera constante, et ne s'affaiblira pas en se propageant; ce qui lient à ce que cette propagation a lieu dans une barre cylindrique ou prismatique.
Dans l'étendue d'une onde sonore, ta vitesse ne sera' pas , comme en tous les points de l'ébranlement primitif, indépendante de la dilatation correspondante : l'une sera proportionnelle à l'autre , en vertu de l'équation r = - m, qui i
TRAITÉ DE EÉCAMQtlE.
la vitesse r da point quelconque M eit une fraction de la vitesse de propagation , exprimée par la dilatation $ qui répond au même point, et que le mouvement propre de H aura lien en aens contraire ou dans le sens de la propagation, selon qu'il y aura en ce point dilatation ou contraction.
Il est important de remarquer que c'est à raison de ce rapport entre v et *, que chaque onde sonore produitene se partage pas en deux autres, et se propage dans un seul sens. Si ce rapport existait dans toute l'étendue de l'ébranlement primitif, le mouvement ne se propagerait aussi que d'un seul côté. Ainsi , en supposant qu'on ait fx = — «F* , les équations (2) se réduiront à
pour les valeurs de s négatives et plus grandes que — », abstraction faite du signe, on aura donc r=0 et m — (i ; en sorte que le mouvement ne se propagera pas au delà de l'ébranlement primitif du côté des s négatives. Il en serait de même du côté des x positives, si l'on supposait f* — ofx.
D'après ce qu'on a vu dans le n° 490, la < de la propagation du son dans une barre indéfinie, pourra se conclure de la durée des vibrations longitudinales d'une verge élastique, de la même matière et d'une longueur donnée. En supposant cette verge fixe ou libre à ses deux bouts, la valeur de a sera égale au double de sa longueur divisée par La durée de chacune de ses vibrations, laquelle durée se déduira de leur nombre dans l'unité de temps, et , par conséquent, du ton le plus bas de la verge : on doublerait le résolut de cette division , si la verge était fixe à une seule extrémité.
499. Au lieu de s'étendre indéfiniment dans le sens des * positives, si la barre est terminée en un point B, situé en dehors de l'ébranlement primitif, le son, après être parvenu en B, sera réfléchi vers le point C ; et il se formera un icko en ce point B , soit qu'on le suppose fixe, ou qu'il soit entièrement libre.
Je représente par c la distance CB, qui sera plus grande que ». Dans le cas où B est un point fixe, il faudra qu'on ait constamment r — 0 pour r = c. Or, on remplira cette condition en formules (2) par celles-ci :
ai) fi*e -*-•#)
+ - F v x + ai) + - F x • 2 2
•ans que ces expressions cessent de représenter l'état initial de la barre, et sans que la val- ur de « , qui a'en déduit d'après les « imitions
du du
dt
dx
cesse de satisfaire a l'équation (I).
En effet, la variable x n'étant plus grande que c pour aucun point de la barre, cl c surpassuut », on a 2e — x > » , et , conséquemment , /' (2c — *) = 0 et F (2 c — *)= 0 ; d'où il résulte r = f x et t = Fx, quand 1 = 0. A cause de e > m, on a aussi ■+- at) = 0 et F (c -f- at) =0; ce qui donne v = 0, pour * = c et quel que soit ». Eufin , on a de dê
identiquement — = — ; et la valeur de u , dont la dx dt
différentielle complète est rdi-j-idx, sera la somme d'une fonction de x — ut et d'une fonction de x -f ut , qui satisfera , par conséquent , à l'équation (1).
Cela posé, pour un point M tel que l'on ait *>», les quantité* /> + at) et F (x -f at) seront nulh s.
.,) + F(ïc - x - at),
at) f{*ç - x - at)
**)+- F^c - x - at ,
et les valeurs précédentes de e et * se réduiront à
en faisant , pour abréger,
Lf(s-ot)-- F (*««) = *', 2 2
— T2c — x — at) /"(2c — * — at sa r,.
