ÉQUATIONS GÉNÉRALES DB I. EQUILIBRE DES FLUIDES

682. Pour traiter la question de la manière la plus générale , considérons une masse fluide ABCD (6g. homogène ou hétérogène , com-

pressible ou incompressible, dont tous les points matériels sont sollicités pair des forces données, et proposons-nous d'eiprimer par des équations les conditions de son équilibre.

Soient x , y, z, les coordonnées d'un point quelconque H de cette masse , parallèles aux axes rectangulaires 0*, Oy , Os; nous supposerons, pour : fixer les idées , le plan des s et y horisontal , l'axe < Os dirigé dans le sens de la pesanteur , et la masse ABCD comprise au-dessous du plan des* et y, l'angle trièdre des trois plans des coordonnées Partageons la masse fluide en parties que traiterons comme des éléroens infiniment petits, d'après ce qu'on a dit précédemment (n» 676) j supposons ces éléaiens compris entre des plans infiniment rapprochés l'un de l'autre, et parallèles a ceux des coordonnées ; de sorte que ces élémens soient des porallélipipèdes rectangles, dont les côtés sdjacens seront parallèles aux axes et égaux aux différentiel les des coordonnées : les deux bases horitontales de celui qui répond au point quelconque M, et qui est représenté dans la figure, seront égales à dxdy ; il aura dz pour sa hauteur verticale MX', et drdydz pour son volume.

En appelant f , la densité du fluide en ce point M, telle qu'elle a été définie daus le n» 98, et désignant par dm l'élément différentiel de la masse correspondant I ce

le facteur r sera une quantité constante dans

les liquides homogènes , abstraction faite des petites compressions qu'ils éprouveront et qui pourront être inégales en des points différens; f sera une fonction connue ou inconnue des coordonnées x, y, s, dans les liquides hétérogènes, et dans les fluides élastiques qui ne seront pas partout égalc-

Soient aussi Xdm , Y dm , Idm , les composantes parallèles aux axes des se, y, s, de la force motrice donnée qui agit sur l'élément dm , de sorte que X , Y , Z , soient les composantes de cette force rapportée à l'unité de masse , ou de la force accélératrice relative ao point M. Chacune de ces trois quantités sera une fonction de sr, y , s, dont on regardera les valeurs comme positives ou comme négatives , selon que la force qu'elle représente tendra à augmenter ou à diminuer la coordonnée à laquelle elle est parallèle. L'élément dm sera, en outre , pressé de dehors en dedans sur ses six faces, par le fluide environnant ; et, pour qu'il demeure

équilibre aux forces intérieures Xdss, Tafe,

Cela étant, désignons par pdsdy, la pression verticale qui s'exerce sur la base supérieure dsdy, dans le sens de la pesanteur , de manière que p exprime la pression rapportée a l'unité de surface , qui répond à cette base infiniment petite (n° 678). Cette quantité p sera une fonction inconnue des r, y, b ; au point M', dont les coordon-

x , y , z + dz , elle deviendra p ^ dm ,

oui

et elle exprimera la pression verticale, rapportée à l'unité de surface et relative à la base inférieure de dm. Cette seconde base éprouvera donc, dans le sens de la pesanteur, une pression égale à

HYDROSTATIQUE

dx dy ; la résistance du fluide

lequel l'élément dm est «ppuyé, sera une force égale et contraire à cette pression ; en sorte que cet élément sera poussé verticalement par les deux

forcet contraires pdx dy et

ou par une force égale a leur différence — dsdydx

et dirigée du bas en haut. Or, pour que cet élément dm ne s'élève ni ne s'abaisse , il faudra que celte force soit égale à la composante verticale 1dm de la force motrice , qui agit dans le sens opposé ; par i d'abord

— dsdyd» = 1dm.

— dsdyd» = Y dm ,

dx dy dz = Xdm ,

qui seront nécessaires pour que l'élément dm ne se meuve ni dans le sens des y, ni dans le sens des a, et dans lesquelles q et r représentent les pressions rapportées à l'unité de surface , qui répondent aux faces de dm , parallèles aux plans des «et a et des y et i , et les plus voisines de ces plans. En substituant dons ces trois équations , la valeur précédente de im, et supprimant lo facteur dx dy ds, elles deviennent

dp dq dr

si les élémens dans lesquels nous avons partagé la masse ABCD, étaient solides , de sorte que cette masse fût un assemblage de parallélipipèdes rectangles, solides et juxtaposés , il n'y aurait aucune relation nécessaire entre les pressions que chacun de ces paraitélipipèdes éprouverait sur ses faces non parallèles ; l'élément dm pourrait, par exemple, éprouver une pression quelconque sur ses bases horizontales , et n'en éprouver aucune sur ses faces verticales; mais cet élément infiniment petit devant être considéré comme fluide, aussi bien que toutes Tes parties de la masse totale , qui auraient une grandeur finie (n° A7S), il suit de la propriété fondamentale des fluides, que les trois quantités P , q, r, doivent être égales entre elles, ou du moins, qu'il ne peut exister entre elles qu'une différence infiniment petite, négligeable dans les équations (1).

