DB I„ ÉQUILIBRE BT~DU MOUVEMENT DES CORPS ELOTTAHS

607. Pour qu'un corps pesant puisse se tenir en équilibre à la surface d'un liquide stagnant, il est nécessaire que son poids soit moindre que celui d'un volume de ce fluide égal au sien; toutefois, il y » des cas où il se forme autour d'un corps flottant un espace vide de peu d'étendue, qui doit être ajouté* son volume, et qui diminue, conséquemment, sa densité moyenne; de sorte que des corps d'un petit volume peuvent surnager , quoi-

que leur densité propre surpasse celle du liquide. Nous ferons abstraction de cette circonstance, qui se rapporte à la théorie des phénomènes capillaires, dont il ne sera pas question dam ce Traité (n« 689).

La densité du corps solide, s'il est homogène, ou sa densité moyenne, s'il ne l'est pas, étant moindre qne celle du liquide , le corps s'enfonce dans le fluide, jusqu'à ce qne le poids du liquide

qu'il déplace soit devena égal à ton poids entier; et quand cette égalité a lieu, le corps reste en équilibre, si son centre de gravité et celui du fluide déplacé sont situés sur une même verticale ; car la pression du liquide qui doit faire équilibre au poids du corps, est égale au poids du liquide déplacé, et appliquée à son centre de gravité, en sens contraire de la pesanteur ( n° 603 ).

Si le corps flottant est homogène , aussi bien que le liquide, le centre de gravité du liquide déplacé coïncide avec celui de la portion immergée du corps. Dans l'état d'équilibre, le volume de cette partie du corps est à celui du corps entier , comme la densité du corps est à celle du liquide; et la détermination des positions d'équilibre d'un corps flottant se réduit h un problème de géométrie, dont voici l'énoncé. Couper un corps par un plan , de manière que le volume d'un segment soit à celui du corps , dans un rapport donné , et que les centres de gravité du segment et rlu corps se trouvent sur une même perpendiculaire au plan coupant. Quand on a déterminé une section du corps qui satisfait à oes deux conditions , on la place au niveau du liquide , de mauièro que le segment dont on a considéré le volume , soit situé au-dessous , et Ton a une des positions d'équilibre du corps flottant.

Dans chaque cas particulier , on exprimera ces deux conditions par des équations , dont la solution complète fera connaître toutes les positions d'équilibre de ce corps. Quelquefois leur nombre sera infini , comme dans le cas des solides de révolution dont l'axe est borixontal ; d'autres fois , ce nombre sera fini et déterminé) mai» il serait difficile de démontrer , d pritri, qu'il y a toujours une position d'équilibre , quelle que soit la forme du corps.

608. Je choisirai, pour exemple du problème qu'on vient d'énoncer, le cas d'un prisme droit et triangulaire, dont les arêtes sont horisontales. Le plan coupant leur sera évidemment parallèle ; de pins , sa direction sera indépendante de la distance comprise entre les deux bases. On pourra donc faire abstraction de la longueur du prisme, et déterminer seulement l'intersection du plan coupant et de l'une des deux bases ; de sorte que le problème se rapportera à la géométrie plane ; ce qui aurait lieu également dans le cas d'uu prisme ou d'un cylindre horizontal à base quelconque.

Soit ABC ( Kg. 132) l'une des bases du prisme donné. Il peut arriver que deux sommets du ce triangle soient plongés dans le liquide , ou qu'il n'y en ait qu'un seul au-dessus du niveau. J'examinerai d'abord le cas d'un seul sommet immergé; •n verra ensuite comment l'autre cas se ramène à celui-là. Soient donc C ce sommet immergé , et MN l'intersection du plan coupant et de la base ABC , qu'il s'agit de déterminer , et qui représentera le niveau du liquide. J'uppcllcrai a , 4, c, les cotés donnés de ce triangle ABC , qui sont res-

it opposés aux angles A , B, C ; et je désignerai par x et y les côtés inconnus Cl et CB du triangle MNC ; de sorte qu'on ait

BC =o, AC = », AB sa <?, CH = s, CN = y.

L'aire d'un triangle quelconque est égale au produit de deux de ses côtés et du sinus de l'angle compris; on aurai

ABC = ~ ab sin C , MKC = l xy sin C

Le prisme entier et le prisme plongé dans le liquide sont entre eux comme leurs boscs ABC et MNC ;on doit donc avoir

ABC : : r

r étant une quantité plus petite que l'unité, qui représente le rapport de la densité du corps flottant à celle du liquide. En mettant pour ABC et MNC

my = roi. (I)

Maintenant, soit D le milieu de la menons la droite CD , et prenons sur cette ligne DG = - DC ; le point G sera le centre de gravité du triangle ABC. De mème,E étant le milieu de MN , si l'on prend sur CE une partie EF = j CE ,

le point F sera le centre de gravité de MNC. La droite GF devra donc être perpendiculaire à MN ; mais, à cause que les lignes CD et CE sont coupées en parties proportionnelles aux points G et F , les droites DE et GF sont parallèles ; par conséquent , la droite DE, qui joint les milieux des deux bases AB et MU , est aussi perpendiculaire à MN ; et il en résulte que les deux obliques DM et DN sont égales.

