On en déduit comme conséquences immédiates
la Que la somme des forces vives est constante , toutes les fois que les points du système ne sont soumis a aucune force motrice , et que leurs vitesses ne varient, en grandeur et en direction, qu'à raison de leurs liaisons mutuelles , ou de l'obligation où ils peuvent être de se mouvoir sur des surfaces ou sur des courbes fixes et données.
2° Que si tous les points du système occupent les mêmes positions à deux époques différentes, les sommes de leurs forces vives seront aussi les mêmes à ces deux époques.
Les forces qui produisent le choc des corps de nature quelconque , étant les actions réciproques de leurs molécules (n» 564), il s'ensuit que l'équation (4) a lieu pendant toute la durée de ce phénomène. Or, dans le choc des corps doués d'une élasticité parfaite , on suppose que les mobiles reprennent exactement , après la percussion , la forme qu'ils avaient auparavant, et que tous leurs points reviennent à leurs positions primitives; si donc cela a lieu effectivement pour deux ou plu-
sieurs corps de forme quelconque, lorsqu'ils mencent à se séparer après s'être choqués, la somme des forces vives de tous leurs points sera la même à cet instant , que dans le premier moment de la percussion, ou, autrement dit, il n'y aura aucune perte de force vive dans le système , ainsi que nous l'avons déjà vu (n° 361), dans le cas particulier de deux sphères homogènes , dont les centres se meuvent suivant une même droite.
667. Si l'on représente par R la force d'attraction ou de répulsion qui émane d'un centre fixe , et agit sur le point m, et qu'on appelle r la distance mutuelle de ces deux points, on aura (n« 168),
. {Xdx + Ydy + Zdx) = ± Rdr;
le signe supérieur ayant lieu dans le cas de la force répulsive, et le signe inférieur dans le cas de la force attractive, et R désignant une fonction donnée de r, que l'on regardera toujours comme une quantité positive. Par conséquent , ai la distance r est • à l'origine du mouvement , et m au bout do
,on aura ±*J" Rdr pour I
de la force R, pendant le temps f, v *»»-.-»»<>, pour la partie du second membre de l'équation (»), qui répond à cette force. Lorsqu'elle sera répulsive, il y aura donc augmentation ou diminution de force vive, selon que la distance r aura augmenté ou diminué ; et le contraire aura lieu quand la force R sera attractive.
D'après ce qu'on a vu dans le n« 346, il en fer* de même à l'égard des actions mutuelles des pointa du système; et, en effet, si l'on appelle, comas*
Goog
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
dans le n» 6M, F l'action mutuelle de m et m', par exemple , et i la
, on ntir.i
selon que la force F sera répulsive ou attractiTe ; à cause do
p. = [ x-*> + (y-y').+(.-»')., tdf = (#»-*) (ai* *V)
il en résultera donc m(Xd* + Ydy + Zds;,
+ as' (X'dr' + Y'dy' + Z'd*') = ± Fd>,
pour la partie du second membre de I « juatiou (a), qui répond & la force F , et par conséquent ,
■±1 2 J fdf pour la variation de la force vive du
système qui produira cette force , pendant que la distance p passera de p = » à p =si. Le signe supérieur ayant lieu dans le cas d'un action répulsive, et la quantité F étant toujours positive , on voit qu'il y aura augmentation ou diminution de force ▼ive, selon que l'on aura « > • ou « < », c'est-kdire , selon que la distance p aura augmenté ou diminué : ou en conclut, par exemple, que l'action mutuelle des molécules d'un gai qui tend à augmenter leurs distances mutuelles, produit toujours une augmentation de force vive, dans le système dont ce fluide fait partie, lorsqu'il te dilate effectivement , et une diminution quand il te
M (Xdx + Ydy + Zda) = NV
et comme en différentiant complètement l'équation L= 0 , par rapport a t , i , y , > , on a
dL dL dl d\.
— — d*+ — dy+ds
dt d, dy dz
on voit que cette partie peut se réduire à dL
— NV — dl. Pour «voir égard à la force N, dans dt
le calcul de la force vive du système, il faudra donc ajouter le double de l'intégrale de cette quantité au second membre de l'équation , b) ; par conséquent , la variation de force vive , qui sera produite par la force N , pendant le temps t , aura
pour valeur — 2 /'wV-di; l'intégrale J dt
prise de manière qu'elle soit nulle, quand t=0. Cette variation pourra être positive ou négative,
dense. Le signe inférieur aura lieu devant la quantité précédente, et la force F produira des effets inverses, lorsqu'elle sera attractive.