En effet , la pression que le fluide environnant exerce sur chacune des faces du parallélipipede d* dy di , se transmet sur les autres faoes , par l'intermédiaire du fluide, dont l'élément dm tst

composé ; cette transmission se fait de la manière que l'on a expliquée précédemment , et d'où il résulte qu'ayant appelé pdx dy la pression qui a lien de dehors en dedans, sur la base horizontale supérieure, il faudra représenter, en même temps , par pdx ds et pdy ds , les pressions transmises sur les faces latérales , et qui s'exerceront de dedans en dehors; de plus, a ces pressions transmises , il faudra ajouter celles qui résultent de la force motrice du fluide dm ; par conséquent , si l'on appelle y la pression due à cette force , et exercée, par exemple, sur la face dy ds, la plus voisine du plan des y et s , on aura pdy dz + y pour la pression totale, qui a lieu de dedans en dehors, ou de droite à gauche , sur cette même face. D'un autre côté , la pression provenant du fluide environnant , et exercée de dehors en dedans , ou de ganche à droite, sur cette face dy ds , a été représentée par rdy da ; cette force est la résistance que le fluide environnant oppose à la pression intérieure pdy dx y ; par conséquent il faut qu'on ait

Or,

rdy da = pdy d* + y.

valeur de y soit i

nous

sommes certains, néanmoins , que cette quantité ne peut être qu'un infiniment petit du troisième ordre, comme la force motrice de dm , dont elle provient; en négligeant donc y par rapport i pdy da, nous aurons r = p ; et l'on prouvera de même que l'on doit aussi avoir q—p-

La conclusion serait encore la même, si l'élément dm , au lieu d'être un parallélipipède rectangle, était un polyèdre quelconque dont toutes les dimensions fussent toujours infiniment petites; et l'on démontrerait de la même manière, que la pression extérieure exercée normalement sur toutes ses, faces par le fluide environnant , est proportionnelle à leurs aires respectives , et indépendante de. la force motrice du polyèdre. Il s'ensuit donc que tous les élémens de surface qui passent parle point H, éprouvent une même pression rapportée à l'unité de surface , et que si » est l'aire de l'un d'entre eux, la pression normale qu'il supporte, sur l'un ou l'autre de ses deux côtés , est égale à P» , quelle que soit la direction du plan auquel il appartient.

D'après la condition r = g = p,les

dp dp

et elles sont maintenant les équations générales de l'Hydrostatique, qu'il s'agissait de trouver.

884. Les conditions d'équilibre qu'elles expriment se réduisent , dans chaque cas particulier , à ce qu'on puisse trouver pour p une fonction de *, y, a, qui satisfasse en même temps à ces trois Or , si on les ajoute après 1

tipliéespard*, dy,ds, il vient

dp = f (Xd* + Ydy + Zds); (8)

il faudra donc , pour que la valeur de p toit possible , que le produit de p et de la formule Xd* + Ydy + Ui , soit une différentielle eiacte d'une fonction de trois variables indépendantes m , y , ». Réciproquement , quand cette condition sera remplie , on prendra pour p l'intégrale de ce produit , et Ton satisfera de cette manière aux équations (2).

En mettant dans cette valeur dep , a la place de s , y , M , le» coordonnées d'un point quelconque de la surface de ABCD , on aura la pression qui aura lieu en ce point sur la paroi du vase dans lequel cette masse fluide sera contenue; pression qui sera toujours détruite , pourvu que cette paroi •oit fixe et susceptible d'une résistance indéfinie; mais dans les endroits où le vase est ouvert, et où le fluide est entièrement libre, rien ne pourra détruire la pression p ; par conséquent , il faudra que sa valeur soit nulle, pour tous les points de le surface libre d'une masse fluide en équilibre ; ce

Xds + Ydy + Zds =s 0, (4)

pour l'équation différentielle de cette surface.

Cette équation subsistera encore lorsqu'on exercera une pression constante à la surface libre du fluide; car alors il faudra qu'on ait dp= 0 , pour tous ses points ; et la densité p n'étant pas nulle, l'équation (4) résulte alors de la formule (3). Si l'on exerçait, par un moyen quelconque , une pression variable d'un point à un autre de la surface libre d'un fluide , et que cette pression , rapportée a l'unité de surface, fût représentée par f (* > y ■ ■)» A faudrait que la valeur de p , tirée de l'équation (4), coïncidât, pour tous les points de la surface libre, avec cette fonction donnée de s , y , s ; et , dans ce cas , l'équation différentielle de cette surface serait

f (Xd* + \d V + Ids) = df(s, y, .).

Dans la suite , nous supposerons toujours que la pression extérieure est nulle ou constante dans toute l'étendue de la surrace libre d'un fluide en équilibre.

La pression p étant proportionnelle à la densité, dans les fluides élastiques (n° 581) , il s'ensuit que cette pression ne peut jamais être xéro dans un fluide de cette nature, tant que la densité n'est pas nulle, c'est-à-dire , tant que le fluide existe, et qu'il n'a pas perdu , par le froid , toute sa force élastique. Un fluide élastique ne peut donc être en équilibre que quand il est contenu dans un ▼ose fermé de toutes parts, ou bien lorsqu'on exerce à sa surface des pressions dirigées de dehors en dedans.

585. Il suit de l'équation (4), que la résultante des forces accélératrices X , Y , Z , qui agissent sur chaque point d'un liquide en équilibre, apparte-

nant a sa surface libre , est perpendiculaire à cette surface , toit qu'il n'y ait oucune pression extérieure , soit qu'on exerce à cette surface une pression constante d'un point à un autre. En effet, traçons sur la surface libre une courbe quelconque, et soit ds l'élément différentiel de cette courbe, correspondant au point dont les coordonnée! sont ds dy ds

#, y , s , de sorte que —, — , — , soient les cosidê dt ds

nus des angles que la tangente a cette courbe , en ce même point, fait avec des parallèles aux axes des coordonnées. Appelons R la résultante des forces X , Y , Z ; les cosinus des angles que fait sa

direction avec ces parallèles, seront — , —, — ;

or , si l'on divise l'équation (4) par Rd#, on aura

X ds Y dy Z ds

R ds R d» R ds

ce qui montre que la direction de la force R , et le tangente a la courbe qu'on a tracée arbitrairement sur la surface, sont perpendiculaires l'une à l'autre, et, par conséquent, que cette direction coïncide avec la normale au point que l'on considère. Cette force agira , en général , de dehors en dedans ; mais quand la pression extérieure ne sera pas nulle , elle pourra être dirigée, au contraire, de dedans en dehors.