La quantité r' cessera d'être nulle quand on aura ai> x — m] elle le redeviendra pour at = x + • ; le temps continuant de croître , t>, cessera d'être xéro pour at = 2c — x — », et le redeviendra pour at = 2c — x -\- » ; d'où l'on conclut que le point 11 éprouvera deux ébranlemens séparés l'un de
l'autre pnr un intervalle de temps égal à
Le premier sera le son direct , et le second le réfléchi ; ils auront l'un et l'autre la même inten-
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
sité, et se propageront avec la même vitesse a, et >, d'après le sens de la propagation, Pun réàt? et l'autre à — v„ on Toit qu'il y aura , pour tous les deui, le même rapport entre la vitesse propre du point M et la dilatation positive ou négative dont elle sera accompagnée. On trouvera les mêmes résultats en supposant que le point B soit entièrement libre , auqttel cas on devra avoir constamment s — 0 pour X — c.
Ces lois de la propagation et de la réflexion du son dans une barre solide, ont également lieu dans le cas de l'air contenu dans un canal cylindrique ou prismatique, très étroit ; celles des vibrations longitudinales d'une verge élastique, qu'on a exposées dans le n° 4M , conviennent aussi aux vibrations de l'air renfermé dans un tuyau d'une longueur donnée , ouvert ou fermé à ses extrémités , c'est-à-dire , aux sons des flûtes } en abstraction, toutefois, des dues à l'embouchure *.
$ III. Choc longitudinal des verges ilast
600. Les formules du n» 496 s'appliquent au choc de deux ou plusieurs verges élastiques, forlème matière^ ayant la même section i , et dont les Blets moyens se meuvent sur ligne droite. Pour cela, pendant toute la durée du contact de ces corps , on les considérera comme une seule verge élastique, cyliudrique ou prismatique, dont l'état, variable d'un instant à l'autre, sera déterminé par ces formules dans toute sa longueur, excepté dans une étendue de grandeur insensible, de part et d'autre des points de jonction.
En effet, considérons seulement deux verges élastiques dont AE et FB (fîg. 111) soient les filets mojens. Lorsqu'en se rapprochant à raison de la ide leur* vitesses, la distance EF de leurs és E et F sera devenue insensible , et ne ssera plus le rayon d'activité des forces moléculaires , les molécules extrêmes de l'une des deux verges commenceront à agir sur celles de l'antre, et réciproquement ; cette action mutuelle i, en variant d'intensité, tant que la dis- EF sera moindre que le rayon d'activité; la force totale pourra être répulsive ou attractive; et c'est réellement dans cette action à distance insensible, des points extrêmes des deux corps, que consiste le phénomène du choc. Or, la loi de l'action moléculaire en fonction de la dislance nous étant inconnue, on ne pourra pas déterminer la valeur de EF en fonction du temps , non plus que les variations de vitesse que les points extrêmes des deux verges éprouveront en vertu de cette force;
* V0j*% , tor ce i ni ni , mon Mémoire lur lt Kommual an M'< «(•<*'••"• •*«»• tvjnx rjlimériian «t tur 1* Tkémt é» , * «.!, .;u, pirtie.du tomt II dei Jf<Wr*. d, RaV»
en sorte que si g et f sont des points de AE et FB, situés à des distances de E et F, insensibles et moindres que le rayon d'activité moléculaire, les vitesses des points matériels appartenant aux tranches qui ont «E et ff pour épaisseurs , seront inconnues pendant toute la durée du choc. Hais au delà de e et f, et dans toute l'étendue de As et /B l'équation (1) du n<> 495 aura lieu , et l'état de ces deux parties de la verge totale se déterminera , à un instant quelconque, au moyen de l'intégrale de cette équation, suivant l'hypothèse que l'on fera sur les deux bouts A et B, fixes ou mobiles , c'està-dire , au moyen des différentes formules du n« 496 , dans lesquelles on n'aura plus qu'à mettre des valeurs convenables pour les fonctions arbitrairea e*r et e'jr.
601. Les forces moléculaires variant très rapidement avec la distance, il s'ensuit que les vitesses inconnues des points extrêmes des deux verges varieront de mènse ; de sorte qu'à un instant quelconque les vitesses des points E et F pourront différer beaucoup de celles des points s et f, quoique les distances «E et /F soient insensibles. Il en sera de même à l'égard des vitesses des points s et f t comparées l une à l'autre, que nous déterminerons d'après leurs valeurs initiales et qui seront inégales et pourront même avoir des signes différens; mais on démontrera , comme dans le n» 489, que la tenaionT, positive ou négative, devra être sensiblement la même en ces points • et /*, sans quoi la force accélératrice de la masse de grandeur insensible, comprise entre les sections normales en ces points, deviendrait infinie.
