DE CORPS

les forces perdues par tous les points du système pendant la durée de chaque

instant doivent se faire continuellement équilibre (o° 360), si Ton applique à ces forces le principe des vitesses virtuelles, on obtiendra une formule générale, de laquelle on pourra déduire, dans chaque cas, toutes les équations du mouvement, de même que Ton déduit toutes celles de l'équilibre , de l'équation générale des vitesses virtuelles. Quelque naturelle que paraisse cette combinaison du principe général de la Dynamique avec celui de l'équilibre, on ne Ta pas fuite cependant à l'époque où le premier de ces deux principes n été connu , et quoique le second eût été donné auparavant toute sa généralité. Ce rapprochement des principes est dû à Lagrange , qui a réduit , pu là à un procédé uniforme les solutions de tous les problèmes de Mécanique, ou du moins la formation des équations différentielles dont ils dépendent. C'est ce procédé général que nous allons maintenant exposer, en observant , toutefois , que l'ordre qui a été suivi dans ce Traité , où l'on a résolu directement les problèmes relatifs aux corps solides et aux corps flexibles , en allant du plut aimple au plus composé , a paru plus propre à une. étude approfondie de la Mécanique et à I*

ment de cette science, que l'on ne doit pas considérer seulement sons nn point de vue abstrait et indépendant des circonstances physiques.

532. Soient m, m', m", etc., les masses des pointa du systémedont nous allons noua occuper. Au bout du temps t, compté depuis l'origine du mouvement, désignons par s . y, s, les trois coordonnées rectangulaires de as , et par \ , Y , 7, , les composantes do la force accélératrice appliquée à ce point matériel , dirigées suivant les prolongemens de x , y, s, dans le sens positif. Convenons aussi de représenter par les mêmes lettres, avec des accent , les quantités homologues qui répondent aux autres points m', sa", etc. Les composantes suivant les directions de X , Y, Z, de la force perdue par ce point quelconque as pendant l'instant dt t seront

par conséquent, l'équilibre aura lieu dans le système, en supposant le point m sollicité pu ces forces , et chacun des autres points m', m", etc., par des forces semblables. Or, on formera l'équation générale de cet équilibre , en mettant dans l'équation (•) du n» 341, les trois composantes précédentes à la place de X, Y, Z; ce qui donne

DY.NAMIQGK, SECONDE PARTIE

lea sommes 2 s'étendant à tous les points m, m 1 , s»", etc., du système , et se composant, par conséquent, d'un nombre de parties égal au nombre de ces points.

Nous supposerons , comme dans le numéro cité, liaisons de ces par les équations

L = 0, L' = 0, L"= 0, etc., (2)

dans lesquelles L, L', L", etc., sont des fonctions données des variables * , y, s , s 1 , etc., ou d'une partie d'entre elles , qui peuvent aussi renfermer le temps t explicitement. Si, par exemple, le point m est assujetti a demeurer sur une surface qui change de forme graduellement, ou qui soit en mouvement dans l'espace, et que L = 0 représente l'équation de cette surface, L sera alors une fonction donnée de x, y, s, t.

Quoique les forces dont l'équation (1) exprime l'équilibre répondent à des quantités de mouvement perdues pendant la durée du temps Ht. et que pendant cet instant les positions des points m, m', s»", etc., changent infiniment peu, on peut, néanmoins , supposer que cet équilibre a lieu dans les positions que ces points occupent au bout du temps t , c'est-à-dire, que l'on peut faire abstraction de leur changement de position pendant l'instant dt , qui ne saurait altérer les quantités de mouvement perdues pendant qu'il s'effectue, que d'un infiniment petit du second ordre, et les forces motrices correspondantes, que d'un infiniment petit du premier ordre. Les déplacemcns infiniment petits que suppose le principe des vitesses virtuelles, et qui sont exprimés, suivant les directions des coordonnées, parte, te, te, pour le point m, par te', te', te', pour le point m', etc., doivent doue satisfaire aux conditions du système, telles qu'elles •ont à la fin du temps I; par conséquent, il faudra que les équations (2) aient encore lieu quand on y mettra x -f te . y -f- te , a -f te , x' -f te 1 , etc., à Va place de i , y , s , *' etc., sans faire varier le temps t qu'elles pourraient contenir explicitement ; d'où l'on conclut, comme dans le n° 341 ,

— te + — te + — te + - te'-fetc. =o, dx dy ds dx>

dL> dV dl' dV

Z Sx ^ ty+ d^ tt+ d7' t '' + clc

dt" dl." dl" dl"

— te H te + — te + — te' + etc. = 0 , 1

dx dy ds dx'

etc.

Au moyen de ces équations , on éliminera dans le premier membre de l'équation (1) une partie des quantités te , te , etc., puis on égalera à zéro les coefficient de chacune des quantités restantes. En employant , commo dans le n° 342 , la méthode des

facteurs indéterminés, on sera conduit, de cette manière , aux équations

d» x dl. dl' dl" \

m r^wX+x- + x' — + x" |-ctc.,

dt* dx ds dx

d» y dL dl.* dl"

m. = mY + x — -f- x' j-x" — -f rte,

df dy dy dy

d* s dl dl' dl" m = «7. -f x — \- x \- a"— + etc.,

dt* d* m'

df

etc.,

dx dx ds

dL dl' dl" •+x |-x ' — + *"—+ etc.,

dans lesquelles x, x', x'', etc., sont des facteurs dont les valeurs feront connaître les forces provenant de la liaison des points du système, et de la résistance des surfaces ou des courbes sur lesquelles ils peuvent être astreints a se mouvoir (n° 343).

Les équations (2) et (4) seront toujours en même nombre que toutes les inconnues du problème, savoir : les quantités x, x', x", etc., en nombre égal à celui des équations (2), et les coordonnées des points m , m', m", etc., en nombre triple de celui de ces mobiles, et égal au nombre de ces équations (4) ; elles suffiront donc pour déterminer, dans tous les cas, les valeurs de toutes ces inconnues en fonctions du temps.