Si l'on intègre l'équation (4) , et qu'on donne à la constante arbitraire , contenue dans son intégrale , autant de valeurs particulières qu'on voudra , les équations déterminées qui en résulteront , appartiendront à autant de surfaces , dont chacune aura l'équation (4) pour équation différentielle , et jouira , par conséquent , des propriétés d'être également pressée dans toute son étendue et de couper à angle droit , en tous ses points , la direction de la résultante des forces X , Y , Z. Celles de ces surlaces qui passent dans l'intérieur du fluide, d'après la valeur de la constante arbitraire, sont ce qu'on appelle des surface* de niveau. Si Ton fait croître cette constante par degrés infiniment petits, on divisera la masse fluide en une infinité de couches infiniment minces, et comprises entre deux surfaces de niveau consécutives, que l'on nomme , pour cette raison , des couches de niveau

La valeur de la constante qui répond à la surface extérieure se déterminera, dans chaque cas, d'après In volume donné du liquide ; en sorte que la pression extérieure n'aura aucune influeuce, ni sur la figure d'équilibre, ni sur les dimensions de ce fluide regardé comme incompressible. L'équilibre ne sera pas troublé si le liquide vient à se solidifier ; il s'ensuit donc qu'une pression constante et normale , exercée de dehors en dedans sur tous les élémens de la surface d'un corps liquide ou solide, se détruit d'elle-même, et ne peut imprimer à ce corps aucun mouvement de translation ou de rola-

HYDROSTATIQUE

lion. Pour un liquide , cet équilibre des pressions extérieures résulte de la propriété caractéristique des fluides , de transmettre également en tons sens les pressions exercées à leur surface (n° 6/8); on vérifiera, par la suite, qu'il est indépendant de cette propriété , et qu'il a également lieu pour un corps solide de forme quelconque.

686. Supposons actuellement que le fluide en équilibre soit formé d'une matière homogène, et qu'il ait partout la même température et la même densité. La quantité ■ étant constante , il faudra, d'après l'équation (3) , que la formule Xdx -f- Ydy •f Zdt soit la différentielle exacte d'une fonction de trois variables indépendantes. Si cela n'a pas lieu , l'équilibre est impossible dans la masse fluide, quelque forme qu'on lui donne, et lors même qu'elle serait renfermée dans un vase fermé de toutes parts.

Sais la condition d'intégrobilité est toujours remplie à l'égard des forces de la nature , qui sont des attractions ou des répulsions , dont les intensités varient en fonctions des distances aui centres dont elles émanent (n° 168). L'équilibre d'un liquide homogène , soumis à de semblables forces , sera donc possible ; et pour qu'il ait lieu effectivement, il faudra donner au fluide une forme, telle que sa surface libre coupe à ongle droit, dans toute •on étendue , la résultante de ces forces attractives ou répulsives.

Si , par exemple, la masse fluide est entièrement libre ; que l'on exerce à sa surface une pression constante, et qu'il n'y ail qu'une seule force dirigée vers un centre fixe, la figure de la masse ABCD, en équilibre autour de ce point, sera une •phére qui aura ce point pour centre , et dont le rayon se déduira du volume donné de cette masse. En supposant que la force dirigée vers le centre fixe soit une attraction en raison inverse du carré de la distance, désignant par g l'intensité de cette force accélératrice à la surface du liquide , par a

son rayon , et par • la pression extérieure, — sera

l'attraction à la distancer, et l'on conclura de l'équation (4)

pour la prrssion à la même distance. La même chose aura lieu si l'on remplace le centre fixe par une sphère solide dont tous les points attirent ceux dn liquide en raison inverse du carré de la distance; mais alors c étant le rayon de cette sphère, la valeur de p ne s'appliquera qu'aux voleurs de r comprises depuis r = e jusqu'à r = a. Lorsqu'on changera l'attraction en une force répulsive , il suffira de changer le signe de g ; en sorte que l'on

p = • + St a - 1— .

La plus petite valeur de p répondra è r = c , et sera

gjaia-jl r e

Il faudra qu'elle soit positive, sans quoi la couche liquide se détacherait du corps solide, et serait dispersée dans l'espace; par conséquent, il faudra que la pression extérieure « surpasse la quantité

l ' a a L ' . En général, il est nécessaire, dans

l'équilibre d'un fluide, que la pression p ait une valeur positive dans toute l'étendue de sa masse , afin que les parties contiguês s'appuient partout l'une contre l'autre, et que le fluide ne se divise pas.

Quand le rayon o est très grand , la force attractive dirigée vers le centre de la sphère est sensiblement parallèle, et la surface du liquide, sensiblement plane et perpendiculaire à la direction de cette force, dans une étendue peu considérable. Ce cas est celui d'un liquide pesant , que nous considérerons spécialement dans le chapitre suivant.

687. Quelles que soient les forces d'attraction ou de répulsion dirigées vers des centres fixes qui agissent sur tous les points d'une masse fluide ABCD , faisons

Xdx + Ydy + Mi = *i

• désignant une fonction des coordonnées x, y , s, dépendante des lois de ces forces en fonctions des distances.

L'équation (3) deviendra alors

Pour qu'elle subsiste quand la densité f sera va- ] riable, il faudra que cette densité soit une fonction de la quantité et, réciproquement, lorsque cette condition sera remplie, il y aura toujours une voleur de p qui satisfera à cette équation d'équilibre. Or, d'après l'équation (4), la quantité f est constante dans toute l'étendue de chaque couche de niveau ; dans un fluide hétérogène et dans un fluide compressible en équilibre, il est donc nécessaire que la densité soit constante dans toute l'étendue d'une même couche ; et la couche superficielle, soumise à une pression constante et donnée , étaut une couche de niveau, il faut aussi qu'elle ait une même densité dans toute son étendue.

Si le fluide est incompressible, la densité f pourra être une fonction quelconque , continue ou discontinue, de la quantité t ■; quand elle sera donnée, on en conclura la valeur de p en fonction de f , en intégrant la formule »rfa, et déterminant la constante arbitraire d'après la grandeur constante, et aussi donnée , de la pression extérieure.

