EQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES FLUIDES

•40. tes équations de l'équilibre des fluides que oui avons trouvées dans le n° 683 , sont fondées ir la propriété caractéristique commune aux liet aux fluides aériformes , do transmettre t en tous sens les pressions appliquera à leur surface, et d'exercer autour de chaque point de leur masse , en vertu de l'action moléculaire , des pressions égales suivant toutes les directions. Cette propriété, comme nous l'avons dit précédent, ment (n« 677), tient a ce que les molécules d'un fluide qu'on a comprimé ou dilaté reviennent très promptement à une disposition semblable à celle qui avait lieu primitivement autour d'un point quelconque, de telle sorte qu'après sa compression ou sa dilatation, un fluide est un système de points matériels semblable à ce qu'il était auparavant, et seulement construit sur uue plus petite ou une plus grande échelle. Le temps de ce retour à un état semblable n'influe pas sur les lois de l'équilibre , que l'on n'observe jamais qu'après qu'il est écoulé; mais, quelque petit qu'il soit, on comprend qu'il peut influer sur les lois de leur mouvement, surtout dans le cas où les vibrations des molécules fluides s'exécutent avec une grande rapidité; de manière que le principe de l'égalité de pression en tous sens peut convenir à l'Hydrostatique, et n'être pas toujours applicable à V Hydrodynamique , c'est-à-dire , à la partie de la Mécanique qui traite du mouvement des fluides.

Une différence aualogue entre l'état d'équilibre

et l'état de mouvement, a Laplace, relativement à la loi de Mariotte. Cette loi exige que la température du fluide soit redevenue la même, après la compression , qu'elle était auparavant ; et le principe de l'égalité de pression en tous sens suppose, de même, que les molécules du fluide ont eu le temps de revenir à une disposition respective semblable à leur disposition première. Elle n'a plus lieu , ou doit être modifiée , daus les vibrations très rapides des gat , où la température primitive n'a pas le temps de se rétablir ; et , de même , le principe de l'égalité de pression en tous sens n'est pas rigoureusement et toujours applicable aux mouvemens des liquides et des fluidesaériformes. On a reconnu dans la vitesse de propagation du son, l'influence de cette modification de la loi de Mariotte; et il y a sans doute aussi des phénomènes du mouvement des fluides, en général , qui dépendent de la non-égalité parfaite de pression en tous sens, résultant de la cause que nous indiquons. Cette circonstance introduit dans les équations générales du mouvement des fluides , des termes qui ne peuvent se déduire de leurs équations d'équilibre ; j'y ai eu égard dans le Mémoire déjà cité (n a 677), et je me propose do revenir, par la suite, sur cette importante considération. Mais dans ce Traité , je supposerai , suivant la méthode qu'on suit ordinairement, la propriété de l'égalité de pression en tous sens, commune à l'état d'équilibre et à l'état de mouvement ;

HYDRODYNAMIQUE.

"'■m ii-l'.u j' it > i|u»nuii5 de l'Hy-

drostatique, fondées sur cette propriété , s'étendront immédiatement à l'Hydrodynamique , au moyen du principe de D'Alembert , qui est applicable à tous les systèmes de points matériels.

047. Considérons de nouveau la masse fluide ABCD(fig. 121 ),dont nous avons déterminé les équations d'équilibre; supposons maintenant qu'elle soit en mouvement, et que toutes les notations du n° 68a répondent à la fin du temps quelconque t , compté depuis l'origine de ce mouvement. Ainsi, la masse fluide est homogène ou hétérogène, liquide ou aériforme ; * , y, *, sont , au bout du temps f , les coordonnées d'un élément quelconque dm de cette masse; p représente la densité du fluide qui a lieu en ce point et à cet instant ; etXrfm, Ydm, tdm, aont les composantes parallèles aux axes des s , y, a, de la force motrice de dm à ce même instant. Les quantités X , Y, Z , seront des fonctions données de x, y, s, quand elles proviendront d'attractions ou de répulsions qui émanent de centres fixes ; ces fonctions données renfermeront le temps explicitement , quand les centres des forces seront en mouvement. Lorsque ces points seront ceux du fluide, X, Y, Z , seront des fonctions de *, y, s, t, dépendantes de sa figure à chaque instant, et de la loi des densités dans son intérieur.

Les coordonnées y, s, varieront avec le temps; elles varieront aussi d'un point à un autre du fluide ; et si l'on désigne par y\ a', leurs valeurs initiales, c'est-à-dire , les coordonnées du point de l'espace qu'occupait l'élément dm à l'origine du mouvement, les coordonnées s, y, s, de ce même élément au bout du temps *, seront des fonctions Inconnues de s', y', s\ t : la solution complète du problème consisterait à déterminer ces trois fonctions de quatre variables indépendantes.

