Les théorèmes qui se déduisent des éqna

maniére.

Observons, pour cela, que la formule (*dy — ydx)

est l'aire décrite pendant l'instant dt , ou la différentielle de l'aire décrite pendant le temps », par le rayon vecteur de la projection du point m sur le plan des s et y, en allant de l'axe des s positives vers l'axe des y positives (n» 164). La formule

7 (Mdssds) est de même la différentielle de l'aire

décrite par le rayon vecteur de la projection du même point m , sur le plan des s et s, en allant de

l'axe des m vers l'axe des x; et - (yrfs — sdy) exprime la différentielle de l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection de ce point sur le plan des y et s, en allant de l'axe des y vers l'axe des s.

Cela posé, considérons les aires comme des quantités positives ou négatives , selon qu'elles sont décrites sur chaque plan, dans le sens qu'on

vient d'indiquer, ou dans le sens opposé. Soit - i h

somme des aires décrites, pendant le temps t , par les rayons vecteurs des projections de tous les points du système, et multipliées respectivement

par leurs masses m, m , m", «*", etc. Appelons - x'

la somme des a ires décrites snr le plan des m et x , pendant le même temps, par les rayons vecteurs des projections de ces points matériels, et multipliée aussi par leurs masses. Soit enfin - y." la

somme des aires décrites sur le plan des y et s, pendant ce temps f, par les rayons vecteurs des projections de ces mêmes points , multipliées de même par leurs masses. Ces trois sommes seront des fonctions de I, dont los valeurs s'évanouiront avec cette variable, et qui auront pour différentielles

-ioV = T X» - «i»), 1 dx" = T Sa >yd* - sdy),

En vertu des équations (c), on aura doue

dx = edi, oY = c'dt y rfx" = c"d<; et , en intégrant, on en déduit

x = et, x* == c't, x" = c"t.

Donc , dans le mouvement d'un système entièrement libre, dont les points ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, les sommes des aires représentées par -1 x, 1 x', 1 x'', sont proportionnelles au temps employé a les décrire, et les sommes des aires décrites pendant l'unité de temps, conservent leurs valeurs initiales pendant toute la durée du mouvement; le centre des aires étant un

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point fixe, le centre de gravité du système, ou tout autre point dont le mouvement est rectiligoo et

C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires II a encore lieu lorsqu'il existe dans le système un point fixe vers lequel sont dirigées des forces agissant sur un ou plusieurs des mobiles, pourvu que Ton prenne alors ce point fixe pour centre des aires ; ce qui comprend le théorème du n° 164, relatif à un point matériel isolé.

Nous ferons remarquer que, quand les points a», m', m ' , etc., tournent dans un même sens autour du centre des aires, comme les centres des planètes autour du soleil , il en sera de même ù l'égard de leurs projections sur les plans des coordonnées î de aorte que tous les termes des sommes

- x , - a', - a", auront le même signe : ils auront

au contraire, des signes différens, et ces sommes pourront être des quantités positives ou négatives, lorsqu'une partie des mobiles tournera dans un sens, et l'autre partie dans le sens opposé, comme dans le mouvement des comètes autour du soleil.

661. Maintenant, soient 0(fig. 116), le centre des aires, fixe ou mobile , Ox, Oy, Os, les directions des axes rectangulaires des coordonnées ; M et M, les positions du point quelconque ta au bout des temps * et I -\-dt , P et P, les projections de M et H, sur le plan des x et y. Le triangle MOM, sera l'aire plane décrite , pendant l'instant dt, par le rayon vecteur de m , et il aura pour projection sur le plan des * et y, le triangle POP,, ou l'aire décrite pendant cet instant, par le rayon vecteur de la projection de m sur ce plan. Les projections de MOB, sur les deux autres plans des coordonnées, seront aussi les aires décrites par les rayons vecteurs des projections de m sur ces plans. Il en sera de même pour les aires décrites dans l'espace , pendant toutes les parties infiniment petites du temps f , par les rayons vecteurs de tous les points du système, et multipliées par leurs masses, ou, autrement dit, pour toutes ces aires augmentées dans le rapport des masses m , s»', sa", etc. , à l'unité. Par conséquent, les quaotités 7 A ' 7 *'» "7 x "« 1 u on * ient de considérer, seront les sommes des projections de ces aires infiniment petites , sur les trois plans des coordonnées ; et l'on pourra appliquer à ce système d'aires planes et à leurs projections, les théorèmes des n°» 276 et suivans.