Avant le choc, nous supposerons que i des deux verges a la même vitesse dans toute son étendue; dsns cet état, la tension T sera nulle pour tous les points des deux mobiles : au commencement du choc, c'est-à-dire , lorsque la distonce EF atteindra le rayon d'activité moléculaire , ou aura doncT = 0 aux points e et/, comme dans tous les autres.La tension, toujours égale pour ces deux points extrêmes, cessera ensuite d'être nulle : nous en déterminerons la valeur ; et l'on verra qu'elle redeviendra xéro après un certain intervalle de temps. Or, si à cette époque les vitesses des points s et /"permettent que les deux verges se séparent , c'est-à-dire , si ces vitesses sont dirigées en sens contraires, ou bien, si elles sont dirigées dans le même sens , et que la vitesse du point qui va devant soit la plus grande , les deux verges se sépareront effectivement , et le choc sera terminé. Hais si, à l'époque dont il s'agit, les vitesses de « et/* ne remplissent pas l'une de ces deux conditions, le choc recommencera, pour ainsi dire; la tension , égale aux points • et /", reparaîtra ; puis elle redeviendra nulle au bout d'un nouvel intervalle de temps; et aiusi de suite , de manière que les deux verges ne se sépareront pas , et vibreront comme une verge unique, dont la longue» «t AB.
Ainsi , la condition nécessaire et suffisante pour qne le choc se termine , et que Tune des deux verges se détache de l'autre, est le concours de ces deux circonstances s 1° il est nécessaire que la tension soi nulle aux points e et /. afin que les deux verges ne s'appuient pas l'une contre l'autre ; 2° il Tant, en même temps, que les vitesses de ces deux points soient dirigées en sens contraire , ou bien, qu'elles soient dirigées dans le même sens, et que celle du point qui ta devant soit la plus
Quant aux deux bouts A et B , nous supposerons successivement qu'ils sont libres tous les deux , et qu'un seul est libre et l'autre fiie.
602. Désignons par c et c' les longueurs AE et FB des deux verges , et par / la distance totale AB ; de sorte qu'en négligeant la distance insensible EF, on ait e + ésss I pendant toute la durée du choc. Soit H un point quelconque appartenant à AEou FB ; immédiatement avant le choc , appelons x la distance du point M à un point fixe, pris sur la droite AB, et qui sera la position du point A à cet instant. Au bout du temps t , compté de cette époque , soit x 4- u la distance du même point M a ce point fixe; non
! constante qui représentera la vitesse de la propagation du son dans la matière dont les deux verges sont formées (n° 498).
On aura , en même temps ,
du du
* = -, T = , -, dt dx
, pour la vitesse « du point M , et pour la tension T, positive ou négative, qui aura lieu en ce
une constante donnée. La dilavitesse r se déduira deT,
tation qui
et aura — T pour valeur
Ces trois équations auront lieu pour toutes les valeurs de x , depuis * = 0 jusqu'à * = /, excepté celles qui répondraient à des points situés entre a et f, et qui dilTéreraient, conséquemment , de e d'une quantité insensible en plus ou en moins.
603. Pour t = 0, on aura u = 0 dans toute la longueur de AB; ainsi, il faudra supprimer le terme dépendant de fx , dans les formules du n° 406. Examinons d'abord le cas où les deux bouts A et B sont entièrement libres.
Soit h la vitesse commune à tous les points de AE, à l'instant où le choc commence, laquelle vitesse sera supposée positive, ou dirigée de A vers B. Soit aussi A' la vitesse des points de FB, au même instant, qui sera positive ou négative, selon que les deux verges iront à la suite «iu à la rencontre Tune de l'autre. Ces constantes h et h' seront données, et leur différence h — h' devra être unequan. tité positive , afin que le choc ait lieu. Dans l'expression de m relative au troisième cas du n» 490 , il faudra prendre pour t'x une fonction qui soit égale à k , depuis * = 0 jusqu'à une valeur de * un tant soit peu moindre que c , et égale à *', depuis une valeur de m un tant soit peu plus grande
que e, jusqu'à m = I, ou,
f'\'x'ds'=:kc + h!c',
o *V cosl^cïV = -(»-*>„?;
u = (*e + fcV) - +
On
et, à cause de ex 1 =0, l'expression de « deviendra
1 **c sVx . sWa< - [h — h ) 2 — sin — cos— sin -— ; ° il * * /
b toutes les valeurs du nombre entier et positifs, depuis s = 1 jusqu'à x=ao .
r = L (*c + W) + 1 (* - *») X L , in cosl^ co. — \
iVof
— l* — * ) 2 — sin — - sm — sm :
et si l'on appelle m et m' les masses des deux verges proportionnelles à leurs longueurs c et c 1 , le premier terme de cette valeur de v est la vitesse m \ -L m'A'
de leur centre de gravité. Si les deux
M^iar
vitesses h et h' sont égales et de môme signe, on aura constamment e = k et T = 0 ; et , en effet , les deux verges vont alors à la suite l'une de l'au-
tre, avec primer.
