DE L EQUILIBRE DES FLUIDES PESANS

096. Soit ABCD (fig. 124) un vase ouvert à sa partie supérieure, et dont la base horixontale AB est posée sur un plan fixe. Supposons qu'un liquide pesant et homogène s'élève dans ee vase jusqu'en A'B'. Pour l'équilibre de ce liquide, il faudra que la surface libre A'B' soit horizontale ou perpendiculaire à la direction de la pesanteur, et cet équilibre ne sern pas troublé , si l'on exerce sur cette

surface une pression constante et de grandeur quelconque.

La pression rapportée à l'unité de surface sera la même dans toute l'étendue de chaque section horizontale du liquide; en la désignant par p à la profondeur m au-dessous de A'B', et appelant p la densité constante du liquide, et y la gravité, on aura dp =r f gdz , d'après l'équation (3) du n» 684.

HYDROSTATIQUE

En intégrant , on aura donc

P = fJ» + •!

«étant la pression extérieure, qui sera Généralement la pression atmosphérique qui répond à t — 0. Cette pression constante se transmettra , sans altération , sur tous les élémens des parois du vase et des corps plongés dans le liquide; elle s'ajoutera, en chaque point (n° 579), à la pression variable due à la pesanteur du liquide. Il serti donc toujours facile d'y avoir égard ; et , pour plus de simplicité, nous pouvons la supposer nulle, et réduire l'équation précédeute à

P = fj«-

Soient b la base AB du rase , P la pression totale exercée sur cette base, A la distance de A'B' à cette même base , ou la hauteur du liquide; nous aurons à la foi.

z — A, P = bp sa ( gbh;

ce qui montre que la pression exercée sur la base boriiontalc du vase est égale au poids d'un cylindre rempli du liquide, qui aurait pour base celle du vase , pour hauteur celle du liquide, et dont le volume et la masse seraient, conséquemment , 6A et fbh.

Cette pression P est donc indépendante de la forme du vase ; en sorte que pour les trois vases représentés parla figure 125, qui ont des bases équivalentes , posées sur un même plan horizontal , et dans lesquels un mémo liquide s'élève à une hauteur qui est aussi la même, les pressions exercées sur leurs bases sont égales, quoique l'un des vases soit un cylindre droit, qu'un autre s'élargisse en partant de la base , et que le troisième aille en se rétrécissant. Cette pression est , pour chacune des trois bases, le poids du liquide contenu dans le vase cylindrique; résultat très remarquable, qui est pleinement confirmé par l'expérience.

Dans le cas de plusieurs liquides superposés dans un vuse, il suffira, et il sera nécessaire pour leur équilibre, que la surface de séparation de deux liquides consécutifs soit horixontalc (n J 587); et, en effet, si cela est, chaque nouveau liquide 'superposé exercera sur tous les points de sa base une pression constante, qui ne troublera pas l'équilibre du liquide inférieur. Voici comment on pourra déterminer la pression totale exercée sur le fond du vase.

597. Versons sur le fluide en équilibre dans le vase ABCD (fig. 184) un nouveau liquide, dont la densité soit p', qui ait sa surface supérieure A"B" horizontale , comme celle du premier, et qui s'élève à une hauteur A' au-dessus du niveau A'B' du premier; ces deux fluides demeureront en équilibre dans le vase. En appelant b' l'aire de A'B', qui est la base du second fluide , il exercera sur celle base une pression égale à f'gh'b'. Cette pression sera transmise, par l'intermédiaire du liquide inférieur, sur le fond AB du vase; et l'aire de AB étant »,

il en résultera , sur celle surface plane, une pression exprimée par f'gh'b (n° 578) ; par conséquent, la pression totale exercée pur les deux fluides sur la base horixontalc du vase, sera fghb -f- f'gh'b.

Si l'on verse un troisième liquide dans le vase, dont la surface A'"B"' soit encore horizontale, l'équilibre ne sera pas troublé; f" étant sa densité, A" la hauteur de sou niveau A'"B " au-dessus de la surface supérieure A 'fi 1 ' du second liquide, et 6" l'aire de cette dernière surface, ce troisième liquide exercera sur sa base A"B'', une pression égale à i yn"l> qui sera transmise par le second liquide, et deviendra f'gh'b' sut la surface supérieure A'B' ou b' du liquide inférieur; celte pression sera transmise de même , par l'intermédiaire du liquide inférieur, et deviendra f' gh 'b sur le fond AB du vase ; par conséquent, les trois liquides superposés exerceront sur le fond du vase une pression égale « fghb + f'gh'b + f 'gh' b , ou ( f A + f'h' + f 'h ')gb.