Si l'on appelle u, v, w, les composantes parallèles aux axes Ox , Oy, Os , de la vitesse dont l'élément dm est animé au bout du temps t , on aura

ds dy ds

on pourra regarder u , v , tv , comme des fouctions inconnues , soit d e i , *' .. y ' , a', soit de t , s , y, s ; c'est sous ce second point de vue que nous considérerons ces trois quantités; et alors , pour avoir leurs accroissemens dans l'instant di t il faudra les différent ur par rapport à f et par rapport aux coordonnées jr, y, s. Or, si l'on désigne par g une fonction quelconque de t , * , y, s, et par q'dt sa différentielle prise par rapport à I et aux variables *, y, s , considérées comme des fonctions de t , on aura , par la règle connue de la différentiation des

fonctions de

dq dq ds dq dy dq ds

dt ds dt dy dt ds dt

ou bien , en ayant égard aux équations (1),

dq dq dq dq

dt ds dy dz

de m, c, v> , par

En désignant les u'dt, v'dt, w'dt, D(

du du du du

dt ds dy ds

dv do dv dv

*'= — + u — + e- + io-, di ds dy ds

dw dw dw dw

dt ds dy ds

et , de cette manière, les composantes de la vitesse d'un même élément dm , dans les deux positions qu'il occupe successivement , seront si , v , v , et u + u'dt, v + v'dt, w + v'dt.

Quant a la densité f, ce sera une constante donnée , si le fluide est homogène et considéré comme incompressible; s'il s'agit d'un liquide hétérogène, la densité p, qui réponde un élément déterminé dm, sera une fonction donnée de ses trois coordonnées initiales s', y', enfin , si le fluide est compressible, cette densité p sera une fonction inconnue de t , jt', y\ s', dont la valeur initiale sera seulement donnée. Excepté le cas où p est une constante, cetto densité , rapportée à la position de dm au bout du temps I, devra toujours être considérée comme une fonction inconnue de x, y, s, t. Si l'on désigne alors par p'dr, son accroissement pendant l'instant dt, on aura, d'après la formule (2),

t = \- u (- c — + io — ,

dt ds dy ds

et dans le cas d'un fluide incompressible, homogène ou hétérogène , cette valeur de f' devra se réduire à zéro.

64S. Les composantes de la force perdue par l'élément dm pendant l'initial dt. seront

(X— u»)dm, (Y — c 1 ) dm , (Z — w')dm;

en substituant donc X — «', Y — t»', Z — u/, à la place de X, Y, Z, dans les équations (2) du n« 683, il en résultera ces trois équations de son mouvement :

7 = r (* - «'), ï = f (T-V), ? = , (z - «Oi

ds dy d*

l'unité de surfane , qui a lieu au bout du temps * , au point qui répond aux coordonnée! jr, y, m, et qu'on suppose la même

Si ce point appartient à une paroi fixe,p «primera la pression normale que cette surface aura à supporter, et qui devra être détruite par sa résistance. Si ce point appartient k la surface libre d'un liquide, il faudra qu'on ait p = 0, ou plus généralement , dp = 0 ; en sorte que l'équation différentielle de la surface libre du liquide en mouve-

(X - «') dx + (Y - v) dy + (Z - mt) ds = 0.

D'après la remarque du no 686, il faudra que la valeur de p , quand on l'aura déterminée , soit constamment positive dans l'intérieur de ce liquide, si l'on veut que sa masse ne se divise pas pendant le mouvement : quand elle sera négative en un point d'une paroi , ce qui ne pourra avoir lieu que pour un liquide, cette surface cessera d'être pressée de dehors en dedans, et le liquide s'en détachera.

Au moyen des valeurs de af , «*, se', les équations précédentes deviennent

1 dp du du du du

t ds dt ds dy ds

1 dp do dp dv dv

f dtj dt ds dy ds '

1 dp dw dw dw div

— Z t» v te.—-

t d* dt dx dy ds

Comme la quantité p qu'elle renferme est, ainsi que chacune des vitesses m, r, w, une fonction iuconnue de x, y, a, », il y faudra joindre une quatrième équation, lorsque la quantité f sera une constante donnée, et deux autres équations, dans le cas général où cette quantité est aussi une fonction inconnue de x, y, i, I. Ces équations s'obtiendront de la manière suivante.

640. Chacun des élémens dm de la masse fluide ebangera de forme pendant Pinstant dt. et il changera même de volume, si le fluide est compressible; nuis comme sa masse devra toujours rester la même, il s'ensuit que le produit de son volume au

bout du temps t -f dt, et de sa densité f -f- f'dt qu; répond au même instant, devra être le même qu'au bout du temps f; par conséquent, la variation de ce produit dans l'instant dt sera égale à «éro ; c« qui fournira une nouvelle équation générale du mouvement.

