Les seconds membres des équations (a) et les

quantitées constantes, ou pourra toujours faire disparaître ces seconds membres, en augmentant chacune des inconnues si, », », etc., d'une quantité constante, qu'on déterminera facilement. Sans restreindre la généralité de la question, nous pouvons donc supposer qu'on n Q — 0 dans chacune des équations (a) ; ce qui revient à dire que les valeurs initiales «, C, y, etc., des n variables indépendantes, répondent à un état d'équilibre du système, dont on l'a écarté en déplaçant un tant soit peu les peints m, m', m", etc, , et leur imprimant de très petites vitesses. Ces déplacemens et ces vitesses devant être compatibles avec les liaisons des points du système, ce ne sont pas les voleurs initiales des coordonnées x, y, etc., et de leurs premiers coefliciens ds dy

différentiels — , — , etc., qui sont données arbitraidt di

rement dans chaque cas, mais seulement les valeurs initiales des inconnues indépendantes u, », », etc.,

du dv dw

et de leurs coefliciens différentiels —, —, — , etc.

dt dt dt

On satisfera aux équations (a) sans seconds membres en prenant

u = RN sin (« |/7"— r), c = RR' sin (t \Z~f~ — r) , » = RR'sin (i 1/7- r),

R et r étant des constantes arbitraires, dont la seconde pourra être supposée positive et moindre que », et f, N, N', N", etc., désignant des constantes qu'il s'agira de déterminer. La substitution de ces valeurs de u, », », etc., dans les équations (a), donnera évidemment un nombre »

i qui entrent dans les premiers, étant des

(DR + EN' + FR" + etc.) f = GN + HR» + KR» + etc.

En éliminant entre elles un nombre n — 1 des quantités R, R', R", etc., la n**"* s'en ira en même temps, et l'on aura, pour déterminer f , une équation du degré», que je représenterai par

De plus, les valeurs de » — 1 des quantités R, N', R", etc., par exemple, de R', R", etc., qu'on tirera de ces mêmes équations, seront des fractions rationnelles du degré n, par rapport à f, ayant un dénominateur commun, et multipliées toutes par la quantité N, qui restera indéterminée. En faisant celle-ci égale au dénominateur commun, les n quuntités N, R', N", etc., seront exprimées symé-

u = RN sin [4 |/7- r) + R, N, sin (< r, ) + «te. ,

» = RR' siu (r J/7- r ) + R, N', sin (l \/J, - r, ) + etc.,

m = RN" sin (f r) + Ri N", sin (I — r, ) + etc. ,

etc. ;

triquement par des polynômes du degré » rclati" vement à p. Or, à cause de la forme linéaire des équations (a), on y satisfera non seulement par les valeurs précédentes de u, e, », etc., relatives à telle racine qu'on voudra de l'équation A = 0, mais aussi en prenant poor M, », », etc., les sommes de toutes ces valeurs particulières, dans lesquelles on pourra changer les constantes R et r en même temps que la racine de A =0. Si donc on appelle p, f i , fi , etc., les racines de cette équation, et qu'on représente par R, R, , N, , etc., les valeurs correspondantes de R; par R' , R', , N', , etc., celles de N'; etc., on satisfera aux équations (a) nu moyen de

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

R , 1| , lg , etc., r, r, , r. , etc., étant des atautes arbitraires; et comme elles sont au nombre de 2n, il s'ensuit que ces formules (c) seront les n intégrales complètes des équations (a) , dont

Dans chaque cas, on déterminera les valeurs de R cos r, Ri cos r, , etc. , R sin r, H, sin r, , etc., au moyen des valeurs données pour t = 0, dis 2n

du dv du)

quantités u, r, w , etc. — ,— , — , etc. Toutes

dt dt dt

ces valeurs étant supposées très petites , celles de R, Ri , Ri , etc., le seront aussi ; par conséquent, ■i toutes les racines », f t , fa , etc. , de l'équation A = 0, sont réelles et positives , les valeurs de w, e, », etc. , en fonctions de t, seront périodiques et demeureront très petites, comme on Ta supposé pendant toute la durée du mouvement. Hais si une ou plusieurs de ces racines sont imaginaires ou négatives , les termes qui leur correspondront