Les séries périodiques et convergentes qne ces formules renferment sont comprises parmi celles dont on sait déterminer les sommes exactement. Pour toutes les valeurs données de x et t , ces sommes se déduiront, sans difficulté, de la for-
1 t = sin t - I si „ 2» + L siu 3, 1 ||a 4(
+ etc.
DYNAMIQUE, 8EC0NDB PARTIE
I est une variable renfermée entre les limites + w exclusivement. On pourra donc calculer les valeurs exactes de la vitesse e et de la tension T, à chaque instant et en un point quelconque de A« et /B; ce qui est la solution complète du problème.
Il y a plusieurs manières do parvenir à la formule (3). On l'obtient, par exemple, en différentiant par rapport à *, l'équation (8) du n« 326, i y ovoir mis m* pour •* ; ce qui i
es
que /, et dans laquelle la somme 2 s'étend à toutes les valeurs dn nombre entier s*, depuis s = 1 jusqu'à s = qd . En effectuant l'intégration par les rè-
gles
on a
y»i . fa* t»oV Zh . " co% —- -r = T* cot "'
nn aura donc
cos fa gin «*£>
si • 1 '
résultat qui coïncide avec l'équation (3), en faisant «»
604. En vertu de la seconde équation (2), la valeur de T est nulle ; non seulement quand 1 = 0, mais aussi quand t est un multiple quelconque
de — ; elle Test aussi, quel que soit», aux deux
* = 0et*r=*.
Si t est séro ou un multiple pair de — , la pre-
mière équation (2) donne
r = (Ac + W)
ou , ce qui est la même chose ,
- (Ac + IV)
dee + c»=r*et cos sV = (— Or, on
peut prendre
pour tdans la formule (8) ;
et il en résulte
^(-iy , : „ «>(c'- »)
Si l'on a * < c, c'est-è-dire, si le point H appar tient à A*, on pourra aussi prendre pour t la
tité , qui sera moindre que * ; on aura
donc
et ces valeurs réduiront l'équation (4) à » = A. Si, au contraire, le point H appartient i /"B, on *> eet 2/ — </ — *</; on
»« (of + *) . i* (2i c* — *) sin - = - sm -
la form ule (3)
sin
fa (e* -f- s) » (2/ — c' — x)
et, au moyeu de cette valeur et de celle de
, l'équation (4) se réduira
Les vitesses initiales A et A' des deux parties A* et fB de la verge totale, sont donc ainsi vérifiées. On voit , de plus , qu'elles ont lieu non seulement quand f = 0, mais aussi toutes les fois que t est un
multiple pair de — ; et comme à ces époques T est
xéro pour la verge entière , il s'ensuit que , pour toutes ces valeurs de f, les deux parties de la verge se trouveront dans le même état qu'au commencement du choc.
On peut remarquer que la première équation (2) serait en défaut , si on l'sppliquait à la vitesse initiale du point E ; car si Ton y fait # = 0 , et qu'on ait exactement * = c, il en résultera
1 2 (__iy tVo
TRAITÉ Dl MÉCANIQUE.
Or, d'après l'équation (3), od a
on aurait donc « = V ; ce qui ne aérait vrai que de V = h, où l'état de la partie corres-
pondante k «B ne peut différer de celui du reste de la verge. Mais nous avons dit que, dans le cas général , cette partie et celle qui répond à ff ne sont pas comprises dans les équations du i
Si (est un multiple impair de — , la
équation (2) donne il
• = - (*c + IV)
Or, en comparant cette valeur de* à la formule (4), on voit qu'elles se déduisent l'une de l'autre par rechange des lettres k et h\ c et c 1 ; d'où l'on conclut , sans nouveau calcul, que quant t est un multiple impair de — , les points qui répondent à une o
valeur de * moindre que c', auront la vitesse »', et ceux qui répondent à * > c, la vitesse Aj c'est-àdire , que si G est un point tel que l'on ait AG = <? et GB = e, et qu'on prenne f et y' k des distances insensibles de part et d'autre de G , la vitesse h! aura lieu dans la partie Ao, et la vitesse k dans la partie o^B.