Dans le cas d'un liquide hétérogèue soumis à uue

force centrale , il faudra , pour l'équilibre , que ta i «oit formée de couches sphériques et con- >, dont la densité sera la même dans toute Fétendue de chacune d'elles , et pourra varier arbitrairement d'une couche à une autre. De i, si plusieurs liquides pesans sont contenus Tase, il faudra, pour l'équilibre, que chaque couche horizontale et infiniment mince ne contienne qu'un seul liquide ; condition qui sera remplie, si la surface supérieure, qu'on suppose soumise a une pression constante , et les surfaces de séparation de deux liquides consécutifs , sont toutes planes et horizontales. La stabilité de l'équilibre exigera, de plus, que les densités des liquides superposés décroissent, en allant du liquide lo plus bas au liquide le plus élevé, afin que le centre de gravité de ce système de corps pesans , soit le plus bas possible ( n° 348).

688. Dans un fluide élastique , la densité est liée à la pression (n°681 ), et ne peut plus être donnée arbitrairement, comme dans un fluide incompressible et hétérogène. En divisant les équadp -- (dp et p = k f l'une par l'autre, il

Si la température est partout la môme , k fera une quantité constante ; et , en intégrant , on leurs

' exprimer les lois de la pression et/ de la denailé, dans l'état d'équilibre du fluide ;je désignant la base des logarithmes népériens, et fa étant une constante arbitraire , qui exprimera line certaine a, et se déterminera d'après ls/ pression qui lieu en un point donné.

Si la température varie d'un point k un autre, k variera également ; mais pour qurf l'équation (5) subsiste, il faudra que cette quantie soit une fonction de», qui pourra être donnés/ arbitrairement. La température devra donc être aussi une fonction de ■ ; par conséquent, la température est constante dans toute l'étendue de chaque/couche de niveau d'un fluide élastique en équilibre. Cette condition étant remplie, il faudra rei par celle-ci :

f» sa «e

les équations (0)

Abstraction faite de la force centrifuge et de la non sphéricité de la terre, la pesanteur des molécules d'air est dirigée vers le centre de la terre, et les couches de niveau de la terre sont sphériques et concentriques. Pour que l'atmosphère demeurât en équilibre, il faudrait donc que la température fût

partout la même, à une même hauteur au-dessus de la surface de la terre, et qu'elle ne variât qu'aveu l'élévation des couches concentriques. Or, il n'en est pas ainsi ; et le soleil échauffe inégalement les différens points de la surface de la terre et de chaque couche atmosphérique. La température dépendant de la latitude , cette circonstance empêche l'équilibre d'avoir lieu, et produit des vents permanent , que l'on observe, en effet, près de l'Equateur. Au reste, la condition de l'équilibre des couches atmosphériques ne pourrait rien nous apprendre , relativement a la variation de la température dans le sens vertical; car l'équation (5) a lieu, quelle que soit la valeur de ik en fonction de a , et , par conséquent, quelle que soit la loi de cette variation.

Lorsque la masse ABCD est composée de plusieurs gaz de nature diverse, les conditions d'équilibre peuvent être remplies de deux manières différentes : quond ces gaz sont parfaitement mêlés ensemble, de sorte qu'ils forment un fluide homogène dans toutes ses parties ; et quand ils sont, au contraire , disposés en couches superposées , dent les surfaces de séparation sont toutes des surfaces de niveau. Lo premier cas a lieu dans l'atmosphère dont la composition a été trouvée la même à toutes les hauteurs. Cet état d'un mélange parfait est celai de l'équilibre le plus stable; et quand deuz gas différens sont superposés dans un vase fermé de toutes parts, ils finissent, à la longue, par se mêler exactement, à moins qu'on ne parvienne à garantir le vase qui contient ces fluides , des plus petites agitations.

589. Les centres des forces attractives ou répulsives, qui agissent sur chaque point H de la masse floide ABCD , peuvent être tous les autres points matériels de cette masse. Dans ce cas , les composantes X, Y, Z, de la force accélératrice totale du point 1, se composeront d'une infinité de termes ; ce qui n'empêchera pas qu'elles ne soient de certaines fonctions des, y, s, communes à tous les points des fluides, en supposant que la loi naturelle de l'action égale et contraire à la réaction, ait lieu dans leurs attractions et répulsions mutuelles, et que tous ces points soient d'ailleurs soumis aux mêmes forces étrangères.

Dons la nature, ces actions mutuelles sont de deuz sortes différentes : les unes varient en raison inverse du carré de la distance, et les intensités des autres sont exprimées par des fonctions qui décroissent avec une extrême rapidité et n'ont de valeurs sensibles que pour des distances insensibles. On calculera les composantes totales X, Y, Z, des forces de la première espèce , en partageant la masse de ABCD en élémeus infiniment petits (n° 08), et faisant ensuite, par le calcul intégral , les sommes des attractions ou répulsions de tous ces points, suivant chaque direction. Quant aux actions de la seconde espèce, que l'on appelle proprement les forces moléculaires, et qui sont attrac-

HYDROSTATIQUE

tires ou répulsives , selon qn o l'attraction de la matière pondérable est plus grande ou plus petite que la répulsion calorifique, on ne devra pas en tenir compte dans le calcul des forces X , Y, Z , relatives à un point intérieur H ; car ce sont précisément ces forces moléculaires qui produisent la pression p , égale en tous sens autour de 9 , à laquelle on a déjà eu égard en formant les équations d'équilibre.

Il résulte de cette dernière considération , que les équations (2) auiquelles on est parvenu , sont les conditions d'équilibre, nécessaires et suffisantes , Aï toutes les forces, y compris les actions moléculaires, qui agissent sur un élément quelconque dm de la masse fluide { en sorte que l'équilibre a lieu, certainement, quand il existe une valeur de p qui satisfait à ces équations pour tous les points du fluide , qui coïncide avec la valeur donnée directement de la pression à la surface libre, et qui ne devient négative en aucun point , afin que les parties du fluide restent contiguès.