633. Supposons que les forces données qui agissent sur tous les points du système se partagent en deux groupes , de sorte qu'on ait

X = P+L, ï =Q +V, Z=K+W, X = P'4-C\ ï'ssQ 1 + >', Z'=R' + W, etc. ;

supposons aussi qu'on soit parvenu à intégrer les équations différentielles du problème, en ayant seulement égard aux forces P, Q,R, P*, Q', R', etc.; et soient a, !>, c, etc., les constantes arbitraires que renfermeront ces intégrales. On étendra cette solution aux forces complètes X, T, Z, X', Y', Z', etc., au moyen de la méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires, dont le principe a été exposé dans le n° 229. Les différentielles des quantités a, 6, c, etc., devenues variables, seront linéaires par rapport a U , V, W, 1', V, W, etc., et de la forme :

da = AU +RV +CW +A' U' + etc. , db = A, C -j- B, V + C, W + A', L' + etc. , dc= A, C + B, V + C. W + A's C -f etc. , etc ;

A, B, etc., étant des fonctions des mêmes nues a, 6, e, etc. Par là, les équations différentielles secondesdu problème se trouveront changées en un nombre double d'équations différentielles du premier ordre; mais celte transformation sera principalement utile, lorsque les forces secondai-

res V , V, W, U', etc., seront très petites par rapport nu forces primitives P, Q , R , P\ etc. ; ce qui permettra , dam une première approximation , de considérer comme constantes les quantités a, 4, c , etc., que renferment les coefficiens A , B , etc., et , conséquemment , de déduire des formules précédentes, par l'intégration immédiate ou par la méthode des quadratures , les parties variables de ces inconnues.

C'est Lagrangc qui a ainsi étendu a tous les problèmes de la Mécanique la méthode de la variation des constantes arbitraires, à laquelle il avait ramené, 'autrefois , la théorie des solutions particulières des équations différentielles, et dont il avait aussi fait d'autres applications moins générales. Mais il s'était borné à donner les expressions gêné* raies des quantités U , V, W, C, V, W, etc., en fonctions linéaires des différentielles do , db , de, etc.; et il restait à trouver les formules inverses qui donnent directement, dans le cas général , les différentielles des inconnues a, 4, c, etc., en fonctions linéaires des forces U , V, W, etc., et à démontrer, d'une manière directe et générale, les propriétés importantes dont jouissent leurs coefficiens A , B , C , etc. C'est ce qui a été fait dans les mémoires que j'ai insérés , sur ce sujet, dans le 16* cahier du Journal de V École Polytechnique t et dans le tome 1" des Mémoires de f Académie des Sciences , et auxquels je me contente de renvoyer le lecteur, curicut de connaître cette théorie dans tous ses détails et les conséquences qu'on en a déduites. En appliquant successivement les expressions générales de da, db,dc, etc., au problème du mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe suivant une fonction quelconque, et au problème du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, on obtient les mêmes expressions pour les différentielles des constantes homologues dans ces deux problèmes , si différens l'un de l'autre ; et par là les deux questions principales de l'Astronomie, savoir, la détermination du mouve-

des

points matériels isolés, et la détermination du ; de ces corps autour de leurs centres de

gravité respectifs , se l mes formules et dépendre de la même analyse.

534. Il est évident que si Tune des équations (2) estime suite des autres, Tune des quantités a, x' t a", etc., devra rester indéterminée, puisque alors on pourra supprimer ou conserver arbitrairement cette équation superflue. Si a et 4 sont des constantes données, et qu'on oit, par exemple,

L" = oL + bl',

chacune des trots premières équations (2) n'ajoutera rien aux conditions exprimées par les deux autres, et, conséquemment, l'une des trois inconnues A , a', a", devra rester indéterminée. C'est effectivement ce qui aura lieu ; car si l'on fait

a -f oa" = h , a' -f 4a" = M ',

ces trois inconnues se réduiront , dans les équations (4), aux deux quantités /* et qui pourront seules être déterminées au moyen de ces équations, et dont on pourra seulement déduire les valeurs de deux des trois quantités a, a', a".

Si le point matériel m est assujetti a rester à des distances constantes et données de trois points fixes A, A', A'' (fig. 113), sa position sera complètement déterminée; ses coordonnées auront donc des valeurs constantes ; et les trois premières équations (4) se réduiront à des équations d'équilibre , qui détermineront les tensions des fils An», A'm, A"m , par lesquels lo mobile m sera attaché aux trois points fixes. Si ce point matériel est assujetti à demeurer à une distance constante d'un quatrième point fixe A"', l'une des quatre distances Km , A'm , A"«s, A '"m , sera déterminée d'après les trois autres; l'une des quatre conditions données étant ainsi une suite de trois d'entre elles, la tension de l'un des quatre fils Ans, A'm, A "m, A"'m , demeurera indéterminée, d'après ce qu'on vient de dire , et conformément à ce qu'on avait dit déjà dans le n° 292. Appelons, en effet, /, f, f, f", les quatre distances données; désignons par a, b , c, les trois coordonnées de A, par a', 4', c', < de A', etc. ; nous i

pnur les équations (2) ; et si l'on réprésente par des valeurs

fout à ces quatre équations, on aura

de x , y, s , qui satis-

DïIUMiyUE, SECONDE PARTIE.

pour les équations (4), qui l u «seront indéterminée l'une des quatre quantités x , x r , a*', a''', lesquelles sont, comme on l'a dit dans le n 345, les tensions des fils An , A's» , A"m , A" m. Hais , quelque peu extensibles que soient ces fils , si l'on a égard à cette circonstance physique , le point matériel m fera de petites vibrations, qui seront complètement déterminées , ainsi que les tensions des quatre fils, à chaque instant.

