Supposons généralement qu'on ait

u = U , t> = V, w = Vf , etc. ,

pour les valeurs des Tariablea indépendantes à un instant quelconque, quand on a

« = «• , e = r, , se = so, , etc.,

du dv dw

- = «„ - = p„ etc,

à l'origine du mouvement ; supposons qu'on ait aussi , d un instant quelconque ,

u = TJ\ p = V, « = W, etc.,

lorsqu'on •

u = o, ' , r = r,», w = wt\ etc. ,

du de dw

pour f = 0 ; et ainsi de suite. Je dis qu'on aura , au ~1 du temps * quelconque,

a = U 4 U' 4 D" 4 etc. , • = V + V » + V" 4- etc. , «.= W-fW'-j- XV»+ etc., etc. ,

'«mi suppose, u l'origir . = „ + 4. 4. «te, p = r. 4- p, • 4. r, » 4. etc., » = tv. 4- ' 4. w t " 4- etc., etc. ,

ri»

(fi

o*t dr

dt ' du-

dt

etc.

«, + < + «," 4- c^. , •• + •/ + + etc. , w'+ M> /4. tt-/»4- etc.,

En effet , d'après les premières suppositions qu'on a faites sur les valeurs initiales de u , v , w , etc. , du dv dw

— > — i — 1 etc. , les formules (g) satisferont dt dt dt

évidemment pour f = 0 à ces dernières équations; de plus, les valeurs particulières de m, p, w, etc. , satisfaisant, par hypothèse , uux équations différentielles du mouvement, leurs sommes ou les formules (o) y satisferont aussi, puisque ces équations sont linéaires, et ne renferment pas de termes indépendans des inconnues h , p , w , etc. , (n° 647) ; les formules (a) rempliront donc toutes les conditions de la question, et seront , par conséquent, les valeurs des inconnues à un instant quelconque

662. Ce théorème général peut être appelé le principe de la superposition des petits mouremens. On ne doit pas le confondre avec celui de la coexistence des petites oscillations : il est indépendant des lois particulières des petits m ou venions que l'on considère, et résulte seulement de ce que les déplacemens et les vitesses des mobiles sont traités comme des infiniment petits, puisqu'on néglige produits et leurs puissances supérieures à la

En vertu de ce principe, les partent de différens points, se propagent et se superposent dans l'air tans se modifier , en aorte qu'à chaque instant le déplacement et la vitesse ■d'une molécule d'air, suivant une direction quelconque , aont les sommes des déplacemens et des vitesses qui répondraient à toutes ces sidérées isolément . ce qui non distinctement et sans confusion plusieurs sons à la fois, produits par différens corps sonores. Les sons simultanés peuvent aussi résulter de la coexistcuce des petites oscillationa dans un même corps sonore. Ainsi, par exemple, lorsqu'une corde tendue exécute, en mémo temps, les oscillations isochrones qui repondent a sa longueur entière, et celles dont la durée correspond au tiers de cette longueur , le mouvement de l'air est le même que si deux cordes, dont les longueurs seraient entre elles comme un est à trois , exécutaient simultanément les vibrations les plus lentes dont elles sont susceptibles; et l'on entend , en même temps, le ton fondamental de la corde donnée , et un autre ton plus élevé, qui est la quinte de Y oc tare supérieure. C'est aussi pour cela que l'on entend distinctement les sons produits par les vibrations longitudinales cl par les vibrations transversales , qui ont lieu à la fois

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

i tendue . ou dons une même verge élastique.

D'après le même principe , les ondes produites la surface de l'eau , se pro- [iltanément autour de ces centres differens . et peuvent se croiser en tous sens à cette surface, sans se modifier mutuellement; de manière qu i un instant quelconque l'élévation de l'eau , en tel point qu'on Tondra , est la somme des élévations positives ou négatives qui auraient lieu en vertu de toutes ces ondes considérées isolément.