606. Il résulte de cette discussion que si Ton a c = e», la partie A* aura la vitesse V au bout du
temps i =: — j et la partie /B, la vitesse k au bout a
du même temps ; et comme k cet instant la tension T est partout égale k aéro, et que, par hypothèse, on a k > k', il s'ensuit que les deux verges se sépareront l'une de l'autre (n° 601) ; en sorte
que , dans ce cas , la durée du choc aura été — , et
les deux mobiles , parfaitement élastiques et égaux en masse, auront fait, après le cboc , échange de leurs vitesses avant le choc.
Réciproquement , si les longueurs e et c' sont différentes, le choc ne finira pas , et les deux vergée élastiques ne pourront pas se séparer ; car les époques où la tension est nulle coïncideront toujours avec celles d'une vitesse commune et égale , soit k k, soitk k\ pour les deux extrémités E et F, ou , plos exactement , pour les deux points • tif.
Mais si l'on a c* > c, auquel cos le point G appartiendra k /"B, et si l'on suppose que la verge élastique soit coupée en ce point, de sorte que la partie FBsoit elle-même formée de deux parties FG et GB,qui avaient une même vitesse k' avant le choc^ la partie GB se séparera au bout du
«=— .En effet, k cet instant, la a
nulle, et les vitesses V et k des points g et y' permettront la disjonctio
le choc , dont la durée aura été — ,
le cas de 0' = 0, la partie GB se mouvra avec la vitesse k , et les parties AE et FG , avec la vitesse commune k'. La même chose aurait encore lieu si les trois parties AE , FG , GB , étaient elles-mêmes coupées et divisées en d'autres portions égales ou inégales , pourvu qu'avant le choc toutes les portions de AE eussent une même vitesse h, et toutes les portions de FG et GB une vitesse commune k\
Ainsi, supposons, par exemple, qu'une verge homogène, prismatique ou cylindrique , soit coupée en un nombre n + n' de parties égales j et imprimons une vitesse k aux » premières parties, aveo laquelle elles viendront choquer la série dea »' autres parties , qui seront en repos avant cette percussion. Si n surpasse n', aucune partie ne se séparera , et elles seront toutes transportées dans le sens du cboc , en oscillant suivant cette direction, et faisant entendre le ton correspondant k la longueur entière de la verge, libre par ses deux bouta ; mois si l'on a n' > * , les parties antérieures, au nombre de m , se détacheront des autres, pour se mouvoir avec une vitesse commune et égale k k, et les n' autres parties demeureront en repos et juxtaposées. Ce résultat, étendu par analogie k une série de sphères , comprend le phénomène dont il a été question dans le n» 363.
606. Considérons maintenant le cas où le point A est fixe. Avant le choc, supposons que la partie AE soit en repos , et que tous les points de la partie FB aient une vitesse commune et négative, que nous représenterons par — k. Il faudra alors faire usage de l'expression de m relative au second cas du n» 496, dans laquelle on fera = 0 depuis s — 0 jusqu'à * = c, et t's = — k depuis * = c jusqu'k * = e -f. c* = J. A cause de e* = 0 , pour toutes les valeurs de * , il en résultera
rns
(8> — l) we
(2s - 1) « (8s - 1) wat
* Tl ».« Ti '
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
d'où i on Cire
wa 2s - l
(2» — 1) wc
(2s — 1) wo
formules dans lesquelles les séries sont du genre de celles dont on sait déterminer les sommes, et qui feront connaître exactement la vitesse et la tension, à chaque instant, en un point donné de A e ou éêfk
Ou emploiera , à cet effet , la formule connue
— = cos • oos 31 + — cos fil + etc., (•)
4 Jfc 6
qui ■ lieu pour toutes les valeurs de I comprises
entre ± L * exclusivement , et qui se déduit , par
exemple, de le formule (7) du n° 326, en la diffé-
(U — 1) m (tt — l) *at
cos
2i il
rentiant après y avoir mis m au lieu de ex , et en y s*
faisant ensuite — es I.