Réciproquement si l'on a DM = DU , la droite DE sera perpendiculaire à MN , ainsi que sa parallèle GF; donc, pour que la droite qui joint les deux centres de gravité G et F soit perpendiculaire à l'intersection M.N , il est nécessaire et il anflit que

Cela étant , faisons CD = h , et désignons par • et C les deux parties DCA et DCB de l'angle ACB. En considérant les deux triangles DCM et DCJI,

DM = »• + — 2ks cos * , DN «as ft« + a* — 2hy cos C ; et en égalant ces deux valeurs , il en résultera x» — 2hx cos • = y» — 2ky cos C. (2)

Les équations (1) et (2) sont celles qui devront servir à déterminer * et y. Par l'élimination de y , on en déduit

** — 2kx* cos « 2 hrabx cos C— r» a» ô' =0(3} On tirera donc la valeur de x de cette équatiuu du

HYDROSTATIQUE

quatrième degré; et l'on aura y =— poux U vais

leur correspondante de y.

L'équation (3) étant d'un degré pair, et ayant son dernier terme négatif, il s'ensuit qu'elle a une racine positive et une négative. Les denx autres racines peuvent être réelles ou imaginaires. Si elles sont réelles , la règle de DtxcarUt fait voir que l'équation (3) aura trois racines positives, et une racine négative ; car en considérant les signes de ses termes , et soit qu'on donne le signe -f- ou le signe — au troisième terme , qu'on 7 peut comprendre avec un coefficient nu I , on trouve toujours trois variations et une permantnee. Les inconnues «et y, qui sont les côtés du triangle MHC, ne pouvant être que des quantités positives, respectivement moindres que les côtés CA et CB du triangle ABC, on rejettera donc, comme étrangères à la question , la racine négative de l'équation (3), les valeurs de x plus grandes que a, et celles qui donneraient une valeur de y plus grande qne 6. Ainsi , il y aura , au plus , trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet C est seul plongé dans le liquide.

609. Si l'on suppose ce sommet hors du fluide , et les deux points A et B au-dessous du niveau Kl,

** — 2hx s eos a. -f- 2k (l — r) al

En raisonnant comme précédemment , on conclura de cette équation , qu'il y a au plus trois positions d'équilibre , pour lesquelles les deux sommets A et B du solide sont plongés dans le fluide.

Si l'on considère successivement les trois sommets A, B, C, et si l'on examine , pour chaque sommet, les cas où il est seul plongé dans le fluide et seul hors du fluide, on déterminera toutes les positions horixontales d'équilibre du prisme donné; et il résulte de ce qui précède , que ce nombre ne pourra jamais être plus grand que dix-huit.

610. Lorsque le triangle ABC est isoscèle, 00 peut se passer de l'équation (3) ou (4) , et résoudre directement les équations en m et y. Je suppose qu'on ait b = a , les triangles CAD et CBD seront rectangles et égaux ; on aura

C = • , A» = a» — 7 e *» a ces • = A ;

et les équations (I) et (2) deviendront

xy = ro. , y» - *» - g (y-*) = «>• (*)

On y satisfait d'ohord , en prenant x = y = a V7,

valeurs qui sont admissibles , à cause de r < 1 et a. Il en résulte une première position d'équilibre, dans laquelle le triangle MNC est isoscèle , et où la hase AB du triangle ABC sera paral-

le problème sera le même que dans le cas précédent , avec cette seule différence que la quantité r devra être remplacée par 1 — rdans les équations (1) et (3). En effet, le triangle ABC, et ses deux parties MNC et MNBA , ayant leurs centres de gravité sur une même droite, et ceux de ABC et de la seconde partie devant être situés sur une perpendiculaire à MX, il faudra toujours que les triangles ABC et MÎSC aient aussi leurs centres de gravité sur cette perpendiculaire; en sorte que l'on aura d'abord, sans aucun changement, l'équation^), qui exprime cette condition. D'ailleurs , la proportion

M Ml A : ABC II r i 1 ,

qui doit avoir lieu maintenant , peut être changée en celle-ci :

mnc : abc :: 1 — r : 1;

ce qui change aussi l'équation (1) en cette autre :

En s'en servent pour éliminer y de l'équation (2), on retrouvera l'équation (3) , dans laquelle le rapport r sera remplacé par 1 — r, c'est-à-dire, que

ces C — (1 — r)» a* b* = 0. (4)

lèle à MN ou horizontale. En changeant r en 1 — r, on aura une seconde position , où le point C sera situé hors du liquide , et la base AB toujours horizontale. Mais il peut aussi exister d'autres positions d'équilibre , pour lesquelles cette base sera inclinée.

En effet, si l'on supprime le facteur y — s de la seconde équation (6), il vient

Celle-ci et U première équation (5) donnant la somme et le produit de deux inconnues * et y , il s'ensuit que ces quantités seront les deux racines d'une même équation du second degré , lesquelles racines auront pour expression

c' ± |/(4a> — c»)» — lflraij.