On voit encore qu'un poids P appliqué à une machiue ou h un système quelconque de points matériels, y produira une augmentation de force vive, exprimée par le produit 2PA, en s'nbaissant d'une hauteur verticale h, et une diminution égale aussi k 2PA , en s'élevant de la même hauteur , quel que soit d'ailleurs le chemin, en ligne droite ou courbe, qu'il suivra dans ces deux cas.
568. Si le point m est assujetti k demeurer sur une surface mobile, et que L=0 soit l'équation de cette surface, L sera une fonction donnée de *, y, », t. En appelant N la résistance de cette surface , dirigée suivant une des deux parties de la normale, et en faisant, pour abréger
il en résultera
dl. dl. dl
W X = NV, «,Y = NV-, nZnKV-, d* dy d*
pour les composantes de celle force inconnue N. La partie du second membre de l'équation (a) qui répond à cette force, sera donc
dL dL .
ds -j dy -|- — dt) ;
dy ds t
dL
selon le signe de — , dl
et selon celui de V , qui dé-
pendra du sens dans lequel la force K s'exercera. La grandeur de cette résistance N dépendant en partie de la force centrifugo du point m, pour la connaître et calculer en conséquence la valeur de l'intégrale précédente, il faudra que la vitesse du point m et sa trajectoire aient été préalablement déterminées; ce qui suppose le problème dont on s'occupe résolu en ce qui concerne le point m. La variation de force vive produite , par cette force inconnue , ne sera pas indépendante du chemin que ce point m aura suivi en allant d'une position k une autre ; le principe des forces vives, tel qu'on l'a énoncé plus haut, n'aura plus lieu ; et , en effet, sa démonstration suppose que l'équation L=0, ne contient pas le temps t explicitement.
669. Ce principe n'aura pas lieu non plus, quoique U surface J ! = 0 est l'équation soit im-
mobile, brique Ton aura égard au frottement du point m contre celte surface; la variation de force vive produite par le frottement , dépendra de la pression, qui est égale et contraire à la force inconnue H ; on ne pourra donc pas calculer, à priori, la grandeur de celte variation; mais il est facile de prouver que l'effet du frottement sera toujours une diminution de force rite.
En effet, à cause que le frottement est proportionnel à la pression , on pourra représenter celui du poiut m , contre la surface dont l'équation est L = 0, par fH t en désignant par f une fraction donnée qui sera une quantité positive , ainsi que l'inconnue N. De plus, la direction du frottement étant tangente à la trajectoire du mobile, et dirigé en sens contraire de sa vitesse, si Ton appelle t l'arc décrit par le point m pendant le temps t , lea composantes de la force fH , seront
dx dy 4m
dt dt dt
parallèlement aux axes des x , y, x ; donc , à cause de dx* -f- dy* + dz* — dt* , le terme du second membre de l'équation (a) , qui provient de cette force, se réduira à —f^ds; et il en résultera, dans le second membre de l'équation [b\ un terme
tjfM* , dans lequel on prendra l'intégrale de
manière qu'elle s'évanouisse avec «, et qui exprimera évidemment une diminution de force vive.
Ce résultat conviendra également au cas où un corps du système glissera sur l'autre : en prenant pour dt l'élément de la courbe décrite par leur point de contact en vertu de ce glissement , pour H la pression réciproque de ces deux corps, et pour fun coefficient dépendant de la nature de leur surface , la quantité — 2jfSdt exprimera encore la diminution de force vive due à ce frotte-
On verra de même que la résistance d'un milieu
force vive, qui dépendra de la vitesse des mobiles. Ainsi, les frottemens des parties d'un système, entre elles ou contre des obstacles fixes, et le* résistances du milieu que les mobiles traversent, diminuent continuellement la somme des forces vives de tous ces corps; et c'est de cette manière que ces forces finissent toujours par réduire au repos le système entier, s'il a été mis en mouvement, puis ensuite abandonné à lui-même, sans être soumise & d'autres forces motrices qui puissent reproduire incessamment les forces vives détruites par ces résistances. C'est ce que fait , par exemple, la force du ressort dans les pendules ordinaires : son action restitue au corps oscillant la force vive qu'il aurait perdue sans cela , à chaque retour à la verticale, et le fait ainsi remonter constamment à la même hauteur , malgré la résistance de l'air et les frottemens. Dans les horloges à poids, la force vive perdue est restituée au pendule par un poids , qui descend un Unt soit peu pendant chaque oscillation.
