CHAPITRE II

DE t.A PROPAGATION DTJ SON.

M7. Il n'entre pas dans le plan de cet ouvrage , de faire connaître les résultats nombreux qui ont été déduits des équations générales du mouvement des fluides qu'on vient do donner; je me contenterai d'indiquer les ouvrages dans lesquels on peut les trouver. Dans le chapitre suivant, je déterminerai le mouvement d'un fluide qui s'écoule dans un vase, d'après une hypothèse particulière et approximative , généralement suffisante pour la pratique; et , dans celui-ci , je prendrai pour exemples de l'application des équations générales , les cas les plus simples de la théorie du son.

1» On trouvera, dans les tomes II et Y de la Mitanique céleste , tout ce qui est connu jusqu'à présent sur les oscillations de la mer et de l'atmosphère, produites par les attractions de la lune et du soleil.

2° Le tome II de la Mécanique analytique renferme lo détermination , par le moyen de séries convergentes , du mouvement d'un liquide pesant, soit dans un canal très étroit , soit dans un vase très profond.

3» Relativement aux oscillations de ce liquide dans un vase d'une profondeur quelconque , je renverrai au Mémoire que j'ai inséré , sur ce sujet , «Uns le tome XIX du Journal de H. Gergonne.

4° Pour le problème de la propagation des oudes a la surface et dans l'intérieur d'une eau stagnante, je renverrai de même à mon Mémoire inséré dans le tome I er de l'Académie des Sciences.

6° Sur l'écoulement des fluides élastiques dans les vases et dans les tuyaux , on pourra consulter le Mémoire de M. Ravier, qui fait partie du tome IX do cette Académie.

6° Enfin, pour tout ce qui concerne la théorie du •on, et, généralement, la propagation du mouvement dans un milieu élastique ou daus plusieurs milieux superposés, j'indiquerai les Mémoires que j'ai écrits sur ce sujet, et qui font p ortie du 14' cahier du Journal de f École Polytechnique , et des tomes II et X de l'Académie des Sciences.

6ô8. Pour donner une application des équations générales, considérons un fluide élastique homogène, dont la température et la densité soient partout les mêmes dans son état d'équilibre , et qu'on

ait écarté un tant soit peu de cet état , de sorte que pendant tout le mouvement qui en résultera , les vitesses de ses différons points soient très petites , et les condensations ou dilatations dont elles seront accompagnées soient aussi de très petites fractions. Nous négligerons, en conséquence, les carrés et les produits de ces quantités ; ce qui réduira les équations du mouvement à la forme linéaire, et permettra d'en obtenir les intégrales sous forme finie. Nous ferons aussi les forces X , Y, Z, égales à xéro, afin que la densité du fluide, dans l'état d'équilibre , soit constante , comme nous le supposons.

Soit D cette densité; fêtant celle qui a lieu dans l'état de mouvement , tu bout du temps t et au point dont les coordonnées sont *,•/,*, on aura

en désignant par e une fraction positive ou négative , qu'on suppose très petite. Soient aussi h et gmh la hauteur et la pression barométriques qui répondent à la densité D ; g représentant la gravité et m la densité du mercure. Dans l'état de mouvement , la pression p, qui répond à la densité f, serait gmh (l -J- e), d'après la loi de Mariotte, si la température du fluide était invariable; mais, à raison de la condensation positive ou négative #, la température augmente ou diminue ; et si le mouvement est assex rapide pour que le fluide n'ait pas le temps de revenir à sa température primitive, la pression variera dans un plus grand rapport que la densité. Nous supposerons donc qu'on ait, un général ,

p = gmh (1 + J + «■);

e désignant une quautité de même signe que » , et qui en est une certaine fonction. A cause de la petitesse de s, on peut supposer cette quantité r proportionnelle à #, et faire

rase 6f|

C étant un coefficient positif et indépendant de s Au moyen de ces valeurs, on aura

dp = gmh (1 + C) de ,

et il ea résultera

en supposant que l'intégrale t'évanouisse avec », et faisant , pour abréger,

Si l'on néglige le carré de » et qu'on prenne cette intégrale pour la valeur de la quantité P comprise l'équatiou (ft) du n° 654, on aura

dp dp df

dx dy d»

et supprimant le terme V qui provient des forces X , Y, Z, cette équation (6) deviendra

1 dp

et en la joignant aux équations (a), savoir, * * *

■ = — , c sb

dy

ds

ces quatre équations feront connaître la condensation, la grandeur et la direction de la vitesse du fluide , au bout du temps t et au point dont les coordonnées sont x , y, s , lorsque la fonction • aura été déterminée en fonction des * , y, z , f.