En continuant ainsi, ou voit que quand un nombre quelconque de liquides de différentes densités, sont superposés et en équilibre dans un vase, la pression qu'ils exercent sur la base horizontale de ce vase, ne dépend que de l'étendue de cette base , des épaisseurs desdiflerens fluides, et de leurs densités. Dans le cas d'un vase cylindrique et vertical, elle sera égale à la somme des poids de tous les fluides; et elle ne variera pas quand on changera la forme du vase, pourvu que sa base ne change pas d'étendue , non plus que l'épaisseur et la densité de chaque liquide.

Ce résultat étant indépendant de l'épaisseur des couches horizontales, il subsiste encore lorsque ces couches sont infiniment minces, c'est-à-dire, lorsque la densité de la masse fluide varie par degrés continus dans le sens vertical, et convient , par conséquent, aux fluides compressibles. Il est également vrai quand la pesanteur varie d'une couche à l'autre avec In densité; ce qui arrive lorsquo la hauteur du fluide n'est pas négligeable par rapport au rayon de la terre. C'est aussi ce que Ton peut déduire de l'équation dp as fgds, qui convient à l'équilibre de tous les fluides pesans , compressibles ou non , et dans laquelle on peut supposer la gravité g et la densité f, fonctions de l'ordonnée verticale s.

598. Considérons actuellement l'équilibre des liquides pesans contenus dans plusieurs vases, et qui peuvent s'écouler de l'un dans l'autre par des ouvertures latérales. Si l'on ferme à la fois toutes ces ouvertures , l'équilibre ne sera pas troublé; il faudra donc d'abord que les liquides soient disposés , dans chaque vase , par couches horixontales ; mais cette condition ne suffira pas ; et il faudra encore, quand les ouvertures ne seront plus fermées, qu'il existe un certain rapport entre les élévations des liquides dans les vases différens, qui dépendra du rapport de leurs densités.

S'il n'y a qu'un seul liquide répandu dans plusieurs vases communiquans, il faudra que le niveau

de ce liquide toit le même dans loua ce» vases. En effet, considérona un liquide homogène contenu dans deux vaaea, par exemple, qui communiquent latéralement par le canal EF (fig. 126), et qui sont poaés sur des plana lises horizontaux. Supposona que ce liquide s'élève jusqu'en AB dans l'un des vases, et jusqu'en CD dans l'autre, et que cea deux sections horixontales ne soient paa dana un même plan, de sorte qu'en prolongeant le plan de la section CD de l'un dea vases , il vienne couper l'antre vase, suivant une section «C située à une distance i aa-deaaoua de AB. Si l'équilibre existe dana cet état, il ne sera pas troublé en remplaçant la section ouverte CD par une paroi fixe : le fluide comprit entre AB et »C, exercera tur mC une preaaion égale à W>'» appelant p aa denaité, et y l'aire de cette section »C; cette preaaion se transmettra , par l'intermédiaire du liquide contenu dans les deux vases, jusque sur la paroi CD; et il en résultera, sur ce plan horixontsl, une preaaion dirigée de bas en haut et exprimée par pjyc, en désignant par e l'aire de CD. Par conséquent, l'équilibre n'aura plualieu dès que l'on enlèvera la paroi CD , à moins que la différence de niveau i du liquide dons les deux vases, ne soit nulle; ce qu'il s'agissait de démontrer.

Les deux sections A B et CD étant comprises dans un même plan, si l'on verse au-dessus de AB un liquide qui s'élève jusqu'en A'B', et dont la densité soit p', il exercera sur AB une pression égale à ffgbk ; b cl h étant l'aire de AB et la distance comprise enlre les sections horixontales AB et A'B'. Cette pression se transmettra sur CD , où elle sera égale à f'gch, et s'exercera de bas en haut ; et pour la détruire, il faudra fermer le vase en CD par une paroi fixe, ou verser au-dessus de CD un fluide dont la pression sur CD soit égale et contraire à ffgeh. Dans ce dernier cas , si le fluide s'élève jusqu'en CD', que l'on représente par p, sa densité, et par k lu distance comprise entre CD* et CD, la pression exercée par ce fluide sur CD, sera f#kç ; et pour l'équilibre , il faudra qu'on uit p,* = p'A.