Pour la former, considérons le parallélipipède rectangle dont le volume était dx dy dx, à la fin du r f et cherchons la forme que prendra cet élédu fluide à la fin du temps ( + dt. Soil ■ (fig. 139) le sommet de ce parallélipipède qui répond aux coordonnées », y, s; soient aussi MA, MB, MC, les trois entés adjacens à ce sommet et respectivement parallèles aux axes Ox, Oy, Os ; en sorte qu'on ait

MA - dx, MB = dy, MC = dz ,

supposons que D, E, F, G, sont les quatre autres sommets, et que pendant l'instant dt, les huit points M, A, B, C, D, E, F, G, soient transportés en M', A», B', C, IV, E', F», G'; je dis que ces derniers points sont les sommets, sera un | lélipipède obliqnangle; et pour le prouver, je déterminer et comparer entrée de ses doute côtés M'A', M'B', eto.

Les coordonnées x, y, s, du point M deviennent

* + «dt, y + wfc, m + wdt,

au bout de l'instant dt ; ces quantités sont donc les coordonnées du point M' ; on en déduira celles de tout autre sommet, en y remplaçant x, y, m, par les coordonnées primitives de ce sommet ; ainsi, Ton aura les coordonnées de C, en y conservant « et y, et mettant a+ds à la place de x, parce que *, y, s + dx sont les coordonnées de C. ] nière, les coordonnées de C seront

s + «dt + - ds dt, dx

y -f rdi H ds dt,

s + dx + wdt + — ds dti ds

et, eu les comparant a celles de M', on en conclura

en extrayant la racine carrée et négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on aura donc

M'C = dz

+ - ds dt.

Les coordonnées de D' se déduiront de celles de M', et les coordonnées de G' de celles de C en y mettant x + di c t y -f dy ii I a place de s et y ; par conséquent, la longueur du côté D'G' so déduira de même de celle du côté M'C ; ce qui donne

D'G 1 = da dsdl + aWs* + i£

ds dxds dyds

HYDRODYNAMIQUE.

nonr en négligeant les aeux urmicn termes , i|ui sont du troisième ordre, la valeur de D'G' sera la même que celle de M'C. On trouvera de la même manière, que le* côtes A K' et h'i" sont égaux au côté M'C, aux quantités près du troisième ordre ; en sorte que l'on aura

Si Ton change x en y, et w en r, dans la valeur de M'C, elle deviendra celle de M'B', savoir :

M'B' = dy + - dudt;

en changeant de même « valeur de MA', qui

et w en u, on aura la

M'A' — <** H dx dt,

et l'on trouvera aussi

M'B' = A'D' = Cr = E'G* , M'A' = B'D' = CE' = F'G'.

Mous voyons donc que les côtés égaux entre eux dans le parallélipipède primitif, sont encore restés égaux après son changement de forme : le parallélisme de ses côtés est une conséquence de leur égalité ; par conséquent, l'élément de volume que nous considérons conserve, a la fln de dt, la forme d'un parallélipipède , mais qui n'est pas rectangle , comme ou commencement de cet instant.

On aura le volume de ce parallélipipède obliqnangle en multipliant l'unedeces faces, par exemple, la face M'A'D'B', par la perpendiculaire C'P' abaissée du point C sur cette face; l'aire du parallélogramme M'A'D'B' est égale au produit de ses deux côtés M'A' et M'B', multiplié par le sinus de l'angle A'M'B' ; et la perpendiculaire CP* se déduit du côté CM', en le multipliant par sin CM'P'; par t, le volume du nouveau parallélipipède i pour valeur

M'A» . M'B' . M'C . sin A'M'B'. sin CW.

Or, les angles A'M'B' et CM'P étaient droits dans le parallélipipède primitif; ebacun d'eux ne peut donc maintenant différer d'un angle droit, que d'une quantité infiniment petite; le sinus de chacun de ce* angles ne différera donc de l'unité, que d'un infiniment petit du second ordre; par conséquent, si l'on néglige les infiniment petits du cinquième ordre, il faudra faire sin A'M'B'=1 et sin CM'P'=l, dans le produit précédent; ce qui le réduit a

Donc, en mettant pour chacun des facteurs sa valeur précédente, effectuant la multiplication, et négligeant toujours les infiniment petits du quième ordre, ce produit sera

du dp d>c x

l + - dt + - dt + - dt ) dxdudz.

dx du dt y

Yel est donc, k la fin du temps t + dt, le i de l'élément qni était dxdyds, à la fin du temps t. En même temps la densité p est devenue p -j- p'di; en multipliant donc ce volume par p + f 'dt, et retranchant du produit la masse primitive pdxdy ds, on aura la variation de cette masse pendaut l'instant dt; et cette variation devant être nulle, il en résultera l'équation