570. Si l'on représente par x x , y t , Si , Ici coordonnées du centre de gravité du système des points matériels m , m', m", etc., à un instant quelconque, et qu'on fasse
de sorte que y,, soient les coordonnées du point quelconque m, rapportées à ce centre comme origine, ou aura
ds t dy, 2b» — =0, 1m — = 0, dt dt
— =0, dt
et à
dx* + dy + dx* dt*
il en résultera
'dx* + dy* -f dy
df
ou , ce qui est la même chose ,
Imv* = 2m + 2me ( » ,
en désignant par c, la vitesse du centre de gravité et par t>, la vitesse du point m dans son mouvement autour de ce centre. Par conséquent, on aura la somme des forces vives absolues de tous les points du système, en ajoutant le produit du carré de la vitesse de leur centre de gravité et de la somme de leurs masses, à la somme des forces vives de tous ces mêmes points ditns leur mouvement relatif autour de ce centre.
D'après ce théorème , si l'on appelle m la masse de l'un des corps célestes , U la somme des forces vives de tons ses points dans son mouvement de rotation autour de son centre de gravité , et qu'on dési^ p»r « la vitesse de ce centre dans l'espace,
on aura U + mu' , pour la somme des force»
vives absolues de m. En appliquant l'équation (6) au système solaire, on aura donc
2C + 2mu» =s D + 2# (*, y, *, *», etc.) ;
les sommes 2 s'éteudant au soleil , aux planètes, aux satellites, et même aux comètes, si leurs masses étaient connues ; D étant une constante arbitraire dépendante des positions et des vitesses de tous ces corps à un instant donné ; et • désignant une fonction relative à leurs attractions mutuelles. En vertu du même théorème, on aussi
2fit«» = Vi 2m + 2w (■
dx* + dy* + aV»
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
ea désignant par V U vitesse du centre de gravité du système solaire dans l'espace, et par *•„ y„ s ( , les coordonnées du centre de ligure de m, rapportées à ce centre de gravité comme origine. Par quent, l'équation des forces vives deviendra
= D + 2f(»,y,j,»\ etc.). W
obtenir l'expression delà fonction #, obqu'ù raison de la forme a peu près sphérique des corps célestes, et de la petitesse de leurs dimensions par rapport aux distances qui les séparent, on peut les considérer comme des masses réunies a léurs centres de gravité (n° 842). Soient donc/" l'intensité de l'attraction universelle a l'unité de distance et rapportée à des masses prises pour unité, m et m' les masses de deux de ces corps, et f la distance de leurs centres de gravité ; leur
„ fmm' attraction mutuelle sera , et le terme corres-
pondant de la fonction e aura pour valeur
Ù^L - d'où il résultera
mm'
•{*, y, a, etc.) = — 2 ,
pour sa valeur complète , la somme 2 s'étendant à tous les corps célestes , pris deux à deux.
Observons maintenant , pour simplifier l'équation (c), que si l'on ne tient pas compte de l'action
des étoiles sur les corps du système solaire, le mouvement de son centre de gravité est rectiligne et uniforme , et la vitesse V , une quantité constante; de plus, abstraction faite des perturbations do mouvement de rotation de chacun des corps célestes, qui proviennent des attractions de tous les autres sur la partie non sphérique de celui que l'on considère, la quantité U est aussi consUnte pour chaque corps en particulier (n° 419) ; si donc on néglige la partie variable de 2U, et qu'on mette une autre constante C, à la place de D -2mU - X» 2« , l'équation (c) deviendra
do
Si Ton veut transporter l'origine des coordonnées au centre de figure du soleil , on désignera par g , A, fc, les coordonnées de ce point, dont l'origiue est au centre de gravité du système solaire ; par », y, s, les coordonnées du centre de m, rapportées à celui du soleil, de sorte qu'on ait
pour les gine est au résultera
du centre de m , dont l'onde gravité du système. Il en
dg dx dh
— 2m=2m— , — 2m = di dt dt
et à cause de
dy dk d, 2m—, — 2m = 2m-; dt dt dt
Ç dx* + dy,' + dy ^ ïw Çix* + dy» + dx* ^
dg dx dh dg dk dm
dt dt dt dt dt dt
do' ■+ dh' + dk*
dt*
l'équation (d) se changera en celle-ci
dg A 41
après l'élimination des quantités — , —, — .