Si les déplacemens des points du fluide sont aussi supposés très petits, c'est-à-dire, si les points du fluide ne font que de très petites oscillations, et n'ont pas un mouvement commun de translation ou de rotation , les variables * , y, s , différeront très peu des coordonnées initiales x', y', a', du point auquel elles répondent; on pourra les regarder comme égales à x', y', s', en intégrant les valeurs de udt , tdt , tvdt , pour en déduire , à un instant quelconque , les déplacemcus de ce point suivant les trois axes des coordonnées; et alors, on aura

x — x'—fudl, y — y'=fvdt, * — z'=fwdt;

les intégrales étant prises de mauière qu'elles s'évanouissent quand t — 0.

Quant à la quantité • , pour obtenir l'équation dont elle dépeud , je mets D( 1 -j- *) à la place de p dans l'équation (c) du numéro cité; et en négli-

dt dt dp

géant les produits de » et de — , —, — , il vient

dx dy dx

dt + dx» + dy + laTou bien , en substituant pour t sa valeur précé-

dente ,

d* » / d» e d» p dt* ~ °* Un + dy» + «i

Ces équations(l), (2), (S), sont celles delà théorie du son dans un air dont la température et la densité sont constantes. Elles supposent quo la formule «dx + rdy + tvdx soit une différentielle exacte; ce qui a lieu, effectivement, dans les deux cas particuliers auxquels nous allons les appliquer.

659. Supposons , d'abord , que l'air soit contenu dans un tuyau cylindrique, et que ses points se meuvent parallèlement à l'axe, qui sera horizontal, afin que la pesanteur ne fasse pas varier la densité. En prenant l'axe des x dans cette direction , on aura t» = 0 et w = 0; la quantité a ne sera fonction que de * et t ; et l'équation (3) se réduira à

dt' dx> '

On en déduira les mêmes conséquences que de l'équation (l)du n J 495, relutive aux vibrations longitudinales d'une verge élastique. Quand le tuyau se prolongera infiniment , a sera la vitesse de la propagation du sou suivant sa longueur ; quand il sera terminé , et d'une longueur /, le nombre des vibrations du fluide, dans l'unité de temps, correspondant au son le plus grave, sera en raison inverse de/; quand le ton s'élèvera, ce nombre croitra dans le même rapport que celui des nœuds de vibrations; et en désignant par x la distance comprise entre deux nœuds consécutifs , et par n le nombre correspondant des vibrations, on aura

En ces points, la vitesse des molécules d'air est nulle , et la condensation » ne l'est pas ; il y a , au contraire , d'autres points où cette condensation est zéro , et où le fluide est en mouvement. Les distances qui séparent ces autres points sont les mêmes que pour les premiers, comme on peut le voir par les formules du n° 496. Ils jouissent d'une propriété qui sert à les déterminer par l'expérience, et qui n'appartient qu'à eux. Si l'on fait une ouverture à la paroi du tuyau en l'un de ces points où la condensation est nulle , et qu'on établisse la communication avec l'air extérieur, le mouvement du fluide intérieur n'est aucunement changé , non plus que le ton qu'il fait entendre. En prenant pour x la distance de deux de ces points consécutifs , et pour n le nombre correspondant au Ion observé, l'équation précédente fera connaître la valeur de a, et par suite celle de la quantité C contenue dans l'expression de cette vitesse. L'usage , pour cet objet, du ton élevé qui répond à une partie aliquotc de /, est préférable à celui du ton

HYDRODYNAMIQUE.

fondamental , qui peut être influencé par le mode d'insufflation du tuyau et par les circonstances relatiTes k l'embouchure. C'est de celte manière que H. Dulong a déterminé, pour l'air et diflcrens gat, les valeurs de la quantité y du n° 038; laquelle quantité est égale à 1 + C, comme on le terra tout à l'heure»