635. Pour le faire voir, supposons , pour fiter les idées , que la force qui agit sur le point m suit la pesanteur, que nous représenterons par y. En prenant Taxe des z vertical et dirigé dans le sens de cette force , ses trois composantes seront \ = 0 , Tf =0, 'l — <f. Appelons*, •',«", «"', les extensions que les quatre fils / , l , l' t'\ éprouveraient si le poids mg était suspendu verticalement à leur ,, soient f , r.fVesex-

tensions de ces mêmes fils an bout du pendant le mouvement; leurs tensions instant auront pour valeurs (n° 288)

o«nf"

Le mobile m n'étant plus assujetti à demeurer à dr« distances constantes de A , A', A", A 1 ", on devr.i supprimer les termes des équations (4) , qui ont x , a', x", x'", pour facteurs , et qui provenaient de ces conditions ; mais , d'un autre côté, il faudra joindre au poids de ce point matériel les quatre forces précédentes, dirigées de m vers A, des» vers A', de m vers A'', de m vers A'" ; ce qui revient à substituer , dans les équations (4) , les valeurs précédentes de L, L', L", L'", en y faisant,

*• = • + «> * = C + r, », C, y, étant les

ment , et si, e, w , des variables très petites, dont nous négligerons les carrés et les produits ; il en résultera

et, relativement à ces inconnues u, r, w, 1

dn l h

diT + \ u + "

s (4) seront linéaires, et se réduiront u

(«■-«f')f («- o'") r fi 1 '

do

Leurs intégrales s'obtiendront par les règles ordinaires ; elles renfermeront six constantes arbitraires, que Ton déterminera de manière qu'a l'origine du mouvement les fils An , A'm, A"m , A'"», aient leurs longueurs naturelles /, P , f ', t \ et que la vitesse initiale de m soit léro, c'est à-dire, de

du dp dw

manière que les six quantités «i, r, if, — , — , — ,

dt dt dt

soient nulles quand t — 0. Cela fait , ces intégrales

rv

feront connaître, à un instant quelconque, 1rs valeurs de u, v, a», ou la position du pointas; et les extensions;, {*, f", f", des quatre fils, ainsi que leurs tensions au même instant, seront aussi déterminées. La même analyso peut facilement s'étendre au cas où le point m serait retenu par cinq ou un plus grand nombre do fils attachés a des points fixes.

Si l'on suppose nulles les quantités u , r , w , et qu'on supprime, en conséquence, les premiers

termes des trois dernière» de» sept équations précédente*, le» voleurs de u, r, w, f , f ", qu'on déduira de ces sept équation» , répondront à l'état d'équilibre du poids de m et de» quatre fil* de suspension.

A3B. flous avons etpliqué, dans le n» 353, comment le principe de D'Alembcrt a aussi lieu dans le cas d'un changement brusque de vitesse, résultant de ce que des force» qu'on nomme impulsions ou ptreuttiont , agissent »ur le* mobile» avec de grondes intensités , pendant de» intervalle» de temps extrêmement petits , et leur impriment de» vitesses qui peuvent être très grandes, sans que les points de ce» corps soient déplacés sensiblement. L'équation fournie par la combinaison de ce principe avec celui des vitesses virtuelle», t'appliquera donc également A ce» sorte» de cas. Ainsi, supposons que des forces de ce genre soient appliquée» simultanément aux point» matériels a», m', ■s", etc. , du système que nous considérons. Désignons par A, B, C, les vitesses données et parallèles aux axes des coordonnées , que ces forces imprimeraient au point m s'il était libre , et par a , A, c, les vitesses inconnues qu'il prendra réellement , suivant ces mêmes directions. Appelons A', B', C, a', b\ c', les quantités homologues relativement au point m' ; A", B ', C", a", 4", c ', celles qui répondent uu point m" ; etc. , Les quantités de mouvement perdues suivant les directions des coordonnées seront

pour le point m , et de même pour tous les autres ; par conséquent, si l'on applique A ce système de force» l'équation («) du n° 341, on aura

Sa» [( A a) *x + (B - 6) i* + (C - c) i,] = 0 ; (5)

la somme 1 s'étendant à tous les points du système, et -Sx. ii/ , î* , étant les accroissemens qu'on attribue aux coordonnées du point quelconque m.

Si les liaisons des points du système sont toujours exprimées par les équations (2), il faudra que Jx, ly, i», et les accroissemens *r', fy', la', tx", etc., des coordonnées des autres points m', m'', etc., satisfassent aux équations (3) , au moyen de ces équations , on éliminera dune de la formule (5) une partie des quantités tx, ty, etc. ; puis on égalera A xéro les coefficiens des quantités restantes. En employant , comme plus haut , la méthode des facteurs indéterminés, leurs valeurs feront connaître le» percussions qu'éprouveront les liens matériels des points du système, pur l'effet d'un changement brusque de vitesse, et les percussions normales aux surfaces ou aux courbes sur lesquelles ces points sont astreints à se mouvoir.

637. Lorsqu'on voudra appliquer l'équation (6) à un changement brusque de vitesse produit par le choc des corps du système entre eux , ou contre des obstacles fixes, il y aura plusieurs observations importantes o faire.

Soient 9 et M'(fig. 114) deux de ces corps solide», K leur point de contact , BKH' la normale commune A leurs surfaces en ce point. Les déplacemens des différent points de ces mobiles pendant toute la durée du choc, étant regardé» comme insensibles, l'équilibre des quantités de mouvement perdues peut se rapporter à tel instant qu'on voudra de cette durée (n° 363) ; en sorte qu'ayant pris pour A , B , C , les composantes de la vitesse d'un point quelconque au commencement du choc, on peut prendre, en même temps, pour a, A, c, le» composantes de sa vitesse à un instant quelconque de ce phénomène ; et les vitesses de tous les points du système, qui varient très rapidement pendant cette durée , devront toujours satisfaire aux condition» de cet équilibre. Hais pour que ce» condition» soient exprimée» par l'équation des vitesse* virtuelles , il faut que les déplacemens infiniment petits qu'on attribue anx points du système, soient compatibles avec sa nature et avec la disposition relative de se» parties à l'instant que l'on considère ; et, de plus, il est nécessaire que la même chose ait lieu A l'égard des déplacemens directement contraires (n° 331). Ainsi, par exemple, si un point matériel en équilibre est posé sur la surface d'un corps solide , contre lequel il s'appuie , ce point peut se mouvoir en tous sens sur le plan, tangent à cette surface , et dans un sens seulement sur la normale. Cela étant, l'équation des vitesses virtuelles a lieu pour tous les déplacemens tangentiels, parce que les déplacemens opposés sont également possibles , mais elle oe subsiste pas pour le déplacement normal, à cause de l'impossibilité du déplacement contraire.