On prendra successivement chacune d'elles pour * et l'autre pour y; et quand elles seront toutes deux réelles et moindres que a, il en résultera deux nouvelles positions d'équilibre , dans lesquelles la base AB sera située hors du liquide. En mettant I — r au lieu de r , et supposant toujours les racines réelles plus petites que a , on aura deux autres positions où cette base sera immergée.

Lorsque les deux racines qu'on vient d'écrire sont égales, la base AB est horixontale, et ces nouvelles positions d'équilibre doivent rentrer daus les

TRAITÉ DE BÉCAHIQUE.

précédentes; et, effectivement , on a alors 4<p —

c« = 4a* |/rj"ce qui doune y = * as a |/r\

611. Dans le cas du triangle équilatéral, on fera c = a, dans les formules précédentes. Les valeurs égales de x et y ne seront pas changées ; leurs valeurs inégales deviendront

- (3 ± t/9-lOrj,

le cas d'un seul sommet hors du liquide. Il s'agira donc de savoir quelle doit être la fraction r, pour que ces valeurs soient réelles et moindres que a.

Or, si l'on u r < 2; et > -1 , la première formule

sera réelle, et ses deux valeurs seront moindres que o; hors de ces limites, cette formule sera imaginaire, ou Lien une de ses valeurs surpassera a ; et de même, pour que les valeurs de la seconde formule soient réelles et plus petites que a, il est né-

cessuire et il suffit que l'on ait r <-| et > 1. On

voit donc que depuis r = ^jusqu'à r = i-, la première formule scru seule admissible ; que ce sera, au contraire, la seconde qui sera seule admissible

depuis r ^jusqu'à r=r^; et que pour r > L

ou r < i-, les deux formules devront être rejetées.

Comme tout est sembluble par rapport aux trois sommets du triangle équilatéral, le nombre des positions d'équilibre sera toujours un multiple de trois, et ce nombre total pourra être six ou dix-huit, suivant la valeur de r.

618. Outre leurs positions horiiontales d'équilibre, les prismes et les cylindres homogènes ont aussi des positions d'équilibre, dans lesquelles leurs arêtes sont verticales, et leurs bases, parallèles au niveau du liquide, et qui sont doubles pour chaque corps , parce que l'une ou l'autre des deux bases peut être plongée dans le fluide. Un prisme vertical et sa partie immergée ont leurs centres de gravité sur une même perpendiculaire au niveau; le rapport de leurs volumes est le même que celui de leurs hauteurs; et, par conséquent, la hauteur du prisme immergée est à celle du prisme entier, comme la densité du corps est à celle du liquide, ce qui suffit pour déterminer l'enfoncement du corps dans son état d'équilibre.

Les solides de révolution, et généralement tous les corps symétriques autour d'un axe, ont de même deux positions d'équilibre dans lesquels cette droite est verticale, et qu'on déterminera sans difficulté.

Supposons qu'il s'agisse, par cxemplo, d'un ellipsoïde homogène, dont les trois demi-axes soient a,

o, c ; plaçons l'axe 2c verticalement , et soit u la distance du plan des deux autres axes à la section à fleur d'eau ; u étant une inconnue positive ou négative, selon que cette section se trouvera au-dessous ou au-dessus du centre de l'ellipsoïde. Soit aussi Z l'aire de la section horizontale de ce corps, faite à une distance quelconque s de son centre ; le vo-

lutne du demi-ellipsoïde étant — a&c, on aura celui

plongé, en

de -aie, l'in-

tégrale^* Zo*a, qui exprime la valeur de la tranche

comprise entre la section à fleur d'eau et la section boriiontale faite par le centre du corps, et qui aura le même signe que si. Dans le cas d'équilibre , on aura donc

— abc — I Ub = — aber ;

r étant toujours le rapport de la densité du corps flottant à celle du liquide. Ce corps étant un ellipsoïde, on aura (n° 86)

et l'équation d'équilibre deviendra

Elle aura toujours une seule racineréelle, comprise entre i c, qui sera positive ou négative, selon que

l'on aura r >-i ou r < — . Dans les cas extrêmes

de r = 0 et r = 1 , cette racine sera u — c et « = — c.

Un corps symétrique autour d'un axe vertical , étant plongé successivement et par la même partie, dans différons liquides , s'y enfoncera de quantités dont les volumes seront en raison inverse des densités de ces fluides. C'est sur ce principe qu'est fondé l'usage du pèeê-Kqutmr ou ariomitr» , pour comparer entre elle* le» densités de divers fluides.