660. Pour second exemple , je supposerai que la masse d'air s'étende indéflniment en tous sens , et qu'elle soit ébranlée semblablement, suivant toutes les directions, autour d'un point fisc que je prendrai pour origine des coordonnées. Si l'on appelle r, au bout du temps r, le rayon vecteur du point qui répond à * , y, s , et { sa vitesse , elle sera dirigée suivant ce rayon , et sa grandeur sera une fonction de r ctl, ainsi que la condensation a ; car il est évident que tout doit être symétrique autour de l'origine des coordonnées, pendant toute la durée du mouvement. On aura

t» ty f»

et à cause de

** + y* + •* = f » *d*+ ydy -f crfs = roV; il en résultera

udx + i ly -f ud* — {dr,

en sorte que cette formule sera la différentielle exacte d'une fonction de r et t Cette fonction étant la quantité s, déterminée par l'équation (3) , on

pour la résultante des vitesses u , v , w.

En la différentiant par rapport à *, y, s, on aura

dp s

dp dp x dp dp y dp

dx dr r dy dr r da dr r en diflerentiant une seconde fois, il vient

di f d> p x* dp y* -\- a*

dx* dr* r* dr r 3 '

d* p d* p y» dp s» -f- *'

dy* dr* r* dr r» '

d* p d* p z * dp x* -f y»

di* dr* r* dr '

et, d'après ces valeurs , l'équation (3) devient ±± (d* p 2 dp\

«* = a, U- + 7Tj'

ou, ce (]ui est la même chose,

Son intégrale complète est (n° 485)

f et F désignant les deux fonctions arbitraires. Si donc on fait

da r *

dfa

intégrale

t = -[r {r + ot)+ï>(r-at)} r

--\f(r + °t) + T(r-al)},){t>) r*

•as-[r(r-«0~/»(r + «01i

et ces formules feront connaître la vitesse et la condensation en un point et à un instant quelconques, après qu'on aura déterminé les fonctions ftttf pour toutes les valeurs de r + ai, qui est une variable positive, et les fonctions F et F' pour toutes les valeurs positives ou négatives de r — ai.

661. Tout étant semblable, par hypothèse, autour do l'origine des coordonnées, il faut que le centre de l'ébranlement du fluide demeure immobile pendant toute la durée du mouvement ; il est donc nécessaire que la première formule (5) s'évanouisse avec r; ce qui exige que, quand ce rayon est infiniment petit, on ait

/-(r + «l) + F(r al) = Tr, r(r + a/) + F'(r al) = Tj

t. En faisant

le rayon r tout-à-fait nid dans la première do ces équations et dans sa différentielle par rapport a al, savoir,

r -r( r+ al)F'(r-al) = l -,

a di

et mettant s au lieu de al, on aura donc

fz+T{-,) = 0, f"* -*•(-*)-». («)

mais seulement pour les valeurs positives de a. Ces équations feront connaître les valeurs de F ( — a) et F' ( — a), d'après celle de fs et fa; en sorte qu'il ne restera plus qu'à déterminer les valeurs de fa, /"'s, Fs, F's, pour toutes les valeurs positives de ».

Pour cela, soient 4»" et — irr les valeurs initiales a

de { et s, de sorte que -{r et irr désignent desfonc- Lions données depuis r = 0 jusqu'à r = œ , dont la première devra être nulle pour r= 0, et qui sont toutes deux de certaines vitesses. En faisant 1 = 0,

d.-fr

d. — fr r

dfr

dr'

d'où Ton tire

(7) arbitrai-

/V+Fr = 4. ' + r r

Fr — /r = +, r -f ci

en représentant par b et c deux constan res, et faisant

ftrdr — 4, r, /r*rdr = *, r:

on pourra supposer que ces deux intégrales s'évanouissent pour telle valeur qu'on voudra de r; nous prendront tout a l'heure r = oo pour cette voleur.