L'explication qu'on donne du phénomène des interférences , dans la théorie des ondulations lumineuses, est aussi fondée sur le principe de la superposition des petits mouvemens, qui est, comme on voit , susceptible de nombreuses applications.

Pour le compléter , nous ajouterons que si des forces émanées de centres mobiles agissent sur les points du système, les seconds membres des équations (a) de leurs petits mouvemens (u° 546), seront des fonctions linéaires des composantes de ces forces données. II en sera de même à l'égard des intégrales complètes de ces mêmes équations différentielles ; d'où Ton conclut que les parties de « s», m , etc., indépendantes do l'état initial du système, et, par suite, les parties semblables des coordonnées des mobiles , seront les sommes des râleurs qu'elles auraient si les forces données agissaient séparément. Ainsi, par exemple, dans le phénomène des marées , l'élévation totale de la mer en chaque point et à chaque instant est la somme des élévations, prises avec leurs signes, qui aéraient causées par les actions isolées du soleil et de la lune; et c'est pour cela que, toutes choses égales d'ailleurs , les hautes mers sont les plus considérables dans les $y%ygiee, et les moin-

§ III. Principee de la conservation du mouvement du centre de gravité , et de la conservation des airee.

663. Puisque le mouvement du centre de gravité d'un système entièrement libre est le même que si les masses de tous les mobiles y étaient réunies et que leurs farces motrices y fussent transportées parallèlement à leurs directions , il s'ensuit que les forces données dont les composantes parallèles à chaque coordonnée seront égales et contraires, n'entreront pas dans les équations différentielles de ce mouvement. Or , ce cas est celui des forces motrices provenant des actions mutuelles des points du système , en vertu de la loi générale de V action égale à la réaction, qui s'observe toujours dans la nature, ainsi qu'on va l'expliquer.

Si un point matériel situé en M agit sur un autre point situé en H', et lui imprime ou tend à lui im

primer , dans un instant , une quantité < meut infiniment petite , < on observe toujours :

1° Que cette action est dirigée suivant la droite menée du point M' vers le point H, ou suivant snn prolongement au delà de M' ;

2° Qu'en même temps le point situé en 11' réagit sur le point situé en M , suivant la droite qui va de M vers M' , ou suivant son prolongement au delà de M.

3» Que celte réaction communique ou tend à communiquer au point situé en H une quantité de mouvement précisément égale à au

On dit qu'il y a attraction ou répulsion entre ces deux points matériels, selon que leur action mutuelle tend à augmenter ou à diminuer la distance MM' ; s'ils sont entièrement libres , et que leurs masses soient représentées par m et m', les vitesses

qu'ils prendront seront — et —, c'est-à-dire, en

raison inverse de leurs masses , et les quantités dont ils se rapprocheront ou s'écarteront, pendant un temps infiniment petit, seront égales à ces vitesses multipliées par la moitié de ce temps (n° 114): d'ailleurs, la quantité p pourra dépendre de la nature des corps auxquels m et m' appartiennent , ou en être indépendante et proportionnelle au produit mm' de ces masses (n° 241) , comme dans le cas de l'attraction universelle.

La première des trois propositions qu'on vient d'énoncer peut être regardée comme évidente en

elle-même; car des quantités de matière m et m', étant réduites à des dimensions infiniment petites, et placées à une distance finie l'une de l'autre , il n'y aurait aucune raison pour que l'action d'un de ces points sur l'autre s'exerçât d'un coté déterminé de la droite qui les joint , et autour de laquelle tout est semblable; mais les deux autres propositions ne peuvent être pour nous que les résultats de l'expérience, généralisés par induction et confirmés par toutes les conséquences qui s'en déduisent. En effet , nous ne pouvons regarder comme impossible, à priori, qu'un point matériel m agisse sur un autre ni', sans que celui-ci réagisse sur le premier, en sens contraire et avec une égale intensité. Ainsi, nous admettrons le principe de la réaction égale cl contraire à l'action comme une loi générale de la nature , qui nous est donnée par l'observation , de même que la loi de l'attraction universelle, en raison inverse du carré de la distance.