607. En vertu de le seconde équation (6), la tension T est nulle en tous les points des deux verges, lorsque t est téro ou un multiple quelconque
de -.
Si t est téro ou un multiple pair de — , la pre-
Uo»(«).
ou , ce qui est la
ï tliLcos <«- ')«(« + O Ï W - 1 W J'
» de c + c> = f et sin fW ~ ï),r = - (
Or, d'après l'état initial des deux verge», cette formule , en tant qu'elle se rapporte à t = 0 , doit se réduire à t» = 0 pour * < e, et à • = — k pour * > c; et c'est d'abord ce qu'il s'agit de vérifier.
En prenant pour • dans l'équation («),
il en résulte
(- iy ... (m -i)
Quand on a * < a, on peut
-pour I; ce qui
et ces formule* réduisent, effectivement, l'équation (7) a » = 0, Quand on a * > c , on aura aussi 2J # c' </; en
. tr (31 - m - c')
et observant que
rn, (2 '" ~ 1} * + fl (tt - 1) , («f - « - c')
la formule (6) donnera
^Lebiizi^s,:,
au moyen de quoi et de la valeur précédente de
réduira à r = - *, con
îme cela doit etre.
Lorsque t est un multiple impair de —, la valeur
de e, donnée par la première équation (fi), est égale et de signe contraire à celle qui a lieu quand
«est îéro ou un multiple pair de — ; il s'ensuit
donc qu'au bout d'un temps égal à — , tous les
points de A« ont des vitesses nulles , et tous ceux de/3, des vitesses positives et égalesè I; eteomme h cet instant I. tension T est partout égale k séro , il en résulte que la verge PB se détachera de I»
verge AE , et «en réfléchie avec une m t esse égale et contraire à celle qu'elle avait avant le choc.
Ainsi le choc de la verge FB contre la verge AB, qui t'appuie en A contre un obstacle fixe, durera
pendant un temps égal à — , et aéra conforme à ce
qui a été dit , dam le n° 362 , sur la réflexion d'un corps parfaitement élastique. On peut aussi remar-
au milieu du choc,
d'un temps égal à — , on aura e a= 0, d'après la a
première équation (6), pour toutes les » «leurs de xj en sorte qu'à cet instant U verge choquante FB aura perdu toute sa vitesse, et la verge AE n'aura aussi aucun mouvement. Au même instant, on aura, en vertu de la seconde équation (6),
*a | 2. -1 ZI
qu'on
d'où l'on conclura , par le même calcti
l'équation (7), T = ou T =0; selon
aurax < c ou * > c. Au milieu du choc, la tension est donc nulle pour toute l'étendue de la verge choquante ; mais la verge choquée est condensée uniformément ; et c'est la pression qu'elle exerce dans le sens AE, ou de dedans en dehors, qui fait rebondir la verge choquante.
§ IV. Digression tvr Ut intigraUi des c quai ions
608. Si l'on excepte un petit nombre d'équations aux différences partielles, celles d'un ordre supérieur au premier ne sont point intégrables sous
i finie , lors même qu'il s'agit d'équations li- Pour résoudre les problèmes qui conduisent a ces équations , on est donc obligé , le plus souvent , de recourir à leurs intégrales en séries ; et il faut alors qu'on soit certain, dans chaque cas, que la série dont on fait usage a toute la généralité que comporte l'équation donnée aux différences partielles, et qu'elle renferme des fonctions arbitraires en nombre suffisant pour exprimer l'intégrale complète de cette équation. Or, il n'y a pas de règle générale à ce sujet : ce nombre peut être moindre que celui qui marque l'ordre de l'équation donnée , ou des différences partielles les plus élevées qu'elle renferme j il change avec la quantité suivant les puissances de laquelle la série est ordonnée ; et il peut même arriver que toutes les fonctions arbitraires disparaissent , et que la série ne contienne plus qu'un nombre iuflni de constantes arbitraires, sans qu'elle, cesse néanmoins, d'exprimer l'intégrale complète. Ce sont ces diverses circonstances que nous allons examiner, d'abord en général, et ensuite plus particulièrement, en ce qui concerne les équations linéaires auxquelles on est conduit dans la plupart des problèmes de Mécanique et de Physique.