Si l'on a seulement égard aux constantes b et c, les équations précédentes donneront

fr=Ur- le, /V=7», Fr=^6r+ic, IV= - «j on en conclut

pour r > ai, on aura aussi

r(r-ot)=±b(r-ot)+ r c,

pour r < al, on aura

f(ai-r) = i-A(a#-r)- 7 c,

et en vertu des équations (6) il en résultera F(r-a<)= f »(**— •<)+ 7«i

comme dans le cas der > ssf. Or, en substituant ces différentes valeurs dans les formules (5) , on trouvera qu'elles se réduisent à zéro; de sorte que les deux constantes arbitraires A et c disparaissent des expressions de f et t.

En en faisant donc abstraction , et mettant s au lieu de r dans les équations (7) et dans leurs diffé-

pour les valeurs qui restaient à trouver.

Les formules (6) ne contiendront plus rien d'inconnu, et reufermeront, par conséquent, la solution complète du problème. On peut remarquer que rien, dans la question, ne pourrait servir à déterminer les valeurs de f{— »), dont les formules (5) n'exigent pas la connaissance.

662. Voici maintenant les conséquences relatives à la théorie du son, qui se déduisent de ces formules.

Soit i le rayon de l'ébranlement primitif, en sorte que 4*" et +r aient des valeurs données arbitrairement depuis r = 0 jusqu'à r = et soient xéro depuis r = « jusqu'à r= ce . Les intégrales 4» r et -f i r seront des quantités constantes pour toutes les valeurs de x qui surpassent i; et comme on lea suppose nulles pour r =. x , elles le seront aussi depuis r es i jusqu'à r = ao .

Cela posé, si l'on considère d'abord un point du fluide compris dans l'étendue de l'ébranlement primitif, on aura r < i. Tant que t sera moindre que

, les valeurs de f r-\-at) tif (r-f at) neaeront

pas nulles, et on les déduira des équations (8); il en sero de même à l'égard des valeurs de F (r — at) et

F' (r — at) , tant qu'on aura I < — ; quand f sur-

passera — , celles-ci se déduiront decclles de ftot—r) a

et f [at — r), au moyen des équations (6); enfin ,

quand le temps t sera devenu plus grand r-

tous les termes des formules (6) seront nuls, et tous les points contenus dans l'étendue de l'ébranlement primitif seront revenus à l'état de repos. Ainsi, pour tous les points compris dans la sphère dont le rayon est «, la durée du mouvement décroîtra, du

centre à la surface, entre les limites — et — .

En dehors de l'ébranlement primitif, on aura r -j- at > i ; ce qui fera disparaître f (r + ot) et f (r -f at) des formules (5), et les réduira à

, =-F'(r-nl),

HYDRODYNAMIQUE.

quand on a r > at, ou bien, en vertu des équa-

• =- r (<"-'), ar

lorsqu'on a at > r. Les valeurs des quantités comprises dans ces expressions de t et s seront données par les formules (8) ; elles seront nulles tant qu'on aura r > at -f- 1, et le redeviendront dès qu'on aura r < at — « ; d'où l'on conclut que le son se propagera à l'air libre avec la même vitesse a que d'un tuyau cylindrique; que le de chaque molécule d'air subsistera

t un intervalle de temps égal à — , et que la

largeur de l'onde sonore sera égale au diamètre 2» de l'ébranlement primitif.

A une grande distance du centre de cet ébranlement, on pourra négliger les seconds termes des valeurs de f , qui sont divisés par r» , par rapport aux premiers qui ne le sont que par r; on aura alors, pendant toute la durée du mouvement,

comme dans le n« 408 , où « représentait la dilatation au lieu de la condensation. La vitesse propre des molécules d'air décroîtra alors en raison inverse de r. On suppose l'intensité du son proportionnelle au carré de cette vitesse ; en sorte qu'à une grande distance du lieu de l'ébranlement primitif, elle décroîtra en raison inverse du carré de cette distance; ce qui parait conforme à l'espérience.

