CHAPITRE III
DD BlOOVEMBNT DES FLUIDES, DASS UNE HYPUTUÈSE PARTICULIÈRE.
668. La supposition que nous admettons dans ce chapitre est connue sous la dénomination d'Aypoihete du parallélisme des tranches. Elle consiste à supposer que quand un fluide pesant, de l'eau, par exemple, s'écoule dans un vase, et sort par un orifice horitontal pratiqué au fond du vase, les tranches horizontales et infiniment minces se remplacent successivement , en demeurant parallèles a elles-mêmes. Cela revient à négliger les différences des vitesses verticales des points qui appartiennent à une même tronche horitontale, et à regarder chaque tranche comme composée des mêmes poinU du fluide pendant toute la durée du mouvement On néglige aussi les vitesses horitontales , qu'on suppose très petites par rapport aux vitesses verticales , et qui influent peu sur la vitesse verticale commune à tous les points d'une même tranche. Ces supposition» sont d'autant pins conformes a l'observation , que le» dimensions horiiontales du vase varient moins, et que leurs différences, d'une tranche à une outre , sont plus petites , eu égard à la hauteur du liquide au-dessus de l'orifice. Quand ces conditions sont remplies , on observe, en effet, que des parcelles d'une poussière légère, jetées dans le liquide et entraînées par son mouvement,
se meuvent , à peu près verticalement , avec une vitesse a peu près égale pour toutes les parcelles qui se trouvent dans une même tranche horitontale. Elles conservent ces directions tant qu'elles ne sont pas très rapprochées de l'orifice ; quand elles en sont à de petites distances, et que l'étendue de l'orifice diffère notablement de celle des sections inférieures du vase , elles prennent des directions obliques, qui montrent qu'alors le parallélisme des tranches cesse d'être admissible; car il y a lieu de croire que ces légères particules s'attachent au liquide, et prennent exactement le mouvement des points auxquels elles répondent.
Dans l'hypothèse du parallélisme des tranches , telle que nous l'expliquons, on aura donc seulement deux inconnues à déterminer , en fonctions de deux variables, savoir: la vitesse d'une tranche quelconque et la pression qu'elle éprouve, en fonctions de la distance à un plan horitontal et du temps. La question sera ainsi réduite a sa plus grande simplicité , et susceptible , comme on va le voir, d'une solution complète, dans le cas d'un fluide homogène et incompressible.
669. Soient ABCD (fig. 141) le vase, AB l'orifice horitontal , EF le niveau du liquide, 0* unaxe-
vertical , sur lequel on compte les distances des tranches horitontales à un point fuc 0, ou au plan horizontal mené par ce point. Soit aussi MNM'N' une tranche quelconque , comprise entre deux sections horizontales MN et M'IS' du vase , dont la distance au point 0 est s au bout du temps t quelconque, et dont l'épaisseur est dx. Appelons v sa vitesse au même instant, ctp la pression rapportée à l'unité de surface, qui a lieu sur la base supérieure MN, et est transmise, par le fluide, sur la base inférieure M'ÎN' et sur les parois MX 1 et K > du vase. Désignons par y Taire de la section IN du vase, qui sera donnée , dans chaque exemple , eu fonction de s. Enfin, soient y la gravité et f la densité constante du fluide ; la question consistera , comme on vient de le dire , à déterminer les valeurs de r et p en fonctions de t et ».
La masse de la tranche que nous considérons sera le produit fydx de la densité p et de son volume ijdx. Si elle était libre , sa vitesse augmenterait de gdt pendant l'instant dt; elle augmente réellement de dv\ la vitesse perdue est donc ydt — dv ; et l'on a
pour la force perdue , c'est-à-dire , pour la partie du poids 'jfydr détruite par la pression des autres tranches. D'après le principe de D'Alembert , il y aura donc équilibre dans le fluide, si l'on suppose toutes ses tranches sollicitées par de semblables forces ; dans cet état , la pression py qui a lieu sur la base supérieure MN de la tranche fydx, se transmettra, en raison des surfaces (n° 578), sur la base inférieure MW, et deviendra, conséquemment, py\ en désignant par y' Taire de M'Y; par conséquent •i Ton ajoute à cette pression transmise , la force motrice précédente, on aura la pression totale exercée sur M'N'j en en représentant par p' cette pression, rapportée à l'unité de surface, il en
,,y = py +
( 9 - î) ,yd,
Or , les quantités p" et y" sont ce que deviennent p et y, quand on y met x + dx au lieu de * ; en négligeant les infiniment petits du second ordre , on oura donc
dp du p'=p + -ds, y' = y + Ar , dx dx
dx
ce qui réduit l'équation précédente à ccllo-ci : dp ( dv
dx >> dt'
que l'on obtient aussi en mettant y à la place
dt
de X dans la troisième équation d'équilibre du n° 583.