Il résulte de cette observation que si l'on vent appliquer l'équation (5) à une époque déterminée de la durée du choc, et que p et u' soient, A cet instant, les points matériels de H et AT qui répondent au point de contact K , on pourra attribuer A u et i*.' des déplacemens infiniment petits, tout-Afait arbitraires et indépendans l'un de l'autre , suivant le plan tangent en K , mais les déplacemens de n et /*' suivant la normale , devront être égaux et diriges suivant la même partie KH ou R.H' de cette droite; car s'ils étaient inégaux, ou qu'ils n'eussent pas lieu dans un même «en» , ces déplacemens ou les déplacemens contraires des points f* et /u', seraient impossibles, et l'équation (6) ne leur serait point applicable. C'est faute d'avoir fait attention A cette condition essentielle, que quelques auteurs ont mal interprété l'équation dont il s'agit.

Si un troisième corps solide S" touche M' au point K', où la normale commune à leurs surfaces est In droite I.k'L', et que m' et m" soient les pointa matériels de M' et M ' qui répondront à k', A l'instant que l'on considère pendant lu durée du choc, il faudra aussi que les dépl iccnicns infiniment petits, attribués à m' et m" suivant cette normale, soient égaux et de même sens dans l'équation (ô),

DYNAMIQUE, SECOURE PARTIE

et de même pour tous les points de contact des corps du système , lorsque plusieurs d'entre eux viennent se choquer simultanément. Dans le cas du choc il" un de ces corps contre un obstacle fixe , le déplacement normal du point de contact devra être supposé nul , puisqu'il ne serait pas possible dans le sens opposé.

538. Quand les deux mobiles H et H' glisseront l'un sur l'autre pendant la durée du choc, il faudra avoir égard, dans l'équation (6), au frottement qui en résultera , et qui pourra être très considérable , comme on l'a dit dans le n° 363.

La quantité de mouvement infiniment petite que cette force enlèvera, pendant chaque instant, aux deux mobiles M et ■', en sens contraire des vitesses des points matériels m et as 1 qui répondent au point de contact K , sera proportionnelle à celle que I aura communiquée à H' suivant KH', ou 1' à H suivant KH , pendant le même instant. Donc, en supposant que le frottement conserve la même direction, pour chaque mobile, pendant toute la durée du choc, et qu'on représente par U la quantité finie de mouvement communiquée par un mobile à l'autre, suivant les parties KH ou KH' de la normale, pendant cette même durée, le frottement total pourra être représenté par fU ; f étant un coefficient qui ne dépendra que de la nature des deux corps près de leur point de contact. Cette force devra être appliquée ù M en sens contraire du glissement de p, et à en sens contraire du glissement de f*. En supposant doue que ces mouvemens oient lieu suivant les deux parties KF et KF' d'une tangente FKF' aux deux mobiles, et qu'on représente par pet;/ les projections sur cette droite, des déplaceniens infiniment petits attribués , dans l'équation (6) , aux points m et m',

pour le terme qu'il fondra ajouter an premier membre de cette équation , à raison du frottement que nous considérons : la quantité p est positive on négative , selon que cette projection tombera snr la direction KF du mouvement de n ou sur son prolongement KF', et de même la projection p'scra positive ou négative , suivant qu'elle tombera surKF' ou sur KF.

On introduira de semblables termes dans l'équation (Ô) , pour tous les points dans lesquels deux

se choquer. La

considération de ces termes est nécessaire dans la pratique ; l'exemple du n<> 478 suffit pour montrer l'influence que ces termes , ou les frottemens dont ils proviennent , peuvent avoir sur les percussions ; mais on en fait abstraction lorsqu'il s'agit des théorèmes généraux sur le choc des corps; et, dans la suite, nous les supposera* sibles.

On néglige aussi les quantités de produites par le poids des mobiles pendant la durée du choc , attendu que ces quantités sont proportionnelles à cette durée , et , conséquemment , insensibles. Quant aux quantités de mouvement produites par les attractions moléculaire* qui se développent pendant le choc, soit d'un corps a un autre, quand la distance de leur surface est devenue insensible, soit dans l'intérieur de chaque corps , à raison des compressions ou dilatations qu'il éprouve, on en a déjà tenu compte dans l'équation (S), et leurs composantes totales sont précisément les quantités qui ont été représentées par »A , mB , mC , pour le point quelconque m.

539. Lorsqu'on système de points matériels est entièrement libre dans l'espace , de sorte que les équations (8) qui expriment leur liaison , ne contiennent que les distances mutuelles de ces points, dont aucun n'est supposé fixe , ou assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée, on peut décomposer le mouvement d'un tel système dans l'espace , comme nous l'avons fait précédemment pour nn corps solide entièrement libre (n° 433), en deux mouvemens plus simples : l'un de translation , commun à tous les points du système, et qui sera celui de son centre de gravité; l'autre de rotation autour de ce centre. Nous allons déduire successivement delà formule (1) les équations différentielles «le ces deux mouvemens.