613. Parmi les différentes positions d'équilibre d'un même corps solide flottant à la surface d'un liquide, il y en a qui sont stables, et d'autres qui ne le sont pas; et d'après ce qu'on a vu dans le n 571, si l'on fait tourner ce corps autour d'un axa horixontal, pour fixer les idées, ses positions successives d'équilibre seront alternativement stables et instantanées. Il importe de distinguer avec soin les premières des dernières, qui ne subsistent assex de temps pour être observées, qu'a raison d'une petite adhérence du corps flottant, au liquide avec lequel

Supposons d'abord que le corps flottant soit parfaitement symétrique, pour la forme et pour la den-

HYDROSTATIQUE

site de ses parties, de part et d'autre d'une section verticale ABCU (fig. 133). Soit G son centre de gravité, qui appartiendra à cette section. Dans son état d'équilibre, soit aussi AC la droite où cette section est coupée par le niveau du liquide, prolongé dans l'intérieur du corps, et H le centre de gravité du volume du fluide déplacé par le corps; ce point appartiendra aussi à la section ABCD, et se trouvera sur la perpendiculaire BGK, abaissée du point G sur la droite AC. Quand le corps sera bomogéne, H sera au-dessous de G, comme lu figure le suppose; mais quand on aura Usti le corps flottant, c'est-à-dire, quand on aura augmenté la densité de sa partie inférieure , le point G pourra tomber au-dessous du point H.

Cela étant, concevons que Ton écarte un peu le corps flottant de sa position d'équilibre, en le faisant tourner autour d'un aie perpendiculaire à ABCD , et l'abandonnant ensuite « lui-même sans vitesse initiale. Quel que aoit le mouvement que le corps prendra, la section ABCD demeurera toujours verticale, et comprendra constamment le centre de gravité G. Dans cette nouvelle position , soit A'C (fig. 134), la droite qui représente le niveau du liquide, et qui coupe AC au point E, de manière que 4e segment du corps qui répond à AEA', soit entré dans le liquide, et que celui qui répond à CEC, eu aoit sorti. Je supposerai égaui les vulumes de ces deux segmens; il en résulte que le volume du liquide déplacé par le corps n'aura pas changé ; le poids de ce volume de fluide sera donc encore égal à celui du corps, comme dans l'état d'équilibre; et, le centre de gravité G du corps flottant doit se mou* voir comme si la masse de ce corps y était réunie, et que le poids de ce corps et la pression du fluide y fussent appliquées (n<> 438) ; et ces deux forces verticales agissant en sens contraire l'une de l'antre, et étant égales daus notre hypothèse, on n'aura point à considérer le mouvement du point G.

Soient 11' le centre de gravité du volume du liquide déplacé, après que le corps a été écarté de sa position d'équilibre. Ce point appartiendra, comme le centre de gravité G, à la section ABCD ; mais ils ne seront plus situés, en général, sur la même verticale; la pression du fluide fera donc tourner le corps autour d'une droite passant par le point G, et perpendiculaire à la section ABCD ; et il s'agira de savoir si ce mouvement tendra à ramener le corps à sa position d'équilibre , ou à l'en écarter davantage, et à le faire ekarirtr.

Or, si l'on mène par le point H' la verticale H'M, qui rencontre la droite BGK perpcndieiiluirc à AC, au poiut M, il est évident que la pression du fluide qui s'exerce de bas en haut suivant la direction H'M, tendra à ramener la droite BGK à su position verticale, correspondante k l'équilibre, ou à l'eu écarter davantage, selon que le point M sera situé au-dessus ou au-dessous du point G. Dans le premier cas, l'équilibre sera stable, et dans le second, il ne le sera pas. Quand le point H et le point G coïncideront, le

corps restera encore en équilibre, dans la position voisine de la première, où on l'aura placé.

Si le centre de gravité G tombe au-dessous de celai dn volume da liquide déplacé, qui était H, dans l'état d'équilibre, c'est-à-dire, si ce point G se trouve entre les points B et H, sur la ligne BK, le point H se troovera au-dessus de G, et l'équilibre sera nécessairement stable. Si, au contraire, le point G est au-dessus de H, nomme dans le cas d'un corps homogène, le point H pourra se trouver audessus ou au-dessous de G, et l'équilibre pourra être stable ou non stable. Le point X, dont la considération sert à distinguer l'un de l'autre, les deux états d'équilibre d'un corps flottant, symétrique par rapport à une section verticale, est ce qu'on appelle le mèiacentrc. Mais nous allons donner une autre régie, déduite du principe des forces vives pour s'assurer , dans tous les cas , de la stabilité de cet équilibre.

614. Pour cela, considérons un corps d'une forme quelconque , homogène ou hétérogène , en équilibre à la surface de l'eau. Soient ABCD (fig. 136), la section de ce corps par le niveau de l'eau prolongé dans son intérieur, G le centre de gravité du mobile, H celui du volume d'eau déplacé par la partie immergée de ce corps, V le volume de cette partir, et H la masse du corps entier; puisqu'on le suppose en équilibre, la droite GH est perpendiculaire au plan ABCD, et la masse d'eau déplacée est égale à celle du corps, de sorte qu'eu appelant f la densité de l'eau , on a