dans les équations (8) se changeront, par les formules connues, «n exponentielles , et croîtront indéfiniment ; par conséquent, les valeurs de u, e, w , etc., quelque petites qu'elles aient été à l'origine du mouvement , finiront par cesser de l'être; et les formules (c) ne pourront plus représenter les valeurs approchées de ces inconnues, que pendant un temps peu considérable. Dans le premier cas, que nous allons examiner spécialement, l'état d'équilibre , d'où le système a été un peu écarté , est un état stable ; dans le second cas , cet équilibre est uon stable, du moins relativement aux dérangemens primitifs , pour lesquels les coeffieiens R, R ( , R, , etc. , des termes non périodiques, ne sont pas égaux a séro.

548. Lorsque tous les coefBciens R , R, , Ri , etc., sont nuls, excepté le premier, pur exemple, les formules (a) se réduisent aux formules (A). En négligeant toujours les carrés et les produits de v, si, sa, etc., on aura donc simplement (o° 546)

m = p + (a H + I N' + c W + etc.) R sin (i \/f~ — r),

y = Pt + ; fll S + A, Pi' + c, N" + etc.) R sin (l \ZJ- r),

» = p, + (o. H + A, V + c. N" + etc.) R sin (< \/J - r),

r" = jr 1 + >' R + A' y + C ' li" + etc.) R sin (i \Zj - r),

y = p\ + («', N + A', N' + e \ PT+ etc.) R tin (# l/J - r) ,

s' = p\ + [a. N + A'i N' + c», K' + etc.) R sin {t |/7— r),

etc.;

Les premiers termes p, p, , etc. , étant constans ainsi que les cotfiicicns des seconds termes, il s'ensuit que , dans ce cas , tous les points du système feront , suivant la direction de chacune de leurs coordonnées, des osrillatious isochrones et d'une ampli'ude constante, dont la durée sera la

et

même et égale à — pour tous ces mobiles ,

dans toutes les directions. Les rapports des amplitudes pour deux points ou deux directions différentes , seront déterminés , et dépendront de la nature du système et de la racine f de l'équation A = 0. Leur grandeur absolue, dépendante du facteur R, sera arbitraire, et n'influera pas sur la durée des oscillations. Tous les mobiles reviendront à la fois à leur position d'équilibre, qui répondent, par hypothèse (n° 647) , à u — 0, • = 0 , w= 0, etc., ou à x —p, y =-fi , etc. ; le premier

,qu.

retour aura lieu au bout d'un temps t =-

Kl

dépendra , ainsi que R , de leur dérangement primitif.

Un système de points matériels, dans lequel la liaison de ces poiuts laisse un nombre is de vuriables indépendantes, et qu'on dérangera un tant soit peu d'un état d'équilibre , pourra prendre un nombre f» de mouvemens semblables au précédent, qui répondront aux w racines de l'équation A=.0.

De plus, en vertu des formules (c) et des valeurs correspondantes des coordonnées x , y , etc. , tous ces petits mouvemens, ou seulement quelques-uns d'entre eux , pourront atoir lieu en même temps dans ce système ; et réciproquement, quel que soit son dérangement initial , on pourra toujours décomposer le mouvement de chacun de ces points, parallèlement à chaque axe des coordonnées , en un nombre n, ou moindre que n , d'oscillations simples , comme celles qui répondent aux équations (d) , dont les durées indépendantes du défi* 11* 2* rangement initial seront — - , — , — ~ > etc.

Vt l/p. Vu

Quand ces dur tes seront toutes commensurables , le système entier reviendra au même état au bout de chaque intervalle de temps égal à la plus longue ; c'est ce qui u lieu , par exemple , dans le mouvement des cordes vibrantes, et n'a pas lien dans le mouvement transversal des verges élastiques (u™ 491 etô28).