670. La seconde équation nécessaire pour déterminer les deux inconnues p et v , sera fournie par la considération de l'incompressibilité du fluide, lien résulte que le volume du fluide qui passe, pendant l'instant dt , par chaque section horizontale du vase, doit être le même pour tontes les sections; par conséquent, les vitesses du fluide qui répondent , eu même temps , à deux sections différentes du vase, doivent être réciproquement proportionnelles aux aires de ces sections. Si donc on oppclle u, au bout du temps i, la vitesse qui a lieu à Torifice horizontal AB ; que Ton représente par * Taire de cet orifice , et que Ton compare cette vitesse a celle qui répond à la i MN, on aura
d'où Ton tire
Dans cette valeur de e, « est une fonction de t , et y une fonction de* ; on peut donc en prendre la différentielle par rapport à Tune ou à l'autre de ces deux variables : la différentielle relative à * exprimerait la différence entre les vitesses de deux tranches consécutives , qui ont lieu au même instant; en différentiant par rapport a I, on aurait la différence entre les vitesses de deux tranches du fluide , qui répondent successivement à la même section du vase; mais pour avoir la différence entre les vitesses successives d'une même tranche , qui se déplace pendant Tinstant dt , il faut différentier a la fois la valeur de p par rapport aux deux variables t et *, en considérant la seconde comme une fonction de la première; ce qui donne
dv a du «u dy dx
dt y dt y dx dt
On a d'ailleurs — =e; et on ayant égard à l'é-
quation (3), il en résulte dp •du dt y dt dv
*% m dy yi dx
de — qu'il faut employer dans dt
C'est cette
l'équation (1), qui devient, en conséquence,
dx~ 9f a it v 3 ^
HYDRODYNAMIQUE.
Je multiplie se* deux membre* par ds ; j'intègre ensuite par rapport a x , et en observant qu'alors du
les quantités « et — doivent être regardées comme di
des constantes, il vient
+ Ju fdx a* »«»
gtx — «• — / - — :
diJ y «y
• étant la constante arbitraire qui peut être une fonction de t. Pour la déterminer, je représente par «la pression atmosphérique, et je suppose que ce soit celle qui a lieu à la surface supérieure £F du liquide. Avant que le mouvement commence, cette surface est horitontale; et comme on admet que chaque tranche horitontale se
ment des mêmes points du fluide, il s'ensuit que la surface EF demeurera horitontale pendant toute la durée du mouvement. Au bout du temps », je désigne par t la distance de EF au point 0, et par» l'aire de cette section variable du vase, de sorte que « soit la même fonction de I que y est de *; on aura à la I
et si l'on suppose que l'intégrale / — à * = • , l'équation précédente doon
•» Ml»
au moyen de quoi , cette équation deviendra
Les équations (8) et (3) feront connaître diatement les valeurs des deux inconnues r etp, lorsqu'on anra déterminé la valeur de u.
671. Pour cela , j'observe que la pression qui a lieu à l'orifice AB sera donnée : si le liquide s'écoule dans l'air libre, elle sera la pression atmosphérique , comme à son niveau EF; s'il s'écoule dans le vide, elle sera téro ; pour plus de généralité, je supposerai que l'écoulement a lieu dans un air dont la force élastique est égale a la pression <r, diminuée de la pression ope correspondante a une hauteur donnée c du liquide; en sorte qu'en appelant / la distance de l'orifice AB au point 0 , on aura constamment
pour # = /. J'appelle aussi A la hauteur du niveau EF du liquide au-dessus de cet orifice, ou la diffé-
rence /— et je représente par— laTaleurdel'in-
tégrale J , étendue au volume entier du li-
quide; de manière que x soit une ligne, dont la longueur sera une fonction de A, dépendante de la figure du vase , et donnée dans chaque exemple. A l'orifice, on aura donc, en même temps, la valeur précédeute dep, et
/ • + h ds 1
par conséquent , l'équation (3) , appliquée à celle section du vase, deviendra
en faisant, pour abréger, «»
On peut remarquer que cette quantité numérique C> sera toujours une quantité positive et moindre que l'unité ; car , pour qu'elle devint négative , il faudrait que l'aire de la plus petite section du vase surpassât celle de l'orifice, et le liquide se détacherait du vase à l'endroit de cette section minima, qui deviendrait le véritable orifice par lequel l'écoulement aurait lieu.
Lorsque le niveau du liquide sera entretenu à une hauteur constante au-dessus de l'orifice, lea trois quantités A, 1 , x , seront des constantes données , et l'équation (4) suffira pour déterminer la valeur de « eu fonction de t. Quand le niveau EF s'abaissera pendant l'écoulement du liquide, A sera une variable qu'il faudra aussi déterminer en fonction de t. Or, à ce niveau, on a y = «ct M
v = — ; et à cause que la somme I + A est une dt
di dh
dt' di' l'équation (2) on aura donc
dh au
- + - = 0; (6) dt m
et les valeurs de si et A dépendront des deux équations différentielles (4) et (6) , qui sont du premier ordre. Ou déterminera les deux constantes arbitraires que leurs intégrales contiendront, au moyen de la hauteur initiale du liquide, et en observant qu'on a «r=0, à l'origine du mouvement.
Soit que le niveau s'abaisse ou qu'il ne varie pas, si l'on appelle g le volume du liquide sorti du vase
nu bout du temps t , sa différentielle sera égale au volume a.udt de la tranche qui traverse l'orifice AB pendant l'instant dt ; on aura donc
dq = *udt, q = mfudt;
l'intégrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse quand t = 0.
Nous allons appliquer successivement ces différentes formules aux deux caa du niveau constant et du niveau variable.