664. Celn posé, si tous les points matériels d'un système entièrement libre ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, ces forces motrices, transportées au centre de gravité du système, s'y détruiront deux à deux; le mouvement de ce centre sera donc rectiligne et uniforme , et conservera constamment sa vitesse et sa direction initiales; ce qui a fait donnci à ce théorème le nom de principe

titi.

Ce mouvement n'est pat altéré par le choc de* corp», quel que «oit leur degré d'élasticité {a» 642); et, en effet, le phénomène du choc eft produit, comme nous Paron* déjà dit (n° 500) , par les action» mutuelles dea molécules du corps choquant et du corps choqué , qui s'oiercent à des distances insensibles, mais de grandeur finie, et pour lesquelles la loi de la réaction, égale et contraire à l'action, ne peut manquer d'avoir lieu. Par la même raison, si un corps solide est en mouvement, ét qu'il soit brisé par une explosion intérieure, la direction et la vitesse du centre de gravité de toutes ses parties, après cette esplosion, seront les mêmes que la direction et la vitesse du centre de gravité qui avaient lieu auparavant. En général , les chaogemens brusques de vitesse qui accompagnent les chocs ou les explosions , sont les effets des actions mutuelles des molécules ; ces forces varient dans de très grands rapports, quand les molécules se rapprochent ou s'éloignent les unes des autres ; et, par suite, elles font varier de même les vitesses des corps pendant de très courts intervalles de temps. .

Le principe dont il s'agit est indépendant de la liaison des points du système, pourvu qu'aucun d'eux ne soit lié à d'autres points étrangers au système que l'on considère, et ne soit pas assujetti à •e mouvoir sur une surface ou sur une courbe fixe ou mobile. Des conditions de cette espèce , s'il en existait, donneraient naissance à des forces qu'il faudrait transporter au centre de gravité, et qui pourraient faire varier sa vitesse. Il en sera de même , lorsqu'il y aura des forces appliquées aux points du système qui ne proviendront pas de leurs actions mutuelles ; et, dans ce cas, les actions mutuelles pourront influer indirectement sur le mouvement du centre de gravité , en diminuant on augmentant les distances des points du système qui points fixes ou mobiles d'où émanent les forces étrangères, et changeant, par conséquent, lenrs intensités.

L'inertie d'un point matériel consiste en ce qu'il ne peut se mettre de lui-même en mouvement, ni modifier aucunement le mouvement qu'il a reçu, sans le secours de forces émanant d'autres points: l'inertie d'un système de corps consiste, de même, en ce que l'action mutuelle de ses parties ne peut produire ni modifier le mouvement de son centre de gravité, sans le secours de points d'appui ou de forces étrangères. Ainsi, le mouvement du centre de gravité du soleil, des planètes, des satellites et des comètes , doit être rectiligne et uniforme dans l'espace , abstraction faite de l'action exercée par les étoiles sur tous ces corps , et de la résistance du milieu, si elle existe.

La manière dont les différentes parties d'un muscle agissent l'une sur l'autre, pour produire ses

pent-étre toujours par quel moyen la volonté met ces parties de nature diverse dans la disposition respective nécessaire pour qu'elles exercent ac-

tes : quoi qu'il en soit, nous ne pouvons pas douter que ces actions ne soient soumises à la loi de réciprocité , comme toutes les autres forces naturelles ; d'où il résulte qu'un aniroal.de quelque manière qu'il s'y prenne, ne peut jamais déplacer son centre de gravité par sa aeule volonté, et sans le secours d'un point d'appui extérieur. L'homme et les animaux peuvent élever ou abaisser verticalement leur centre de gravité, en s'oppuyant sur la terre; ils peuvent aussi s'avancer horizontalement,* l'aide du frottement contre aa surface; mais la locomotion leur serait impossible sur un plan parfaitement poli, où cette résistance serait tout-à-fait insensible. Dans le vol des oiseaux, c'est le centre de gravité de l'animal et de toute la masse d'air qu'il met en mouvement, qui demeure constamment en repos ; et , dans le vide , il ne pourrait parvenir à déplacer son propre centre de gravité , quelle que fût la rapidité du mouvement de ses ailes.