Ces résultats ont encore lieu , lorsque l'ébranlement n'est pas le même en tous sens. A une distance considérable par rapport à son diamètre, la vitesse du son est uniforme et égale à la constante a, les ondes ont une forme à peu près sphérique, et, suivant la direction de chaque rayon, l'intensité du son varie en raison inverse du carré de la distance, quelle que soit, d'ailleurs, sa variation en passant d'un rayon à un autre. Cette intensité décroît aussi avec la densité du milieu où le ton est produit; en sorte que, par exemple, elle diminue à mesure qu'on approche du sommet d'une haute montagne. En considérant la propagation du son dans un air composé de couches de différentes densités, on trouve qu'à distance égale, son intensité ne dépend que de la densité au lieu de l'ébranlement primitif; d'où il résulte qu'une personne placée dans un ballon , doit entendre le bruit qu'on fait à la surface de la terre, comme si elle était à cette surface; tandis que le bruit qu'elle ferait serait entendu , à cette surface r comme si l'on était dans la couche atmosphérique où se trouve l'aérostat.

Si l'intensité dn son dépend de la grandeur des vitesses des molécules d'air qui frappent l'organe de l'ouïe, si l'élévation du ton est réglée sur le nombre de ces coups dans un même temps, c'est-à-dire, sur la répétition plus ou moins fréquente des vibrations de l'air, on peut se demander ce qui liait la différence d'une syllabe à une antre, chantées avec une même force et sur un même ton. Selon Euler, cette différence doit être attribuée à la forme de la fonction qui exprime la loi des vitesses successives de l'air pendant chaque vibration ; de manière que l'organe de la voix aurait la faculté de donner à cette fonction la forme convenable, et l'organe de l'ouïe, la faculté d'en apprécier les formes diverses.

663. Sans que la forme de l'équation (4} soit changée, on peut transporter l'origine des coordonnées en d'autres points du fluide. D'après cela, si l'on désigne par r ( , r„, r un etc., les rayons vecteurs d'un même point, comptés de ces diverses origines, et si l'os suppose successivement que a soit fonction de t et de chacun de ces rayons, on satisfera à l'équation (4) au moyen de la valeur de a du n° 660, et des valeurs qui s'en déduisent, en y mettant r„ r„, r f() , etc., au lieu de r, et changeant à chaque fois les fonctions arbitraires. A cause de la forme linéaire de cette équation, on y satisfera donc aussi en prenant pour f la somme de toutes ces valeurs

+-K ta +«!)+*,(',- «<)]

+ -[/>„+«<)+F i( {r ,-atj]

+ etc.

Or, on conclura de cette formule, que si l'air est ébranlé simultanément autour de chacune des ori-

gincs de r, r„ r,„ etc., la condensation — en un

dt

point et à un instant quelconques, qui sera toujours donnée par l'équation (1), aura pour valeur la somme des condensations qui auraient lieu en vertu de tous ces ébranlemens isolés. De plus, en vertu des équations (2), les composantes de la vitesse au bout du temps t , et eu un poiut M , dont m , y , % , sont les coordonnées par rapport à l'origine de r, pour expressions

dp de dr d* dr f dp dr u

— - + — + etc.,

dr, dx

de

"~7y~ dp

dr dx

dp dr dp dr, dp dr,,

+ + -f etc.,

dr dy dr, dy dr () dy

dp dr dp dr, dp dr tl

+ + + rte. ;

dr di dr, d» dr , ds

dp dp dp

les différences partielles—, -, —, etc., étant pridr dr,dr lt

■es en regardant r, r„ r„, etc., comme des variables indépendantes. Hais si l'on appelle x,, y„ s„ les coordonnées de H rapportées à l'origine de r, et à des axes parallèles à ceux des *, y, a, ces coordonnées *„ y„ *,, ne différeront de x, y, s, que d'une quantité constante; de sorte que Ton aura

dr, dr, x, dr, *i *# *J

dx~ dx,~ r/ dy dy, r, ' dt ds, r,'

on aura de même

en désignant par x u , y„, *„, les coordonnées du même point, dont l'origine est celle de r (1 ; et ainsi de suite. Les dono

dp x

dp

dp

dr

dp

dp

e dr r

dp z

dp

dp

dr

d'où l'on conclut que la résultante de «, t>, «>,

dp dp dp

sera la même que celle des vitesses — , — , — ,elc.,

dr dr, dr„

dirigées suivant les rayons vecteurs r, r,, r 1( , etc., et, par conséquent, en vertu de la formule (9), la même, en grandeur et en direction, que si tous les ébranlement autour des centres de ces rayons avaient lieu isolément; ce qui s'accorde avec le principe de la superposition des petits mouvemens.