609. Soit u une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes I, x, y, s, etc. Suppo*
que cette fonction doive satisfaire à une équa"
tî — j
tion donnée aux différences partielles, que nous représenterons par L = 0. Quelle que soit la valeur de «, on peut toujours la concevoir développée en série ordonnée suivant les puissances de l'une des variables f, x, y, x, etc., ou, plus généralement , d'une autre quantité I dépendante d'une ou plusieurs de ces variables. Soit donc
« = P»« + QIC + Rt» +
», C, y, etc., P. Q, R, etc., étant des exposans et des coefficiens indéterminés. Si je substitue cette valeur de u dans l'équation L = 0 , que je développe ensuite L suivant les puissances de I, et que j'égale séparément à téro les coefficiens de tous les termes de ce développement, j'aurai une série d'équations, dont chacune renfermera une variable indépendante de moins que L = 0; et si je parviens à obtenir les valeurs les plus générales de *, C, y, etc., P, Q , R , etc., qui satisfassent à cette suite d'équations , la série (a) sera aussi la valeur la plus générale de u qui satisfera à l'équation L = 0. Selon la quantité I qu'on choisira , on aura ainsi différentes expressions de u en série, qui seront toutes , sous des formes équivalentes, l'intégrale complète de L = 0 ; en sorte que si cette intégrale peut aussi s'exprimer sous forme finie, chacune de ces séries en sera un développement différent, et pourra toujours s'en déduire. Toutefois , lorsqu'on sera parvenu, d'après les autres conditions du problème qui aura conduit à l'équation L = 0, a déterminer toutes les quantités arbitraires que contiendra la série (a), il faudra qu'elle soit convergente pour qu'on en puisse faire usage ; et si elle devient divergente pour des valeurs de I, on devra changer cette quantité , et remplacer la série (a) par une autre , ordonnée suivant les puissances d'une variable différente.
Cela posé, en prenont pour 1 = 0, des équations linéaires de différens ordres, on verra que les coefficiens P, Q, R, etc., déterminés de la manière la plus générale , peuvent néanmoins renfermer des nombres inégaux de fonctions arbitraires, selon que la série (a) sera ordonnée suivant les sances de telle ou telle variable I ; et l'on
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
, l'avons dit plus haut, qu'il ...» armer que toutes le» fonction» arbitraire» disparaissent de cette série , qui ne renfermera plus alors que des constantes arbitraires en nombre infini, et qui n'en sera pas moins l'intégrale complète de l'équation L = 0. Le caractère distinctif de cette forme singulière de l'intégrale complète , sans aucune fonction arbitraire, d une équation linéaire aux différences partielles , consiste en ce que tous les termes de la série qui la représente se déterminent indépendamment les uns des autres , et satisfont séparément à l'équation donnée , de manière que la valeur générale de m est la somme
d'nm fonction.
610. Soit, pour exemple , l'équation très simple, linéaire et aux différences partielles du second
- = a (6) dt dx*
dans laquelle a est une constante donnée. Si l'on développe la valeur de «suivant les puissances de*, on trouve pour la série la plus générale qui satisfasse à cette équation
* ,x a. t* di ts aM3
! fonction arbitraire. Sous cette forme, I présente la valeur de u qui répond à < = 0. Hais l'intégrale complète de l'équation (J)ne comporte I si l'on développe la valeur générale de u suivant donc qu'une seule fonction arbitraire, laquelle re- l les puissances de *, on trouve
" — T 1.1 adt T 1.2.3.4 a* dt* d+t ^
•4- etc.
+**'+ — 7d7 + i. 2 .3.4.5 irr» + elC5
4<et *f étant deux fonctions arbitraires , qui ex-
du
priment les valeurs de « et — , relatives à * = 0.
dx
Par conséquent, sous cette autre forme, l'intégrale complète de l'équation (4)
arbitraires.
Ces deux séries s'obtiennent par la méthode des coefliciens et des exposans indéterminés, en faisant successivement h—t et i=x dons la série (a). On le» déduit aussi du théorème de Taylor ; car on a , d'après ce théorème ,
u = D + (I - .1 V +^77^ ï''+7J7 l ' +etc,
en désignant par • une valeur particulière de t , et supposant
du d* u d s m
pour cette valeur t = *. Or, l'équation (b) et ses > succès si > es par rapport à f '
d* II
V = a — -, dx*
d* V diV U" = a -— — a* — , dx* dx 1 *
d* V" <fi V
U<"= a-— = a» — , dx' dx*
etc.
La quantité U restera donc seule arbitraire, et I on
du [ a , (t—,)* d* U