,du dv

du-

en négligeant les infiniment petits du cinquième ordre, et supprimant ensuite le facteur dt ds du dz, commun i tous les termes. Par conséquent, d'après la valeur de f' du numéro précédent, la quatrième équation du mouvement qu'il s'agissait de former,

dT + ~du~ + T> °-

650. Cette équation appartiendra aux liquides et aux fluides aériformes ; mais la quantité J étant nulle, dans le cas des liquides regardés comme incompressibles, cette équation se partagera en deux autres, savoir :

— -f- u — -j- r — -f- w — SX 0, dt dx du ds

du dv du, t W

dx du dx

En les joignant aux trois équations (3), on aura un nombre d'équations égal a celui des cinq inconnues p,p, u, », w, qu'elles doivent servir à déterminer en fonction de x, y, s, t. Quand le liquide est homogène, la densité p est une constante donnée; ce qui réduit les inconnues à quatre, et fait en même temps disparaitre la première équation (0).

Relativement aux fluides élastiques, on n'a aussi qne quatre équations, savoir, les équations (3) et (4) ; mais alors la densité est liée s la pression} ce qui réduit à une seule les deux inconnues p et p. Si l'on suppose que la température soit la même dans toute la masse du fluide à l'état de repos, les dilatations ou compressions des élémens de ce fluide, qui auront lieu pendant son mouvement, feront varier cette température, et la pression p ne sera plus proportionnelle i la densité p, dans l'état de mouvement, comme elle l'est dans l'état d'équilibre. On verra, dans la suite, comment on peut avoir égard à cette circonstance, dans le cas d'un mouvement très rapide. Maintenant je supposerai qu'il s'agisse d'un mouvement asses lent pour qu'elle n'oit aucune influence sensible; en sorte que l'expression de p en fonction de p, soit celle qui convient à l'éiat d'équilibre, savoir (n° 825),

P = AfO+^i (•)

TRAITÉ DE HÉCAMQUB.

I désignant la température commune à tout les points du fluide, « le coefficient 0,00376 de la dilatation des gat, et A une constante relative à la matière du fluide que l'on considère.

Lorsque les valeurs de f , p, «*, e, w, auront été déterminées, soit au moyen des cinq équations (3) et (6), soit d'après les cinq équations (3), (4), (6), on en déduira les valeurs des *, y, s, en fonctions de t, et de leurs valeurs initiales y\ au moyen des équations (1). Les intégrales de toutes ces équations aux différences partielles renfermeront des fonctions arbitraires, qui resteront encore à déterminer, d'après l'état initial du fluide, et au moyen de certaines conditions relatives à sa surface dont il sera question plus bas.

051. Quand la température n'est pas la même dans toute la masse fluide à l'origine du mouvement, elle varie ensuite d'un point à un autre, et, pour un même point, d'un instant a l'autre; en sorte que si l'on désigne, au bout du temps I, par », la re qui répond aux points dont x, y, a, ; les coordonnées, cette quantité • est une fonce de t, x, y, a, et pour la déterminer il faut joindre une nouvelle équation aux précédentes. Cette équation sera différente dans les deux cas d'un liquide et d'un fluide aériforme, que nous allons successivement considéra-.

1° Supposons qu'il s'agisse d'un liquide homogène, tel que l'eau, pour fixer les idées. La température I variant d'un point à un autre, la densité • variera de même, et sera une fonction déterminée de i, que je représenterai par fi *. La quantité *' ne sera plus nulle, et l'équation (4) ne se décomposera plus dans les deux équations (ô). La chaleur spécifique du liquide et la mesure de sa conductibilité seront aussi des fonctions déterminées de t; mais si l'on suppose que la communication de la chaleur dans l'intérieur de l'eau, ait lieu comme dans un corps solide, par un rayonnement à distance insensible, l'équation relative au mouvement de la chaleur dans un corps hétérogène , que j'ai trouvée autrefois, s'appliquera à la masse d'eau que nous considérons ; car elle fait connaître l'accroissement instantané de température qui a lieu en un point quelconque d'un corps, dans lequel la chaleur spécifique et la conductibilité varient arbitrairement d'un point à un autre; et d'après la manière dont elle a été formée, elle ne dépend pas du mouvement du point matériel que l'on considère, non plus que du mouvement des points circonvoisins. Ainsi, en appelant t'dt l'accroissement de I pendant l'instant dt, on aura

d hdx

di h —

h — di

" P.'Ur II forme d» celle fonction, tty-.t le Traité dt PA«»i'««« de M. Iliol, tome 1", chapitre XI.

" Jnnat dt l'Kftl» Voijlttkni^t, »• cahier, pige «7.