dt dt dt
du soleil. On peut aussi les termes relatifs à cet
astre, lesquels sont
en appelant H la masse du soleil, et r,V, r", etc., les distances des centres de m, m', m", etc. , au centre de M. De cette manière l'équation des forces
vives, appliquée au système solaire , détiendra
♦(-Si— "
2/-M2 2 fi ;
les sommes 2 ne s'étendant plus qu'aux planètes, aux satellites et aux comètes, s'il est possible; et l'origine de leurs coordonnées étant actuellement ou centre du soleil.
Nous ferons remarquer, à cette occasion , que le moyen le plus direct de savoir si l'ensemble des actions des comètes exerce une influence sensible dans le système du monde, serait de calculer, à des époques éloignées Tune de l'autre, la valeur de la quantité C , déduite de cette équation , d'après les vitesses relatives, les distances mutuelles, et les masses des nutres corps célestes, à ces différentes époques : si l'on trouvait des valeurs de C sensiblement inégales, on pourrait attribuer leurs variations à l'action des comètes, en négligeant toujours l'action des étoiles, et en supposant qu'il n'y ait eu ni choc, ni explosion dans l'intervalle; car on verra bientôt que les changemens brusques de vitesse altèrent la somme des forces vives du système , et font changer, par conséquent, la valeur de la quantité C.
671. D'après ce qu'on a vu dans le n°547,la fonction designée par : dans l'équation (*), est un maximum nu un minimum pour les valeurs des coordonnées x , y, t , etc. , qui répondent à une position d'équilibre du système; il s'ensuit donc que la somme des forces vives de tous ses points cesse d'augmenter ou de diminuer, toutes les fois que le système, pendant son mouvement, passe dans une position où il demeurerait en équilibre, •i ses points n'avaient pas de vitesses acquises; et comme les maxima et les mimima de cette fonction du temps devront cire alternatifs, il eu résulte aussi que les positions d'équilibre par lesquelles le système passera, seront alternativement stalle* et non m tables ; celles-ci répondant au minima de la fonction e, et celles-là à ses maxima
Toutefois, le caractère distim-tif des deux états d'équilibre a été seulement énoncé dans le n° 347 ; et il nous reste à prouver qu'en effet, lu stabilité de l'équilibre a lieu , quand la fonction e est un maximum ; ce que nous allons faire au moyen de l'équation (6).
Pour cela supposons que a, 6, c, a', t\ c', etc., ■oient les coordonnées des points m , m', m", etc., dans un état d'équilibre du système; supposons aussi qu'on les écarte un tant soit peu de leurs positions, et qu'on leur imprime de très petites vii A, k", etc. ; au bout du temps t , soient
etc. ,
les coordonnées des mêmes points; il s'agira de faire voir que les variables p, o, r, p', etc., demeureront toujours très petites , si la quantité • (o , 6 , c, c', etc.), est un maximum.
En effet, je développe • [j , y, * , etc.), suivant les puissances et les produits de p, q, r, »V, etc. Par la propriété commune aux maxima et aux tninima, la somme des termes dépendans des premières puissances de ces variables sera toujours nulle, quel que soit le nombre des variables indépendantes que la question comporte. On démontre aussi , dans le calcul différentiel, que la somme des termes dépendans des carrés et des produits de p, q, r, p", etc., c'est-à-dire la somme des termes du second ordre par rapport à ces quantités, pourra se décomposer dans le cas du maximum, en plusieurs carres, pris o vec le signe — , et dont le nombre est celui des variables indépendantes. En désignant par R, le reste de la série comprenant les termes du troisième ordre et des ordres supérieurs, on aura donc
• (*, y, js, etc.)= • (a, 6, c, a', etc.)
(,• +,". -f etc.) + R;
s, etc., étant des fonctions linéaires dep, q,
r, p', etc., qui seront toutes nulles en même temps que ces variables. La substitution de cette de • dans l'équation (a) donne
ilmA- —(*» + **» + #"»+otc.)+R.