Il n'y a pas de doute, non plus , que les fluides impondérables ne soient soumis i la loi de réaction égale et contraire à l'action , et que le principe de

vite, qui en est la conséquence, ne doive aussi s'observer dans leurs mouvemens, comme dan»

celui de toutes les autres substances , dont ils ne différent que par leur extrême ténuité. Ainsi , lorsque l'électricité, la chaleur, la lumière, s'échappent d'un mobile par un seul coté , ce corps doit

gravité du système entier demeure en repos; mais la quantité de mouvement qu'il prendra ne sera sensible , qu'autant que celle du fluide impondérable le sera également, malgré la petitesse de sa masse , et à raison de la grandeur de sa vitesse. C'est ce qui ne peut être décidé que par des expériences très délicates.

656. Non seulement les forces provenant de l'action mutuelle des points m, su', m", etc., d'un système entièrement libre , n'entrent pas dans les équations (7) de leur mouvement de translation , mais ellea disparaissent aussi des équations (9) de son mouvement de rotation autour de l'origine des coordonnées ( n" 630 et 640 ),

En effet , soit F la force provenant de l'action mutuelle de m et m' , qui est la même pour ces

attractive , de m vers m' pour le point m , et de m vers as pour le point m'. En appelant f la distance de ces deux points, les cosinus des angles que fait la droite mm' , avec des parallèles aux axes dot * ,

par le point as .

DYUAHIQUB , SECO.NDB PARTIS a la force F , on aura donc

de la force motrice du point «; et l'on trouTcrn de

de la force motrice de m', provenant de cette force F. Or , d'après ces valeur», nous aurons

m (*Y — yX) + m' {x'T — yT) = 0 , t» (sX — xl) + »' (s\V — **Z') = 0 , • (yZ - »Y) + «•' fj 1 » - = 0 }

par conséquent , les termes provenant de l'action mutuelle des points du système, se détruisent deux à deux dans les seconds membres des équations (9) du n° 540.

Si donc il n'y a pas d'autres forces motrices qai agissent sur les points m , m' , m" , etc., le mouvement de rotation du système autour de l'origine des coordonnées, sera uniquement dû aux vitesses initiales qui ont été imprimées à ces points; en ■orte que sans le secours de forces étrangères ou de points d'appui pris au dehors , c'est-à-dire , par la seule action mutuelle de ses parties , un système quelconque de corps ne peut produire aucun mouvement de translution nu de rotation commun à tous ses points, ni modifier, en aucune manière, celui qu'il a reçu primitivement.

658. Les seconds membres des équations (0) seront encore téro, lorsque les points du système, indépendamment de leurs actions mutuelles, seront aussi sollicites par des forces dirigées vers l'origine des coordonnées ; car pour une semblable force , appliquée au point a*, les composantes ni, a»Y, ml , »ont entre elles comme le m , y , s , de ce point ; on a doue

points m, m',»", etc., sont soumis à leurs actions mutuelles et à des forces dirigées vers ce point fixe , en le prenant pour origine des coordonnées , on aura

«Y = yX , *X = xl , yZ = aY ;

et le

qui en provient disparait de

Ainsi, dans tout système entièrement libre, ou qu'un seul point fixe, et dont les

S'il n'y a aucun point fixe dans le système, et que les mobiles soient uniquement soumis à leurs actions mutuelles, on pourra prendre tel point qu'on voudra pour origine des coordonnées; et comme dans ce même cas , les équations (?) du n° 639 , se réduiront à

~dTr~ 0 ' 2 "Âr= 0 > 2w -sr=°> (*)•

il s'ensuit qu'on pourra aussi prendre pour cette origine, un point qui ait un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace.