équation dans laquelle oo fera, d'après la formulera),

«il di dt di

dt ds dy d»

et où g et h sont des fonctions de I , qui tent la chaleur spécifique rapportée à l'unité de masse , et la mesure de la conduotibilité. Chacune de ces fonctions est censée connue, ainsi que fi, de manière que les équations (3) , (4) , (7) , seront en nombre égalé celui des inconnues • , p ,u, v , w , qu'elles renferment. Dans le cas d'un liquide hétérogène, les trois quantités », y , A, relatives an point de sa masse dont les coordonnées sont r, y, s, dépendraient de la température 8 et de la matière du fluide en ce point, et seraient, par conséquent des fonctions données de I et des coordonnées initiales x', y', a', de ce même point.

8» Si le fluide que l'on considère est une masse d'air ou d'un gax quelconque, dont la température 9 varie d'un point à un autTe, et que dans l'état de mouvement, la pression soit toujours supposée proportionnelle à la densité, comme dans le n° précédent, l'équation (6) aura toujours Heu; mais l'équation (7) ne subsistera plus; car elle est fondée sur l'hypothèse que la communication de la chalftur dans l'intérieur du corps se fait par un rayonnement à distance insensible; et, au contraire, le chaleur rayonnante traverse les fluides aérifurmes, dans de très grandes épaisseurs ; en sorte qu'il y a échange de chaleur entre des molécules très éloignées l'une de l'autre. Cette équation devra donc être remplacée par une autre, que Ton joindra aux équations (3) , (4) , (0) , afin d'en avoir un nombre égal à celui des inconnues f , p, s, w », iv. Dans le problème des vents alisés, par exemple, qui sont produits par les différences de température des couches atmosphériques, on formera cette sixième équstion de la manière suivante, qu'il nous suffira maintenant d'indiquer.

La quantité de chaleur reçue pendant l'instant dt, par l'élément quelconque dm de la masse fluide, et qu'on peut supposer proportionnelle à dmdt, se compose de la chaleur solaire absorbée par dm pendant cet instant dt, k laquelle il faut d'abord «jouter la chaleur rayonnante que cet élément reçoit , dans ce même instant , d'une partie de la surface de la terre et de la partie de l'atmosphère dont la communication avec dm n'est point interrompue par cette surface , et , en outre , la portion de chaleur qui peut être communiquée à d'un par les élémens circonvoisins, comme dans les corps solides. En retranchant de cette somme la quantité de chaleur émise au dehors par l'élément dm, pendant l'instant dt, soit par communication , soit par rayonnement à grande distance, on aura l'augmentation instantanée de la chaleur de dm , que l'on peut représenter par A dmdt ; A étant un coefficient dont je me borne à indiquer l'origine. D'un

HYDRODYNAMIQUE.

autre coté, cette augmentation de chaleur est égale à <j h'dtdm , en désignant toujours par g et b'dt, la chaleur spécifique rapportée à l'unité de masse, et l'accroissement instantané de température ; on aura donc idmdt — gl' dmdl , ou A =gV, pour l'équation demandée, qu'on devra substituer à l'équation (7).

652. Avant d'aller plus loin, il y a une remarque importante à faire relativement à l'équation (4).

D'après la manière dont elle a été formée, elle exprime que la masse de l'élément différentiel dm du fluide ne varie pas pendant l'instant dt ; mais c'est pour obréger que l'on a considéré le volume de cette partie du fluide comme infiniment petit; et si l'on divise le volume total en parties de grandeur finie, mais insensible, dont chacune renferme néanmoins un nombre extrêmement grand de molécules, l'équation (4) exprime réellement que chacune de ces parties renferme toujours les mêmes molécules , et que , par conséquent, sa masse est invariable. C'est pour cela qu'elle est désignée sous la dénomination d'équation de la continuité du fluide. Or, il existe des mouvemens dans lesquels cette continuité n'a pas lieu , et où Ton ne doit plus faire usage de l'équation qui s'y rapporte.

Supposons, par exemple , que de l'eau soit contenue dans un cylindre vertical, ouvert à sa partie aupérieure. Si Ton échauffe le liquide par en haut, la température sera croissante , et la densité décroissante, en allant du fond à la surface; la masse 6uide s'allongera, les couches horixontales se remplaceront successivement , et l'équation de la continuité s'appliquera à ce mouvement. Mais si le liquide est échauffé par en bas , la densité sera croissante , et la température décroissante do bas en haut : à la rigueur, les couches horizontales pourront encore se remplacer successivement; mais un pareil mouvement ne serait pas stable; et l'observation montre que les molécules d'eau s'élèvent du fond vers la surface , en traversant les couches supérieures. Toutes les parties très petites du liquide ne sont pas constamment formées des mêmes molécules ; l'équation (4) n'a done pas lieu dans ce genre de mouvement ; et il est même douteux que les équations (3), fondées sur le principe de l'égalité de pression en tous sens, puissent s'y appliquer; en sorte que, dans l'état actuel de la science, nous n'avons aucun moyen de déterminer le mouvement d'un liquide dont les couches se traversent mutuellement , les unes en montant, les autres en descendant. La même remarque s'applique aux mouvemens verticaux qui peuvent exister dans chaque colonne atmosphérique, dont les couches inférieures, échauffées par le contact avec la terre , et devenues plus légères , s'élèvent en traversant les couches supérieures. La détermination de ces mouvemens , d'un genre différent de ceux qu'on a considérés jusqu'à présent, et leur influence sur les variations diurnes