D'après la nature du système, il est évident qu'on peut déplacer k la fois tous ses points d'une même quantité, suivant une même direction quelconque. Supposons que », C, y, expriment les projections de ce déplacement commun sur les trois axes des coordonnées ; on aura alors

= tx

— tx'

etc.,

= iy

= Vi

etc.,

etc.;

l'équation (t) deviendra

et comme les trois quantités », C, y, sont indépendantes entre elles, cette équation se en celles-ci :

Or, si l'on appelle *, , y. , *i , les trois coordonnées du centre de gravité du système, on

aura

y, 2m — Imy,

s, Sa»=;

TRAITÉ DE MÉCANIQlt:.

d'où l'on déduit

do

d* ii ~dÔ~

Im = 2r

par conséquent , on aura d* x,

2m = 2mX ,

pour les équations différentielles du mouvement du centre de gravité , qui sera le mou veinent de translation du système. Elles montrent que le centre de gravité de tout système entièrement libre , est le même que si les masses de tous les mobiles y étaient réunies, et que leurs forces motrices y fussent transportées parallèlement à leurs directions , comme dans le cas d'un seul corps solide (n« 438).

Si, parmi les points m, m', sa", etc., il y en avait qui fussent assujettis à se mouvoir sur des surfaces données, les équations (6) et (7) pourraient encore subsister, en joignant aux forces données, d'autres forces inconnues en grandeur, perpendiculaires à ces surfaces , et qui exprimeraient leurs résistances; ce qui permettrait ensuite de faire abstraction des surfaces données , et de considérer les points m, m', m", etc. , comme appartenant à un système entièrement libre.

640. La nature d'un tel système permet aussi de faire tourner à la fois tous ses points autour d'un même axe , et d'une même quantité angulaire , de manière que leurs distances mutuelles ne varient pas. Supposons que cette droite passe par l'origine des coordonnées. Soient x , p , * , les angles que fait sa direction arbitraire avec les axes des * , y , s ; si nous faisons pour un moment

les cosinus des angles que fait la direction du déde m, avec des parallèles aux trois

axes, menées par ce point, seront — , — , — ; et

comme cette direction est comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation , il faudra qu'on ait

ix Jy 11

— eos x + — cos m + — co« ' — 0h h k

Déplus, l'axe de rotation passant par l'origine des coordonnées , la quantité s* + y + «' ne variera pas pendant le déplacement de m ; on aura donc aussi

et l'on tire équations ,

stx + yfy + zlx = 0; difficulté, de ces deux de

Im = (y COS A - M ces m) Sy = (s COS r — M iO» x)

tx = (a cos « — y cos ») • étant un facteur indéterminé. On aura de

a' = (y' cos x — *' cos «' , •y = (*» cos » — s' cos x) , /*' = (»' cos m — y' cos » ) i'

»' étant aussi un facteur indéterminé qui devra être égal à s, pour que le mouvement de rotation soit le même pour m et pour m', et que ladistance de ces deux points ne varie pas. En effet , le carré de cette distance étant (*—*')» + (y — y»)» + (s — a')» , et les formule* précédentes rendant déjà constantes les deux parties *» y» -f- a* et x'» -f y'* -fde cette quantité , il faut que la variation de *** -f> yy' + as' soit aussi nulle; d'où il résulte

x'ix -f y'ty + ït* + xtx' + yly» -f six 1 = 0 ;

ou bien , en mettant pour tx , tx 1 , etc., leurs valeurs,

[(#'y — y**) cos t + (s'x — a-'s) cos /* + co.x](,-,') = 0;

équation qui ne peut subsister pour tous du système, qu'autant qu'on aura t' = s.

Je substitue les formules (8) à la place de tx , fy, tx, dans l'équation (l). En observant que i. cos x, cos cos », sont des quantités communes à

DYNAMIQUE , SECOKDB PARTIE.

tous le» point* du système, il trient

t cos

+ • cos x2m

et à cause que trois quantités équation te

des sommes 2 sont

*»(«T]fK),

\ dfi

■(»îr— sr) -**»— n ]

lesquelles équations seront celles du moût ement de rotation d'un système entièrement libre, autour d'un point fixe qu'on peut prendre arbitrairement, et où l'on placera l'origine des coordonnées. Ces équations subsisteront encore, lorsque ton* les points s», s»', m", etc., ou une partie d'entre eux, seront ••sujettif a rester à des distances données de cette origine, puisque les râleurs de 1», etc., dont on a fait usage, satisfont à cette condition.

Si le système se réduit à un seul point , le mouvement de rotation ne se distinguera pas du mouvement de translation ; les équations (9) ne seront effectivement qu'une combinaison deséquation»(8j; et l'on voit , de plus , que chacune d'elles sera une suite des deux autres; car en supposant que le système se réduise au point m , et ajoutant les équations (9) après les avoir multipliées par », y, a-, il en résultera une équation identique.

Au lieu de faire tourner le système autour d'un axe quelconque , pour obtenir à la fois les trois équations (9), on obtiendrait plus simplement chacune d'elles , en faisant coïncider cette droite , comme dans le n" 340, avec l'un des axes des coor- " » le calcul précédent a l'avantage de

montrer que la considération d'un mouvement autour d'un axe quelconque ne peut donner que les trois équations (9), de même que la considération d'un mouvement parallèle h un axe quelconque ne peut donner que les trois équations (6).

S'il y a , dans le système , un axe fixe , et qu'on le prenne pour celui des s , par exemple , la première équation (9) subsistera seule, et sera celle du mouvement de rotation autour d'un axe fixe, comme dans lo cas d'un corps solide (n° 391).

641. Dans le cas d'un système entièrement libre, où les équations (6) et (9) ontlieu simultanément, transportons l'origine des coordonnées au point du système dont les coordonnées variables seront représentées par r , , y, , :, , relativement 1 la pre-

en sorte que r ( , y„ *„ #/, y/, »/, etc., soient les coordonnées de m , m', etc., rapportées à la nouvelle origine. La première équation (9) pourra d'abord s'écrire ainsi :

(d* y d* s\ *'ÂT-»<ât) -*■»-•».

les termes multipliés par x, et y, se détruisent , en vertu des deux premières équations (6); et en ache* vent la substitution des valeurs précédentes de s , m', etc. , dans la partie restante du bre , on aura

<fr y.