Ainsi, parmi tous les plans qu'on peut faire passer par le point 0, il y en a un sur lequel la somme des projections des aires planes, prises avec les signes qui résultent du sens du mouvement pour obacune d'elles, est un maximum. Si l'on désigne par m la valeur de cette aire tnarima, ou aura

et, si OH est la perpendiculaire à son plan, et qu'on fasse

xOH ss C , yOIl = P, ,0H = C",

on aura aussi

cos C ss — , tos C = — , vos C — — .

Or, d'après les valeurs de a, a', a", ces formules sont la même chose que

cosC= — , cos C cos C" = — ; («*)

c » c > 0 ~> ■ étant les mêmes constantes que précédemment. Il en résulte donc que la direction du

dant toute la durée du mouvement, et que la normale à ce plan menée par le centre des aires coïncidera toujours avec l'axe du moment principal des quantités de mouvement de tous les points du système.

Ou conclut de là que dans le mouvement de tout système entièrement libre, dont les points matériels ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, il existe un plan, passant par le centre de gravité, qui demeure constamment parallèle à lui-même, et dont on peut, à chaque instant, déterminer la direction, au moyen des masses de tout ces points, de leurs coordonnées rapportées au centre de gravité comme origine, et des excès des composantes de leurs vitesses sur celles de la vitesse de ce centre.

Ce théorème est dû à Laplace, qui a donné au plan dont il s'agit la dénomination de plan invariable, et qui a proposé d'en faire usage, en Astronomie, pour rapporter à sa direction constante les directions variables (no 244 ) des plans des orbites planétaires.

662. C'est au plan de l'orbite de la terre, et à une droite menée, dans ce plan, par le centre du soleil et parallèlement à la ligne des équinoxes, que les astronomes rapportent les positions des astres et les directions des plans dans lesquels ils se meuvent. L'écliptique vraie et la ligne des équinoxea étant en mouvement dans l'espace, on détermine leurs positions, à un instant donné, en les comparant à celles des étoiles ; mais on peut craindre que les mouvemens propres 'des étoiles , qui sont inconnus pour la plupart, ne nous induisent en erreur sur les déplacemens absolus de l'orbite de la terre, après plusieurs siècles; et, pour prévenir cet embarras, il est bon de pouvoir assigner sa direction vraie à un instant quelconque.

Supposons donc que le plan des x et y soit le plan de l'écliptique à un instant donné, ou, plus exactement, un plan parallèle à celui de cette écliptique et mené par le centre de gravité 0 du système solaire. Par le point 0 (fig. 117), menons arbitrairement dans ce plan les axes 0* et Oy ; et d'après les coordonnées et les vitesses actuelles de tous les pointa du système solaire, rapportées aux axes rectangulaires 0*, Oy, Os, et les masses de ces points, supposons aussi qu'on ait calculé les valeurs des quantités c, e', c". Si OH est la perpendiculaire au

DYiXAMQl'E, SEC03DE l'AHTIE.

plan invariable de ce système, et EOE' l'inlerscction de ce plan avec celui des * et y, le* équa-

c c' cos HO* — — , tang EOx = .a) > c"

ce qui fait connaître la direction du plan invariable par rapport à celui des s et y. lais pour en conclure, réciproquement, la direction absolue du plan de l'écliptique, parallèle à celui dei x et y f il faut encore qu'il existe, sur le plan invariable, une droite qui demeure constamment parallèle à ellemême , et dont la direction soit connue à chaque instant. OK étant cette droite, on connaîtra l'angle KOx à l'époque que l'on considère; de cet angle, joint à HO * et EOx, on déduira l'angle EOE ; et les deui angles HOs et EOK détermineront complètement la direction absolue du plan de l'écliptique.

Or, l'existence du plan invariable, dans le système solaire, suppose, implicitement, que l'on fait abstraction de l'action des étoiles sur le soleil et sur les planètes, et que toutes les parties du système sont soumises uniquement à leurs actions mutuelles. Mais, dans ce cas, le mouvement du i de gravité 0 est rectiligne et uniforme; par pieut, à moins que la direction de ce mouvement ne soit exactement perpendiculaire au plan invariable, on aura une droite OK., toujours parallèle à elle-même , en projetant sur ce plan la droite que décrit le point 0 dans l'espace. On ne voit pas une autre ligne qu'on puisse prendre pour la droite UK , mais pour faire usage de celle que nons indiquons, il faut qu'on ait préalablement déterminé, par l'observation , la direction du mouvement du de gravité de notre univers, que nous ne i que très imparfaitement.