Si la loi des forces moléculaires , en fonction de la distance , était donnée , et qu'on pût déduire de ces forces l'expression de la quantité p en fonction de l'intervalle moyen des molécules (n° 08), on substituerait cette expression dans les équations (2); l'une d'elles déterminerait la grandeur de cet intervalle, quia lieu, dans l'état d'équilibre, autour du point M j et les deux autres exprimeraient les conditions de cet équilibre. La valeur numérique de p résulterait ensuite de celle de l'intervalle moyen , ou de la valeur correspondante de la densité; et j'ai expliqué, dans le mémoire cité précédemment (n» 677), comment cette pression p peut varier, dans de très grands rapports , pour de très petites variations de la densité qu'on observe dans les liquides. Sais la détermination directe de la pression p étant impossible, on est obligé de déduire sa valeur des conditions mêmes de l'équilibre, ou de la formule (S), qui en est la conséquence.

Lorsque le point H est situé à la surface du fluide , ou qu'il n'en est éloigné que d'une distance moindre que le rayon d'activité des forces moléculaire» , on doit avoir égard à ces forces et à la variation rapide de la densité superficielle, dans le calcul des composantes X , Y, Z , et , par suite , de la valeur de p, déduite de la formule (3). Il en résulte une influence des forces moléculaires sur la figure du liquide en équilibre , qui n'est pas sensible , en général , et qui ne le devient que dnns les espaces capillaires. On n'y aura point égard dans ce Traité} et, pour tout ce qui concerne les phénomènes de la capillarité, je renverrai à la JVouvelle théorie de P Action capillaire, que j'ai publiée il y a deux ans.

690. Si un liquide homogène ou hétérogène tourne uniformément autour d'un axe fixe, les formules précédentes feront connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il conserve une

figure permanente , et se meuve comme un corps solide. Il suffira pour cela , de joindre aux composantes X, Y, Z, celles de la force centrifuge qui résulte de cette rotation.

Prenons alors l'axe de rotation pour celui des a. Soit r la distance du point quelconque H à cette droite, de sorte qu'on ait

Appelons « la vitesse angulaire constante et commune à tous les points du fluide ; r» sera la vitesse absolue du point M ; et comme il décrira un cercle dont le rayon estr, la force centrifuge aura r»« pour valeur (a* 174). Cette force étant dirigée suivant le prolongement de r, on obtiendra ses composantes parallèles aux axes dea s et des y en la multi-

pliant par —et — j ce qui donne *»» et y*> , qu'il r r

faudra ajouter aux forces X et Y ; et comme la force Z ne changera pas , la formule (3) deviendra

dp = f (Xafj + Ydy + Zd* + + .«ydy). (a)

La quantité comprise entre les parenthèses sera encore une différentielle exacte , savoir, la différentielle de la fonction a du n° 687, augmentée de

7 **(*' +y*)» oa de — »»r« . Par conséquent, la forme permanente sera possible ; et si la surface libre du liquide éprouve une pression constante dans toute son étendue, l'équation commune à cette surface et à toutes les surfaces de niveau sera

Xdx + Ydy + Zd* + (sis + ydy) = 0. (6)

Dans le cas d'un liquide homogène, il suffira que la surface libre soit déterminée par l'intégrale do celte équation différentielle , dont on déterminera la constante arbitraire, d'après le volume entier du liquide , comme on le verra tout à l'heure par un exemple. Dans le cas d'un liquide hétérogène, il faudra, de plus , qu'il se compose de couches homogènes, dont les figures seront aussi déterminées par l'intégrale de cette même équation , et qui ne différeront de la figure extérieure, que par les valeurs de la constante arbitraire.

691. Appliquons l'équation (4) au cas d'un liquide homogène, soumis à la pesanteur, tournant autour d'un axe vertical, et contenu dans un vase ouvert à sa partie supérieure.

En appelante la gravité, et comptant les m positives dans le sens contraire à cette force, nous aurons

L'équation (4) deviendra donc

$i% = •» (sis + yiif) ; d'où l'on tire eu intégrant, et désignant parc la

constante arbitraire

ce qui montre que la figure libre du liquide sera celle d'un paraboloîde de révolution dont l'aie sera celui de la rotation.

Pour déterminer la constante e, supposons que le vase soit un cylindre vertical à base circulaire , dont l'aie de figure soit l'aie des * ou de rotation. Appelons a son rayon , et k la hauteur due à la vitesse absolue o« de la surface, de sorte qu'on ait

= 2$» , et par conséquent s = — + c. Soit

aussi 4 la hauteur de l'eau avant le , *e*6 sera le volume du liquide qui ne changera pas pendant la rotation ; or, en divisant le paraboloîde en couches cylindriques et infiniment minces, qui aient pour aie commun celui des s, on aura 2«roV pour la base , et Zrsrdr pour le volume de la couche dont le rayon est r et l'épaisseur dr ; ce volume total s'obtiendra donc en intégrant 2*zrdr, depuis r sa 0 jusqu'à r = a ; d'où l'on conclut

En substituant pour r sa valeur et effectuant l'intégration, on en déduit

pour la valeur de c.

L'équation de U surface supérieure du liquide

La plus petite et la plus grande valeur de s qui

répondent à r s - 0 et r = a , seront 6 — ~ k et

i + - k ; en sorte que l'abaissement du liquide

dans Taie et son élévation à la circonférence, qui résulteront de la rotation , seront les mêmes , et auront pour valeur la moitié de la hauteur due à la vitesse de la circonférence.

692. Quand les forces dont X, Y, Z, sont les cornposantes, pro>iennent des attractions de tous les points du liquide, eu raison inverse du carre des distances, ou suivant d'autres lois, les valeurs totales de X, T, Z, dépendent, en général, de la forme du liquide et de ses couches de niveau ; et , réciproquement, cette forme dépend des valeurs de ces composantes. Cette dépendance mutuelle des attractions du fluide et de sa figure , rend la détermination de celle-ci très difficile au moyen de l'équation b). Lors même que le liquide et t, on uest parvenu a résoudre ce problc....

le cas ordinaire de l'attraction en raison inverse du carré des distances, qu'en supposant la force centrifuge peu considérable , de manière que le fluide s'écarte peu de la forme sphérique qu'il pourrait prendre si cette force était tout-à-fait nulle, c'està-dire, si le fluide était en repos. On démontre alors, par une analyse fondée sur la considération des séries , et qui ne peut pas trouver place ici , que la figure do fluide est nécessairement celle d'un ellipsoïde de révolution , dont on détermine l'aplatissement , d'après la grandeur de la force centrifuge é l'équateur, comparée à l'attraction du fluide au mémo point.