On voit donc que pour l'équilibre des liquides différens contenus dans des vases communiquons , il est nécessaire que leurs densités soient en raison inverse de leurs élévations au-dessus des sections de ces vases, faites par un même plan horizontal. Si l'on verae de nouveaux liquidea au-deasus de ceux qu'on vient de considérer, on verra de même qu'en désignant par A, A', h", etc. , les épaisseurs de ces liquides dans l'un des vases , et par p', p", p'", etc. , leurs densités , et en représentant par k ,

*i i * 1 1 etc - • ti i t,i i fin » rt ''• j ' es quantités analogues dans un autre vase, il faudra qu'on ait l'équation

f'* + fW+ |Wf <*c.= f( * + p J( M- tlu k u + etc.;

d'où il résultera que les pressions rapportées k l'unité de surface seront égales sur les deux surfaces supérieures AB et CD du liquide homogène qui va

d'un vase k l'autre, et qui peut être celui dont la densité est p', ou celui dont la densité est p„ ou plus généralement un autre liquide quelconque, pourvu que les deux surfaces AB et CD, qui le terminent, soient comprises dans un même plan horixontal.

On peut remarquer que des couches infiniment minces, comprises dans des vases différens, et contenues entre les mêmes plans borixontaux , éprouveront la même pression rapportée k l'unité de surface ; mais au-dessus du plan qui termine le liquide inférieur, elles pourront contenir des liquides différens ; en sorte que les propriétés des couches de niveau , ou perpendiculaires k la direction de la pesanteur, ont bien lieu, quant k l'égalité des pressions, mais non plus quant k l'homogénéité du liquide (n° 687), lorsque ses couches sont interrompues par des parois fixes.

699. Les lois de l'équilibre des fluides pesans , dans des vases communiquons, sont susceptibles d'un grand nombre d'applications dont nous nous bornerons k indiquer les plus communes.

Celle qui se présente la première, et que nous ne ferons qu'énoncer , est la théorie des nivellemens et des instrumens qu'on appelle des nsramur.

Dans le siphon, dont les deux branches s'ouvrent k leur partie supérieure , et qui contient de l'eau ou un autre liquide, l'équilibre a lieu quand les deux extrémités du fluide sont comprises dans un même plan , quelle que soit la grandeur de la pression atmosphérique en ces deux points. L'équilibre peut aussi exister dans le siphon renversé, pourvu qu'ulors la pression atmosphériqne ait une grandeur convenable.

Soient ABC (tig 127.), ce tube renversé, Bson point le plus haut, Eet F les points où le liqnide s'arrête dans ses deux branches , et qui sont situés dans un même, plan horizontal. Si l'on appelle p la densité du liquide et A lu hauteur du point B audessus de ce plan , la pression rapportée k l'unité de surfuce, exercée par le liquide en ces points E et F sera égale k pjA ; et en appelant * la pression atmosphérique qui s'exerce de bas en haut en chacun de ces points , il faudra donc qu'on ait • >p$A, ou tout au plus, «=pyA, pour que cette pression empêche le liquide de s'écouler. Dans le second cas , la pression au point B sera nulle ; dans le premier, elle sera égale k « — pjA ; et si l'on avait <a < poA , la pression au point B serait négative , le liquide se diviserait en ce point , et s'écoulerait par les deux branches du siphon. Au reste , dans le siphon renversé , l'équilibre du liquide n'est qu'instantané , et ne peut s'observer qu'k raison de l'adhérence de ses moléculea entre elles ou contre l'intérieur du tube ; dès que son extrémité F est un peu au-dessous ou au-dessus de son extrémité E, l'excès de la pression atmosphérique aur la pression du liquide , est plus grand ou plus petit au point E qu'au point F, et le liquide s'écoule par la branche BC ou par la branche BA du siphon.

HYDROSTATIQUE

Dans l'usage ordinaire do ce tube renversé, la branche le plus courte BA est plongée dans un vase H, contenant un liquide qui s'élève jusqu'au j.onit D du tube; on fait le vide , en aspirant Pair que ce tube renferme ; le liquide s'élève au-dessus de son niveau primitif , jusqu'à ce qu'il ait atteint le sommet B du tube ; il descend ensuite jusqu'au point C , puis il s'écoule par cette extrémité du tube. L'écoulement s'arrêterait, lorsque le point D, en s'abaissent dans la branche BA , se trouverait au-dessous du point C; ce qui ne peut arriver, puisqu'on suppose que AB est la plus courte des deux branches du tube.