«64. Cette formule (0) servira aussi à déterminer la réflexion du son sur un plan fixe.

Pour cela, supposons que la masse d'air soit terminée par un plan fixe AB (fig. 140), et que l'ébranlement primitif ait lieu autour du point C, origine du rayon vecteur r, et ne se soit pas étendu jusqu'au plan AB. De ce point, abaissons la perpendiculaire CD sur ce plan; prolongeons-la d'une quantité DC„ égale à CD; supposons que C, soit l'origine de r,; et prenons la droite CDC ( pour axe des * et x,. En appelant h la longueur de CD, on aura s = h et x, = — h, pour tous les points du plan AB ; pour ces valeurs de x et x , il faudra donc que la vitesse u, perpendiculaire à ce plan , soit constamment nulle (n° 653). Or, on satisfera à cette condition et è l'état initial du fluide, en prenant pour ■ la for-

mule (9) réduite à ses deux premiers , Toir:

et déterminant < traires f, F, /"„ F,.

En effet, on déterminera les deux premières, comme précédemment, d'après l'état initial du fluide autour du point C; les points qui répondent a r, < h. n'appartenant pas au fluide , on pourra donner telle valeur qu'on voudra à chacune des fonctions f,r, et F ( r ( sans altérer cet état initial ; on pourra donc prendre pour les fonctions indiquées par/",, et F, les mêmes fonctions qu'on aura trouvées pour celles dont les indices sont f et F; la formule précédente deviendra alors

et ne renfermera plus rien d'inconnu. De plus, pour tous les points du plan AB , on a r, = r; on dp dp

aura donc — = — ; et comme on a aussi pour ces dr dr,

mêmes points x = Ji et s, = — h , il en résultera u = 0 ; en sorte que la formule (10) représentera l'état initial du fluide , et remplira la condition relative aux points adjacens au plan AB ; ce qu'il s'agissait d'obtenir.

Soit H le point du fluide dont les rayons vecteurs CM et C ( M sont r et r, ; en vertu des deux parties de la formule (10), ce point sera d'abord ébraulc au

bout d'un temps égal a - ' , et ensuite au tout

d'un temps égal àllU-*, en désignant toujours

par « le rayon de l'ébranlement primitif. Le | mouvement produira le son direct, et le second le •on réfléchi. Celui-ci sera le même que si le plan AB n'existait pas , et qu'un second ébranlement identique avec celui qui a lieu autour du point C, ait eu lieu simultanément autour du point C ( . Il se propagera avec la même vitesse a que le son direct, et aura l'intensité correspondante à la distance CM, ou à la ligne brisée CEM, en supposant que E soit le point où le rayon C,M coupe le plan AB. Enfin EF étant la normale à ce plan , les deux parties CE et ME du rayon sonore qui se réfléchit au point E, feront l'angle d'incidence CEF égal à l'angle de réflexion MEF. Ainsi, il résulte de la formule (10)

inrDRODÏIUMQUE.

lois de la réflexion du le»

•on lur un plan fixe celles de la lu-

i maintenant la vitesse a, donnée par la théorie, à celle qui a été déterminée par l'expérience; et pour cela, voyons d'abord ce que signifie la quantité C contenue dans son expression. D'après les valeurs de p, p, v % du n« 668, on a

ou plus simplement

en négligeant le carré de*. Supposons que « soit l'augmentation de température qui répond à cette condensation s ; de sorte que la température , qui était f dans l'état d'équilibre, devienne * v au bout du temps r, dans l'état de mouvement. A cet instant , la pression p, la densité f et la température I + a, auront lieu simultanément; d'après l'équation (1) du n û 62ô, on aura donc

en désignant paris un coefficient indépendant de la densité et de la température, et par * le coefficient 0,00376 de la dilatation des gai. Dans l'état d'équilibre, ont

p = (jmk , f =r D , n = 0; appliquée à cet état , l'équation précédente sera

,*,*= Ht (1 + .1);

, dans l'état de

et, en il en

Or, si l'on suppose les vibrations do l'air osses rapides pour que la condensation a ait lieu sans aucune perte de chaleur, on pourra mettre * et a à la place de t et m dans l'équation (6) du u» 637 ; ce qui donne

y étant le rapport de la chaleur spécifique de l'air tous une pression constante , à sa rhaleur spécifique sous un volume constant.

