dx
ce qui coïncide avec la série (c), quand on prend xéro pour la constante», c'est-à-dire, quand on développe suivant les puissances de I, et que l'on fait U = ex. On obtiendra semblablement la série (<f>
Ces deux séries (c) et (d) peuvent , au reste , se transformer l'une dans l'autre. En effet , dévelop-
de*, et soit
Dx s
Ex*
Txi
+etc.,
où l'on désigne par A, B, C, D, E, P, etc., des arbitraire! ;
d* ex Ex» Fx»
— C + D* H -4 h etc.,
d* *>x dxi
= E + Fx+ete.
au moyen de quoi la série (c) détiendra
Ea> t*
u = A + Cat +
Fa» <•
+ etc.
+ (B + Dal + - + eic.J* + (C + E* + etc.) .fL
+ ( D + Fa ' + etc -)i4-3'
•f etc.
Or, si l'on fait
Eo< t*
A + Cat + -— + etc. =r 4*\
B + D«* + + etc. = *t,
4* et*< seront deux fonctions arbitraires et pendantes l'une de l'autre ; on en déduira
C + *at + etc. =±L'; D + Fol + etc. = ~,
ete. ;
avec la série (ci). On transformera semblablement cette série (<f) dans la série (c).
•U. Maintenant , désignons , à l'ordinaire, par « la base des logarithmes népériens, et « = «x La série (a) deviendra
•j = Pa** + Qe Cx + Re>* + etc ;
les coefficiens P, Q , R, etc., seront des fonctions de*, et les «posans «, C, y, etc. des quantitéa constantes. On aura donc
du
dt
dp 7i
dQ
Cs
dR
dt
je*
= a' P«** +C 0/* + y R.''* + etc.
dï*
En substituant ces valeurs dans l'équation (6), et égalant ensuite les coefficiens des termes semblaans les deux membres , on en conclut
dP dQ dR
— =am.' P, — = oC» Q, — = ay R. etc., dt dt dt
par conséquent , les exposans » , C , y , etc. , ront arbitraires, et l'on aura
P = Aa°*' Q = Ba aC * * R = C. - *' ', etc..
en désignant aussi par A , B , C , etr. , des tes arbitraires. Donc il en résultera
Aa a *' V* + B. flC * V* + C«°>* V* + etc., (a)
pour l'intégrale complète de l'équation (6), ordonnée suivant les puissances de l'exponentielle e*; série qui est aussi le développement de cette intégrale, ordonnée snivant les puissances de a*. Or, on voit que cette série (•) ne contient explicitement aucune fonction arbitraire ; qu'elle renferme seulement deux séries infinies A, R, C, etc., », C , y y etc., de constantes arbitraires ; et que chacun de ses termes satisfait isolément à l'équation (*).
En développement celte expression de « suivant les puissances de », on a
*.= As*
•* + Ra Cx + Ca>* + etc.
+ (A.» + BC a C * + (V e>* + etc.)al
+ (A.* t** + b:* . c * + <v ,-/*+ctc.)~
+ etc.*
et si l'on fait
A«** + Ba Cjr + C*>* + etc. = »x, ajrscra une fonction arbitraire , on aura
Km* BC« + Cy* •>* + etc. = ^21 ,
Kmk a - * + BC* •>* + etc. =^jf ,
etc..
et la série (a) coïncidera avec la série (c). On fera de même coïncider la série (a) avec la série (d), en développant la première suivant les puissances de x , pour la rendre comparable à la seconde.
M2. Chacune des deux séries (c) et (a) peut être exprimée sous forme finie , au moyen d'une même intégrale définie.
D'abord , en désignant par n un nombre entier
positif, on a évidemment
Soit aussi
en désignant par y une constante positive , et met-
tant» \/g" et \/g dml la place de « et dm, les limites de cette intégrale ne seront pas changées , et
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
l'on aura
d'où l'on tire
