IV + N

DYNAMIQUE, SECONDE TAKTIE.

M, N, 0, étant des quantités qui ne contiennent que l'inconnue P, d'où se déduiront M', N', 0', en y mettant Q au lieu de P, puis M", N", 0", par la substitution de R à la plane de Q, ctainsi de suite. Tontes les quantités M, M 1 , M", etc., seront nulles, lorsque l'équation L= 0 ne sera que du premier ordre, par rapport h t. Dans tous les cas, cette équation donnée L=0 se décomposera en celles-ci :

M*» N* +0=0, ) M'C» + N'C + 0' = 0, ' (h) *V+ + 0"= 0, S etc.

Par conséquent , les exposans a , C , y , etc. , seront des constantes arbitraires; les cocfficicns P, Q, R, etc., se détermineront indépendamment l'un de l'autre, au moyen de ces équations (h) , qui sont toutes semblables; et tous les termes de la série (o), c'cst-h-dire, de l'intégrale complète de l'équation L = 0, ordonnée suivant les puissances de l'expo, nentiellee', seront des intégrales particulières de cette même équation.

Les équations (h) seront linéaires, comme I. i», par rapport à l'inconnue que chacune d'elles renfermera. Si L ne contient qu'une seule des trois coordonnées *, y, s, elles seront simplement des équations différentielles ; et alors la série (q) ne renfermera que des constantes arbitraires, savoir, «, C, y, etc., et les constantes qui seront introduites par l'intégration des équations (h). Quand elles seront aux différences partielles, on pourra souvent les traiter comme l'équation L = 0, et exprimer leurs intégrales complètes en série d'intégrales particulières.

515. On peut donner une autre forme à la série (y), en y changeant les exponentielles en sinus et cosinus. Soient, en effet, x , p, r , etc., d'autres constantes arbitraires, et p, q, r, etc., p',q\ r\ etc., d'autres inconnues. Si l'on met dans cette série

± * |/^t| ± M Y / ~± ' P^ÏTetc, au lieu de », C, y, etc. ; qu'on y remplace P, Q, R, etc.,

± j- r 1 \/ — 1, etc. ; et que l'on prenne ensuite la somme des valeurs de u qui répondront ans deui signes def/ — 1, on aura

u — }> COS > ( -f- 'j COS ut -\- r COS tl -f- ttc. |

-f- p' sin xl + q' sin fit + r* sin tt -f- etc. ) ^

Pour la généralité de l'intégrale de L=0, exprimée indifféremment par cette dernière formule ou par la série (a), il faudra que les constantes x, /*, », etc., aussi bien que a, C, y, etc., soient réelles ou imaginaires; mais il y a des problèmes dans lesquels les valeurs déterminées de x, /*, r, etc., seront toutes réelles, et d'autres dans lesquels aucune des valeurs de «, C, y, etc., ne sera imaginaire. Dans le premier cas, il conviendra d'employer la formule (s"), et dans le second la formule (y) ; et lors même que

l équation L = 0 sera intégrable sous forme Bnie , il arrivera souvent, dans des problèmes de Mécanique ou de Physique, que l'expression de son intégrale, au moyen de l'une ou l'autre de ces deux séries sera plus propre que l'intégrale sous forme finie, à faire découvrirjoutes les circonstances du phénomène dont on s'occupera. Les questions relatives aux petites oscillations der points d'nn corps élastique ou d'un fluide, qu'on a un peu écartés de leur état d'équilibre , sont celles où il conviendra d'employer les expressions des inconnues sous la forme de la série (*).

Lorsque les valeurs générales de P,Q, R, etc., et, par suite, celles de p, o, r , etc. ,p' , q' , r 1 , etc., ne renfermeront que des constantes arbitraires . la formule (t) s'écrira plus brièvement de cette manière :

« = 1p cos xf + sin xf ;

les caractéristiques 2 indiquant des sommes qui s'étendent a toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires de x et des autres constantes arbitraires, contenues dansp et//. On pourra, si l'on veut, faire croître ces valeurs par degrés infiniment petits, et remplacer les sommes 1 par des intégrales ; mais cette autre forme équivalente de l'expression de u n'a aucun avantage; et il vaut mieux conserver la précédente.