La preisfi hydraulique , dont l'invention est attribuée k Pascal , consistées une caisse prismatique et verticale H (fig. 128), ouverte k sa partie supérieure, et remplie d'eau jusqu'en AB. Un couvercle placé sur AB , ferme exactement la caisse, et peut cependant glisser le long de ses parois. Au-dessous de AB se trouve une ouverture G , à laquelle on adapte un tube coudé CDE, dont la branche verticale DE est ouverte k sa partie supérieure E. L'eau de la caisse s'écoule par l'orifice C , et, k cause du couvercle posé sur AB, ce liquide «'élève, dans le tube DE , jusqu'au point F, situé au-dessus du prolongement de cette section horitontale AB. Cela étant , si l'on ajoute au poids du couvercle un nouveau poidsX, le liquide s'abaissera en A li' dans la caisse H , et s'élevero en F' dans le tube DE. Par cette addition de X, la pression rapportée k l'unité de surface sera plus grande en A'B'

qu'en AB, de la quantité — , en désignant par b

l'aire de U section horitontale de H ; en même temps , la pression , aussi rspportée k l'unité de surface, et due au poids de l'eau contenue dans le tube vertical DE , augmentera d'une quantité f9 s en désignant par p la densité du liquide , et par % l'élévation du point F' au-dessus du point F. Pour que l'équilibre subsiste, il faudra donc qu'on ait

I — foi#;

équation qui fera connaître le poids X d'après l'observation de m. On a soin que b soit une très grande surface , afin que des élévations peu considérables de l'eau dans le tube vertical , puissent répondre k de très grandes charges du couvercle mobile, et servir k les mesurer. La section horisontale du tube est très petite par rapport k 4, et il en résulte que les abaissemens du couvercle dans la caisse H sont très petits , par rapport aux élévations du liquide dans le tube; car si l'on appelle y la distance comprise entre AB et A'B', et o la section horisontale du tube, on aura 4 y — ex , puisque le volume total de l'eau doit être invariable. Le tube DE pourrait, au reste , n'être ni vertical, ni cylindrique; et la formule précédente donnerait toujours U valeur de X , pourvu que *

fût la distance comprise entre les deux niveaux du liquide en F et en F*.

Un baromitr» est, en général, un tube ABC (fig. 189), dont les deux branches BA etBC sont verticales, et qui est fermé k l'extrémité A de BA , et ouvert k l'extrémité C de BC. On fait exactement le vide dans ce tube , puis on y verse du mercure , qui s'élève jusqu'en D dans la branche AB,elk une moindre hauteur, jusqu'en E, dans la brandie ouverte CB. Si l'on mène par le point E un plan horitontal qui coupe en F la branche AB, le mercure situé au-dessous de ce plan sera de lui-même en équilibre ; et , pour que cet état subsiste, il faudra que les pressions rapportées k l'unité de surface, qui sont exercées en F par le mercure FD , et en F par l'atmosphère, soient égales entre elles. D'après cela, j'appelle «r la pression atmosphérique, je désigne par m la densité du mercure , et par h la hauteur verticale du point D au-dessus du point E , c'est-à-dire , la différence des niveaux D et F du fluide dans les deux branches du baromètre ; la pression du mercure au point F aura pour valeur le produit m 9 h , et l'on aura, couséquemment,

mtjh SM m.

L'équilibre du mercure ne sera pas troublé, si l'on imagine que la branche BC se prolonge verticalement jusqu'à l'extrémité do l'atmosphère ; par conséquent, la pression atmosphérique «, qui fait équilibre k celle du mercure, n'est autre chose que le poids de l'air contenu dans un cylindre vertical ayant pour base l'unité de surface , et sétendant indéfiniment dans l'atmosphère : il dépend du décroissement de (apesanteur, k mesure que l'on s'élève au-dessus de la surface de la terre, de la densité et de la température des couches d'air , et des quantités de vapeur d'eau qu'elles peuvent contenir. Ce poids pouvant varier dans un même lieu de la terre , la hauteur barométrique h varie aussi; elle change encore de grandeur , k raison des vents verticaux , qui rendent la pression atmosphérique plus grande ou plus petite qu'elle ne serait dans l'état de repos de l'air : k Paris, la valeur la plus commune de h est 0 ,n ; 76.

Si l'on remplaçait le mercure par un autre liquide dans le baromètre, la hauteur h changerait en raison inverse de la densité de ce liquide, comparée k celle du mercure, en supposant toujours qu'il y ait un vide sensiblement parfait, au-dessus du niveau D , dans la branche fermée du baromètre. Pour l'eau, cette élévation k est d'environ 10", 4; et c'est aussi la plus grande hauteur à laquelle l'eau puisse s'élever dans une pompe , audessus de son niveau extérieur. Quand il existe une couche d'air entre la surface du liquide et le piéton, cet air se dilate; il exerce sur le liquide intérieur une pression moindre que celle de l'atmosphère, mais qui diminue l'élévation de I eau, et U

réduit à une grandeur que nout déterminerons dans un autre chapitre.