* * Xi ^ . / d% y< d% *i\

quelle que soit l'origine mobile des coordonnées. I

M • • . M I d*X% tl'Vl

lais si ce point est le centre de gravité du svs- | conséquent, les termes multipliés par — » et — Z-, .lessommesXaix.etX-y.serontnulles^ar 1 Jt% df*

disparaîtront encore comme ceux qui avaient #i et y, pour facteurs ; ce qui simplifiera l'équation précédente. En faisant des rédactions semblables sur les deux outres équations (9), nous aurons

dt»

pour les trois équations du mouvement de rotation du système autour de son centre de gravité. En les comparant aux équations (9), on voit que ce mouvement sera le même que si le centre de gravité était un point fixe, et que les forces données , qui agissent sur tous les points du système , ne fussent pas changées; propriété qui n'appartient qu'au centre de gravité , et que nous avions déjà trouvée (n° 438) dans le cas d'un corps solide entièrement libre.

642. Si l'on donne aux quantités J*, /y, etc., que renferme l'équation (6), les mêmes valeurs que dans le n» 639, on en déduira

2ma = 2m.\, 2mA = 2mB, ïmc — 2mC; (11)

ce qui montre que dans les changemens brusques de vitesse, la somme des quantités de mouvement de tous les points d'un système entièrement libre demeure la même , parallèlement k chaque axe des

rection quelconque. Il en résulte aussi que la grandeur et la direction de la vitesse du centre de gravité ne changent pas non plus ; cor les composantes de cette vitesse , avant et après le changement brusque, sont les deux membres de chacune des équations (11), divisés par la masse totale 2m. Ainsi, dans le choc de deux ou d'uu plus grand nombre de corps , de nature et de forme quelconques, la vitesse de leur centre de gravite et la quantité totale de mouvement suivant chaque direction , n'éprouvent jamais ancun changement, comme nous l'avons déjà vu dans un cas particulier (u« 364).

Si a , b , c , a\ 6', c', etc. , sont les composantes des vitesses initiales do m, as', etc., et A, B, C, A', B', C, etc. , les composantes des vitesses qui leur seraient imprimées d'une manière quelconque k l'origine du mouvement , si ces points matériels étaient isolés , ou oura

dx^ dt

2m = 2m b, 2m = 2roc

et, par runcéquent ,

ds, dy, d;,

—— 2/a- » I«V,-7-2m^2wB. - - Sm=XmC, ai dt dt

pour i=0; équations qui feront connaître composantes de la vitesse initiale du centre de ; vité , d'après les vitesses donnée* A, A', etc. , ou seulement d'après la somme tptale des quantités de

ment aux trois axes des coordonnées.

Je mets encore dans l'équation (6) les formules (8) k la pif ce de *», ly, lx , et j'en i

2m (#4 — ya) = 2m (*B — yA) , 2m(a«-sr C )=2«(.A-,C}, \ V, 2m (yc — s*) = 2m (yC — sB) ;

ce qui fait voir qut, ■ de vitesse, les momens des quantités de mouvement de tous les pointa d'un système entièrement

conque ; théorème qui subsiste encore , lorsque le système renferme un ou plusieurs points fixes , pourvu que ces points appartiennent a l'axe des momens.

En supposant que ces équations (12) répondent à l'origine du mouvement, de sorte qu'on ait

dx dy d»

- = o, -«si, - = c, dt dt dt

pour t = 0, et en transportant , comme dans le nu» méro précédent, l'origine des coordonnées au centre de gravité du système, qu'on suppose entièrement libre , on changera ces équations en celle-ci :

dy, dx,.

dt dt'

2m (y, »."-)= *■ (V e - »l«îl

N dt dt'

dans lesquelles x n y„ *„ sont les coordonnées du point quelconque as, relativement à la nouvelle origine. Ces équations seront celles du mouvement initial du système autour de son centre de gravité ; et comme elles ne renferment pas les composantes de la vitesse de ce point , il s'ensuit que ce mouvement de rotation sera le même que si le centre do gravité était un point fixe, et que les vitesses données A , A', etc , qui sont comprises dans les seconds membres , ne fussent pus changées; résultat conforme à celui que nous avons déjà trouvé, d'une autre manière , pour le cas d'un corps solide (n° 430).

643. Nous ferons remarquer que les équations (1 1) et (12) peuvent se déduire de* équations (6) et (9), en supposant, dans celles-ci, que mX, mY, mZ , m'X', m'Y', m l.', etc. , soient les composantes de forces motrices agissant sur les points m, s»', etc., avec une grande intensité , et susceptibles de prointervalle de temps, que

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

i représenteront par », des quantités de mou- | .ent données «A, wB, asC, «s'A', «'B\ WC\ etc.

la vitesse absolue du point K sera donc

et si les points du système sont en repos au commencement dn temps I, et que a , b . c . a . I', e\ etc., soient les composantes de leurs vitesses a la fin de cet intervalle de temps , on aura aussi

pour le point quelconque m.

Or, en multipliant la première équation (6) par rff , et intégrant ensuite «es deux membres depuis f = 0 jusqu'à < = • , on a

i qui coïncide, d'après ce qui précède, avec la prei équation (11) ; et de même pour les deux suéquations (0) et (11).

De plus si l'on fait abstraction des déplscemens de* points m, W, m", etc., pendant le temps I, et s, en conséquence, leurs coordoni constantes pendant l'action des forces i, on déduira de la première équation (0)

ce qui n'est autre chose que la première équation (12), en vertu des suppositions précédentes; et l'on conclura de même les deux autres équations (12) des deux dernières équations (0).

644. Les accroissemens des coordonnées dont on ■ fait usage dans le n 540, supposent que les distances des points du système entre eux et à l'origine des coordonnées, sont invariables ; leurs expressions, divisées par Jt , doivent donc ooîncider avec les composantes de la vitesse, relatives aux éleroens d'un corps solide , tournant autour d'un point fixe; ce qu'il ne sera pas inutile de vérifier.