Or, au commencement du mouvement, les variables p, o, r,p', etc., sont d'abord très petites; tant qu'il en est ainsi , les quantités s , #*, «*', etc., sont également très petites ; et, réciproquement, à des valeurs très petites de a, a*, a", etc., correspondent toujours de semblables valeurs dep, o,r, /A rte D'ailleurs, pour de telles valeurs, chaque terme du second ordre est plus grand , abstraction faite du signe, que R, qui ne renferme que des termes d'un ordre supérieur au second; par conséquent , tant que tous les carrés #• ,»'» , »"• , etc., sont encore très petits , chacun d'eux surpasse la valeur de R.
Cela posé , nous sommes en droit de conclure que toutes les quantités », a 1 , a", etc., demeureront toujours très petites , et que chacune d'elles ne
surpassera jamais Y \ 1k* ; car, ces quantités va-
riant par degrés continus, cela ne pourrait arriver avant que la plus grande d'entre elles, qui sera t ,
par exemple, ne soit devenue égale à V ± 2A» ; et
cette valeur de « serait encore très petite ,
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE
puisque toutes les quantités *, A', A", etc., sont très petites, par hypothèse, on aurait à la fois
ea sa I 2*. , *'« > R, > B , etc. , i 2»r.=-(^. +.••• + etc.) +R;
ce qui serait absurde , puisque ~ Saie» est essentiellement une quantité positive. Donc aussi les variables p, 9 , r, sr", etc. , resteront constamment très petites , et le système ne fera qu'osciller oulour de sa position d'équilibre , qui est alors un équilibre stable; ce qu'on se proposait de démontrer.
Lorsque la quantité f (a , », e, a', etc.) est un minimum, la somme des termes du second ordre, dans le développement de • (* , y, s , etc.), est une quantité positive; l'équation des forces vives peut alors subsister, sans que les variables p, g, r, p\ etc. , soient toujours très petites ; mais cela ne suffit pas pour en conclure qu'elles cesseront, en effet, de 1 être au bout d'un certain temps, quelque petites qu'où les supposes l'origino du mouvement, ainsi que lea vitesses initiales A, À', A", etc.; et ce n'est qu'en déterminant, dans chaque problème, leurs valeurs en fonctions de t, qu'on pourra s'assurer qu'elles ne sont pas limitées.
672. Les vitesses initiales, dont les composantes rat été représentées par o, 4, c, o', 4', c», etc., dans le n» 639, et que les points m, m', m", etc., ont prises effectivement , quand le mouvement du système a commencé , satisfont nécessairement aux conditions données qui lient les mobiles entre eus et à d'autres points de l'espace ; et comme, par hypothèse, ces conditions sont exprimées par des équations, savoir, par les équations (8) du n*633, il s'ensuit que si l'on désigne par • un temps infiniment petit, et qu'on prenne
ts = a* t iy — 4i, »M = Ci, *#' = •'», etc.,
les déplacemens des points m, m', m", etc., qui répondent à ces accroissemens de leurs coordonnées , et aussi les déplacemens contraires , satisferont aux conditions données, c'est-à-dire, aux équations (8), qui ont été déduites des équations (8) dans le n» 638. On pourra donc employer ces valeurs de *r, hf, etc., dans l'équation (6) du n° 638; en sorte qu'à l'origine du mouvement , et en supprimant le facteur » commun à tous les ternies, on aura cette équation
Xns[(A-o)o+(B-*}4 + (C c)c]=0, (•)
entre les composantes A, B,C, A', etc., des vitesses que les points m , m', s»", etc. , prendraient s'ils éUient libres et isolés , et celles des vitesses qu'ils prennent réellement.
Il est facile de vériGer cette équation dans le mouvement initial de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. En effet, changeons m en dm
et 2 en /. et faisons
/(a» 4. |a + e» ) des = A,
de sorte que A représente la somme des forces vives de tous les points du corps. L'équation précédente deviendra
/(Ao + II + Ce) dm = A. [f)
D'ailleurs, on aura (n° 408)
° = 9»,-ry„ 6 = r* ( -ps„ c =
*„ y,, étant les trois coordonnées de dm, rapportées aux axes principaux du corps qui se coupent au point fixe, et p, q, r, désignant les composantes de la vitesse de rotation autour de ces mêmes axes. De plus , en appelant A le moment principal , relatif au point fixe, des quantités de mouvement imprimées à tous les points du corps, et *, C, y, les angles que l'axe de ce moment fait avec les axes de
S (B*, — Ay ( ) dm = A cos y, 8 (As, — CjcJ dm ~ k cos C, S (Cy, — Bs,) dm = A cos •;
car il est évident que les premiers membres de ces équations sont les momens, par rapport aux axes des *„ y„ m„ des quantités de mouvement dont A est le moment principal; en sorte que les valeurs de ces intégrales doivent se déduire do la valeur de A, en la multipliant par cos y, cos C, cos » (n° 881). Or, si l'on substitue les valeurs de a, 4, c, dans l'équation (/"), et qu'on ait égard à ces dernières équations, il vient
A (p cos • -f q COS C -f r < os y) = h ;
donc , en désignant par « la composante de la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe du muni en t principal, de sorte qu'on ait
« = p cos ■ -f. q cos C -f. r cos y ,
il en résultera
Itssài
ce qui s'accorde avec lethéorèmo du n Q 419, d'après lequel cette composante de la vitesse de rotation est égale à la somme des forces vives , divisée par le moment principal des quantités du mouvement.