516. Indépendamment des équations aux différences partielles quiconviennent à tous les points du système, il y n toujours, dans les divers problèmes de Physique on de Mécanique, d'autres équations qui n'ont lieu que pour les points extrêmes; telles sont, par exemple, dans le problème des vibrations longitudinales d'uue verge élastique, les équations relatives à la fixité ou à l'entière liberté des deux bouts de cette verge. Ces équations particulières serviront, dans chaque cas, à déterminer les valeurs d'une partie des quantités arbitraires que renfermera la série {g) ou la série (i) ; quant à celles de ces quantités qui resteront encore indéterminées après qu'on aura en égard à toutes les équations de ce genre, elles dépendront de l'état initial du système. Pour en obtenir les valeurs, j'ai suivi, dans un grand nombre de problèmes différens, un procédé uniforme, que je crois applicable à tous les cas, soit que la question ne présente qu'une seule inconnue u, et ne conduise qu'à une seule équation L = 0, soit qu'il y ait à déterminer plusieurs inconnues dépendantes d'un égal nombre d'équations aux différences partielles, linéaires et simultanées. Ce procédé général o aussi l'avantage de fournir, dans chaque exemple, la démonstration de la réalité des constantes a, C, ^,etc, ou des constantes x , /u, r, etc., qui dépendent d'équations transcendantes quelquefois très compliquées, et dont il serait souvent difficile de déterminer autrement la nature des racines.

L'exemple que nous donnerons de l'application de cette méthode, dans le paragraphe suivant, suf-

fira pour l'expliquer, et pour qu'on publie remployer dans d'autres problèmes. Au moyen de cette méthode, on déterminera, sans aucune difficulté, les vibrations longitudinales des verges élastiques, dans les trois cas du n° 400, et l'on sera conduit, d'une manière plus directe , ans mêmes formules que dans ce numéro. Pour exemple d'une question dépendante de plusieurs équations aux différences partielles, j'indiquerai le choc longitudinal de deux ou plusieurs verges élastiques, formées de matières différentes; question qui a été résolue dans le paragraphe précédent, pour le cas particulier de l'homogénéité, et dont je supprime ici la solution générale, à cause de la longueur des formules qui s'y rapportent.

617. Supposons que le temps t soit compté à partir de l'origine du mouvement; et soient

y- »). — = F(x, y, a), dt

les valeurs de l'inconnue u et de son coefficient dif" férentiel par rapport a », qui répondent a t — 0 ; de sorte que f(x, y, m) et F (x, y, u) soient des fonctions données arbitrairement pour toutes les valeurs des coordonnées x, y, *, qui répondent aux points d'un système dont on considère les vibrations. Après qu'on aura déterminé toutes les quantités arbitraires que renferme la série (t) , d'après l'état initial de ce système, et en ayant égard aux équations particulières qui peuvent avoir lieu à ses extrémités , il faudra que cette série et son coefficient différentiel coïncident, pour t = 0, avec les fonctions /"(x, y, s) et F (x, y, a), dans les limites du système. Ainsi, il faudra qu'on ait

f{*, y, «) = P + 7 + r + etc., 1 F(x, y. a) =A / r , + ^'4-.r'+ etc.; f x)

ce qui fournira un développement, ou une transformation d'un genre particulier, pour chacune des fonctions quelconques f{ x, y, x ) et F ( x, y, s ) ; transformation qui ne sera pas identique, et n'aura lieu que pour des valeurs limitées des variables x,

Quoique le plus souvent on ne puisse pas démontrer directement l'exactitude de ces équations (A), cependant il ne peut rester aucun doute à cet égard. En effet, d'après les considérations précédentes, la série (*') représente certainement l'intégrale complète de l'équation L = 0 , c'est-à-dire, la valeur la plus générale de u qui puisse satisfaire à cette équation. Par hypothèse, ou a déterminé les quantités Arbitraires que celte série renferme, au moyen des autres conditions du problème qui ■ conduit a cette équation Lr=0; si ces condition!, ne sont pas incompatibles, et que le problème soit susceptible d'une solution, il faut donc qu'après cette détermination, la série (i) exprime la valeur de u a un instant quelconque et en un point quelconque du système; par conséquent, en faisant (s 0 dau»

cette série et dans celle qu'on en déduit par la différentiation relative à f , elles devront représenter

du

les valeurs initiale* de « et — , c'est-à-dire, les

dt

fonctions /"(x, y, *) et F (x, y, x), quelles qu'elles soient, mais seulement pour les valeurs de x, y, a, comprises dans les limites du système que l'on considère.