La valeur de a» du n» 66S deviendra , de cette

gmhy

Si l'on appelle A la gmh et à la

et par

la pression (n» 625)

gmhy

Puisque la quantité y est regardée i pendante de la température et de la pression(n° 638), on voit, 1° que la vitesse a croîtra avec la temperature • dans le rapport de [/l -f- »» à l'unité; 2° qu'elle ne variera pas avec les hauteurs barométriques, puisque h et A croissent en même temps et dans le même rapport. Les académiciens français envoyés ou Pérou , pour la mesure d'un arc du méridien , ont, en effet, trouvé à peu près la même vitesse du son à Quito, où la pression barométrique n'était pas tout-à-fait de 0™,65, qu'à Paris, où elle s'élève à 0°»,76. L'état hygrométrique de l'air doit influer un peu sur la valeur de a : la densité diminuant , toutes choses d'ailleurs égales , à mesure que l'air contient une plus grande quantité de vapeur, la vitesse a augmentera avec le degré d'humidité; mais d'après les données du n° 632, à la température de l8 a ,76, par exemple, la densité

de l'air sec excède à peine de — , celle de l'air

isl

chargé du maximum de vapeur ; ce qui ne fait qu'une variation de -1- pour la vitesse du son dans

ces deux états extrêmes de l'hygromètre.

Dans l'expérience la plus récente que l'on a faite •ur la vitesse du son , les commissaires du Bureau des Longitudes ont trouvé

en prenant la seconde pour unité , et la température de l'air étant 16°,9 du thermomètre centigrade. Or, si l'on fait dans la formule (*)

• = 0,00376, 1 = 16",0, y = 1,3748, on en déduit

ce qui diffère peu du résultat de l'observation. En prenant (n« 638),

et conservant toutes les autres données , on trouve a = 342m,69 ,

dont Ib différence ovoc l'observation est en sens contraire de la précédente, et toujours très petite.

Si l'on te sert de la vitesse observée , pour déterminer la valeur de y au moyen de la formule

ai A

gmh (l + «S) '

on obtient, d'après les données précédentes,

666. Il ne faut pas perdre de vue, en comparant cette dernière valeur do y a celle qui la précède, qu'elles supposent Tune et l'autre la dilatation ou la condensation de l'air assex rapide pour que la quantité de chaleur du fluide n'ait pas le temps de varier sensiblement. Or, dans In propagation du son à l'air libre, d'où l'on a déduit la valcury=l,4081, il est possible que la cbaleurs'écbappe ou revienne plus facilement sous forme rayonnante , que dans le son produit par l'air renfermé dans un tube , dont la considération a donné l'autre valeur y = 1,421 , et où la quantité de chaleur de chaque couche d'air ne petit guère varier que par le contact avec les parois du tube. Celte remarque pourrait expliquer la différence des deux résultats , et porterait à penser que la plus grande valeur de y est la plus esacte.

En n'ayant point égard à cette quantité, la vi-

tesse du son , réduite à

est celle que

Newton a donnée. Elle est trop petite de plus d'un sixième. Pour qu'elle s'accordit avec l'expérience, Lagrange avait remarqué qu'il faudrait supposer que la pression variât dans un plus grand rapport que la densité , et fût proportionnelle à peu prés

à la puissance ~; et, en effet, en négligeant le

carré de a, la valeur do p, dont noua avons fait usage , est

f = H(l+'] 1 + { , pour la densité D (1 -f a). Mois il n'a assigné aucune cause de cette variation plus rapide de la force élastique de l'air ; et c'est Laplace qui l'a attribuée, le premier, à la variation de température dont les condensations et les dilatations alternatives de l'air sont accompagnées dans le phénomène du son.

