NOTIONS PRÉLIMINAIRES

675. V Hydrostatique est la partie de la Statique qui traite de l'équilibre des fluides. On y considère un fluide comme un amas de points matériels qui cèdent au moindre effort que l'on fait pour les séparer les uns des autres. Les fluides que la nature nous présente approchent plus ou moins de cet état de fluidité parfaite : l'adhérence qui existe entre les molécules de plusieurs de cea substances , et qui produit ce qu'on oppelle leur vis cositè, s'oppose à la séparation de leur* parties \ mais, dans ta théorie que nous allons exposer, nous ne nous occuperons que des fluides parfaits; et, si l'on excepte quelques liquides où la viscosité est très considérable, les lois de l'équilibre auxquelles nous parviendrons s'appliqueront , sans erreur sensible , k tous les autres fluides.

Ces substances , comme les corps solides , sont composés de molécules disjointes, et séparées par des espaces vides; mais ai l'on divise un fluide en parties d'une étendue insensible, dont chacune renferme, néanmoins, un nombre immense de molécules, on pourra admettre que les conditions d'équilibre de chaque partie sont les mêmes que si elle était infiniment petite, qu'elle conservât toujours sa fluidité, et qu'elle eût pour densité celle du corps, telle qu'on l'a définie dans le n° 98. Cela revient à considérer un fluide comme une masse continue , dont la densité est constante , ou variable par degrés insensibles.

576. On distingue deux sortes de fluides, savoir : les liquide» et les fluide* airif ormes.

On appelle aussi les liquides des fluides incompreeeiblee; mais , dana la réalité, ce sont des substances qui ne se compriment sensiblement que sous «les pressions extrêmement grandes. Si, par exemple, un cylindre vertical est rempli d'eau jusqu'à une certaine hauteur ; que cette eau n'éprouve d'abord aucune pression à sa partie supérieure, et qu'elle soit ensuite chargée d'un poids équivalent à la pression atmosphérique , l'observation ■ fait voir que la hauteur primitive de l'eau diminue seulement de 46 millionièmes , en supposant que le cylindre conserve son diamètre, et que ses parois ne cèdent pas à la pression qui leur est transmise par le liquide. En augmentant la charge du liquide, et la portant à plusieurs centaines de pressions atmosphériques, l'expérience a donné une condensation de l'eau croissante dans le même rapport que cette charge. Le mercure est encore moins compressible que l'eau ; et , quelque effort que l'on ait fait, on n'est pas parvenu k diminuer son volume d'une manière appréciable.

Les fluides aériformes , comprenant l'air atmosphérique et les différens gaz, sont compressibles et doués d'une parfaite élasticité ; en sorte qu'ils peuvent changer, à la fois , de forme et de volume par la compression, et revenir exactement à leur forme primitive dès que cette compression a cessé. On les nomme aussi, pour celte raison, des fluides élastiques.

Les vapeurs sont également des fluides élastiques ; mais , pour une température donnée, un es-

HYDROSTATIQUE

pacc aussi donné ne peut contenir qu'une quantité déterminée de vapeur; de manière que si la vapeur a atteint cette limite , et qu'on diminue an tant soit peu, soit l'espace, soit la température, une portion de Tapeur se liquéfie. L'expérience a prouvé que ce maximum do vapeur est le même , à température égale, dans un espace vide d'air et dans uu espace rempli d'air plus ou moins dilaté ou comprimé. La densité de la vapeur est, en général, peu considérable , relativement à celle du liquide dont elle provient ; mais, quand un liquide est con* tenu dans un vase fermé, dont il occupe, par exemple, le tiers ou la moitié; et qu'on élève sa température à un très haut degré, le liquide tout entier, après s'être dilaté, se réduit subitement en une vapeur transparente dont la densité est le tiers ou la moitié de la densité primitive de ce même liquide.