Supposons qu'on élève la section ABCD au-dessus du niveau de l'eau (fig. 136], ou qu'on l'abaisse au-dessous, d'une quantité très petite; qu'en même temps, on incline un tant soit peu le plan de cette section ; et, pour plus de généralité, qu'on imprime aussi de petites vitesses aux points du mobile. L'équilibre sera troublé ; et la question de la stabilité consistera à examiner si, par suite du mouvement que le corps prendra, la section ABCD, fixe dans l'intérieur du mobile, s'écartera de plus en plus du niveau de l'eau , ou si elle tendra à y revenir, en oscillant de part et d'autre de ce niveau. Pendant le mouvement qui aura lieu, le niveau naturel de l'eau coupe le corps flottant suivant une section variable dans son intérieur, qu'on appelle le plan de flottaison. A un instant quelconque , soient A'B'C'D cette section; AB"CD" une autre section variable de ce corps, faite p.ir un plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la section ABCD; AC l'intersection de ABCD et AB"CD", variable sur ABCD ; • l'inclinaison mutuelle de ces deux sections; ( I* distance de AB' CD" au plan de flottaison, laquelle distance sera regardée commo positive ou comme négative, suivant que celte section se trouvera au-dessous ou au-dessus du niveau de l'eau. Les quantités variables 4 et ; sont supposées très petites à l'origine du mouvement ;

il s'agira de «avoir si ellei resteront trè» petites petidant toute aa durée.

616. En appelant « la vitesse variable d'un élément quelconque dm de U masse du mobile, la somme des forces vives de tous ses poinU sera donnée par l'intégrale Ju*dm étendue à la masse entière, et l'équation qui résulte du principe général des forces vives, sera de la forme (n° 666)

*« = c + 2vi («)

c étant une constante arbitraire, et • une fonction dépendante des forces qui sont appliquées aux points du mobile.

Ces forces sont la gTavité, qui agit sur tous ses points, et les pressions verticales que le fluide exerce sur la partie immergée de la surface du corps ; or , on peut substituer à ces pressions des forces motrices agissant sur tous les élémens dm de sa masse , qui sont situés an-dessous du niveau de l'eau, en prenant pour chaque élément une force dirigée en sens contraire de la pesanteur, et égale au poids du volume d'ean qu'il remplace ; car la résultante de ces forces, motrices aura la même grandeur , la même direction et le même point d'application, que celle des pressions verticales (n° 603). De cette manière, en désignant par g la gravité et par dv l'élément du volume du mobile qui correspond à l'élément dm de sa masse, la force motrice de dm sera gdm — gfdv, si ce point matériel se trouve ou-dessous du niveau de l'eau, et gdm s'il se trouve au-dessus. Soit de plus s la distance variable dm au plan de flottaison, positive ou négative, suivant que dm sera au-dessous ou au-dessus de ce plan ; il résulte de la valeur générale de la fonction », donnée dans len°666, que dans U question qui nous occupe , on devra avoir

la première de ces deux intégrales s'étendant à la masse entière du corps flottant, et U seconde, seulement à la partie immergée de son volume.

En abaissant du centre de gravité G de la masse H, une perpendiculaire GE sur le plan A'B'C'D*, et faisant GE=s,, on aura d'abord

fzgdm =

pour la valeur de la première intégrale. Je partage la seconde en deux parties , l'une relative au volume V situé au-dessous de ABCD, dans l'éUt d'équilibre, l'autre relative au volume comprise entre les sections ABCD et A'B'C'D'. J'ai alors oVpa' pour la valeur de la première partie ; s' étant la distance variable du centre de gravité H du volume V au plan de flottaison, c'est-à-dire, la longueur de la perpendiculaire HF abaissée du point H sur le plan A'B'C'D'. En représentant donc pour un moment par k la valeur de l'intégrale J zdt>, étendue à tous les élémens dv du volume contenu entre ABCD et A'B'C'D', gfk sera la seconde partie de la

seconde intégrale comprise dans l'expression de t, et nous aurons

■ z= gMz, — opVx' — gfk,

pour la valeur complète de cette quantité. Hais la droite GII étant perpendiculaire au plan ABCD, l'angle qu'elle fait avec la verticale GE est l'inclinaison t du plan ABCD sur un plan horizontal ; si I donc on appelle a la longueur constante de GH , •n aura

>, = «' ± a coi lj

le signe supérieur ayant lieu quand le point G est au-dessous du point H , et le signe inférieur dans le cas contraire. En substituant cette valeur de s' dans celle de f, et observant que M = V f , il vient

• = ± 9to V cos I - g f k ;

et il ne restra plus qu'à déterminer la valeur de l'intégrale représentée par k.

618. Pour l'obtenir, je décompose l'aire de la section ABCD en élémens infiniment petits; je les projette tous sur le plan de flottaison A'B'C'D' ; ce qui divise le volume compris entre ces deux sections du corps , en une infinité de cylindres verticaux qui ont pour bases les projections horizontales des élémens de ABCD. Je coupe ensuite un cylindre quelconque par une infinité de plans horizontaux, et je prenda pour l'élément dt> du volume que je considère, la partie de ce cylindre comprise entre deux plans consécutifs , dont les distaaces «u plan de flottaison sont s et s -f dz, de sorte que cet élément soit égal à la base du cylindre, multipliée par ds. Or dx étant l'élément différentiel de la section ABCD , la projection horizontale, ou la base du cylindre correspondant, sera dk cos I, puisque I est l'inclinaison du plan de dk sur le plan de projection ; on aura donc

dv = dzdk. cos I;

par conséquent, l'intégrale/sde, relative à l'un des cylindres verticaux, sera le produit de dx. cos I ,

et de fid* , ou égole à — y cos I. dk , en appelant

y la hauteur de ce cylindre , ou la perpendiculaire abaissée de dk sur le plan de flottaison. La quantité qu'on a représentée par k sera donc

I = i cos %ff* dk ;

l'intégrale s'étendant à l'oire entière de ABCD.