En comparant les valeurs dea angleaHOs et EOK., déterminées à deux époques différentes, on connaîtra les déplaoemens réels de l'écliptique qui ont eu lien dans l'intervalle , et que le seul angle HOs, inclinaison do plan mobile sur le plan invariable , ne saffirait pas pour déterminer complètement. Toutefois, si les quantités c et a" sont très petites par rapport à a , l'angle HOa sera aussi très petit , et de très petites différences dans les valeurs de c et a*' en produiront de trèa grandes dans les valeurs de EOx , et, par suite, de l'angle KOK ; en sorte qu'il paraîtrait, dans ce cas, que l'intersection OE de l'écliptique et du plan invariable aurait éprouvé un déplacement très considérable sur ce plan. Mais, en général, ce déplacement ne serait paa réel; car lea petites différences des valeurs de a- et e"

dront, en grande partie, des erreurs inévitables dans les observations qui servent à déterminer ces valeurs, et des quantités qu'on est obligé de négliger en les calculant.

Au reste, quand l'angle HOa est très petit, c'està-dire , quand l'écliptique est très peu inclinée sur le plan invariable , l'angle EOK , qu'on peut alors très difficilement déterminer, n'u que très peu d'influence sur la direction vraie du plan de l'orbite de la terre.

663. Le nombre et les masses des comètes nous étant inconnus , on sera obligé de négliger les termes qui leur correspondent dans les valeurs de e, a*, e", relatives au système solaire; mats les valeurs de a, e', c", données par les formules (c) seront très peu altérées par cette omission , vu la petitesse de ces masses , et parce que les termes de ces formules, qui correspondent aux comètes, se détruisent, en grande partie , par l'oppositiou des signes (n» 660].

On calculera de la manière suivante les parties de o, a', e", qui répondent aux aoleil, aux planètes et aux satellites.

Soient M la masse d'un de ces corps, et oVa l'élément de cette masse, dont x, y, s, sont les coordonnées rapportées aux axes Ox, Oy, Oa. Appelons #i , ft , ai , les coordonnées du centre de gravité de H, par rapport aux mêmes axes, et x ( , y„ a„ les coordonnées de dm, rapportées à des parallèles à ces axes, menées par ce centre de gravité; de sorte qu'on ait, à un instant quelconque,

djf dx, dx, dy dyi dy ds A*\ d%

dt dt dt'dt dt dt' dt dt dt

L'origine des coordonnées r„ y„ #„ étant au centre de gravité de M, on a

fs dm sas 0 , fy,dm ss 0, f»,dm m 0 ,

et, par conséquent ,

les

cela, si l'on substitue lea dy rfa

dt dt

isl. première équation (c), et qu'on, change as et S en dm et f t on trouve

ce qui montre que le moment des qnantitéa de mouvement de M , par rapport h l'axe Oa , se com-

- J. il«m iuiIim ■ la nr.mi.rn n» il »n>n A m» Jn

mouvement du centre de gravité de ■ , et est U même que si cette masse était concentrée en ca point ; la seconde est indépendante de ce i

, et la mémo que si le centre de gravité de B était en repos, et que l'aie Os fût transporté en ce point, parallèlement a lui-même. Le même résultat s'applique aux quantités c et c ' , et a encore lieu par rapport a on ai

Maintenant, soient A, B, C, les momens d'inertie «V, àx dt

de M, par rapport à aes trois axes principaux qui se coupent à son centre de gravité; p, q, r, les composantes de sa vitesse angulaire de rotation, relatives aux mêmes axes; x, m, », les angles que font leurs directions avec une parallèle à l'axe Ojs, menée par leur poiut d'intersection ; d'après ce qu'on a vu dans le n° 409, nous aurons

s t — y, — j dm = Ap cos > -f l'.'j < os i» O cos » ,

pour le moment, par rapport à cette parallèle, des I provenant de sa rotation autour de son centre de quantités de mouvement de tous les points de M, | gravité. U s'en suit que la valeur complète de c sera

