q< ]/a~t <P »x 16»* a» r» <fr a* x

et, d'après le théorème de Taylor, elle se réduira

Quelle quesoit la consUnte », on ne changera pas

non plus les limites de l'intégrale J ~ "dm,

en y mettant m — a. [/' at au lieu de on aura

d'où l'on tire

dm,

On exprimera de même les autres exponentielles qui entrent dans la série (•}, laquelle dcvicndfj) , de cette manière ,

= - f* [Aa* t* + ** + Ba C (« + »• ^

+ C^(* + '-^ fl 0 + ete.]a— Or, si nous faisons , comme plus haut ,

A.** + Ba C * + Ca>* + etc. = a*, nous aurons en même temps ,

> + >• I/Ç5 + etc. = a (* + 2. \Z7ty, ce qui fait coïncider la valeur précédente de « avec

la formule If).

Cette équation (/') est , sous forme finie , l'intégrale complète de l'équation (6); elle ne renferme, comme on voit, qu'une seule fonction arbitraire, qui se déterminera immédiatement d'après la valeur de u relative à t = 0. Toutefois, cette forme de l'intégrale complète suppose que cette valeur de u, qui sera celle de ex, croisse avec la variable dans un moindre rapport que ***, et que le produit t— **ex s'évanouisse pour * = i 00 i * ans

quoi la quantité comprise sous le signe / croîtrait indéfinimeut avec «, pour toutes les valeurs de t différentes de téro , et l'intégrale définie , dont les limites sont « = ±x, aurait valeur infinie, ce qui est inadmissible Si nous faisons , pour un moment ,

dx dx*

nous déduirons de l'équation (/ .

du a dt kJ -

» i/at

en intégrant par partie, et supposant que le produit de e"~"* et a' (* + 2» [/âT) s'évanouisse aux deux limites , on a

y* " »' (x + 2. ^)p^== fZtf* * { ' + u Vat)A "

ce qui fait

la valeur de — atec celle de dt

a — , et satisfait, par conséquent, à l'équation (6). dx»

En partant de la série (d), on parviendrait a une intégral e sous forme finie de cette équation, moins simple que la formule (/"), et qui contiendrait deux fonctions arbitraires.