du baromètre , sont des questions sur lesquelles il importe d'appeler l'attention des géomètres.

653. Dans les mouvemens des fluides que l'on soumet au calcul , on a coutume de supposer que les points qui se trouvent , à une époque déterminée, sur une paroi fixe ou mobile , ou qui appartiennent à la Surface libre d'un liquide , demeureront sur cette paroi , ou appartiendront a cette surface, pendant toute la durée du mouvement; en sorte que l'on exclut les mouvemens très compliqués dans lesquels des points d'un fluide, après avoir appartenu à sa superficie , rentreraient dans l'intérieur de la masse , ou réciproquement; et l'on exclut même les ces où des points d'un liquide passeraient alternativement de la surface libre à la surface en contact avec une paroi fixe ou mobile. Ces conditions particulières auxquelles on assujettit les mouvemens que l'on considère, s'expriment par les équations suivantes.

Soient toujours s , y , s , les coordonnées variables d'un point du fluide, et

l'équation d'une surface fixe ou mobile qui passe par ce point au bout du temps t, et que nous appellerons S, pour abréger. Désignons aussi par y*, a 1 , les coordonnées initiales du même point; de sorte que * , y , » , soient des fonctions de t , s', y', s', Si l'on substitue leurs valeurs dsns l'équation donnée, elle se chongera en

et tous les points du fluide dont les coordonnées initiales satisferont à cette équation , seront ceux qui appartiennent, au bout du temps t, à la surface S; par conséquent, pour que ces points soient constamment les mêmes, il faudra que la fonction F ne renferme pas la variable t. Si donc S est la surface libre, ou celle d'une paroi fixe ou mobile, il faudra que la fonction / (I, * , y , t) soit indépendante de t , en y regardant m , y, s, commodes fonctions de ces variables; sa différentielle complète par rapport à t devra donc être nulle; et d'après la formule (2), on aura

if df df df

— + si — + t> \- w — — 0 , (8)

dt dm dy ds

pour exprimer la condition ci-dessus énoncée.

Dans le cas d'une paroi fixe, la fonction f ne renfermera pas explicitement le temps f; en la représentant par L , de sorte que L = 0 soit l'équation donnée par la paroi, l'équation (8) deviendra

dl. d\. 4L

dt dy dz

Si l'on désigne par ( la résultante des vitesses m, e, *>, et par * , € , >, les angles qu'elle fait avec les directions des r,y, s ; si l'on appclleaussi o, b,c ,

TRAITÉ I>E MÉCAMQUE.

les angles que fait la normale à la paroi < les mêmes directions , et qu'on fasse

M = £ cos « , 9 = Ç cos C , w = t cos y,

dL dL dL

— = a cos a , — = x cos A , — = * cos c j ttr dy da

et, en substituant ces valeurs dans l'équation (0) , et supprimant ensuite le facteur commun > a , elle

cos * cos a + cos C cos 4 + cos y cos c =0.

Cette équation (0) signifie donc que la vitesse de chaque point de fluide adjacent à une paroi fixe, est normale à cette surface; et, en effet, c'est la condition nécessaire et suffisante pour que ce point ne se détache pas de la paroi , et ne fasse que glisser sur sa surface.

A la surface libre d'un liquide , la pression p est, en général , une quantité constante ; mais elle pourrait dépendre de f et être seulement indépende k , y , s , si la pression extérieure , corane à tous les points de cette surface , variait avec le temps ; en la désignant par T , l'équation de la surface libre sera donc p — T = 0; et en — Ta la place de f dans l'équation (8) ,

dp dp dp dp dT

dt ds dy d% dt

pour l'équation qui aura lien en même temps que p — T — 0, ou en même temps que l'équation différentielle de la surface libre, qui a été donnée dans le n» 648.

