CHAPITRE IV. Du i autour d'un point fixe

$ I". Formula j.réUminaires ,

Le mouvement de rotation d'un système de forme invariable, autour d'un point fixe, a lieu autour d'une droite variable d'un instant à l'autre, que Ton appelle are instantané de rotation, n° 404

Détermiuation de la direction de cet axe, soi t par rapport à des droites fixes dans l'intérieur du corps, soit par rapport k des droites fixes dans l'espace,

Expression de la vilesso angulaire de rotation du corps autour de l'axe instantané; décomposition de cette vitesse en trois autres, autour de trois axes rectangulaires, fixes ou mobiles; la composition et la décomposition des vitesses de rotation se font suivant les mêmes règles que celle des vitesses de translation , n°» 406 et 407

Composante de la vitesse absolue d'un point quelconque du corps, par rapport à trois axes fixes dans son intérieur ; composantes de la force accélératrice, par rapport aux mêmes axes, n° 408 Momens des quantités de mouvement de tous les points du corps à un instant quelconque, par rapport à trois axes passant par le point fixe ; cas où ces trois droites sont les axes principaux qui se coupent en ce point ; signe de chacun de ces momens, d'après le sens de la rotation autour de l'axe correspondant; moment principal de ces mêmes quantités de mouvement, et direction de son sxe , n<> 409

Equations différentielles qui ont lieu entre les trois angles du n° 378, d'où dépend la position du mobile à chaque instant, et les trois composantes de sa vitesse angulaire par rapport à ses trois axes principaux, n» 410

Autres formules qui pourront être utiles dans la

do repage 264

$ II. Equation» différentielles

Ces équations, au nombre de trois, s'obtiennent très facilement, au moyen des formules du n* 408 et du principe de D'Alembert ; on les ré» duit à leur forme la plus simple, en rapportant les composantes de la force occélératrice d'un point quelconque du mobile, k ses trois axes principaux; le problème général du mouvement de rotation dépend de six équations du premier ordre , savoir, celles qu'on vient déformer, et celle du n« 410 ; cas où la pesanteur est la seule force qui agit sur les points du mobile, n»» 412

et 413

Quand ce mobile n'est soumis à aucune force motrice, ou bien, quand il s'agit d'un corps pesant, et que le point fixe est son centre de gravité, on parvient a intégrer les six équations du mouvement de rotation , et a faire dépendre les inconnues, de deux fonction! elliptiques; dans ce mouvement, produit par des percussions initiales, les momens des quantités du mouvement de tous les points du corps , par rapport à des axes passant parle point fixe, sont conslans; leur moment principal et sa direction sont invariables, et cette considération facilite l'intégration des équations du problème , n«* 414,

415, 410 et 417

Détermination coroplèto des constantes arbitraires, contenues dans les intégrales de ces équations , en supposant, pour fixer les idées, que le mobile a été frappé, h l'origine du mouvement, par un autre corps qui y est resté attaché , n° 418

Diverses propriétés générales du mouvement de rotation d'un corps qui n'est soumis à aucune force motrice , n° 419

Détermination de ce mouvement , plus simple que la précédente, mais seulement approchée, lorsque l'axe instantané de rotation s'écarte constamment très peu de l'un des trois axes principaux du mobile, et qui se coupent au point fixe ; on retrouve ta propriété des axes principaux déjà démontrée dans le n» 389 ; on fait voir, de plus, que le mouvement est stable autour des axes du plus grand et du plus petit moment d'inertie , et seulement instantané autour du premier axe principal; détermination des constantes arbitraires dans le cas de la stabilité , n<" 420 , 421

et 422

Le mouvement de rotation produit par des percussions initiales, devient plus simple, quand le mobile est un solide de révolution, et que son axe do figure passe par le point fixe; les inconnues se déterminent alors sans le secours des fonctions elliptiques , n° 423

Autre démonstration de la stabilité du mouvement de deux dea axes principaux, n» 424

§ III. Solution d'un cas particulier du mouvement de rotation d'un corps pesant , page 262

Le mobile est un solide de révolution dont l'axe de figure passe par le point fixe ; on appelle

TABLE DBS MATIÈRES

la section de ce corps faite par ce point et perpendiculaire 4 cette droite; le mou- Tentent parallèle a l'équateur est uniforme; l'intersection de l'équateur et du plan horitontal passant par le point fisc, s'appellera la ligne des nœuds ; définition du nœud ascendant , et distinction de son mouvement direct et de son mouvement rétrograde sur le plan horisontal, n«* 428

et 426

Dans ce cas , les sis équations du mouvement de rotation s'intègrent , et les inconnues du problème s'espriment esaetement par des fonctions elliptiques; détermination des constantes arbitraires, contenues dans les intégrales, n°« 427

et 426

Cas où le mobile se réduit à un point matériel , dont la distance au point fixe est constante; on retrouve alors les formules du n° 805 , relatives au pendule simple, n° 429

Lorsque l'ase de figure a été écarté de la verticale, et qu'après avoir imprimé au mobile une vitesse de rotation autour de cette droite inclinée, il est ensuite abandonné à lui-même, on démontre que le mouvement du noeud ascendant sera direct ou rétrograde, selon que le centre de gravité du corps scrasitué au-dessus mi au-dessous du plan horizontal , passant parle point fixe; quand la vitesse de rotation est nulle, le mouvement du corps se réduits celui d'un pendule composé, n° 430

On applique les formules du numéro précédent, au cas où l'axe de rotation a été, primitivement, très peu écarté de la verticale, et l'on détermine de cette manière les valeurs approchées des angles d'où dépend la position du mobile a un instant quelconque , n° 431

On applique les mêmes formules au cas où l'inclinaison de l'équateur demeure à peu près invariable ; il faut pour cela que la vitesse de rotation soit très rapide ; on détermine , dans celte hypothèse, les petites variations de l'inclinaison de l'équateur, et le mouvement de la ligne des nœuds, qui est très lent par rapport au mouvement de rotation , et à peu près uniforme ; ce cas est celui de la machine de Bokuenberger,