Si l'on fait /= 0 dans les expressions de y dy
et — , on aura, d'après les équations (4) et (y) , dt
Ces deux formules semblables auront lieu pour
DYNAMIQUE , SECONDE PARTfE.
de» fonction» quelconque» px et continue» ou discontinues, mai* seulement depuis x — 0 jusqu'à ** = /, et en observant qu'elles ne conviens drontaux valeurs extrêmes de x que quand celles de oes fonctions rempliront U condition énoncée précédemment (n« 620). Quoique nous ne puissions pas démontrer ces formules directement, elles n'en sont pas moins certaines , ainsi qu'on l'a expliqué dans le n° 617.
Dans le cas particulier où tous les points de la verge ont reçu primitivement une vitesse commune et une vitesse proportionnelle à leurs distances à son milieu, il est évident qu'elle doit prendre un mouvement de translation et un mouvement de rotation, sans auoune courbure ni vibrations. C est aussi ce qu'on peut conclure de ces équations (A) et de la formule (g).
En désignant par e et y deux quantités constantes , on a alors
et si l'on différence la seconde équation (A), et qu'on ait égard à l'équation (d), on en conclut
( f Xp'xdx \
» étant un nombre entier et positif. Par conséquent, le développement suivant les puissances de t , de la partie
de la formule (g), se réduira à son premier terme
i (A). Donc, à canse de ■* = 0 et de la valeur de p'x , la formule (j) sei
comme cela doit être.
626. Au mojen de l'équation (/), on ver que l'équation (a) n'admet aucune racine composée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire.
En effet,supposonsqu'il existe une racine telle que
f+$ \S— li il y en aura une autre qui ne différera
de celle-là que par le signe de |/^7, et sera
( — 9 ; on pourra donc prendre , dans l'é-
quation (/),
f et g désignant des quantités réelles dont aucune n'est séro. On aura , en même temps,
X=F + Gl/=T, X'=F G|/=T;
F et G étant aussi des quantités réelles. Par conséquent, l'équation (/*) deviendra
/['(F- +G. )ox = 0;
équation impossible , puisqu'il faudrait , pour qu'elle eût lieu, qu'une intégrale dont tous les élémens sont positif», et qui en exprime la somme (n» 13), fut égale à zéro. Donc aussi la supposition d'une racine / ^.g[/dT\ M t inadmissible.
Cette dernière équation serait encore inadmissible si fou g était xéro ; mais alors on ne pourrait
plus prendre f + g \/~\ tif—g pour m
et m' ; car l'équation (f) suppose que m! et «'» diffèrent il l- ± m c t + m> • ce qui n'aurait pas lieu daus le cas où l'une des deux quantités f et g aérait nulle.
626. Pour la racine m = 0 de l'équation (o), le terme correspondant de la formule (g) se présente sous la forme -f ; on obtiendra sa véritable valeur
en supposant que m soit seule | infiniment petite. On aura alors
lequel aura pour valeur if' m , en vertu de la se-
X =s 4m> /• [x — j t), cos m» H = I, sin m« bt = m > 4/ j et le terme dont il s'agit sera
quantité
Il répond à des mouvement do translation et de rotation communs à tous les points de la verge . nous en ferons abstraction; et en n'ayant point égard à la racine m = 0 , tous les termes de la série (g) seront périodiques.
Mais si l'on fait attention que les différentes valeurs de m sont incommensurables, on voit qu'il n'arrivera pas , en général , que tous les points de
la verge reviennent, en même temps, à leur état primitif, ou, autrement dit, une verge élastique n'exécutera pas dans tous les cas, comme une corde étendue , des vibrations transversales isochrones. Pour que l'isochronismc ait lieu , et pour que la verge fasse entendre un son unique et appréciable, il faudra que, d'après sa courbure et les vitesses de ses points à l'origine du mouvement, tous lester-
TRAITÉ DE HÉCAMQUE.
de la formule (o) dispartissent , , et qu'elle se réduise à la forme
y = X (E sin a» ht + E' cos m' bt) , (1)
où l'on a remis , pour abréger, les constantes E et E' à la place de leurs valeurs trouvées plus haut. Lorsque la formule (a) se réduira à un petit nombre de termes, la verge fera entendre à la fois plusieurs sons distincts, dont les tons ne pourront pas être comparés entre eux exactement.