La perpendiculaire y se compose de deux partics : l'une comprise entre les deux pions parallèles A'B'C'D' et AB"CD", qu'on a représentée par { , l'autre comprise entre dk et le second plan , qui sera égale à / sin I , en désignant par / la distance de cet élément à l'intersection AC des deux plans ABCD et AB"CD"; on aura donc

9 « t + • il" »,

HYDROSTATIQUE

où Ton regardera l comme une quantité positive ou négative, selon que dx se trouvera au-dessous

;n substituant cette

valeur dans l'équation précédente, et observant que ? et » sont constantes dans l'intégration indiquée, il vient

I = 1 {* cos Ifdx + sin • cos « fldx + 1 lin- • cos ifl* dx.

J'appelle & Taire de la section ABCD , où la valeur de jd> , In droite AC renfermant, par hypothèse, le centre de gravité de celte section, l'intégrale fldx est nulle ; et si l'on fait

fl* d\ — hy' ,

de sorte que y soit nne ligne dépendante de la figure et de l'étendue de ABCD, on aura finalement

* = 1 J cos • (f « + y* sin* I).

Cette formule n'est pas rigoureusement la valeur de A; pour qu'elle le fût, il faudrait que le volume compris entre les sections A BC D' et ABCD fût un cylindre vertical , tronqué par le plan de la section ABCD ; mats quelle que soit sa forme , on conçoit que la valeur exacte de k doit différer très peu de la précédente, tant que les variables f et I sont très petites ; et il est facile de s'assurer que la différence de ces valeurs est une quantité du troisième ordre à l'égard de ( et I. En substituant la valeur opprochée de k dons l'expression de #, faisant aussi

,==, - 8 T3 + elc

1=1 [-etc.

et négligeant tous les termes du troisième ordre par rapport à ces variables • et f, nous aurons donc

• = ± st v « =f 7 w Vo4 ' "tw* c + y ••)•

ce qui change l'équation (a) en celle-ci :

/«. dm + c r [*.+(ô > .± Va) ..]=., (i) en comprenant le terme ± 2o r Va dans la con-

stante arbitraire c.

017. La valeur de cette constante se déterminera d'après les valeurs de si, f , I, à l'origine do mouvement , qui sont supposées très petites ; c est donc aussi une quantité très petite j et , de plus , l'équation (i) montre que sa valeur est positive, si le coefficient by* 4; Va est positif, quand le mouvement commence. Si ce coefficient reste positif pendant toute la durée du mouvement , on peut i de cette même équation, par le raisonneit déjà employé dans le n» 671 , que les varia-

très petites ;

'on aura à un instant quelconque ,

9t IV ± V °) *

ce qui fait voir que la stabilité de l'équilibre du corps flottant tientaasignede la quantité by* ±\ a , et que cet équilibre

cette quantité sera positive à l'origine et pendant toute ln durée du mouvement.

L'intégrale ffi dx , qui est représentée par by* , ne peut être qu'une quantité positive , puisque tous ses élémens sont positifs. Le terme ± Va doit être pris avec le signe +, quand le point G est plus bas que le point H; donc, dans ce cas , le coefficient by* ± Va est positif, et l'équilibre est stable. Lors donc que le centre de gravité de la masse entière d'un corps flottant est plus bas que celui du volume d'eau qu'il déplace dans sa position d'équilibre , on peut être certain de la stabilité de cet équilibre par rapport à tous les petits mouvemens qu'il est possible d'imprimer à ce corps.

Si, au contraire,le point H est plus bas que le point G , le terme "fc Va doit être pris avec le signe — ; il faut alors qu'on ait by* > Vn , pour que le coefficient by* ± \ a soit positif, et qu'on puisse assurer la stabilité de l'équilibre. Or , la grandeur de la ligne y varie avec la position de la droite AC , qui passe toujours parle centre de gravité de la section ABCD, et peut tourner autour de ce point pendant la durée du mouvement j mais rn faisant faire à ta droite AC une révolution entière, il est évident qu'il y aura une position dans laquelle la ligne y sera plus petite que dans toute autre position ; si donc on calcule cette plus petite valeur de y t et qu'on trouve by* > Va, il sera certain que le coefficient by* ± Va ne peut devenir négatif, et, par conséquent, que l'équilibre est stable.