C'est dans ce théorème général que consiste le p)incipc de la coexistence des petites oscillations. Il a encore lieu lorsque le nombre des points m, as', m ', etc. , du système est infini ; le nombre des oscillations simples, qui sont alors possibles, peut être aussi infini ; mais leurs durées et les rapports de leurs amplitudes n'en sont pas moins des quantités déterminées. Ainsi, dans le mouvement trans-

versai d'une corde tendue , dont U longueur , le poids et U tension tont /, p et «, et en désignant par c la gravité, les durées des oscillations simples

ne peuvent être que la quantités

— et ses

-multiples; et, d'après la formule d) du I , les amplitudes de l'oscillation qui répond au sous-multiple quelconque », sont entre elles

*** imx' dans le rapport de sin -y— à sio -y- , pour des

points de la corde, dont * et s' sont les distances a Tune de ses eitrémités.

649. Lorsque les points m , m', m", etc., oscilleront dans un milieu résistant, les composantes X , T, etc., des forces qui les sollicitent, renfermeront

dx dy

dans leurs expressions les composantes — , —, etc.,

dt dt

des vitesses de ces mobiles. Si la résistance du milieu est proportionnelle au carré ou à une puissance supérieure de la vitesse , elle n'influera pas sur le mouvement du système, au degré d'approximation où nous nous sommes arrêté , parce

du* de* du* que les termes ^ ' , j^p- , jy 1 etc., qui en résulteraient dans les expressions de X , Y , etc. , sont du même ordre de petitesse que les quantités qui ont été négligées. Hais si les mouvemens des points «s, m', m", etc., sont peu rapides, il faudra, comme dans le cas des très petites oscillations d'un pendule simple (n° 187) , supposer la résistance proportionnelle a la première puissance de la vitesse; supposition qui introduira dans les expressions X, T, etc., et par suite dans les équa-

dx dy dt

tions(n), des termes multipliés par —, —, —, etc.,

dt dt dt

qu'on ne devra pas négliger.

Ces équations , que j'indiquerai par («), seront de la

D *d7r+ E -drT + r -ÂT + * tc -

+ Gs> -f Uv + Kw + etc.

dm dv dm

=s D' - + E' - + r — -I- ele ;

dt dt ^ dt

V, E',F', etc., étant aussi des corfficiens constans, qui seront proportionnels à la densité du milieu , et généralement très petits par rapport a ceux qui entrent dans le premier membre. Or , on satisfera à ce système d'équations au moyen des formules (o) multipliées par des exponentielles, c'est-à-dire, en prenant

u = RH sin (r |/~— r>—

p = RU' sin (s l/J- r >—

u, = RR»,i„ (,|/7 r> -.

•te. ;

ê désignent U base des logarithmes népériens , et m , »', «", etc., étant des quantités constantes et très petites. Je négligerai leurs carrés et les produits de ces inconnues et des coefhciens D', E', F', etc. Les valeurs dey, v , w , etc. , satisfaisant déjà aux équations le) sans seconds membres , lorsque l'on fait abstraction des exponentielles, leur substitution dans les équations (•) donnera un nombre » d'équations de la forme ,

2DN.+2E.Y.'4*FN"."+etc.= D'PI + EW+etc,

d'où l'on tirera les valeurs des i» inconnues « , •', »", etc.

Ces valeurs seront positives, parce que l'effet de la résistance d'un milieu est de diminuer graduellement les amplitudes des oscillations. Cette diminution sera plus ou moins rapide pour les diverses variables indépendantes si, r , *v , etc. ; elle dépendra aussi de la racine f de l'équation A = 0, qui entre dans les valeurs de > , V , V, etc. ; en sorte que les amplitudes des oscillations simples dont le système est susceptible , ne décroîtront pas toutes avec une même rapidité. La résistance du milieu n'aura d'ailleurs aucune influence sur la durée de chaque sorte d'oscillation , qui sera toujours 2*

T~7-~ pour celle qui répond à la racine f . En pre- Kf

nant les sommes des formules (f), relatives à toutes les racines de l'équation A = 0, on aura, comme précédemment, les valeurs les plus générales de at, », w, etc.

650. Il résulte du principe du n° 548, que si les points d'un système sont tellement liés entre eux , qu'il ne reste qu'une seule variable indépendante, ils ne pourront faire qu'une seule espèce d'oscillations, pour lesquelles la durée et les rapports des amplitudes relatives aux différens mobitts, dépendront des forces qui les sollicitent, et de la nature du système. Ce cas aura lieu, par exemple, dans le mouvement de deux points matériels m et ■»', attachés l'un à l'autre par uu fil d'une constante, et obligés de se mouvoir sur des < bes données.