Dans l'exemple du mouvement longitudinal d'une verge élastique, les séries (A) représenteront, pour toute la longueur de cette verge, et dans les différentes hypothèses relatives a ses extrémités, les deux fonctions arbitraires qu'on a désignées par •x et j'j dans le n° 496 ; et ces séries coïncideront avec les expressions de «x et a'x, dont on a fait usage dans ce numéro, et qu'on avait démontrées auparavant.

618. La conclusion de tout ce qui précède est que, pour exprimer dans un problème relatif aux petites vibrations des corps, et dans d'autres questions de Physique, chaque inconnue, nu moyen de la série(y) ou (s - ), il est nécessaire d'avoir démontré, préalablement, que cette série représente la valeur la plus générale de l'inconnue qui puisse satisfaire à l'équation aux différences partielles dont elle dépend, et, ensuite, de déterminer toutes les quantités arbitraires que cette série renferme, au moyen des données particulières du problème, qui répondent aux extrémités du système et à son état initial; ou bien, il faut connaître, à priori, comme dans le n>> 496, des expressions en série de In valeur initiale et arbitraire de chaque inconnue, dont tout les termes, multipliés par des sinus ou cosinus d'arcs proportionnels an temps , ou par des exponentielles, satisfassent isolément à l'équation donnée aux différences partielles et aux autres équations relatives aux points extrêmes du système. On doit regarder comme incomplète une solution dans laquelle on n'a pas démontré, à priori, la généralité de la série (g) ou (s*) dont on fait usage, ou dans laquelle on ne vérifie pas, ipoittriori, que cette série peut représenter la valeur initiale de chaque inconnue, quelle que soit cette valeur, dans toute l'étendue du système, y compris les points extrêmes. D'après ce qui précède , la première méthode sera toujours applicable; la seconde ne le serait que dans «m très petit nombre de cas particuliers.

§ V. Vibrations transversale* d'une r*rj« élastique.

619. Les verges élastiques sont susceptibles de quatre sortes de vibrations, auxquelles répondent des tons différant , et qui peuvent coexister dans une même verge , droite ou courbe dans ton état naturel. Ces vibrations sont longitudinales, transversales, normales, tournantes ou produites par la torsion. Les \ibrations normales consistent en des dilatations et condensations alternatives des sections de la verge, perpendiculaires à sa longueur ,

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

elles n'ont pas encore ëté déterminées par la théorie. Les trois autres espèces de vibrations l'ont été , et l'analyse m'a fait connaître , entre les tons qui leur correspondent, des rapports que l'espérienco a confirmés, ou que les physiciens avaient déjà remarqués. Telle est, par exemple, l'observation curieuse que l'on doit à Chladni , et suivant laquelle une verge encastrée par un bout et libre par l'autre, rend un ton plus grave d'une quinte, lorsqu'on la fait vibrer par torsion, que quand elle vibre longitudinalement; cela revient à dire que le ton qu'elle rend dans le premier cas est le même que celui qu'elle ferait entendre dans le second, si sa longueur était augmentée dans le rapport de 3 à 2; or, j'ai trouvé que ce rapport devrait être celui de

[ I 1 à 2 ; ce qui diffère à peine d'un vingtième du résultat que Chladni a énoncé eu nombre rond.

Je renverrai, pour les développemens de cette partie importante de la Physique mathématique, au mémoire sur V Équilibre et le mouvement des corps élastiques, que j'ai déjà cité (n° 306), et où je me suis aussi occupé des vibrations des membranes flexibles et des plaques élastiques. Il suffira , dans ce Traité, d'avoir considéré les cas les moins compliqués de ce genre de questions , qui sont ceux des cordes vibrantes et des vibrations longitudinales des verges élastiquus, auxquels nous allons encore ajouter le cas des vibrations transversales.

620. Nous supposerons , comme dans le cas des vibrations longitudinalea (n» 494) , qu'il s'agisse d'une verge homogène, et, dans son état naturel , prismatique ou cylindrique; nous supposerons, de plus, qu'elle n'éprouve aucune torsion sur ellemême ; en sorte que tous les points de chaque filet longitudinal ne sortent pas d'un même plan pendant toute la durée du mouvement.