L'air et les gai sont appelés des fluides permanens, par opposition aux vapeurs; mais il y a lieu de croire qu'ils peuvent être liquéfiés par une très grande compression ou par un très prand refroidissement; et c'est, en effet, ce que l'on a vérifié à l'égard de plusieurs d'entre eux.

577. La propriété caractéristique des fluides, qui les distingue essentiellement des rorps solides et qui servira de base à la théorie de leur équilibre , est la faculté qu'ils ont de transmettre également, en tous sens, les pressions exercées à leurs surfaces. Dans mon Mémoire sur les Équations générale» de l'équilibre et du mouvement des corps élastiques et dss fluides *, j'ai fait voir comment celte propriété provient d'une disposition respective des molécules du fluide, à laquelle il revient très rapidement quand il a été comprimé ou dilaté; et comment la résultante des attractions et répulsions moléculaires, qui produit les pressions intérieures, peut varier dans uu très grand rapport , pour les très petites variations de distance des molécules, qui ont lieu dans les liquides. Mais, dans cet ouvrage, on regardera la propriété dont il s'agit comme une donnée de l'expérience, admise par tous les physiciens et les géomètres qui se sont occupés de l'Hydrostatique , et dont l'exactitude ne peut laisser aucun doute. Cest ainsi qu'en traitent de l'équilibre de la lame élastique (n° 306), nous sommes partis d'un principe secondaire, au lieu de remonter aux actions moléculaires dont il dérive.

078. Pour nous former une idée précise du principe de l'égalité de pression en tous sens , considérons d'abord les fluides incompressible.

Supposons qu'un vase prismatique, droit et posé sur un plan horizontal, dontABCD(fig. 118) représente une section verticale, soit rempli jusqu'en EF d'un liquide, tel que l'eau, par exemple; supposons aussi que l'on recouvre cette eau d'un piston horixonlul qui ferme le vase exactement. Pour simplifier la question, faisons abstraction de la pesanteur

• * l ÉttU Pk^SSSltajM . *>• Mbirr.

de l'eau, de sorte que ce fluide n'exerce , par luimême, aucune pression sur les parois du vase; enfin, posons sur le piston un poids donné P, comprenant le poids même du piston. Il est évident que la base horitontale du prisme sera pressée de la même manière que si le poids P était posé immédiatement sur cette base, et qu'il fût distribué uniformément sur toute son étendue. Tous ses points éprouveront des pressions verticales égales entre elles ; la pression qui en résultera, pour une portion quelconque « de cette base, sera proportionnelle à • : elle équivaudra à une force verticale, appliqué* nu centre

de gravité de l'aire *, et exprimée par — , en dési-

gna.nl par a l'aire de la base entière du prisme, qui est aussi celle de la base du piston en contact avec le liquide. Or, le principe de l'égalité de pression en tous sens , consiste en ce que la pression que le poids P exerce à la partie supérieure de Peau, se transmet, par l'intermédiaire du fluide, non seulement sur la base du vase, mais encore sur ses faces latérales : tous les points du vase sont également pressés dans des directions perpendiculaires aux parois; et une aire *, prise sur une des

faces latérales du prisme, éprouve la même pression P.

— , que si elle faisait partie de sa base horiiontale. a

Généralement, supposons que le vase ait la forme d'un polyèdre quelconque, dont la figure 1 19 représente une section. Ce vase étant fermé de toutes parts, et fixement attaché, concevons qu'il soit rempli exactement d'un liquide sans pesanteur. Si l'on enlève une face de ce vase, et qu'on la remplace par un piston, auquel on applique une force donnée P, perpendiculaire à la surface du liquide adjacent, le vase et le fluide demeureront en repos, et, d'après le principe que nous expliquons, lu pression que la force P exerce sur la surface adjacente, se transmettra, par l'intermédiaire du liquide, sur toutes les faces du polyèdre. Tous les points du vase, en y comprenant les points de la base du piston, seront également pressés de dedans en dehors, suivant les directions perpendiculaires aux parois; et, relativement & une aire *, prise sur une do ces parois, ou sur la surface du piston, la pression sera une force perpendiculaire ù son plan, appliquée à

son centre de gravité, et égale à — ;a étant Paire

entière de la base du piston, en contact avec le liquide.