673. Maintenant, s'il survient pendant le mouvement un changement brusque dans les vitesses des mobiles, on pourra prendre pour te, h/, etc., dans l'équation (6) dun» k 636, les déplacemens infiniment petits de tous les points du système , qui ont effectivement lieu à une époque quelconque de ce changement, pourvu qu'à cet instant, comme on l'a expliqué dans le numéro suivant, les points par lesquels les parties du système sont en contact, aient une même vitesse , pour les deux parties ad-
Cela étant, il y aura examiner.
1° Si le changement brusque est produit par la rencontre de deux ou plusieurs corps du système, ou par le choc de ces mobiles contre des obstacles fixes, la condition dont il s'agit sera remplie à l'instant de la plus grande compression (n° 489). En supposant donc que les composantes a, 6, c.o 1 , etc., des vitesses des mobiles se rapportent à cet instant, et A, B, C, A', etc., au commencement du choc, on pourra prendre, comme dans le numéro précédent,
lx — ai, Jy = oi, H— et, i*'=a'i, etc.;
et l'équation (•) aura lieu eutre les composantes des vitesses à ces deux époques, qui seront celles du commencement et de la fin du choc, lorsque les mobiles n'auront aucune élasticité. Or,'cetle équation (#) donne
2«(Aa + M + Ce) = 2*. (•• + ».+ C ); et comme on a identiquement
Sa.[(A-o).+(B A). + (C-c).] = 2a. (A. + B» + C«) + 2m (a* + *• + c«) -22m(Aa+B6 + Cc),
il en résulte
en sorte que l'excès de la somme des forces Tires de tous les points du système avant le choc , sur la tomme des forces Tires après le choc, est une certaine somme de forces rives , et , conséquemment, une quantité positire. Par conséquent, dans les changemens brusques de ritesse, prorenant do choc des corps dénués d'élasticité , entra eux ou contre des obstacles fixes, il y a toujours perte de force rire, ainsi que nons Tarons déjà ru, dans le choc de deux corps sphériques et homogènes , dont les centres se meurent sur une même droite (u» 3fll).
2° Lorsque le changement brusque sera produit par des explosions intérieures qui briseront un ou plusieurs corps du système, ce sont les composantes A, B, C, A', etc., des ritesses au commencement du phénomène, et non pas les composantes a, 6, c, a', etc., des ritesses finales, qui satisferont à la condition du u" 537*, en sorte que, dans ce cas, on ne pourra plus employer les râleurs précédentes de ht, iy, etc., dans l'équation (fi) du n» 636. Hais en désignant toujours par » un temps infiniment petit, on pourra prendre
lx = Ai, fy=Bi, is — C*, J*'=A'i, etc.;
ce qui changera l'équation (fi) en celle-ci :
2m [(A — a) A + (B-6)B + (C — c) C] = 0; d'où l'on déduit
ce qui montre que la somme des forces rires de
tous les points des parties des mobiles, après l'explosion, est toujours plus grande que la somme de leurs forces rires arant l'explosion. Il est évident, en effet, que si les mobiles sont en repos arant la séparation de leurs parties, cette séparation sera toujours suirie d'une augmentation de force rire ; mais, en rertu du théorème qu'on rient d'énoncer quels que soient les mouvemens de translation et de rotation d'un corps, le changement brusque produit par une explosion intérieure, donnera toujours lieu a une augmentation de force rire, et non pas à une diminution , comme dans le cas d'une rencontre de corps dénués d'élasticité.