Dans un vaisseau , par exemple, il est aisé de voir que la droite AC, a laquelle répond \r minimum de l'intégrale jh dx , est la ligne qui va de la proue à la povp*. On partagera donc l'air* de la section è fleur d'eau en élémens infiniment petits ; puis on déterminera par le calcul intégral la somme de tous ces élémens, multipliés respectivement par le carré de leurs distances à cette ligne; et pourvu que cette intégrale surpasse le produit du volume d'eau déplacé par le vaisseau, et de la distance du centre de gravité de ce volume à celui du vaisseau , on pourra assurer que l'équilibre est stable, par rapport à tous les petits mouvemens du vaisseau , lors même que le second centre de gravité sera plus élevé que le premier.

618. Après nous être occupé de l'équilibre et de la stabilité des corps flottans, nous allons actuellement déterminer leur mouvement, lorsqu'on les a un peu écartés d'une position d'équilibre stable. Pour résoudre la question d'une manière complète, il faudrait avoir égard à la fois à ce mouvement et à celui du liquide } c'est ce que je tâcherai de dans un autre ouvrage. Maintenaut, je ne

TRAITE DE BECAilIQl'E.

tiendrai pas compte du mouvement du (laide ; et j pour simplifier le problème , relativement au j eorps solide , jo supposerai qu'il soit symétrique du part et d'autre d'un plan qui restera vertical pendant tout le mouvement.

Ce plan renferme les centres de gravité G et II du mobile et du volume de fluide qu'il déplace dans son état d'équilibre. Dans cet état, la droite GH est verticale; on l'incline en la faisant tourner dans ce plan autour du point G; puis on abaisse ou on élève, parallèlement à elle-même, celte droite dans ce même plan; on abandonne ensuite le mobile à l'action de la pesanteur et du fluide environnant, sans lui imprimer aucune vitesse initiale; et il est évident que la section du mobile faite par le plan dont il s'agit , et qui le coupe en deux parties symétriques, demeureru constamment verticale. L'intersection AC des sections ABCD et AB'CD ', restera toujours perpendiculaire à ce plan vertical; et comme la droite AC renferme, par hypothèse, le centre de gravité de ABCD, il s'ensuit que ce centro sera le point K où elle coupe ce même plan , et que la droite AC rencontrera toujours le contour de ABCD dans les mêmes poinU ActC. Indépendamment de la symétrie du corps par rapport ou plan perpendiculaire à AC, je supposerai, en outre, pour simplifier encore plus la question, que. la droite GK soit perpendiculaire au plan de la section ABCD; ce qui aura lieu , par exemple, lorsque le plan des deux droites GK et AC coupera aussi le mobile en deux parties symétriques.

Au bout du temps quelconque r, compté dr l'origine du mouvement , je représenterai par s, la distance GE du point G au plan fixe A'B'CD', par ; la distance mutuelle des deux plans horizontaux AB"CD" et A'B'CD', par • l'angle KGE compris entre la drbitc GK et la verticale GE , par y la distance de l'élément quelconque d>. de la section ABCD au plan A'B'CD', et par s sa distance au plan vertical mené par le point G et parallèle a la droite AKC. Je désignerai aussi par / la distance constante de cet élément à cette droite, et par h la longueur donnée de GK. Il est aisé de voir qu'on aura

* ( =f + »cos»,y={ + /sinï,*=/cos« + AsinS,

Jera /, A, f , comme des quantités positives ou négatives, selon que l'élément <1> est a droite ou à gauche de la droite AKC , que la droite GK se trouve à droite ou à gauche de la verticale GE, et que le plau AB"CD'' est au-dessous ou audessus de A'B'CD'. Enfin , b étant Taire de la section ABCD, et y la même ligne que précédemment,

les intégrales l'étendant à tous les élémensde b. Les variables f et « feront connaître la position

du mobile à chaque instant. Pour r = 0, on aura dt é(

e=., { = c, = o, - = o, dt dt

parce qu'on suppose nulles les vitesses initiales de tous les points du corps , et en désignant par « cl C des quantités très petites et données. Le problème consistera à déterminer les valeurs de ict{ en fonctions de », en supposant que ces variables demeurent très petites pendant toute la durée du mouvement ; supposition qui permet de négliger lecarré de * et le produit de » et {, i un cylindre tronqué, le voluc ABCD et A'B'CD'.

619. Le centre de gravité G se mouvra comme si la musse M du mobile y était réunie , et que le poids M 7 du corps et la résultante des pressions du fluide y fussent appliqués. Cette résultante est dirigée en «cru contraire de Bo ; elle est égale à (V 4*V)|y, en désignant par V le volume d'eau déplacé par le mobile dans son état d'équilibre , et par V + U ce volume au bout du temps 1. La force motrice du point G, dirigée dans le sens de la pesanteur, sera donc By — (V ^ U) pj, ou simplement — Upy, à cause de M = V»; sa vitesse initiale étant nulle, il ne sortira pas de la verticale où il se trouve à l'origine du mouvement, et l'équation de son mouvement sur celte droite sera

J> », M — -!• = dt*

Abstraction faite du signe, U est le volume compris entre les deux sections ABCD et A'B'CD'; de sorte qu'en décomposant ce volume en prismes verticaux, comme précédemment, on aura

L" = /y cos ttix;

l'intégrale s'étendaut à tous les élémens de b. En mettaut pour y sa voleur précédente, on en conclut

U = b{ cos J.