Hais, il est facile de vérifier que la figure elliptique satisfait toujours à l'équation (o) , lorsque la vitesse » ne dépasse pas une certaine limite , et qu'il y a alors deui ellipsoïdes de révolution qui répondent à une même voleur de cette vitesse de rotation. Supposons, en effet, que la surface du fluide, dans son état permanent, a pour équation

qui est celle d'un ellipsoïde de révolution , dont l aie de figure et le diamètre de l'équateur ont 2e

et 8e \/\ >• pour longueurs. Appelons X , T , Z, les composantes de la force accélératrice provenant de l'attraction totale de ce corps sur le point de sa surface qni répond à s, y, a, et dirigées suivant les prolongement de ces coordonnées, c'est-à-dire, en sens contraire des composantes dont on a donné les eipressions dons le n° 106. En

vant que 1 w t c* ( l + y» ) est la masse de l'ellip-

X=i^î[ y ~(l + yM»rc(tang = > )],

ftr/îf

[>—(!+»• ) uc (*«>« = >)]»

z= 4V,(. + -,-). t .„ (Un , = r) vl .

f étant , comme dans le n 8 cité , l'intensité de l'attraction à l'unité de distance, et entre des masses dont chaoune est égale à l'unité. 11 s'agira dune de prouver que ces valeurs , jointes à l'équatiou (c) , satisfont à l'équation (6). Or , en les substituant dans cette équation, multipliant tous ses termes par y 5 , ce qui suppose que y ne soit pas séro, et faisant pour abréger

HYDROSTATIQUE

il vient

> - f (« + >') (Ung = y) + *y> ] (xds + ydj,) + (!+>•) [» ro ( u °g = >) — >] = « i

et, pour que cette équation différentielle coïncide arec la précédente, il est nécessaire et il suffit qu'on ait

en différentiant l'équation (e), on a

xdx + ydy + (l + > .)^.«=Oj

7 > — \ ( 1 + >• ) ,rc l taD « = >) + = ««s (Ung = y) — y,

arc (tang = y) = 0; (d)

en sorte qu'il ne restera plus qu'a s'assurer si cette équation a des racines réelles, et a en déterminer le nombre.

Pour cela, je représente par C son premier membre, et je suppose que l'on trace la courbe dont y et C sont l'abscisse et l'ordonnée courantes : cette courbe coupera l'axe des abscisses à l'origine ; mais la racine > = 0 est étrangère à la question , tant que la vitesse » et par suite • n'est pas téro. Les autres racines de l'équation \ d sont deux à deux égales et de signes contraires; mais il suffira de considérer ses racines positives, par exemple, attendu que l'équation (c) ne contient que le carré de y.

Cela étant, si Ton égale à xéro la différentielle de C , on trouve

pour déterminer les abscisses correspondantes aux maxima et aux minima de cette ordonnée. Or, cette équation étant du second degré par rapport à y* , il s'ensuit qu'il ne peut exister qu'un maximum et un minimum de chaque côté de l'origine des abscisses ; d'où l'on conclut d'abord que la courbe ne pourra couper qu'en deux points l'axe des abscisses positives, au delà de cette origine; en sorte qu'il existera, au plus, deux racines réelles et positives de l'équation (d). Observons en outre, que si les équations (d) et (a) ont lieu pour une même valeur de y , la courbe touchera l'axe des abscisses en un point qui répondra à une racine double de l'équation (d). Or, on tire de l'équation (•) ,

en substituant cette valeur dans l'équation (d), il

: arc (tang = y);

lyi + 30>» + 27> (!+>•) + (» + >') :

équation qui ne peut avoir qu'une seule racine positive, outre y=0. Cette racine existe effectit ; et par des essais, on trouve pour sa valeur

La valeur correspondante de • est s = 0,1123; d'où nous pouvons conclure que pour des valeurs

de • plus petites que cette fraction, il y a intersections distinctes de l'axe des abscisses positives, et deux racines inégales de l'équation (d); que pour cette valeur de « , ces intersections se changent en un contact , et les deux racines deviennent égales ; et qu'enfin, pour des valeurs plue grandes de «, les intersections n'ont plus lieu, non plus que les racines réelles de l'équation (d). Il est certain que ces racines répondent aux moindres valeurs de • , et non pas aux plus grandes ; car pour • = » , l'équation (d) n'a aucune racine différente de xéro ; et, au contraire , quand < est une très petite fraction , on détermine aisément les deux racines réelles de cette équation.

Lorsqu'on aura déterminé , au moyen de l'équation (dj , les deux valeurs approchées de y qui répondent a une valeur donnée de • moindre que la fraction précédente, les valeurs précédentes de X, X , Z , feront connaître l'attraction du fluide en un point quelconque de son intérieur ou de sa surface , et on déduira les valeurs de c , du volume aussi donné du liquide. Quand la valeur de • surpassera cette fraction , on ne sera pas en droit d'en conclure que la figure permanente du liquide soit impossible, mats seulement qu'elle ne peut pas être un ellipsoïde de révolution; car si l'on excepte le cas où l'on suppose cette figure très peu différente d'une sphère, on n'a point encore démontré que la figure elliptique de révolution soit la seule qui convienne à l'équilibre des forces ceutriruges et des actions mutuelles des molécules ! on n'a même pas prou\é que la sphère soit la seule figure que puisse prendre une masse fluide en repos , dont les molécules s'attirent mutuellement , quelque naturel que cela paraisse.

