L-ds+-J-dg+~d

fd* x

= 2m {\dx + Ydy + Zd*;.

En appelant e,e', e", etc., les vitesses de» points m, m', m", etc. , ou bout du temps r, on aura, relativement au point quelconque m,

ist dy dx*

dt' + df T dt'

et en différentiant par rapport à t, il en résultera 1 d' x d» v d* m

ce qui changera l'équation précédente en celle-ci :

1 d . 2mr» s ïm (Xdx -f- Ydy + Zds). (a)

Maintenant, ti les points du système sont attirés ou repousses par des centres fiscs, et que ces forces soient des fonctions quelconques de la distante, la formule Xdx -f- Ydy -j- Zdx sera une différentielle exacte (n 168), pour chacun des mobiles en particulier. Si les points m, m', «", etc., sont, en outre, soumis à leurs actions mutuelles, dont les intensités soient aussi des fonctions de la distance, et qui satisfassent a la loi de la réaction , égale et contraire à l'action, la somme des quantités Xdx -f- Ydy + Zds et VoV + Vdy> + Z'ds', relatives à l'action mutuelle de m et m 1 , sera encore une différentielle exacte (n° 34fl) ; et de même pour toutes les autres parties de la somme S , prises deux à deux. Il suit doue de là que s'il n'y a dans le sys-

étranger, qui introduirait le temps t dans les expressions de X , Y, etc., ni aucune résistance d'nn milieu , pour laquelle ces expressions renfermeraient les vitesses des mobiles, et que les points «s, sa', m", etc., ne soient soumis qu'à lenrs actions mutuelles , et « des attractions ou répulsious émanant de centres fixes, o

2« (Xdx + Ydy + Zds; = d. (x, y, », x», etc.) ;

• désignant une fonction donnée des coordonnées dent, m', m", etc. , qui dépendra des lois de ces forces en fonctions des distances.

Alors , en intégrant l'équation (a) et désignant par C la constante arbitraire, nous aurons

2mp» = C + 2» (x, y, *, x', etc.).

Pour éliminer C, soient A, etc., les vitesses

initiales de m, m', m'', etc.; désignons para, 6, e, les coordonnées initiales de m, par o', b\ c\ celles de m', etc. ; on aura à l'origine du mouvement

SmA» = C + 2» (a, A, e, sf, etc.) ;

et en retranchant cette équation de la précédente, il en résultera, a un instant quelconque,

tétne aucune force dirigée *ers un centre mobile

- 2m*. = 3» (x, y, s, etc.) — 2» (a, b, c, a*)

Les quantités Zmv» et 2mA« sont les sommes des forces vives de tous les points du système à cet instant et à l'origine du mouvement ; cette équation signifie donc que la différence de ces deux sommes ne dépend que des coordonnées des mobiles , à ces deux époques , et nullement de leurs liaisons ni des chemins qu'ils ont suivis pour passer de leurs positious initiales à celles qu'ils occupent au bout du temps t. C'est en cela que consiste la loi du mouvement, à laquelle on a donné le nom de principe dta foret vivtt.