Ici deux sommes Z s'étendant au soleil, » toutes les planètes et à leurs satellites , et se composant par conséquent de 30 termes. Or, les rapports de A, B, C, à M, dépendant de la constitution intérieure de ce corps M, ils nous seront, sans doute, toujours inconnus : nous savons seulement que ces trois rapports diffèrent peu l'un de l'autre, à cause de la forme à peu près sphérique des corps célestes ; et qu'ils sont moindres que si ces corps étaient homogènes , parce que les densités des couches concentriques vont en décroissant du centre à la surface de M. Il serait donc impossible de calculer la valeur de c, et de même les valeurs de c' et c ', si l'on devait avoir égard à la partio de chacune de ces quantités, qui provient de la rotation des corps célestes. Mais quelles que soient la forme de M et sa constitution intérieure , la partie de \p cos x + Bf cos f» -f- Cr cos r, qui est due à l'état initial de ce corps aolide , demeure constante pendant toute la durée de son mouvement (n« 416); en aorte que cette quantité ne peut varier, pour chaque corps céleste, qu'à raison des attractions des autrea corps, en tant que leur résultante ne passe pas exactement par le centre de gravité de M, c'est-à-dire, en tant qu'ellea s'exercent sur la partie non sphérique de M. Il en résulte que pour chaque corps céleste, la partie variable du second terme de la formule (f) est très petite , et peut être négligée par rapport à la partie du premier terme, relative au même corps. Ainsi, par exemple, en délignant par h le rayon du globe terrestre, par « la vitesse angulaire de son mouvement de rotation, qui a lieu autour de son axe de figure, et par t l'angle que fait cet axe avec la parallèle à Taxe Os, le second terme de la formule (/), qui répond à la terre , sera moindre que SU*

— — • cos *, qui en serait la valeur, si la terre était

homogène; soient aussi f et I le rayon moyen de l'orbite de la terre et sa vitesse moyenne dans son mouvement annuel ; le premier terme de la formule f\ relatif à la terre, aura par conséquent Mf'l pour valeur ; or, si l'axe Oa est plan de cette orbite, auquel cas /

l'obliquité de l'écliptique, on verra qu'une variation de cinq degrés dans la grandeur de cet angle, ne produirait pas une variation dam la valeur de •Ils*

— - — • cos t, qui soit un cent-millionième de la

quantité M»»l. On s'en assurera, en observant que le rapport de • à I excède à peine 366, que celui de f à h est environ 24000, et l'angle t, à peu près 23» ZH>. Il en sera de même à l'égard de toutes les autres planètes. Par rapport au soleil, il y a lieu de croire que la partie variable du second terme de la formule (f) qui lui correspond, est tout-à-fuit insensible, à cause de sa forme sphérique qui résulte des observations, et que l'on peut aussi supposer à ses couches intérieures, à raison de la petitesse de la force centrifuge comparée à la pesanteur , dans les différons points de ce corps (n<> 260) ; d'où l'on conclut que la résultante des attractions des planètes doit passer constamment par son centre de gravité, et ne produire aucune perturbation dans son mouvement de rotation autour de ce point.

D'après ces considérations , si Ion fait passer dans le premier membre de l'équation (f), le se» cond terme de son second membre, on pourra comprendre dans la constaute e , la partie invariable de ce second terme , prise avec un signe contraire ; et en négligeant seulement sa psrtie variable , et opérant de même sur les équations qui donnent les valeurs de c' et c", on aura , avec une approximation 1 vationa,

/ d'y, dr, x

664. Les coordonnées s, , y, , s, , qui entrent dans ces formules, ont leur origine au c gravité du système solaire; pour plus de

centre de

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

N centre de

dite, il est bon de la I vité du soleil.

Pour cela, «oient y, A , A , les coordonnée» de ce point rapportée» aux mêmes axes que x, , yi , »• ; appelons *,y, *,les coordonnées du centre de gravité de M, rapportées à des axes parallèle», passant par le centre de gravité du soleil ; nous au-

en substituant ces valeurs dans la première équation (y), elle deviendra donc

dy dx dg dh

yïi- + *21- + -21y 21*;

dt dt dt dt

et Ton transformera de même les expressions de c f et c". D'ailleurs, l'origine des coordonnée» ar, , y, , », , étant au centre de gravité du système, on en conclut

,21 = 211*, A21=21y, A2Ï = 2I», et , par

dg dx dh dy dk dx

— 2M=2l-, — 21 = 21— ,— 21 = 2» — dt dt dt dt dt dt

Au moyen de ces équations, j'élimine y, A, A,

dg dh dk

— — , — , des expressions de c , c', c", qui dedt dt dt

V dt dt'

1 / <ty

( 21* . 21 ïly . 21 — ) ,

21 V dt dt)'

(dx d»»

s *-) dt dt/

\ . dx