Pour cela, soient Ox, Oy, Os (fig 1 16), les a\es des coordonnées, et 01 l'axe qui répond aux angles x, m, >, du n» 640, autour duquel on fait tourner le système d'une quantité infiniment petite. Dans ce mouvement , les points du système décrivent des arcs de cercle semblables, et ont tous la même vitesse angulaire; pour la connaître, il suffira de déterminer celle d'un point & , qui se trouvait , par exemple , sur Taxe Os au commencement de l'instant dt. Or, pour ce point , on a x = 0 et ys=0 ; ce qui réduit les formules (8) a

/* = as coa §t , ty = — « cos x , H m 0 ;

■tm* -}- ty* + ls« si sin r

dT* <TT'

h rouse de cos» x -f- cos» /u -f- cos» » = 1. Sa dis tance à l'axe 01 est s sin » ;

— pour sa vitesse angulaire, qui sera celle de tout dt

le système.

En la représentant par on aura donc • = udt , et si l'on fait

• cos x = p , m cos m = q , • cos » = r,

les formules (8) deviendront

Im Jy Jx

- = (yp - *?), — =(«■ - »p),- =(*î- r);

dt dt dt

résultats qui coïncident avec ceux du n° 408, en prenant dans ceux-ci, les directions des axes mobiles Oj ,, Oy,, (•: , à l'instant que l'on considère, pour celles des axes fixes et arbitraires Ox, Oy, Os.

On peut remarquer que si le plan mOz décrit d'abord un angle rdt autour de l'aie Os, et que le mouvement ait lieu de Ox vers Oy, ou dans le sens indiqué par la flèche «, on aura les accroissemens des coordonnées x, y, s, du point m, en faisant p = 0 et q = 0 dans les valeurs de tx , Jy, Ix ; par conséquent , ses trois coordonnées deviendront

x — yrdt , y xrdt , s.

Après ce premier mouvement, si le plan saOy décrit on angle qdt autour de Taxe Oy, et en allant de l'axe Os vers l'axe Ox, les accroissemens des coordonnées de a* s'obtiendront en faisant p=0 et r=0 dans les valeurs de Ix, Jy, fs, et y mettant ensuite les trois coordonnées précédentes à la place de *, y, s ; d'où il résulte qu'oprès ce second mouvement les coordonnées du point m seront

,yr*+.o<i«, y + xr*, s - (x - yrdt) qdt ;

et la troisième se réduira à a — xqdt, en négligeant l'infiniment petit du second ordre. Enfin , après le second mouvement, si le plan mOx décrit un angle pdt autour de Taxe Ox, et en allant de l'axe Oy vers l'axe 0*. on trouvera, en négligeant les i

* + (*?— yj*> *+(*»•- *p)*. » + (yp -*%•)*.

pour les trois coordonnées du point as, à la fin du

qui étaient

On conclut de là que si un point m tourne successivement autour «le trois axe* rectangulaires , avec des vitesses angulaires p, q, r, et pendant des instans égaux, son déplacement final sera le même

que s'il eût tourné pendant uu de ces instans avec une vitesse angulaire a, autour d'un seul axe, fai-

»? ec les trois premiers des srtgles dont les co- les coordonnées des mobiles en fonctions du temps. p q r Des phénomènes très nombreux et très variés dé-

sinus sont — , — , — . Cette remarque, relative aux pendent de ces petits mouvement oscillatoires,

dont nous allons maintenant faire connaître les lois

trais vitesses de rotation p t y, r, qu'on appelle les composantes de la vitesse m (n° 407), s'applique également aux composantes d'une vitesse de translation.

La composition des vitesses de rotation suit les mêmes lois, et est comprise dans les mêmes formules que celle des vitesses de translation ; en partant de cette analogie de ces deux sortes de mouvement, on en peut déduire l'identité de la composition des momens et de la composition des forces, que nous avons conclue (n° 281) d'une semblable analogie entre les projections des lignes droites et les projections des surfaces.

$ II Lois générales dis petites oscillations.

645. Indépendamment des mouvement de translation et de rotation communs à tous les points d'un système quelconque, et dans lesquels leurs distances ne varient pas, il y a d'autres mouvemens où les mobiles s'éloignent et se rapprochent les uns des autres. Or, si leurs déplaccmcns sont constamment très petits, on peut réduire le problème à des équations linéaires, et déterminer, par approximation ,

s = p -|- au 4- bv -\- cw + etc.

+ #*' + i fv* <+■ - gw* -f- hue -f- kuw + Ivw -f- etc.,

y = p, + fli « + 4, r + c, » + etc.

-+• 1 0, u» + i f, e» + i y, te» + h, ut -f k, uw + /, rw -f etc.,

* = Pi + «I « + i. r + e, » + etc.

+ 7 * «' + 7 f* »' + 7* + *» Mr + ** + '.•» + . et de même pour let autres coordonnées y/, a', etc., on posera s' = p' + a'u + b't> + (fui + etc.

+ i ém+ -fv> + ■J-y't»' + hup + k uw + Ftw + etc.,

y' = p', + a', u + b' t m + 9 \ » + etc

+ I «S -|- 1 f, * + L 9 \ w <> + *,«» + uw + t, ru, + etc. ,

»' = p. + a', si + b\ x> + e», «, + etc.