Cette pression transmise s'exerce de la même manière dans l'intérieur du liquide; et si l'on y considère une portion du liquide terminée par des faces planes, ou un polyèdre solide qui y soit plongé, chaque partie • de Pune des faces éprouvera aussi, de dehors en dedans, la pression nor- P»

rualc égale à — .

On étend, sans difficulté, ces résultats au cas où la surface pressée n'est plus supposée plane; il suffit alors de la décomposer en élémens infiniment petits, que l'en regardera comme les faces planes d'un polvèdrc infinitésimal ; et si Ton désigne par ■

Fa

l'aire d'un de ces élémens, on aura — pour la pres-

sion normale qu'il éprouve; a étant toujours l'aire du piston, et P la force perpendiculaire qui y est appliquée. En désignant par/» la pression constante qu'éprouverait une aire plane égale à l'unité, on P

aura — = p , et les produits p» et p* exprimeront a

les pressions sur l'élément « et sur Taire plane égale à a.

Si le liquide a un certain degré de viscosité , la propriété de presser également en tous sens a encore lieu ; seulement, il ui rive que la pression ne se transmet pas latéralement avec la même rapidité que suivant la direction même de la force P; mais, après un temps convenable, la pression latérale devient égale à la pression directe; et c'est ù cet instant que l'on considère l'équilibre du liquide.

679. Quand le liquide contenu dans un vase est pesant, il transmet les pressions que Ton exerce h sa surface , de la même manière que quand il est dénué de pesanteur; mais il exerce en outre, sur les parois du vase, une pression due à son poids et variuble d'un point à un autre : il en est de même à l'égard d'un liquide dont les points sont sollicités par la pesanteur et pat d'autres forces données, et qui demeure en équilibre dans un vase. Si les parois du vase sont nécessaires à l'équilibre , en sorte qu'on n'y puisse pas faire une ouverture sans que le liquide ne s'échappe aussitôt, il en faudra conclure que les parois éprouvent, en chaque point, une pression particulière, dirigée de dedans en dehors, suivant une normale à la surface du vase ; car ce n'est que suivant celte direction qu'une surface peut empêcher de se mouvoir un point matériel en contact avec elle, et détruire, par sa résistance , la force motrice de ce mobile.

La même chose u lieu dans l'intérieur du liquide, comme on l'a dit dans le numéro précédent, soit sur des portions du liquide même, soit sur des corps qui y sont plongés. La pression en un point quelconque est une quantité inconnue, que nous déterminerons dans la suite, et qui dépendra delà position de ce point et des forces motrices appliquées au fluide. Comme elle change, en général, d'un point à un autre , on ne peut la supposer rigoureusement constante que dans une étendue infiniment petite; or, pour mesurer la pression exercée sur un élément détermiuéd'une surface, on conçoit une aire plane, que l'on prend pour unité, et qui éprouve , dans toute son étendue, la même pression que cet élément : p étant la pression totale que cette aire supporte, et k l'étendue infiniment petite de cet

élément, le produit pm sera la pression correspondante à cet élément, et normale à la surface dont il fait partie. Le coefficient p sera une fonction des coordonnées de ce même élément, que nous appellerons la pression rapportée à t vniti de sur/ ace.

Cela posé, si l'on enlève une portion plane de la sarface du vase, qu'on la remplace par un piston de même étendue, et qu'on applique à ce piston une force égale et contraire a celle que cette portion do vase éprouvait , il est évident que l'équilibre subsistera comme auparavant. Déplus, si le vase est fermé de toutes parts, partout en contact avec le liquide, et fixement attaché, l'équilibre ne sera pas nou plus troublé en ajoutant à cette première force une autre force quelconque P ; car les forces appliquées aux points du fluide étant en équilibre, tout doit se passer, relativement à cette force P, comme si ces forces n'existaient pas, et de même que dan» le numéro précédent. Par conséquent, la pression exercée par cette force P, sur la surface du liquide en contact avec le piston , sera transmise également en tous sens, par l'intermédiaire du fluide, et la pression p, rapportée à l'unité de surface, se trouvera augmentée , en chaque point,

d'une quantité constante et égale à — ; a étant

toujours l'aire du piston, en contact avec le liquide.