503. Si la quantité t est une très petite fraction, on satisfait à l'équation (d) en prenant pour y une quantité très petite. On a alors

arc (tang

= >) = >— i > 3 + elc -

et en itibi tituant ces valeurs dans l'équation [d] , supprimant le facteur y, commun à tous les termes, et négligeant ensuite les puissances de y supérieures à la première , on trouve

tSt

ce qui répond à un ellipsoïde très peu aplati. L'aplatissement sera à peu près y >» , puisque les deus

demi-axes sont e et o |/i + y .

«i c pour la force centrifuge à IV

Y wffC pour l'attraction en un point de la surface ,

ce qui serait les valeurs eiactes de ces deux forces, si le corps était esaetement sphérique. Le rapport de la première à la seconde est égal à 3i ; par conséquent, lorsqu'un fluide homogène tourne autour d'un axe fixe , et s'écarte très peu de la fi gure sphérique, son aplatissement est égal à cinq fois la force centrifuge à l'équateur divisée par quatre foia l'attraction à la surface. On démontre aussi que si le fluide est composé de couches très peu aplaties, dont les densités décroissent du centre a la surface, l'aplatissement sera toujours plut petit que dans le cas de l'homogénéité , et cependant plus grand que les deux cinquièmes de celui qui répond a ce cas.

Dans le mouvement de rotation de la terre, le rapport de la force centrifuge à la pesanteur , ou à

n J-(n«177)àré* r. Si la terre était une masse fluide homogène, son aplatissement serait donc dont les

deux cinquièmes sont -i— ; sa valeur J-, qui ré-

suite de l'observation , est comprise entre ces deux limites, comme dans le cas d'une masse dont la densité décroit du centre a la surface. En faisant

dans les voleurs de Z et |/X» 4- Y» , et développant ensuite suivant les puissances de y, on trouve

pour les attractions qui ont lieu aux pôles et a l'équateur. J'ajoute à la seconde la force centrifuge e, dont la valeur est ou le produit de 4 4v.

— wffe et de -gp d'après ce qui précède; il vient

pour la pesanteur à l'équateur. En en retranchant la pesanteur Z au pôle, et divisant par celle-ci ,

etc.

en sorte qu'en négligeant le carré de y* , ce rapport est égal à l'aplatissement i y* , et par conséquent , la somme de ces deux quantités a pourvaleur cinq fois la force centrifuge divisée par le double de la pesanteur a l'équateur , conformément au théorème cité dans le n° 103.

Dans ce même cas d'une très petite valeur de « , on satisfait encore a l'équation (d) au moyen d'une très grande valeur dey. Un a M

(tang = y) = 7 w — arc (tan g = — ) 5

série convergente ,

de y , on aura donc, est

arc (tang =y) = -« h" — - ~J+ etc.;

on a

— ■— xs + ete . ,

** + 3 y yi

et en substituant ces développemens dans l'équation (a?), on en déduira ensuite une valeur de y ordonnée suivant les puissances croissantes de < , savoir,

y = + etc.,

qui sera la seconde racine réelle de cette équation.

Pour de plus grands détails sur cette importante théorie et sur son application à la figure de la terre , je renverrai aux tomes II et V de la Mècaniqut a les te

504. Il y a une différence essentielle entre les surfaces de niveau, tracées dans l'intérieur d'un liquide soumis k l'action mutuelle de tous set points , et celles qui sont décrites dans un fluide dont les points ne sont sollicités que par des forces étrangères, c'est-à-dire , par des attractions ou répulsions qui émanent de centres fixes, et sont fonctions des distances à ces centres. Supposons que ABCD(fig.l22)soitla surface libre d'un liquide en repos, ou tournant, pour plus de généralité , autour d'un axe fixe. Soit EFGH une surface de niveau tracée dans son intérieur ; et appelons R la résultante de toutes les forces qui agissent au point quelconque M de cette surface. Dans les deux cas qu'on vient de distinguer, cette force sera dirigée suivant la normale NMP en ce point; or, dans le second cas , sa grandeur et sa direction no dépendant d'aucune action des points du fluide, elle restera encore perpendiculaire a la

HYDROSTATIQUE

surface EFGH, si Ton enlève la couche du liquide comprise entre EFGH et ABCD ; de sorte qu'après cette soustraction, le liquide terminé par EFGH demeurera encore en équilibre : maïs dans le cas des actions mutuelles des points du système, la force R dépendra de l'action de ce liquide intérieur et de celle de la couche extérieure ; elle changera, en général, de grandeur et de direction, lorsqu'on supprimera la couche comprise entre ABCD et EFGH , et l'équilibre du liquide terminé par EFGH n'aura plus lieu. Pour qu'il se rétablisse, il faudra que la surface EFGH change, et devienne perpendiculaire, en chaque point M, à la seul* partie de la force R qui subsistera.

L'action de la couche extérieure , comprise entre ABCD et EFGH , sera nulle sur tons les points du fluide intérieur et de la surface EFGH , lorsque la masse entière du fluide sera homogène , qu'elle s'écartera peu de la figure sphérique, et que ses points ne seront sollicités que par leurs attractions mutuelles en raison inverse du carré des distances, et par la force centrifuge. En effet, toutes les surfaces de niveau sont alors des ellipsoïdes semblables, et, conséquemment , la couche comprise entre deux de ces surfaces ABCD et EFGH, n'exerce aucune action sur les points situés dans l'espace intérieur (n<> 105). Mais cette nullité de l'action d'une couche terminée par deux surfaces de niveau, sur le fluide intérieur , n'est pas une condition de l'équilibre des fluides; les forces étant toujours celles qu'on vient de supposer, elle n'a plus lieu, par exemple, lorsque le liquide est hétérogène ; ce qui rend dissemblables tes surfaces de niveau, qui sont encore elliptiques , et telles que l'ellipticité de la surface quelconque EFGH dépend de l'épaisseur et de la constitution de la coucha extérieure *.