Si donc on prend l'unité pour cos • dans cette valeur et dans celle de qu'où les substitue ensuite dam l'équation du mouvement du point G , et qu'on y metle aussi Vf au lieu de M, il vient

do T V

En même (emps , le mobile tournera autour du point G, comme s'il était fixe, et que les forces qui le sollicitent ne fussent pas changées (n° 438). Ce mouvement de rotation aura douu lieu autour de Taxe mené par le point G, et perpendiculaire au plan qui coupe le mobile en deux parties symétriques, et il sera dû uniquement aux pressions du fluide environnant, puisque le poids du corps passe

IITDROSTATIQCE.

constamment par ce point; par conséquent, l'équation de ce mouvement sera (n° 392)

en désignant par Mi» le moment d'inertie du corps par rapport à l'aie de rotation , par m sa vitesse angulaire de rotation nu bout du temps f, et par /u le moment total des pressions au même instant et par rapport au même axe. On regardera la vitesse • comme positive ou comme négative, selon que le mouvement aura lieu dans le sens indiqué par la flèche *, ou dans le sens opposé ; de sorte que l'on anra

"~ Ht* dt~

et , cela étant , on devra prendre avec le signe -fou avec le signe — , dans la valeur de , les niouicns des pressions qui tendront à faire tourner dans le sent de la flèche ê, ou dans le sens opposé.

Or, le moment total f» pourra se diviser en deux parties, l'uno relative au volume constant V, et l'autre au volume variable U. La partie de la pression correspondante ou premier-volume est égale a ?ff, appliquée au point H , et dirigée suivant HT; la perpendiculaire abaissée dn point G sur cette droite prolongée, s'il est nécessaire , a pour valeur « sin t, en désignant par a la distance GU : la première partie du moment f* sera donc ± Vapy sin », où l'on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que le point H sera plus haut ou plus bas que le point G. Quant à la partie de /*

?=-Ccosi|X — . • = *

L'ordonnée verticale du centre de gravité étant égale .i h + », quand on néglige le carré de », il s'ensuit que le mouvement de ce point sera le même que celui d'un pendule simple dont la longueur

serait — . Pour que la valeur de * ne croisse pas in-

défiiiiment, c'est-à-dire, pour que l'équilibre, d'où l'on a écarté le corps flottant, soit stable, il faudra et il suffira que la quantité^» ± Va soit positive; ce qui s'accorde avec le théorème du n° 617. Cette condition étant remplie, les oscillations de la droite GK, de part et d'autre de la verticale GE, seront les mêmes que celles d'un pendule simple V*.

qui aurait pour longueur.

qui répond à U, si l'on décompose toujours ce volume en prismes verticaux , et que l'on considère la pression correspondante au prisme quelconque yi'oslrf*, laquelle est égale et contraire an poids du tolume d'eau qu'il déplace, on aura pj*y cos »dx pour le moment de cette pression , et, par conséquent, fy/xy cos »d». pour la seconde partie de ft ; l'intégrale s'etendant à l'aire b tout entière. En mettant pour * et y leurs valeurs , et ayant égard aux équations ( 1 ) , cette quantité deviendra (■y* cos » -f- h{)fgb cos t sin » ; par conséquent, la voleur complète de p sera

f* = {h* c°** « ± Vo -f- bh( cos I] f y sin ».

Je réduis, dans cette valeur, cos • et sin » h l'unité et à I, et je néglige le produit de f et I; puis je la substitue , avec les valeurs de M et de », dans l'équation du mouvement de rotation, qui devient, de cette manière,

* * . th* ± 9*

«r + jg = " m

Le problème dépend donc des deux équations différentielles (2) et (3) ; et comme les variables f et f y sont séparées , il s'ensuit que le mouvement de rotation du corps flottant et celui de son centre de gravité seront iiidépendaus l'un de l'outre ; circonstance qui tient à ce qu'on a supposé la droite GK, qui va du centre de gravité du mobile à celui de ABCD, perpendiculaire à cette section.

En intégrant ces deux équations, et déterminant les constantes arbitraires d'après les valeurs inidt dt

tiales de f, t, — , — , on o dt dt

Si le corps flottant n'était pas symétrique de part et d'autre du plan des droites GK. et AKC, et que la perpendiculaire abaissée du point G sur la section ABCD différât de la droite GK, les variables { cl I ne seraient plus séparées dans les équations (2) et (3); la première renfermerait un terme multiplié

par — et la seconde un terme qui aurait { pour fncdr»

leur , les mouvemens de rotation et du point G ne seraient plus indépendans l'un de l'autre; et le mobile pourrait exécuter quatre sortes d'oscillations simples, dans lesquelles son mouvement se décomposerait toujours, conformément au principe de la coexistence des petites oscillations , et qui se réduisent à deux dans le cas particulier que nous venons de considérer.