Flous ferons remarquer que les équations (8), (9) , (10) auront encore lieu , sans erreur sensible , lorsque les points du fluide no s'écarteront de sa superficie , que de quantités insensibles. Par conséquent, si l'on considère, comme dans le numéro précédent , une portion du fluide dont les dimensions soient de grandeur finie, mais insensibles, et qui contienne néanmoins un nombre immense do molécules , et si l'on suppose qu'une partie de sa surface appartienne a celle du fluide, h une époque déterminée, ces équations exprimeront, en réalité, que cela aura lieu pendant toute la durée du mouvement. Celte partie commune aux deux surfaces, pourra , d'ailleurs , varier en étendue dans des rapports quelconques ; et la petite portion de fluide dont il s'agit, en se déplaçant à la superficie du fluide , pourra s'étendre ou se rétrécir sans que son volume change dans le cas d'un liquide, ou sa masse duns le cas d'un fluide quelconque. Ainsi, par exemple, lorsqu'un liquide pesant oscille dans

un vase ouvert a sa partie supérieure, l'étendue de sa surface libre et celle de sa surface de contact avec les parois du vase varient pendant le mouvement , de sorte que le nombre des points matériels du liquide , qui «ont situés -à l'une ou l'autre de ces deux surfaces, n'est pas constamment le même ; mais les équations (0) et (10) peuvent avoir lieu néanmoins, si l'on considère qu'elles ne répondent pas seulement à des points isolés , mais qu'elles se rapportent a de petites portions du liquide , de grandeur insensible et de forme variable.

Ces équations particulières que Lagrange a introduites dans la théorie des fluides, concourront, dans chaque cas , avec l'état initial du système, à déterminer les fonctions arbitraires qui seront contenues dans les équations du mouvement.

654. Dans un cas très étendu , on peut réduire les trois équations (3) à une équation aux différences partielles du premier ordre, et faire dépendre d'une seule quantité , les trois inconnues « , r , Ce cas a lieu , lorsque la formule udx 4- vdy -4mds est une différentielle exacte d'une fonction de x , y , % , regardées comme des variables iodés pendantes, et que le fluide dont on s'occupe est homogène et partout à la même température, dans son état d'équilibre.

Soit alors

udx -f vdy + sr ds = d>;

t désignant une fonction inconnue des quatre variables», r, y, s, mais la différentielle dp étant prise seulement par rapport à ar,y, s, de aorte qu'on ait

dp dp dp

dx dy ds

D'après la nature des forces X , Y , Z , qui proviennent toujours d'attractions ou de répulsions , dont les centres sont des points fixes ou mobiles, ou les points mêmes du fluide, on a aussi

Xdx + Ydy + Zds = dV,

et, par conséquent ,

dV dV dy ds

V étant une fonction de t, x, y, z , qui n'est différence que par rapport a x, y, x. Dans le cas d'un fluide élastique dont la densité est constante

à l'état de repos, l'intégralc^-L s'exprimera par

un logarithme, si l'on suppose que la loi de Mariotlc ait encore lieu à l'état de mouvemeut ; si l'on lient compte des variations de température qui accompagnent celle de la densité pendant le mouvement, cette intégrale sera une autre fonction de p; et dans le cas d'un liquide homogène ,

UTDRODYÎUMIQUE.

elle te réduira à — p, abstraction faite de la

i arbitraire, un seul , je ferai

dp D

il en résultera 1 dp d?

t dx dx'

f dy

f dz

et au moyen do ces valeurs et des équations (3) deviendront

dx ~

d\ dx

dxdt

dp dx

dx»

dp d» e

ds d*d*'

dydt

d, d. a dy d*«

ds dyds'

dz ~

dsdt

dsdx

de d* a dy dxdy

d* ds«

Je les ajoute après les avoir multipliées par dx , dy, dx ; il vient

dP as dV

d.- + dt

et tous les termes de cette équation étant des différentielles exactes à trois variables x, y, s, on en déduit immédiatement

La constante arbitraire qu'on devrait ajouter dans cette intégration , peut être censée contenue dans la quantité inconnue a , et l'on peut regarder les intégrales V et P comme des quantités entièrement déterminées.

Cette équation , qui remplacera les trois équations (3), fera connaître la valeur de p, quand celle de a sera déterminée ; les équations (a) détermineront aussi les trois inconnues m, v , w ; et quant à la valeur de a, elle se déduira de l'équation (4), qui "

e, cette équa-

dx* T dy» T ds«

dans le cas d'un fluide aériforme , on y mettra pour » ta valeur en fonction de p, et pour p sa valeur tirée de l'équation (é).

655. Pour que la formule udx + vdy + wdz soit une différentielle exacte pendant toute la durée du mouvement , il faut qu'elle le soit à l'origine, et que les valeurs initiales de « , v , to , qui sont données orbitrairement en fonctions de *, y, * , satisfassent aux conditions d'intégrabilité. Réci-

proquement, on admet qu'il suffit que celte formule soit une différentielle exacte relativement à une valeur déterminée de I, pour qu'elle le soit aussi pour toutea les valeurs de cette quantité; mais cette proposition n'a pas toute la généralité qu'on lui suppose. Voici comment on la démontre.