Dans le cas particulier do l'homogénéité, on peut enlever ou rétablir à volonté la couche elliptique comprise entre ABCD et EFGH, sans troubler l'équilibre ni changer la forme du fluide intérieur, en supposant que la vitesse de rotation soit toujours la même. Mais il y a aussi d'autres couches qu'on peut ajouter au fluide terminé par EFGH , et qui ne troublent pas son équilibre, quoique leur attraction ne soit pas nulle sur les points de ce liquide. Il est évident que la surface extérieure de la couche additive peut être un ellipsoïde semblable a EFGH , et ayant pour centre un point de l'axe de rotation différent du point 0. La surface extérieure de cette couche peut aussi avoir ce point pour centre , et être un ellipsoïde dont l'aplatissement soit différent de celui de la surface intérieure. Pour le faire voir, soient ABCD et A'B'C'D' (fig-123) les deux ellipsoïdes différent qui satisfont è la condition d'équilibre d'un même fluide homogène tournant autour d'un axe fixe •vec une vitesse angulaire donnée (n« 682) ; soient

aussi EFGH et Vf'G'E' deux surfaces de niveau , tracées dans l'intérieur de ces ellipsoïdes, semblables aux surfaces extérieures, ayant le même centre 0 que celles-ci, et se coupant au point M : sans troubler l'équilibre du liquide terminé par EFGH , ou y pourra ajouter la couche comprise entre les deux surfaces EFGH et A'B'C'D', dissemblables et concentriques. On remarquera que non seulement l'action de cette couebe additive sur les pointa du liquide intérieur et de ls surface EFGH , n'est pas nulle , mais que cette action sur chaque point de la surface n'est pas dirigée suivant la normale. Ainsi, au point M, l'action de la couche comprise entre les surfaces EFGH et A'B'C'D, n'est pas dirigée suivant la normale NHP à la première surface; car déjà l'action du liquide intérieur, terminé par cette surface, est dirigée suivant NMP; et si l'action de la couche additive avait aussi cette direction, l'action de la masse totale , terminée par la surface A'B'C'D', serait encore dirigée suivant cette normale , tandis qu'elle doit l'être suivant la normale IS'MP' o l'antre surface de niveau E'F'G'H'.

Quelles que soient lesaforces qui agissent sur un fluide homogène ou hétérogène tournant uutour d'un txe fixe, on ne doit pas perdre de vue que la seule condition d'équilibre est l'existence d'une quantitép qui satisfasse à l'équation (a), et qui soit nulle ou constante à la surface libre du liquide. Toutaautrc condition qu'on y voudrait ajouter est déjà comprise dans celles-là, ou ne se vérifiera pas.

595. Parmi les différentes lois d'attraction , il y en a une qui n'est pas celle de la nature , mais qui jouit d'une propriété remarquable. Cette loi est celle d'une action mutuelle en raison directe de la distance, et la propriété dout il s'agit consiste en ce que la résultante des actions de tous les points d'un corps, sur un point quelconque, est indépendante de la forme et de la constitution de ce corps, homogène ou hétérogène , et la même que si la masse entière était réunie à son centre de gravité.

En effet, soient *, y, s , les coordonnées du point attiré, x', y', »', celles d'un point attirant , (a la masse de ce second point matériel , m la distance des deux points, kpu la force accélératrice dirigée du premier point vers le second ; h étant un coefficient constant. Les composantes de cette force suivant des psralléles aux axes des coordonnées, menées par le point attiré, seront k/t (*'—*), k/A y' — y) , ku (s'— s) , puisque les cosinus des angles que fait sa direction avec ces droites sont les différences — y'— y, *, divisées par «. Par conséquent , si l'on appelle X , Y , Z , les composantes totsles de la force accélératrice du point attiré, on aura

- «yV,

les sommes 2 s'étendant à tous les points du corps attirant. Or, si Ton appelle m la masse entière de ce corps, et li , jfi , ii , les trois coordonnées de son centre de gravité , on aura

1/*x' = mit , = myi , 2 M*' = mt, ; il en résultera donc

X = km {x, — s), * sas km (y, — y) , Z = laa („ s),

( * — *, )» + ( y — y, )» + ( m - s, )» - i ( *» + y ) as c.

équations qui renferment i tion qu'il s'agissait de démontrer.

En substituant ces valeurs de X , Y, Z, dans l'é-

quation (4), et faisant, pour abréger, — = •, il

vient

+ ,;*Jx + ,rfy) = 0 }

d'où Ton tire, en intégrant et désignant par c la arbitraire ,

Cette équation sera celle de* surfaces de niveau dans un liquide tournant autour de Taxe des s , dont les points s'attirent en raison directe de la distance; elle fait voir que toutes ces surfaces seront concentriques et du second degré. De plus, si I on transporte l'origine des coordonnées à leur centre commun, c'est-à-dire, au centre de gravité du fluide, les premières puissances des coordonnées courantes devront disparaître ; ce qui ne peut avoir lieu, à moins qu'on n'aitxi =0,yi =0, », = 0. L'équation précédente se réduit donc à

s.+ (1 - ,) (*. + y) =Oi (f)

par conséquent, les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes ou des hyperboloïdes de révolution, selon qu'on a i < 1 ou « > 1 ; et , dans les deux cas , elles ont toutes le même axe de figure, qui est l'axe de rotation.

Le volume du liquide étant donné, Phyperboloîde n'est possible que quand le fluide est contenu dans un vase, et alors l'équation (f) s'applique seulement à la partie libre de sa surface. Lors donc qu'on a • > 1 , la figure permanente d'un liquide libre de toutes parts est impossible, dans le cas des forces que nous considérons. Si l'on a • <1, toutes les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes qui diffèrent par les valeurs de «. Pour déterminer la valeur de cette quantité qui répond à la surface extérieure, on égalera le volume de l'ellipsoïde , dont

4wc{/c

au vol

du li-

quide. Il est remarquable que, dans cet exemple, la loi des densités descouebes du fluide n'a aucune influence sur sa figure extérieure et sur celle de ses couches de niveau.