Soient AMB (fig. 112) la direction rectiligne du filet moyen dans l'état naturel de la verge , / sa longueur, et* la distance AU du point quelconque M à l'extrémité A. Au bout du temps I , supposons que H soit transporté en M'; abaissons de M* la perpendiculaire M P sur AB; et faisons

MP = «, M'P = y.

Si ces deux variables m et y sont supposées constamment très petites , et qu'on néglige , en conséquence, leurs carrés et leurs produits, leurs valeurs en fonctions de t et * dépendront, comme dans le cas des cordes vibrantes (n°484), d'équations linéaires dans lesquelles cesinconnues seront séparées ; les mouvemens très petits , dans le sens longitudinal et dans le sens transversal , coexisteront donc sans s'influencer mutuellement ; et comme nous avons déterminé , d'une manière complète, le mouvement longitudinal, nous pourrons maintenant en faire abstraction. Je ferai donc u s= 0 , de sorte que tous les points du filet moyen oscilleront sur des droites perpendiculaires à sa direction naturelle , et que « et y seront , à un instant quelconque, les coordonnées courantes de la

courbe plane A M B', formée par ce filet. Je ferai aussi abstraction des petits mouvemens de dilatation ou de condensation qui pourront avoir lieu dans chaque section de la verge, perpendiculaire à sa longueur; le mouvement qu'il s'agira de déterminer sera alors le même pour tous les pointa d'une même section ; et il suffira de considérer celui du point qui appartient au filet moyen.

L'équation de ce mouvement transversal se déduira de l'équation ( / ) du n° 320, en y mettant

Y — ou simplement au lieu de Y , si

at* dp«

l'on suppose qu'aucune force donnée n'est appliquée aux différens points de la verge. Cette équation sera donc

4» étant une constante positive , qui dépendra de la matière de la verge , de l'étendue et de la figure de la section normale.

Outre cette équation (1) , commune à tous les points du filet moyen , il y aura des équations relatives à ses extrémités, qui seront les mêmes que dans le problème de l'équilibre. A cet égard, il pourra se présenter six cas différens, selon qu'h chacun des deux bouts la verge sera encastrée, on seulement appuyée, nu entièrement libre. Sais comme ces six cas se traiteraient de la même manière, nous nous bornerons à en considérer un seul en détail , et nous supposerons que la vergo soit entièrement libre à ses deux bouts A etB, auxquels ne sera d'ailleurs appliquée aucune force particulière.

Cela étant, pour toutes les valeurs de t, nous aurons (n<> 320)

à l'extrémité A', et

à l'extrémité B'.

A l'origine du mouvement , la courbe du filet moyen et les vitesses imprimées à tous ses points seront connues ; si donc on compte le temps t à partir de cette origine , et qu'on représente par •* des fonctions données depuis x = 0 jusqu'à » = / , on aura , à la fois ,

t = 0, y = ex, - = s'x. (4)

Ces fonctions arbitraires :xet»'x devront, toutefois , remplir les conditions relatives à * = 0 et x — l, qui seront exprimées par les équations (2) et (3) pour la fonction es, et par leurs différentielles relatives à t pour la fonction

Ainsi , la question que nous auront à résoudre consistera à trouver la valeur de y, en fonction de f et *, qui satisfait aux équations (1) , (2) , (3) , (4), dont la première est la seule qui ait lieu pour toutes les valeurs de ces deux variables. Mais, auparavant , il est bon de comparer , pour une même verge élastique , le coefficient b qui entre dans Yéquation de son mouvement transversal , et le coefficient a contenu dans l'équation de son mouvement longitudinal.

62t. En désignant par g la gravité, par p le poids de la verge, et par q la tension qu'il faudrait employer pour doubler sa longueur /, on a (n° 496)

Le produit delà densité delà verge et de l'aire do sa

section normale sera égal à — ; et d'après l'équa-

tion (ftdu n» 320, d'où l'on a dédoit l'équation (1) du mouvement transversal , on aura

— / eu*

PJ -*'

du , («y

« , r , A, A', ayant la même signification que dans le n° 314 , et la constante * du même numéro étant la valeur de q , rapportée à l'unité de surface , de sorte qu'on a

q = mm ,

en appelant m l'aire de la section normale de la verge. Faisons aussi

r?/» du = »h> j

A sera une ligne dont la valeur dépendra de l'étendue et de la forme de son contour; et il en résultera

d'où Ton conclut