000. Nous allons maintenant nous occuper du calcul des pressions ciercées par les liquides pesans sur les parois inclinées ou courbes des vases qui les contiennent , et sur les surfaces des corps solides qui y sont plongés.

La pression exercée par un liquide homogène sur uue paroi plane inclinée, est égale au poids d'un prisme de ce liquide qui aurait pour base cette paroi, et pour hauteur la distance de son centre de gravité au niveau du liquide. En effet, soient » un élément de cotte paroi, et s sa distance au niveau du liquide ; la pression sur cet élément sera pu ou ;*>, en mettant pour p sa valeur précédente (n° 606) ; et comme les pressions sur tous les élémens sont perpendiculaires à la pnroi plane, la résultante de ces forces parallèles aura pour valeur le produit de r o et de l'intégrale de ««, étendue à la paroi entière. Or, cette intégrale est égale à 6*,, en appelant 6 l'aire de la paroi , et M, la distance de sou centre de gravité au niveau du liquide ; la valeur de la pression sur le plan incliné sera donc fois,, conformément à l'énoncé du théorème.

Dans le cas de plusieurs liquides superposés dans le vase, on déterminera séparément les pressions exercées ou transmises sur la paroi inclinée, par chacun de ces liquides ; et leur somme sera la pression totale que cette surface plane aura à supporter. La pression « de l'atmosphère augmentera cette pression totale d'une quantité égale à 6«.

Tous les points de la hase horizontale du vase éprouvant des pressions égales, la résultante de ces forces parallèles passe par le centre de gravité de cette base; mais , dans le cas d'une paroi inclinée , les élémens inférieurs éprouveront des pressions plus grandes que celles des élémens supérieurs; et le point où la résultante totale vient percer la paroi, qu'on peut appeler le centre de prêteion, sera toujours plus bas que le centre de gravité de cette même surface. Quand une paroi plane, plongée dans un liquide homogène , tourne autour de son centre de gravité, la pression qu'elle éprouve ne change pas de grandeur, mais le point d'application de cette force normale et constante change de position sur cette surface.

001. Pour donner un exemple de la détermination du centre de pression , supposons que la paroi plane soit un trapèze ABCD (Cg. 130) , dont les deux bases AB et CD sont horizontales. Si nous partageons cette surface en élémens parallèles à ces bases et d'une hauteur infiniment petite, chacun de ces élémens éprouvera la même pression dans toute sa longueur, cl son centre de pression sera situé n son milieu; or, si l'on prolonge les cotés AC et BD du. trapèze, jusqu'en leur point de rencontre k. et qu'on mène la droite KM . qui va de ce point au milieu 11 de AB, cette droite passera aussi par le milieu G de CD, et par les milieux de

tous les élémens du trapèze; elle renfermera donc le centre de pression demandé ; et il ne s'agira que de déterminer la dislance de ce point à AB.

Soient s 1 cette distance , s celle d'un élément quelconque à la même base AB, st la longueur MN de cet élément , a sa distance au niveau du fluide , h la hauteur du trapèze. L'aire de cet élément et la pression qu'il éprouve seront vdx et tfsudr ; la

pression totale aura pour v a I r n r j ;sudx ; et

d'après la théorie des moment des forces parallèles, on aura

* Il r9Mud ' ~ /! *W* ui *'

Soit aussi c la distance de AB au niveau du liquide; appelons « l'angle compris entre le plan vertical, qui va de cette droite au niveau du liquide, et le prolongement du plan du trapèze; on aura

s = c + r cos »;

et si l'on substitue cette valeur de s dans l'équation précédente , et qu'on supprime le facteur jf constant et commun k set deux membres, il en résultera

*' (cj^ udx + cos « . j* xvds^

= c j* K xudx + cos « .J** s* udx.

Je désignerai par o et b les longueurs des deux bases AB et CD , et par k la perpendiculaire abaissée du point K sur CD ou b. La perpendiculaire abaissée du même point sur ABon a sera k + h, et sur 30 ou n, elle sera A -f- A — x ; et ces droites a, 6, «, étant parallèles, on aura

Je tire la valeur de k , de la seconde proportion , puis je la substitue dans la première ; ce qui donne

■ »* ah-(a-b)x h

En mettant cette valeur de m dans l'équation précédente, et effectuant les intégrations, on en déduit

f 2hc (a -f- 36) -f- A» (a -f- 36) cos «

* = 6c (a + 6) + 2h [a + 26) cos « '

Pur conséquent, si l'on mène a cette distance **, une parallèle EF à la droite AB , le point P, ou elle coupera la ligne GH, qui va du milieu de ABà celui de CD, sera le centre de pression du trapèze.