Il est important de distinguer, comme nous le faisons ici , les deux sortes de pressions qui sont exercées sur les parois d'un vase contenant un liquide en équilibre, ou que supportent les parties mêmes de ce fluide : l'une de ces pressions, qui varie d'un point a un autre, est due au poids et aux autres forces motrices de la masse fluide ; l'autre , qui est partout la même, provient des forces appliquées à sa surface , et transmises par son intermédiaire. Ces deux pressions s'ajoutent en chaque point, pour former la pression totale.

680. D'après la propriété de transmettre également en tous sens les pressions exercées sur sa surface, un fluide incompressible, contenu dans un vase fixement attaché, doit être regardé comme une véritable machine; car une machine ait, en général, un appareil au moyen duquel une force agit sur des points qui sont hors de sa direction, et exerce sur ces points des efforts plus grands ou plus petits que si elle y était immédiatement appliquée, ce qui est le cas de la force P, que nous avous considérée dans les numéros precedens.

Le principe des vitesses virtuelles s'observe dans l'équilibre de cette machine, comme dans celui de toutes les autres machines connues. Pour le prouver, considérons un vase immobile et de forme quelconque ( fig. 120) , qui ait un nombre quelconque d'ouvertures ; à chacune de ces ouvertures, appliquons un cylindre qui se prolonge indéfiniment on dehors du vase; emplissons ce vase d un liquide, tel que l'eau, dont nous ne considérerons pas la pe-

HYDROSTATIQUE

santcur; supposons que l'eau s'étende dons tout les cylindres, jusqu'à une certaine distance de leurs orifices, et qu'elle y soit terminée par des surfaces planes , perpendiculaires aux longueurs des cylindres; enfin, posons sur ces surfaces EF, E'F', E"F" , etc. , des pistons qui les recouvrent exactement , et qui puissent , néanmoins , glisser sans frottement le long des cylindres. Soient 0,0', a" , etc. , les bases de ces pistons, qui sont aussi celles des cylindres; appliquons à ces corps des forces P, P', P", etc., perpendiculaires à leurs bases, et dirigées de dehors en dedans; et supposons que ces forces données, qui agiront l'une sur l'autre par l'intermédiaire de l'eau, se fassent équilibre. Dans cet état, la pression rapportée à l'unité de surface doit être la même sur toutes les parois du rase , en y comprenant les bases des pistons (d° 678). Si donc on la représente par p, on aura pa, ji'a. y a,etc, pour les pressions totales que supportent de dedans en dehors les bases des pistons. Pour l'équilibre, ces pressions doivent être respectivement égales aux forces P, P', P", etc. ; par conséquent, on aura

P = ep, r = ->, P" = «>, etc. (a)

L'une de ces équations servira à déterminer la valeur de p ; et en la substituant dans toutes les autres, on aura les équations d'équilibre du système, qui seront en nosabre égal à celui des pistons moins un.

Maintenant, imaginons, conformément à l'énoncé du principe des vitesses virtuelles, que l'on déplace les parties du système, de manière que les pistons répondent actuellement aux sections CD, CD', CD ", etc. , des cylindres. Une partie de ces corps aura avancé, et l'autre partie aura reculé ; je représenterai leurs déplacctuens par A, h', h", etc. ; et je considérerai ces quantités comme positives ou comme négatives , selon que les pistons auront avancé ou reculé. Ainsi, dans la figure, la distance h comprise entre les sections EF et CD, est positive, et la distance *' comprise entre les sections E'F' et CD', est négative. Les volumes d'eau qui sortent des cylindres pour entrer dans le vase, répondent aux valeurs positives de h , V, a", etc. , et ceux qui sortent du vase pour entrer dans les cylindres, à leurs valeurs négatives ; les uns et les autres seront exprimés par les produits ah , a'V, o''A", etc. , abstraction faite des signes. Par conséquent, l'eau étant considérée comme incompressible, <t la figure du vase comme invariable , la somme de ces produits, positifs ou négatifs , devra être nulle, et l'on aura

ah + o'*' + a"a" + etc. = 0. (*)