Soit*, une valeur particulière de»; supposons que pour cette valeur on ait

udx -f cdy + ifds = d»,,

a, étant une fonction de x , y , a. Si l'on désigne par • un intervalle de temps infiniment petit , et que le temps t devieune f, + • , les quantités m , t» , «p, varieront aussi; et en supposant que leurs expressions en fonctions de t soient développables , suivant les puissances de i, on aura

dp, dp, dp,

«=-+«,, " = — + *,= — + ,*,,, dx dy ds

et , par conséquent ,

udx + rdy + wdM = dp, + + r.dy +

en désignant par u„ t»„ w„ des fonctions de *,y, s. Pour avoir les valeurs des différences partielles du dv dw

— , —, — , qui entrent dans les équations (3), il dt dt dt

faudra différentier ces valeurs de u , e, w, par rapport à ce qui donne

du dt dw

— SB H, , SS 9n — — w r

TRAITÉ DE 1ÉCANIQUB.

En les substituant avec celles de «,c,w,etde | ces équations, et supprimant ensuite les termes leurs différences partielles relatives a x, y, a, dans | multipliés par », il tient

dx "

dx dx*

df ( dy

drdy

*, ds

dxds '

de, d» »,

dy ~

dx dydx

dyds '

da, d"

dp,

dz "

dx dsdx

didy

~dt

ds- J

d'où l'on tire, d'après les notations précédentes ,

udx + t>,dy u>,dz

et d'où il résulte que la quantité i u dx -\- v,dy -f- •vdt)t } dont s'accroît la formule «dx -{- ody -f tcda pendant le temps t , sera une différentielle exacte. Par conséquent, cette formule sera une différentielle exacte au bout du temps *, -f- «, puisqu'on suppose qu'elle l'est au bout du temps t,; elle le sera au bout du temps f, -|- 2t , puisqu'elle l'est au bout du temps t -f~ 1 • L ' 1 ainsi de suite. Et comme on peut prendre t positif ou négatif, on en conclut que cette formule «dx -f rdy -f wds est une différentielle exacte pour toutes les valeurs de t , si l'on s'est assuré qu'elle le soit pour telle valeur qu'on voudra de cette variable.

Mais cette démonstration suppose que les valeurs de « , r, s», qui répondent a / -f « , peuvent se développer suivant les puissances de s, ou, ce qui revient au même, elle suppose que les expressions de u , v, to, en fonctions de I, satisfont aux équations du problème et à toutes celles qui s'en déduisent par des différentiations relatives à t. Or, cela n'a pas toujours lieu à l'égard des expressions «le u , r, w , en séries d'exponentielles et de sinus ou cosinus, dont les exposans et les arcs sont proportionnels à t ; et la démonstration étant en défaut, la proposition peut aussi être , et elle est effectivement en défaut dans certains cas dont j'ai rencontré des exemples. Dans chaque problème , les expressions de «, », w, dont il s'agit, satisfont aux équations relatives à la masse et à la surface du fluide en mouvement j en y déterminant convenablement les cocflicicns des exponentielles et des sinus ou cosinus , elles représentent l'état initial et donné de tous les points du fluide ; et si les séries qui en résultent sont d'ailleurs convergentes , cela suffit pour qu'elles renferment la solution de la question, quoiqu'un de leurs caractères particuliers soit de ne pas toujours satisfaire aux équations qui se déduisent de celles du mouvement, pardi* nouvelles différentiations.

. 666. La condition d'intégrabilité de la formule udx -f- ody -f- wds n'a pas lieu dans le mouvement d'un fluide qui tourne , sans changer de forme, autour d'un axe fixe. En effet , les composantes de la vitesse d'un point quelconque sont alors les mêmes que dans le cas d'un corps solide ; en prenant donc l'axe fixe pour celui des a , et désignant par m la vitesse angulaire de rotation , on aura (n» 388)

ss = — y- , e = #», so = 0j

d'où il résulte

udx + »dy + v>dv = « (xdy — ydx) ;

quantité qui n'est point une différentielle exacte , puisque le facteur m est indépendant des coordonnées x et y.

Il en résulte que pour déterminer la pression p en un point quelconque, il faudra recourir, dans cet exemple, aux équations (3). Or, en y mettant les valeurs de «, e, w, et considérant « comme une quantité constante par rapporta I, aussi bien qua par rapport à x, y, s, il vient

1 dp 1 dp l dp

f dx P dy P ds

d'où l'on tire

- dp = Xd* + Ydy + Zda + „■ (xds + ydy) ; f

équation qui coïncide avec celle qu'où a trouvée dans le n° 690 , par la considération de l'équilibre des forces données qui agissent sur tous les points du fluide, et de leurs forces centrifuges résultant de son mouvement de rotation.

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