Désignons par x une valeur numérique de

ml tirée de l'équation (a), de sorte qu'on ait aa= — .

Soit T la durée d'une vibration entière de la verge, correspondante à cette racine m, et » le nombre de vibrations dans l'unité de temps. D'après l'équa-

en sorte que les difTérens tons que peut faire en- ! verge pliée dans le même sens , vibrant et libre par ses deux bouts, dé- ; des valeurs de * , et le plus grave , ôu le ton fondamental , répondra à la plus petite de ces

Il est évident que la quantité b* , donnée par la formule (5), ne dépend pas de la longueur / de la verge ; s'il s'agit d'une verge cylindrique ou circulaire, on voit aussi que cette quantité est proportionnelle au carré du diamètre. Pour deux verges cylindriques et formées de la mësuc matière, et pour le même ordre de vibrations, c'est-à-dire, pour la même valeur de x, le nambre n sera donc en raison directe de l'épaisseur et inverse du carré delà longueur.

S'il s'agit d'une verge prismatique , elle fera entendre , en général , deux sons difTérens , selon qu'elle vibrera transversalement dans un sens ou

dans un autre. Ainsi , en supposant, par exemple, que la section normale soit un rectangle , et qu'on fasse vibrer successivement la verge, de manière que la base ou la hauteur du rectangle sort perpendiculaire au plan de la courbe A'M'fT, les voleurs successives de si seront entre elles comme cette hauteur et cette base, pour le même ordre de vibrations. Lorsque la section normale sera triangulaire, comme dans le troisième exemple du n° 521 , la valeur de ô* ne sera pas la même pendant deux demi-vibrations successives ; leurs durées seront donc inégales; ce qui n'empêchera pas les vibrations entières d'être isochrones , en supposant toujours que la formule (c) se réduise à un seul terme.

En égalant à xéro le facteur X de la formule (s), on déterminera le* valeurs de x qui répondent aux nœuds de vibrations , c'est-à-dire , aux points immobiles sur la droite A B, pour chaque valeur de s», ou pour chaque ton que la verge peut faire entendre.

628. Lorsque la verge élastique que nous considérons sera encastrée à son extrémité A et libre à son autre bout, le filet moyen demeurera tangent en A , à la droite AB , pendant toute la durée du mouvement; de sorte que les équations (2) du problème |

jr = l), y = 0, — = 0.

dx

On modifiera, en conséquence et sans aucune difficulté , l'analyse précédente ; et l'on trouvera que la valeur générale de y sera encore exprimée par la formule {3) ; mais les valeurs de m , qu'on y devra employer, devront être tirées de l'équation

(««' -|. t-mt) cos ml -f- 2 = 0 , (a')

qui ne diffère de l'équation (a) que par le signe du dernier terme : la valeur qu'on prendra pour X

X = [0* + ^ + 2 cos ml) (sin mx — \ *~* + \