La figure 130 suppose que la base supérieure AB soit la plus grande ; si le contraire avait lieu , il est

HYDROSTATIQUE

aisé de voir qu'il suffirait <le par ton supplément , ou de cos », dans cette formule.

Dans le cas «le « = 90», la paroi

l'angle • le signe de

ce qui coïncide, effectivement, avec la distance du centre de gravité du trapèxe a sa base a.

Quel que soit l'angle «, si cette base est à fleur (T*au „ on a c = 0, et la valeur générale de ê? de-

de snrte qu'elle est , dans ce cas, indépendante de l'inclinaison de la paroi. Le trapète se changera en un parallélogramme , quand on suppose b—a; et l'on a alors

Il se change en un triangle dans les deux cas de b = 0 et a — i 1 ; pour lesquels on aura

Dans le premier cas, c'est la base du triangle qui est à fleur d'eau , et j est la distance du centre de pression k cette base ; dans le second cas , x' est la distance au sommet qui se trouve à la surface du liquide.

602. Sur une portion de surface courbe, les pression* se détermineront en décomposant d'abord la pression normale à chaque élément, en trois forces parallèles aux axes des coordonnées , et calculant ensuite par des intégrales doubles, les composantes

posau tes se réduiront au moins à deux forces, qui pourront, le plus souvent, n'être pas réductibles à une seule (n° 264). Mais quand il s'agira des pressions exercées sur la surface entière d'un corps plongé dans un fluide , la réduction à une seule force aura toujours lieu, et cette résultante unique sera verticale, ainsi qu'on va le voir.

Soit AMB (fig. 131) le corps dont il est question; désignons par x , y, s , les coordonnées rectangulaires du point quelconque M de sa surface, et prenons le niveau du fluide pour le plan des m et y, et l'axe des a vertical et dirigé dans le sens de lu pesanteur. Appelons m l'élément différentiel de la surface, et p la pression rapportée à l'unité de surface, qui répondent au point H , de sorte que pm soit la pression exercée sur cet élément, et dirigée suivant la normale intérieure MN. La valeur de p sera la même pour tons les points qui sont à la même dis* tance a du niveau du liquide, soit que ce fluide stagnant soit homogène, ou qu'il soit seulement composé de couches horixontales dont la densité no varie que d'une couche a une autre. Soient encore

•i c » le» «ngl" qne fait In normale MN avec des parallèles aux axes des x , y, « , menées par le point I dans l'intérieur du corps. Enfin, projetons u sur les trois plans des coordonnées , et désignons les projections de cet élément , par a sur le plan des y et m , par h sur celui des a et *, et par c sur celui des x et y. En observant que «, C, y , sont aussi les inclinaisons du plan tangent en H sur ces trois plans, nous aurons (n° 10)

a = «cosa, tr=cos-C, c = „cos >;

et si Ton multiplie tes équations par p, il en résultera

po = pi,cos«, pi — p« cos C , pe = p« cos y ;

ce qui montre que les produits pa, pi, p C , sont les composantes parallèles aux axes des * , y, * , de la pression normale pm ; en sorte que la composante perpendiculaire à chaque plan des coordonnées, et, généralement i un plan quelconque, se déduit de p- , en y remplaçant l'élément • par sa projection sur ce plan.

Cela posé , le corps AMB étant terminé de toutes parts, il y a, au moins, un second élément de sa surface qui a la même projection sur chaque plan donné, que l'élément Ainsi, en abaissant du point H , une perpendiculaire MP sur le plan des y et s, cette perpendiculaire, ou son prolongement, rencontrera la surface du corps en un point M' et la projection de l'élément quirépoud à ce point, sera égale à a sur ce plan , comme celle de ». Les deux élémens étant situés à la même distance du niveau du liquide, éprouveront les pressions normales pm et pm', qui seront entre elles comme lea «ires • et dont le rapport peut avoir une grandeur quelconque. Mais leurs composantes parallèles à Taxe des *, auront une valeur commune pa, et les forces pm et pm' agissant suivant les normales intérieures UN et M'K', ces composantes égales agiront évidemment en sens contraire l'une de l'autre, savoir, de M vers M' au point M , et de M' vers M au point M'. Par conséquent la composante parallèle à l'axe des * , de la pression exercée sur m, sera détruite par la composante suivant la même direction , de la pression exercée sur un autre élément On verra de même que la composante de pm, parallèle à l'axe des y, sera aussi détruite por la composante suivant cette direction, de la pression relative à un troisième élément , lequel répondra au point où la perpendiculaire abaissée du point M sur le plan des x et a, rencontrera une seconde fois la surface du corps. Or, on conclut de là que ces composantes horixontales des pressions exercées sur les élémens de la surface du corps plongé , se détruisent dans chacune des sections horixontales et inGniment minces, et, conséquem ment, sur sa surface entière. Il s'ensuit donc aussi que toutes cea pressions se réduisent à une seule force , qui est la résultante de leurs compo