Si , ou contraire, les points m, m', m", etc., ne sont pas liés entre eux ni assujettis à demeurer sur des surfaces ou sur des courbes données, ce qui n'empéche pas qu'ils ne soient soumis à leurs attractions ou répulsions mutuelles et à d'autres forces semblables dirigées vers des points fixes , toutes leurs coordonnées seront des variables indépendantes ; et , dans ce cas, inverse du précédent, le nombre des oscillations simples qui pourront avoir lieu , sera triple de celui de ces points matériels. C'est ce qui arrive effectivement dans le problème du n° 586 , relatif au mouvement très petit d'un point m, comidéré comme entièrement libre, et soumis à des forces dirigées vers quatre points fixes.

Pour donner encore un exemple de l'ar

DTNAMIQDE, SECONDE PARTIE.

du principe précédent , considérons les petites oscillations d'un point matériel pesant m, sur la surface d'un ellipsoïde dont l'un des oies est ver- 2e la longueur de cet axe , 2a et 26 aies horizontaux , et

l'équation de la surface , quand l'origine des coordonnées est à son centre. Si l'on transporte cette origine au point le plus bas , et que les s positives soient dirigées de bas en haut , il faudra mettre e — a , au lieu de s , dans cette équation. Les oscillation! du mobile étant supposées très petites , de part et d'autre de ce point inférieur , les abscisses horisontales x et y de m le seront aussi , et son ordonnée verticale s sera très petite par rapport à s et y. En négligeant le carré de s , après la substitution de e — a à la place de m , on aura alors

et si l'on appelle h a k les rayons de courbure des deux sections principales de la surface , relatifs à son point le plus bas , ou à * = 0 et y= 0 , on en

Cela posé , dans cette question , les variables indépendantes sont au nombre de deux, savoir s et y; le mobile ne peut

sortes d'oscillations simples ; et son mouvement le plus général résultera de la coexistence de ces deux mouvemens particuliers. Or , si l'on écartait le mobile du point le plus bas de l'ellipsoïde, dans la section dont l'axe horizontal est 2a , et qu'on lui imprimât une vitesse dirigée dans le plan do cette section, il est évident qu'il n'en sortirait pas pendant tout son mouvement. En désignant par y la gravité, la durée de ces petites oscillations serait alors 2 comme celle du pendule

simple dont la longueur est h (n° 183) ; et , à un

• = R.in (rl/I-r), y = 0;

R et r étant, comme précédemment, deux constantes arbitraires. Dans le cas où les petites oscillalieu dans le plan de la xonlal est 24, leur dur*

— I et l'on aurait, h uu instant quel-

R' et r 1 étant aussi deux constantes arbitraires Donc , les valeurs les plus générales de s et y seront les sommes de ces valeurs particulières ,

, = R.in(ll/l-r), y = R'.in(ll>/ / ï-r').

déterminer les quatre constantes arbitraires R, R', r, r>, supposons qu'on a , a l'origine du

il en résultera

Rsinr = -p, R'sinWzrr-ç,

Rcoar^p-l/-, R' cos = q \ y 9

par conséquent , en ayant égard aux valeurs de h

et ft, nous aurons, k un instant quelconque,

Dans le cas de a =6 = c, ees formules doivent coïncider avec celles du n° 207, en faisant, comme dans celles-ci,

« = al cos 4, y a a» sin 4.

a I cos 4 = p cos * [/^- + f>' \/~— •'•» ■ l/~>

• • sin 4» q cos I (/ï + q V^- »« * K^î

mai» dans ce

quand r = 0 ; ce qui exige qu'on

dt <*+

» = „, 4 = 0, - = 0, ai~ = ( ]/ ga ; dt dt

p — au, j>' = 0, 9 = 0, q' il en résultera donc

co» 4 = • cos t (/Z, » sin 4 = C sin I |/^- ;

d'où l'on tire

«• = -(•• +C)4--L («l - C.) cos Si )/L %

atang4 = Ctangr

comme dans le numéro cité.