En effet , en désignant par », C , y , le nées de ce point mobile, on aura

di»

IF

4 2 = °i dt*

pour y transporter l'origine des faudra faite

relativement au point quelconque m; or, en substituant ces valeurs, dans la première équation (o), on peut la mettre sous la forme

'~dÔ~

dt* )

+ * im </,» dt* '

au moyen des équations précédentes , elle se réduira donc à

et l'on trouvera de même que les deux autres

équations (o) ne changent pas de forme, et

*<*T- *'~dT) = °>

quand on transporte l'origine des coordonnées au point dont le mouvement est rcetiligno et uniforme.

Dans le cas dont il s'agit, le mouvement du centre de gravite du système étant rectiligne et uniforme (n° 554) , il en résulte que les équations (a) devront subsister en prenant ce centre pour oru'me.dcs coordonnées.

557. En multipliant les équations (a) par di , et observant qu'où a

intégrant et désignant par e , c' , c" , les constantes arbitraires, il vient

équations qui montrent que dans le mouvement d'un système entièrement libre, où les mobiles ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles , ou à des forces dirigées vers un centre fisc, les momens des quantités de mouvement de tous les points du, système, par rapport à trois axes rectangulaires qui se coupent en ce point, et par conséquent, par rapport à toute autre droite menée parce même point, sont des quantités constantes. Ces momens ne changeront pas de valeur, dans le choc des corps du système, ou dans l'explosion d'un ou de plusieurs d'entre eux , puisque les forces qui produisent ces phénomènes, sont des actions mutuelles de leurs molécules; ce qui s accorde avec le résultat du n° 542.

S'il n'y a pas de forces dirigées vers un point fixe, il résulte du numéro précédent, que ce théorème aura encore lieu , par rapport à un axe quelconque qui se meut parallèlement a lui-même, en passant constamment par le centre de gravité du système, ou, plus généralement, par un point dont le mouvement est rectiligne et uniforme. Dans ce même cas, on conclut des équations (4) , que les sommes des quantités de mouvement de tous les points du système, suivant trois directions rectangulaires , et conséquemment suivant une direction quelconque, sont égalemcut des quantités constantes; théorème qu'on peut aussi regarder comme renfermé dans celui qui répond aux momens

de ces forces , en éloignant à l'infini le centre des momens et l'origine des coordonnées.

558. Les valeurs des constantes c , c 1 , c'', dépendront de la direction des axes rectangulaires, qu'on prendra pour ceux des coordonnées ; mais si l'on fait

et + c'i + c"» = >' ,

lu quantité y sera non seulement indépendante de r, mais aussi de cette direction; car elle exprime le moment principal d'un système de forces (u°28l), dont la valeur ne peut pas dépendre de la direction arbitraire des droites suivant lesquelles ces forces sont décomposées. Lorsqu'il n'existe pas de point fixe dans le système , on trouvera donc une même valeur de y, en la calculant à deux époques différentes du mouvement , et prenant le centre de gravité pour origine des coordonnées , quelle que soit d'ailleurs leur direction, différente ou la même, à ces deux époques. Dans ces calculs, on n'emploiera que des positions et des vitesses relatives des mobiles aux époques dounées, savoir, les perpendiculaires x, y, s, abaissées de chaque point m sur trois plans rectangulaires, menés arbitrairement

ds dij dz

par le centre de gravité, et les excès —, — , — , des

dt dt di

composantes de la vitesse de m, parallèles à leur» intersections, sur les composantes de la vitesse du centre de gravité suivant les mêmes directions. Lors même qu'il serait survenu entre les deux époques pour lesquelles ou aura ainsi calculé la valeur de y, un ou plusieurs chocs ou explosions des corps du système , cette valeur ne serait pas changée , pourvu que, dans le cas d'une explosion , on comprît dans le calcul de la seconde époque toutes les parties du corps brisé. Si donc on la trouvait différente à la seconde époque de ce qu'elle était à la première, on en pourrait conclure que des forces étrangères ont agi, dans l'intervalle, sur les mobiles , ou bien qu'ils ont choqué d'autres corps qui ne font pas partie du système.