MÎCAMQUE.

verticales, el qui provient de la prépondérance de valeur de p dans la partie inférieure do corpa.

Si y résultait d'une pression exercée à la surface du liquide, sa valeur serait constante dans toute l'étendue de la surface AMB; et les composantes des pressions se détruiraient deux à deux , dans le aens vertical aussi bien que suivant les directions horitontales. Quelle que soit la forme d'un corps solide ou fluide, une pression constante et normale, exercée en tous les points de sa surface , ne peut donc produire ni un mouvement de translation, ni un mouvement de rotation, comme nous l'avons dit précédemment (n° 586).

603. Pour déterminer la résultante des pressions verticales exercées sur AMB , j'abaisse du point quelconque H une perpendiculaire sur le plan horixontal des «• et y, qui rencontre eu M ( cette surface AHB. Les élémens « et «„ qui répondent aux points M et M, , auront une même projection c sur ce plan ; mais les pressions rapportées à l'unité de surface y aeront différentes ; et si ou les désigne par p et p ( , le filet du corps que terminent ces deax élémens , et dont la longueur est M!N , sera poussé verticalement de bas en haut par une force po—pc. Je suppose, pour plus de simplicité, que le liquide dans lequel le corps est plongé soit homogène; je représente par p sa densité, et par / lu lougueur de MB,, on aura p — p/=fgl, et la pression verticale iyic sera le poids du volume le du liquide, c'est-à-dire, le poids du volume du liquide dont ce filet du corps occupe la place. En décompossut le corps en fikts verticaux et infiniment minces, chacun de ces filets sera poussé de bas en haut par une semblable force; d'où l'on conclut que la résultante de toutes les pressions verticales ne différera du poids des filets fluides remplacés par ceux du corps plongé, quo par le sens de son action; en sorte qu'elle sera égale au poids total du volume dn fluide que déplace ce corps solide, et appliquée en sens contraire de la pesanteur, au centre de gravité de ce volume; lequel centre de gravité su confondra avec celui du corps même , lorsque celui-ci sera homogène.

Si le corps n'était pas entièrement plongé dans le liquide, on pourrait, dans le calcul delà pression qu'il éprouve , faire abstraction de sa partie située au-dessus du niveau du liquide ; le point M appartiendrait alors à la section du corps faite par le prolongement du plan de ce niveau ; et , en prenant p, = 0 , ce cas rentrerait dans le précédent. La résultante des pressions verticales, qui sera toujours celle de toutes les pressions, aura alors pour valeur le poids du volume du liquide déplacé par la partie plongée du corps flottant, et pour point d'application le centre, de gravité de ce même volume.

604. Ces résultats ont encore lieu, lorsque le liquide est composé de couches lioriumtaies. On y parvient aussi par une considération indirecte, qu'il est bon d'indiquer.

L'équilibre ayant lieu dans ce liquide, il ne sera pas troublé si l'on solidifie une partie quelconque du liquide, de sorte que cette partie devienne un corps plongé ou flottant. Or, pour que les pressions normales exercées sur la surface de ce corps par le liquide environnant, fassent équilibre au poids de cette partie solide, il faudra qu'elles se réduisent à une seule force égale et directement contraire à son poids. D'ailleurs, si l'on remplace la partie solidifiée du liquide par un autre corps qui ait exactement la même surface, il est évident que rien ne sera changé aux pressions du fluide environnant; par conséquent, les pressions exercées sur la surface d'un corps plongé en tout ou en partie dans un liquide stagnant, homogène ou hétérogène, se réduisent toujours à une force unique, égale au poids total des couches horixontales du liquide, dont ce corps occupe la place, et appliquée, en sens contraire de la pesanteur, ou centre de gravité de ces mêmes couches.