Sans qu'il soit nécessaire de rien ajouter à ce que nous avons dit, dans le n» 470, sur le choc des corps élastiques, on voit que la première partie de ce phénomène, depuis le commencement jusqu'à l'instant de la plus grande compression, peut être assimilée au premier des deux cas précédens, et la seconde partie, depuis cet instant jusqu'à la séparation des mobiles, au second de ces deux cas : il y a donc perte de force vive pendant la première partie , et accroissement pendant la seconde. De plus, si les mobiles sont parfaitement élastiques, de sorte qu'ils reprennent, en se séparant, la i forme qu'ils avaient avant le cl. oc, et que les parties du phénomène soient exactement bles, l'augmentation de force vive, pendant la seconde partie, sera égale à la diminution qui aura eu lieu pendant la première; par conséquent, la somme des forces vives du système sera la même avant et après le choc, conformément à ce qu'on a vu dans le n° 666. Cela suppose , toutefois , qu'on fosse abstraction de la perte de force rire, qui aura toujours lieu (n« 669), s'il y a i ment des corps l'un contre l'autre | de leur contact.
674. le principe de la moindre action, qu'il nous reste à considérer, consiste en ce que, dans le mouvement d'un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si l'on fait le produit de la vitesse de chaque point matériel du système, de sa masse et de l'élément de sa trajectoire; que l'on prenne la somme des produits semblables pour tous les mobiles; et qu'on intègre cette somme, depuis une position donnée du système jusqu'à une autre position aussi donnée, la valeur de cette intégrale sera généralement un minimum.
Ce théorème est une extension de celui du n» 160, et se démontre de la même manière; c'est pourquoi nous en supprimerons la démonstration, pour abréger. Si l'on appelle al* l'élément de la trajectoire de m, dont la ritesse est r, ce sera l'intégrale de Imvdt qui aura , en général , une râleur tninima ; mais dans quelque* cas, comme dans celui du mouvement d'un point matériel sur une surface fermée, le minimum pourra être remplacé par le maximum s et ce que l'on démontre seulement , c'est que la variation infiniment petite de / 2mr<s* est toujours égale à téro.
DTISABIQUE , SECONDE PARTfE.
A cause de cb = rdt, l'intégrale dont il s'agit est la même chose que f\dt, en faisant V = 2m»« . Le principe de la moindre action revient donc à dire que l'intégrale du produit de la force vive du tystémo et de l'élément du temps, est généralement un minimum ; en sorte que, dans la nature, un système de corps est transporté d'une position dans une autre , en dépensant la moindre quantité possible de force vite. Lorsque les mobiles ne sont soumis à aucune force motrice , la quantité V est constante (n° 696), et c'est le temps du trajet qui
Si l'on compare le principe de la moindre action aux principes des forces vives , de la conservation du mouvement du centro de gravité, et de la conservation des aires, on voit que le premier n'est qu'une règle pour former les équations différentielles du mouvement, maintenant inutile, puisqu'on obtient ces équations d'une manière plus directe et plus générale, au moyen de la formule (1) du n° 632; tandis que les autres principes, outre qu'ils renferment des propriétés importantes du mouvement, ont encore l'avantage de fournir des intégrales de ces équations différentielles, qui sont les seules que l'on connaisse dans la plupart des problèmes.
Le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité fournit trois iutégrales en quan-
tités finies, savoir :
2ms- = alm -f> A< , 2my = 62as + II, 2ms s c2m + C/;
a, 6, c, A, B, C, étant les sis constantes arbitraires, dont les trois premières représentent les coordonnées du centre de gravité du système à l'origine du mouvement, et les trois autres sont les sommes des quantités de mouvement imprimées, à cette époque, à tous les points du système, parallèlement aux aies des coordonnées.
Les intégrales qui résultent du principe de la conservation des aires sont trois intégrales premières, savoir :
2m (rdtf — ydx) = cdl , 2m (ad* — sda) = e'dt, 2m (yds - Of) = c"*;
c, c', c", étant les trois constantes arbitraires qui expriment les momens des quantités de mouvement initiales de tous les points du système, psr rapport aui aies des s, y, x, ou le double des aires décrites dans l'unité de temps, autour de ces mêmes aies.
Enfin , le principe des forces vives ne fournit qu'une seule intégrale, qui est l'équation b) du n° 666, et qu'on peut écrire ainsi :
i ï .(îl±*±±.) = D + ,(,,,,,,,,„, )i