Si l'on appelle «, •", les angles que fait l'axe du moment principal avec les nies des s , y, *, dont l'origine est au centre de gravité, on aura (n» 281)

cos • ss — , cos = — , cos = — ;

en supposant donc que ces axes soient constamment parallèles à eux-mêmes , les quantités c , c', c", ne changeront pas, et la direction de l'axe du moment principal sera aussi invariable, comme la grandeur du moment qui s'y rapporte. La même chose a lieu par rapport à un point fixe, lorsqu'il y en a un dans le système, et qu'on le prend pour origine des coordonnées; ce qu'où a déjà vu dans le n° 416 , relativement à un corps solide.

559. Il est important d'observer que les termes provenant de l'action mutuelle du système dispa-

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

missent dons les seconds membres des équations (0) du n° 540, lors même que l'intensité de cette action Tarie avec le temps , indépendamment de la distance, c'est-à-dire , lorsque les composantes de cette force renferment le temps t explicitement. Les équations (c), et, par conséquent, l'invariabilité du moment principal et de la direction de son axe, ont donc encore lieu dans ce cas, qui se présente , par exemple , quand les pointa dn système perdent, sous forme rayonnante, une partie de leur cLaleur propre ; ce qui diminue , à distance égale , l'intensité de leur action mutuelle.

Ainsi, en faisant abstraction de l'action du soleil et de la lune sur la masse de la terre, et supposant que notre planète, autrefois à l'état gaieux, s'est solidiGée por le refroidissement , sans perdre aucune partie de sa matière pondérable , on peut assurer que , dans cette transformation , le moment principal des quantités de mouvement de tous ses points n'a pas changé de grandeur, ni son axe de direction. Cette droite est devenue Taxe de figure de la terre, autour duquel elle tourne maintenant; et , dans ce mouvement , il est aisé de voir (n° 386) que l'on a

pour la valeur du moment principal ; » étant la vitesse angulaire do rotation, M la masse, et MA* le moment d'inertie par rapporta l'axe de figure. Si le refroidissement et la rotation de la terre continuent encore actuellement, et que son rayon diminue en conséquence, la valeur de A diminuera dans le inème rapport ; a cause que la quantité y est constante, la voleur de - augmentera donc eu raison inverse du carré de A , et la durée du jour décroîtra proportionnellement au carré du rayon. Une diminution , due à cette cause , d'un dix-millionième sur la durée du jour, supposerait un décroissement d'un vingt-millionième sur la longueur du ravon ; et comme on est certain que le jour n'a pas éprouvé cette diminution depuis 2600 ans (n" 443), il en résulte que le rayon moyen de la terre n'a pas varié d'un vingt-millionième, ou d'à peu près 3 mètres, dans ce long intervalle de temps, par l'effet du refroidissement, si la température moyenne de la terre n'est pas encore parvenue à un état permanent.

Les trembleroens de terre, les explosions volcaniques , le souffle des vents contre les côtes , les frottemens et les pressions de la mer sur la partie solide du sphéroïde terrestre, répondant à des actions mutuelles des parties du système, il n'en peut résulter aucune variation de la quantité y; et les déplacemens de ces parties qui ont lieu dans toutes ces circonstances , n'étant pas assex considérables pour produire des changemens sensibles dans la valeur de A, ces causes diverses ne produiront aucune altération appréciable dans la rapidité de U vitesse ., ni dans la durée du jour.