On conclut de là que, pour l'équilibre d'un corps entièrement plongé dans un liquide , il faut que sa densité moyenne soit égale à celle du liquide dont il occupe la place, et que son centre de gravité, et celui de cette portion de liquide , soient situés sur une même verticale. La seconde condition est tonjours remplie , quand le corps est homogène , ainsi que le liquide. Quant aux corps qui ne sont immergés qu'en partie, et qni flottent à la surface du liquide, nous examinerons les conditions de leur équilibre dans le chapitre suivant.

606. Ordinairement, on énonce le principe de l'Hydrostatique qu'on vient de démontrer, en disant qu'on corps plongé dans un liquide, y perd une partie de son poids , égale an poids du fluide qu'il déplace (n° 191).

Il en résulte que pour avoir le véritable poids d'un corps , il doit être pesé dans le vide. Deux corps pesés dsns l'air, dans l'eau , ou dans tout autre fluide , et qui se font équilibre ou moyen d'une balance exacte, ont des poids réellement diffère us, à moins que leurs volumes ne soient équivalons. Le poids le plus grand est celui du corps qui a le plus grand volume, puisque ayant éprouvé une plus grande perte dans le fluide , il y fait encore équilibre à l'autre.

Si un même corps est pesé successivement dans le vide et dans l'eau, et que P soit son poids dans le vide , et P' son poids dans l'eau , P et P — P* seront les poids absolus de ce corps et de l'eau sous un même volume ; ils sont donc entre eux comme 1rs densités de ces deux substances (u° 60). Par conséquent, si l'on prend pour unité la densité de l'eau, et qu'on appelle D celle du corps , on oura

C'est d'après cette formule qu'on détermine les densités des corps qui peuvent être pesés dans

HYDROSTATIQUE

l'on , sans t'y dissoudre, an moyen de la balance

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606. La démonstration du ij°602 s'applique également aui parois latérales d'an vase qui contient un liquide; et Ton en conclura que les composantes horisontales des pressions exercées de dedans en dehors, sur toute la surface intérieure du vase, se détruisent deux à deux ; en sorte que si le fond du vase est posé sur un plan fixe et horiiontal, l'action des fluides qu'il contient ne pourra pas le mettre en mouvement; ce qui résulte aussi du principe de la conservation du mouvement du centre de gravité (n° 664). Hais si l'on fait une ouverture à l'uno des parois latérales, au-dessous du niveau du liquide, celui-ci s'écoulera par cet orifice; et la pression n'ayant plus lieu sur la partie de la paroi qu'on • enlevée, celle qui est exercée à la partie opposée du vase ne sera plus détruite; par conséquent, ce vase sera mis en mouvement en sens contraire de l'écoulement du fluide. Ce principe est celui des différentes sortes de machines & réaction , et sur lequel est fondé le moyen proposé par D. Bernouilli, pour mouvoir les bateaux sans le secours des rames et du vent.

On verra aussi, par le même raisonnement que dans le n» 603, que la pression totale exercée sur le fond du vase et sur ses parois latérales , est toujours égale au poids du fluide qu'il contient , et appliquée , dans le sens de la pesaateur, au centre de gravité de ce fluide. Chaque filet vertical du fluide, qui va, sans interruption , de son niveau à

un point quelconque du vase, exerce sur ce point une pression normale, dont la composante est égale au poids de ce même filet. Celui qui rencontre en deux points la surface intérieure du vase , comprenant le fond et les parois latérales , exerce en ces deux points des pressions dont les composantes verticales sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre. La composante qui répond au point inférieur, est dirigée dans le sens de la pesanteur, et l'emporte sur l'autre d'une quantité égale au poids de ce filet; et, de cette manière, la résultante des pressions verticalesde tous ces filets fluides, n'est autre chose que le poids même du fluide en question.

Il faut distinguer cette pression do celle qui ■ lieu seulement sur le fond du vase (n» 606), et qui n'est égale au poids du fluide que quand le vase est on cylindre ou un prisme droit. Elle est moindre que ce poids, lorsque le vase s'élargit en ollant ilu fond à sa partie supérieure, parce que les filet» verticaux du fluide , qui partent de son niveau, et sont inlerceptëspar les parois latérales, ne pressent pas sur le fond du vase ; elle est , au contraire, plus grande que le poids du liquide, quand le vase va en se rétrécissant , parce que les filets verticaux qui partent du fond du vase, et sont interceptes par les parois latérales, exercent néamnoins la même pression verticale sur le fond du vase, que s'ils s'étendaient jusqu'au niveau du liquide; ce' qui manque au poids de chacun de ces filets incomplets, étant remplacé par la résistance de la paroi à laquelle ils viennent aboutir.