a sin ml + — *-"') (cos mx — -J- a

Pour quo la verge , vibrant ainsi transversalement , ne fasse entendre qu'un seul son , il faudra que, d'après son état initial, la formule (a) se réduise à un seul terme ou à la formule (s), comme dans le cas précédent. Si l'on désigne par x' une valeur positive de m/,tirée de l'équation (a'); parT'

la durée d'une vibration correspondante à m — — ,

et par m' le nombre de vibrations dans l'unité de temps , on aura

et tout ce que l'on a dit , dans le numéro précé-

dent , sur la comparaison des tons des verges libres à leurs deux bouts, s'appliquera également au cas des verges encastrées à l'une de leurs extrémités : on déterminera aussi les nœuds de vibrations qui accompagneront chaque ton rendu par une même verge, en égalant à xéro la valeur précédente de X.

620. Pour résoudre, par approximation, les équations (a)et(o'), je désigne par » un nombre entier positif ou séro, et je fais

ml = x = i {Si + l)« * dans l'équation (fl), et

DYNAMIQUE, SECONDS PARTIE

l'équation (a') i * et #» étant s et qui ne

■i-w. Je devant

impair; et, de cette et (a') deviennent

• est pair

»in t =

•in l'as

D'après le* limites de * et i*, il est aisé de voir que chacune de ces inconnues n'aura qu'une seule valeur pour chaque valeur de s; celle de l, pour

iss 0, sera 1= m* * ; et comme elle répond à

sjs=0, il en faudra faire abstraction. Pour s=l , on a *=0,01797, en négligeant / dans le second membre de la première équation (Jk) ; et si l'on y substitue cette première valeur approchée de t, on aura , plus exactement,

Les valeurs de l relatives à » = 3 , i = 3 , etc., seront encore plus petites que celle-ci ; les valeursde x différeront donc très peu des multiples impairs

ri..- - t; et, d'après l'expression du nombre n, les

tons de la verge libre par les deux bouts formeront , à très peu près , une série croissante comme les carrés des nombres 3,5,7, etc. La plus petit» valeur de a , correspondante au son le plus grave ,

Dans le cas des trouve , à un

0, après quelques

on

En comparant donc son carré à celui de la valeur de A, et observant que ces carrés sont

pour le rapport du ton le plus grave de la verge encastrée par un de ses bouts , à celui de la mémo verge libre h ses deux extrémités. Les autre* valeurs de f sont très petites ; les valeurs correspondantes de k' seront donc, à très peu près, les multiples 3, 5, 7, etc., de ~ «■; et les tons delà verge

encastrée , le ton le plus grave excepté , formeront

) les carrés de ces nom-

L'expérience a confirmé depuis long-temps i ce que la théorie a fait connaître relativement aux séries de tons que font entendre les verges élastitiques, libres ou gênées par leurs extrémités, i la position des noeuds qui accompagnent ces différens modes de vibrations, et aux rapports des tons, suivant les longueurs et les épaisseurs. Nous allons maintenant- comparer entre eux les tons , ou les nombres de vibrations transversales et longitudinales d'une même verge élastique. L'observation a aussi confirmé, sur ce point, les résultats du calcul.

530. Je supposerai, pour fixer les idées, que la verge soit libre à ses deux bouts dans ces deux sortes de vibrations , et je me bornerai à considérer le ton le plus grave pour les unes et pour les autres.

En employant la plus petite valeur de > ( dans le numéro précédent , on aura

pour le nombre de vibrations transversales dans l'unité de temps. Si l'on désigne par n le nombre de vibrations longitudinales dans le même temps , on aura , d'après le troisième cas du n» 498 ,

et comme on a b — ah (n° 581), il en résultera

formule indépendante de la matière de la verge, au moyen de laquelle on conclura le ton transversal du ton longitudinal , on réciproquement.

La grandeur de la ligne h qu'elle renferme dépendra de la figure de la section normale , et sera proportionnelle , toutes choses d'ailleurs égales, à l'épaisseur. Cette dimension étant très petite relativement à la longueur l , il s'ensuit que le ton des vibrations transversales sera très grave par rapport k l'autre ; ce qui est conforme aui observations qu'on fait le plus communément. D'après le n° 581 , si la verge est un cylindre dont le rayon soit « , on

a h = ~ • ; et si elle est un parallélipipède , et

que « soit

,ona h= — .

», est indépendant de la figure

et des dimensions de la section normale , il suit que pour les mêmes grandeurs de « et de I, ln nombre de vibrations transversales est plus petit dans le premier cas que dans le second , dans le

rapport de [/ïl 2 \

Pour la eoifiparitton de ce» formule» a l'obier» «tioi. , wojn Ua d* < n 4, r*»«.,« . ton» XXXVI, page 86.