C'est à celte même cause qu'est due la propagation du son dans la vapeur d'eau au maximum de densité. Si l'on fait vibrer un corps sonore dans un vaisseau fermé, qui contienne celte vapeur non mélangée d'air, l'expérience prouve que le son se produit dans cette vapeur et s'entend au dehors. Or, si la température de la couche de vapeur adjacente à ce corps sonore n'était pas augmentée, quand elle est condensée par les vibrations de ce corps, elle se réduirait en eau et se précipiterait sur ce corps, puisqu'on la suppose au maximum de densité relatif à la température de l'espace où elle se trouve; mais sa température augmentant par la compression, la couche adjacente ou corps sonore

peut se maintenir à l'état de vapeur : clic condense ensuite la couche suivante, celle-ci , la coucbe qui vient après , et ainsi de suite ; de sorte que le son se propage, comme dans un gai permanent , jusqu'à la paroi intérieure du vase. Les dilatations des couches de vapeur, qui suivent leurs condensations, sont accompagnées d'une diminution de température , qui ne les réduit pas non plus en eau, puisque leur densité diminue en même temps, et descend au-dessous du Maximum relatif à la température de l'espace où se passe le phénomène.

667. En considérant l'eau comme un fluide un peu compressible et parfaitement élastique , le son s'y propagera suivant les mêmes lois que dans une masse d'air. Parvenu à la surface de l'eau , le son sera en partie transmis dans l'air extérieur, et en partie réfléchi dans l'eau; dans ce partage, la direction dea ondes sonores, transmise et réfléchie , se déterminera suivant les lois de la réfraction et de la réflexion de la lumière. La vitesse du son réfléchi sera la même que celle du son direct, et les rapporta des intensités du son transmis et du son réfléchi entre elles et avec l'intensité du son direct , dépendront du rapport des vitesses de la propagation du son dans les deux milieux superposés, c'est-à-dire, dans l'air et dans l'eau. C'est ce qu'on peut voir dans les mémoires cités au commencement de ce chapitre ; ici, nous nous bornerons à calculer la valeur numérique de la vitesse du son dans une masse d'eau.

D'après ce qu'on a vu, dans le cas d'un fluide élastique, cette vitesse sera la même que si l'eau était contenue dans un tube très étroit et d'une largeur constante; et, dans ce cas, cette vitesse est aussi la même que celle de la propagation du mouvement, suivant la longueur d'une verge élastique de la même matière que l'eau. Or, supposons qu'une colonne d'eau contenue dans un cylindre vertical, soit chargée d'un poids A à sa partie supérieure; soient / sa longueur naturelle , et l— W, ce qu'elle devient par l'effet de cette pression; de sorte que / soit une fraction très petite, qui exprime la condensation du liquide; soient aussi p son poids, et g la gravité ; si l'on fait , comme dans le u° 496,

a sera la vitesse demandée , ainsi qu'on l'a vn dans le n°498.

Appelons b la section horixontale de la colonne d'eau; supposons que la charge A soit égale au poids d'une colonne de mercure qui aurait 6 pour base, et dont la hauteur serait représentée par A; désignons aussi par m la densité du mercure, et par f celle de l'eau; nous aurons

A = ymhb , p — gfli ;

et il en résultera

gmh

HYDRODYNAMIQUE.

en sorte qu'il suffira pour calculer la valeur de a , de connaître la fraction l relative à une hauteur donnée h.

A la température de 10 degré* centigrades , le physicien anglais Canton a trouvé

sous une charge équivalente à la pression ordinaire de l'atmosphère. Ce résultat a été confirmé, comme on l'a dit précédemment (n° 678), par les expériences récentes qu'on a faites sous des pressions plus considérables, et qui ont donné une condensation proportionnelle a la pression et égale à la valeur précédente de t t pour chaque pression at-

grandc qu'oit été la pression, n'ont indiqué aucune augmentation sensible de température ; en sorte qu'il n'y a pas lieu de croire que la propagation du son dans l'eau , soit accompagnée, comme dansl'air, d'une variation de température qui puisse influer sur sa vitesse. Cela étant , si l'on substitue cette valeur de t dans la formule précédente, et qu'on y fasse

g= 9">, 80890, Js = 001,78, — = 13,6975,

on en dédoit

de manière que la vitesse du son dans l'eau surpassa le quadruple de sa vitesse dans l'air.