ST

et , en intégrant ces deux équations différentielles

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

du quatrième ordre, il vient p = A sin mx + A' cos mx

+ T »(•"-•—*)+ fB' {•-*+.-<»*).

9 = C sin mx + C coj mx

A, A', B, H', C, C, D, D', étant les huit constantes arbitraires , et « désignant lu base des logarithmes népériens.

A cause de la forme linéaire de l'équation (1) , on y satisfera encore en prenant

réelles ou imaginaires, de m et des huit autres constantes A, A', etc. De plus, cette valeur de y sera l'intégrale complète de l'équation (1) , d'après les considérations qu'on a exposées dans le paragraphe précédent.

Si on la substitue dans les équations (2) et (3) , qui ont lieu pour toutes les valeurs de t , et, par conséquent , pour tous les termes des sommes 2

pour * = 0 et poux s = /. En mettant pour p et H leurs valeurs précédentes, il en résalte d'abord

et, en.

y = 2j» sin m» bt + Iq cos m» M,

et étendant les sommes 2 à toutes les valeurs pos-

A (2 sin ml — *»< -j- e-«*) = A 1 (#■»' -f «— «» g C os m/) ,

A' (2 sin m/ + «">' — *-«') = A (2 cos m/ — «-< — ,

C (2 sin ml — $ml -f «--') = C (•«< + e — •< — 2 cos ml),

C (2 sin m/ + — «-«') = C (2 cos ni — a»' «-m/) f

Or, en multipliant membre à membre les deux pre- j tions , et supprimant , dans les produits le mières ou les deux dernières de ces quatre équa- | commun AA' ou CC, on a

4 sin' ml — (e-< — «-»')' + (8 cos ml — «•»« — a—»'). — 0,

ou bien, en réduisant, tions précédentes, seront d'ailleurs

(*»i + *--') cos «ai — 2 = 0j (•)

facteur

équation qui servira à déterminer les valeurs de m. Les valeurs de A , A', etc. , qu'on tirera des équa-

B = A = E (•»< + *—«/ a cos ml), B' = A' = E (2 sin 2m/ — r-' + e —><), D = C = E' (•»' -f a-»/ a cos m/), D' = C = E' (2 sin 2m/ — + e — •'),

E et E' étant deux nouvelles constantes qui resteront indéterminées , En faisant , pour abréger ,

X = (•*' -f- — 2 cos ml) (sin f 1 » — -1

+ (2 sin ml — aN -f a--') (cos m* + ^ r« + i «— *) ,

précédente de y i y = SX (E ain s» if + E' cos m* bt) ; (6)

la somme 2 s'étendant toujours à toutes les valeurs possibles de E et E', mais seulement à toutes valeurs de m données par l'équation (a). Pour toutes i, on aura

d»X d>X <*x» ( 1 ds>

pour * = 0 et pour x = /; et, quelles que soient les quantités m et x, on aura identiquement

-— - = mi X.

dri

623. Il ne reste plus qu'à déterminer les valeurs des coefficiensE et E', relatives à choque valeur de m , d'après l'état initial de la verge ; ce qu'on va faire, en suivant le procédé général dont il a été parlé dans le n»516.

Remarquons d'abord que si m est une racine de l'équation (a), il en sera de même à l'égard de m,

m V — 1; de plus , les valeurs corres-

pondantes de X ne différeront enlre elles que par le

signe, ou par un facteur \/^\; d'où il résulte qu'on pourra réunir en un seul terme , dans la formule (b), les termes qui répondent à ces quatre racines, et n'étendre ensuite la somme 2 qu'à des valeurs réelles et positives de m , ou bien , à des valeurs composées d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, s'il en existait, dont la partie réelle serait positive. De cette manière , si m et m' sont deux racines de l'équation (a) dont on fera usage m' et m'" différeront de i m et ^ m» .

Cela étant convenu, je multiplie l'équation (1) par \dx, puis j'intègre depuis x = 0 jusqu'à x = /; ce qui donne

y*> d* . Xy , /»» di y

i intégrant par partie, on aura

Jo dxi \ d*>

dX d» y d» X dy ~dx"dx~^ dx' JT

dx> dx ds* dx* dx dx> 9 J T 7» d** 5

Quel que soit l, on aura donc

y'\t/dj=y Xfxdx . coim> ftf

Les termes compris entre les parenthèses répondent è x= l , et ceux qui sont renfermés entre des crochets , à s = 0 ; ils se détruisent les uns et les autres, en vertu des équations (2) , (3) , (4) , relatives à ces limites ; ct^ a'après l'équation {d) , qui a lieu pour toutes les valeurs de * , si Ton met

(HZ , . , m* X à la place do ——sous le signe/, on aura dx*

Donc , à cause de

dt*

d' ./Xydx do

xdx.sin m» 4/.

Je substitue la formule (ô) à la place de y le premier membre de cette équation («) ; son second membre ne contenant que cos m» bt et sinm» bt, si m'est une racine d« l'équation (a) , telle que m' et m'* différent de ± m et ± ns> , comme on Ta supposé tout a l'heure, il faudra que le tenue correspondant à m' disparaisse du premier membre} ce qui exige qu'on ait

+ 4. mi/Xydx = 0.

L'intégrale complète de cette équation différendu second ordre est

Xydx — II cos m» bt -f H' sin m» 6*;

H et H' désignant les deux constantes arbitraires. Pour les déterminer, je fais t = 0 dans cette formule et dans sa différentielle par rapport à i; et, en ayant égard aux équations (4) , il en résulte

y'xtxdx

y^XX'd* = 0;

if)

ir:

cos m»

X' désignant ce que X deTient quand on y change m en m'. Mais pour le cas de m' = m , on conclura de cette même équation (s),

l'J* ' X* ds=fx9xdSi

ce qui fera connaître les valeurs de E et K en fonctions de m , au moyen desquelles la formule

X* dx

F XSxds !

,in «• ôf

Cette expression de y et la valeur de — qui s'en

dt

déduit, ne renfermant plus rien d'inconnu , elles feront connaître , à chaque instant , l'orrlonnéc et la vitesse d'un point quelconque H r de la courbo A'M'B' ; ce qui est la solution complète du problème.

L'intégrale j* X» dx s'obtiendra , sous forme finie , par les règles ordinaires ; les valeurs des intégrales H X»xdx, et ^ Xf'sds, ne pourront, généralement, se calculer que par la méthode des quadratures.