Je multiplie cette équation par p; et en ayant égard aux équations (a) , il Tient

Pfc + p'*' + P" A " + etc. = 0; (cj ce qui est l'équation résultante do principe des

vitesses virtuelles, appliqué aux forces P, V, P", etc., et aux dépl.cemens », h\ Jk", etc., de leurs points d'application.

La condition du système, qui est ici l'invariabilité du volume du liquide, est exprimée par l'équation (6). îlon seulement les déplacemens h , A', V, etc. , remplissent cette condition , mais aussi les déplacemens contraires — », — »', — etc. , ainsi que l'exige le principe des vitesses virtuelles (n° 331). Les quantités » , *', h", etc. , peuvent avoir des grandeurs finies , pourvu qu'aucun des pistons n'entre dans le vase, et ne sorte du cylindre où il doit être contenu.

681. Le principe de l'égalité de pression en tous sens convient aux fluides élastiques comme aux liquides ; mais relativement aux premiers, il n'est pas nécessaire que des forces motricesagissentsur leurs molécules, ou qu'on exerce des pressions sur leurs surfaces, pour qu'ils pressent eux-mêmes les parois des vases qui les contiennent ; il suffit pour cela de leur élasticité , en vertu de laquelle ces fluides font continuellement effort pour occuper un plus grand volume. En supposant donc qu'une masse d'air , d'un gas ou d'une vapeur , soit contenue dans un vase fermé de toutes parts, et qu'on fasse abstraction de la pesanteur du fluide , les parois du vase éprouveront des pressions égales en tous leurs points, et dirigées de dedans en dehors, suivant les normales à ces parois. La pression rapportée à l'unité de surface sera la même dans tonte l'étendue du vase; pour la déterminer , on fera une ouverture en un endroit du vase , pris au hasard ; on y appliquera un piston , et à ce corps , la force nécessaire pour le maintenir en équilibre; en divisant cette force par l'aire de la base du piston en contact avec le fluide , on aura la pression demandée; et l'on trouvera toujours le même quotient , quel que soit l'endroit où le piston aura été appliqué. Si , par exemple, le vase représenté par la figure 120, est rempli d'un fluide élastique, les forces P , P, P", etc. , qu'on devra appliquer aux pistons qui ferment les cylindres, pour les empêcher de glisser, seront proportionnelles aux bases a, a/, a", etc. ; le rapport de chaque force* la base correspondante , sera le même pour tous les pistons; et l'équation (c) aura encore lieu, mais seulement pour les mouvemens du système dans lesquels le volume total du fluide ne changera pos.

Cette pression constante qu'un fluide élastique exerce sur les parois du vase qui le renferme , dépend de sa matière, de sa densité et de Sa température. On la nomme aussi la foret élastique du fluide. L'expérience prouve que, pour un mémo fluide, et la température ne changeant pas, la force élastique est proportionnelle à la densité ; de sorte qu'en désignant par p la mesure de la force élastique , c'est-à-dire , la pression rapportée à l'unité de surface , et par p la densité , on a dans chaque fluide ,

P = *fi

A étant un coefficient qui ne dépend plus que de la matière et de la température du fluide.

Lorsqu'on aura égard à la pesanteur du fluide , ou plus généralement, lorsque ses molécules se-

ront sollicitées par des forces données, la pression p variera d'un point à un autre du vase, suivant une loi dépendante de ces forces , et qu'on déter-