-f 1 c, «• + 1 f, e* + 7 y", •** + M + «w + •» + e^., etc.;

Soient s' le nombre det mobiles m, m', su", etc., et t le nombre des équations (S) du n° 632, qui expriment let conditions du système. Le nombre des coordonnées de ces points matériels sera 3s, et ti l'on fait 3s* — t = n, let équations (2) détermineront un nombre » de coordonnées en fonctions des n autres , ou, plus généralement , toutes les données pouront être déterminées au moyen de équations, en fonctions de n variables indépendantes. Je représenterai par «, C,y, etc., les valeurs initiales de ces si variables , et par « -f- u, C + r, > -f- , etc., leurs valeurs au bout du temps t ; et je supposerai que les inconnues si, s , te, etc., soient de très petites quantités pendant toute la durée du mouvement. Chacune des coordonnées des mobiles sera uue fonction donnée de • + *, C + *N y -f- », etc., qui pourrait, en outre, renfermer le temps f , si cette variable entrait explicitement dans les équations (2). Ces fonctions pourront se développer en séries très convergentet, ordonnées suivant les puissances et les produits de «, », tu, etc. Je représenterai ces développement par

et je supposerai que les équations (2) ne contiennent pas le terme f explicitement, auquel cas tous les coefficiens des puissances et des produits de «, r, w % etc., dans ces séries seront des constantes données. Si le système avait un mouvement de translationou de rotation commune tout tes points, il faudrait comprendre les parties variables de leurs es , qui en résulteraient , dans les pre- », f i , etc. ; mais , pour plus de sim-

plicité, je supposerai que cette circonstance n'a pas lieu ; et ces premiers termes seront aussi des constantes données.

Les composantes des forces qui agissent sur les points m, m', m'', etc., étant des fonctions données de leurs coordonnées, si l'on substitue dans leurs expressions les valeurs de*, y, etc., on pourra ensnite les développer suivant les puissances et les produits de «, r, su, etc. lie retle manière , on

DYISAM1QIE, SECONDE PARTIE.

•lira donc

+ Au + Br 4. Cm + etc i -}- Ai « -f- B, p + C, w + etc. , 4- A> « -f" B, v -f- Ci w + etc. , + A'n + B'» + C'tV + etc.,

Y' = P*. + A', « + B*, v + C, w + etc. , V = F, + A'. « + B'. e + C . if + etc. , etc.;

les premiers termes P, Pi , etc., ct4ous les coefficiens A, Ai , etc., étant des fonctions données de f,p\ , etc., a, 4, etc., qui pourraient, en outre, le temps /, si cette variable entrait expli- , dans les expressions des forces données.

Nous supposerons que cela n'a pas lieu; et nous regarderons les quantités P, P, , etc. , A, A, , etc., comme des constantes données.

MO. Cela posé, pour appliquer l'équation (l)du n° A 32 au mouvement que nous considérons, il faudra attribuer aux variables indépendantes «, s», w, etc., des accroissement infiniment petits, qu'on représentera par 'u, Je, tu.', etc. ; puis substituer, devis cette équation (1), les valeurs correspondantes de ts, Jy, ts, qui seront, en négligeant les infi-

nimens petits du second ordre,

is = (a -f- tu -f- *p -\- ku + ctr.) lu

+ (*+/• + *»+'» + •to.) *»

+ (■ + 9» + *•* + I* + etc.) tw

tu = (a, + «, h + A, • 4. A, w 4- rte.) lu + (*• + /» » + *• ■ + U w + etc.) /e + («i + .«» •» + *• « + ■ + *te.) + «te,

Is = (a, + i, w + *. t f w -f eic.) Xw + (4. + • + *. u + /, » + etc.) tv + (c + g» «;+ A, « + /, r + et. ) + etc. ;

formules d'où l'on déduira les valeurs de tx\ tu', tz\ en ajoutant an trait supérieur à toutes les constantes ; celles de ts", tu", is", en en ajoutant dent ; etc. La substitution de ces valeurs de tx , tu, etc., étant effectuée, on égalera A téro, dans lu premier membre de l'équation (1), le coefficient de chacune des quantités tu, tv, lw, etc., qui sont arbitraires et indépendantes. De cette manière, on

\j^F " X ) (a +«'+»«>+*«'+ rte.)

+ C^rV«~ ~ Y ) +••«+*•»+*• »+ e|c o

+ - :>, + « + A, e + A, «' + etc.)J = 0 ,

KSf ~ X ) ^ + fV +hU +lW + llr ) + (j? ~ ï) (*« + *»«+'» »+ Hr.)

+ - l ) lbt + /••+*••+** + e,c - J = °>

+ (^T ~ Y ) + + etc.)

-f — 7.^ (c, -f y, u> -f *, u + /» * + etc.)

etc;

les sommes S s'étendent toujours à tons les points m, w', m", etc., du système.

Il restera encore à substituer dans ces équations, à la place de s, y, etc., X, Y, etc., leurs valeursprccédentes. La substitution faite, on négligera, dans une première approximation, les carrés et 1rs pro-

duits de «, e, i, etc., ainsi que les produits de ces inconnues et de leurs coefiieiens différentiels

du dv diW

dP dP "SrT' ctc ' qui ,ont aUM ' dM t « u,ntUés constamment très petites ; il eu résultera alors un

nombre n d'équations linéaires à coefliciens constans, que nous indiquerons par (o), et dont chude la forme :

D — — ■+■ Il -f F . -f- e»c.

«ft. ~ dt* dt* ^ >(°)

+ Gej + Ep + + etc. = Q } )

les cocfficiens D, E, F, etc., G, H, K, etc., ainsi que la quantité Q, désignant des fonctions données des

de x, y, etc., X, Y, etc.

Après avoir déterminé les valeurs approchées de «, c, te, etc., aux moyen de ces n équations, on les substituera dans les termes des équations rigoureuses, qu'on a négligés dans cette première approximation , les nouvelles équations qui en résulteront

membres, au lieu d'être cousions, seront des fonctions connues de * ; on en déduira d'autres valeurs de «, », », etc., plus approchées que les premières ; et ainsi de suite, par la méthode des approximations successives. Nous nous bornerons à la première approximation, suivant l'usage ordinaire dans les questions de ce genre. Quand les points matériels m, m', m'', etc., seront en nombre infini, les équations (a) se changeront en équations aux différences partielles, communes a tous les points du système, et dont le nombre sera toujours égal à celui des inconnues u, c, w, etc. C'est ce que l'on a vu, par exemple, dans le problème des cordes vibrantes (n°484), où ces inconnues sont au nombre de trois, qui expriment les déplacemens d'un point quelconque de ta corde suivant trois directions rectangulaires, et dont les valeurs dépendent de trois équations aux différences partielles , du second ordre par rapport à f.