Dans le premier cas , l'équation

ydt =

2y ( h + <0 — c * «• ' d'où l'on tire, en mettant A au lieu de A + c , et

xl = — r log ■ ^

cy%K |/ïoa — c«

on n'ajoute pas de constante arbitraire , parce qu'on doit avoir u = 0 , quand f = 0. On pourra , sans changer cette formule, regarder, à volonté,

C cl \/2gh t comme des quantités positives ou négatives; nous les supposons positives. L'on aura

j/S^Â- Cu = {l/2^h + Cu) e

k , à l'ordinaire, par « la base

des logarithmes népériens. A mesure que t augmentera , le second membre de cette équation i ; au bout d'un certain temps , il sera ent nul , et à partir de cette époque , la vitesse « aura une valeur à peu près constante , savoir :

« = I y/zgT.

En chaque point du vase, la pression p et la vitesse v varieront avec la vitesse u , et deviendront sensiblement constantes en mémo temps que u.

Si l'on fait — =0 , dans la formule (3), et qu'on y dt

mette pour usa valeur précédente, on aura

pour la valeur finale de p, relative au point quelconque M.

Dans l'état d'équilibre , la pression en ce point serait « + Of (# — »); elle est doue augmentée ou diminuée par le mouvement du liquide , selon que le dernier terme de cette formule est positif ou négatif, c'est-à-dire, selon que la section horitontale MIS' ou y , est plus grande ou plus petite que la section EF ou ».

(6) de

CKtj/tyk

Cxrl/zTÂ

à cause de q = *Judt, et de q = 0 quand t = 0, on aura donc

, / ' Cx< j/zgk Cxi {/zg~h\

pour le volume de liquide sorti du temps t. Au bout d'un certain temps, on pourra négliger la seconde exponentielle , par rapport a la première, et l'on aura simplement

U l/ïgh 2»«

Le premier terme est le volume correspondant à la

; le

vitesse consUnte — |/2</A de 1'

volume total est plus petit, parce qu'au cernent 1a valeur variable de u est moindre que cette vitesse finale.

673. Dans le cas du niveau variable, je considère u comme une fonction de A, et j'élimine dt les équations (4) et (5) ; ce

. »• udu

gh + — - C> «> = 0 ,

en comprenant toujours la constante c dans A. J'appelle s la hauteur due à lu vitesse «, de sorte qu'on ait

s»« = 2qs . udu = gdi.

L'équation précédentes linéaire , savoir :

dt <•

dont l'intégrale s'obtiendra, comme on sait, sous

forme finie.

Connaissant s et u en fonctions de A, l'équation (6) donnera t en fonction de A , par une intégration immédiate; en sorte que l'on connaîtra le temps écoulé, quand le niveau du liquide sera à une hauteur h au-dessus de l'orifice , et , réciproquement, la hauteur A du niveau EF au bout d'un temps quelconque t. On aura lo temps entier de l'écoulement de tout le liquide , en intégrant la valeur de dt depuis la valeur initiale de A jusqu'à A = 0. Quant au volume q du fluide écoulé, il sera , à chaque instant , égal au volume du vase

HYDRODYNAMIQUE.

î niveau variable et le niveau initial.

674. Supposons , par exemple , que le vase soit un cylindre vertical , terminé par un segment de surface dont la flèche est très petite et dans lequel est percé l'orifice horiiontal AB. Soient a Paire constante de la section horiiontale du cylindre, et n le rapport de a a de sorte qu'on ait

En faisant abstraction du segment inférieur du vase qu'on suppose très petit , on pourra prendre

dans l'équation (7), qui deviendra alors

dz (»a l)j dk k

Son intégrale complète est

en désignant par C la coustante arbitraire. Si on appelle H la valeur initiale de k , il faudra que % s'évanouisse pour k = H ; ce qui exige qu'on ait

d'où il résultera , à un instant quelconque ,

2 — ■» v On aura , en même temps ,

fc).

et , en vertu de l'équation (6),

dk . / 2 -*»

C'est donc cette formule qu'il faudra intégrer obtenir I en fonction de k. Dans le cas de

n = 1 , on

d'où l'on tire

t=\/ LyT^k,

et, par conséquent,

comme cela doit être , puisque l'orifice étant alors égal à la base du cylindre, le mouvement du fluide doit être le même que celui d'un corps solide pesant qui tombe dans le vide. La formule (9) s'intègre encore sous forme finie, lorsqu'on an 1 = 3 ; et cela n'a lieu que pour cette valeur et pourn* = 1. Hais son intégrale définie, prise depuis k =■ jusqu'à k = 0, qui exprime le temps de l'écoulement entier du liquide , pourra toujours se réduire à des transcendantes que M. Legendre a nommées intégrales Lulèritnnc* de la seconde espèce, et dont il a donné des tables numériques. J'ai effectué ailleurs cette réduction * , ici je me bornerai k applila formule (9) au cas de n» = 2, où elle se

la forme — .

, sa véritable

D'après la règle

Or, si l'on fait

h = He~ 2 " ' dk = -4lle- *" il en résultera

dt = 2

- ds.

Les limites relatives à * , qui répondent 1 h = E et k = 0 , seront * = 0 et * = ao ; si donc on appelle T le temps de l'écoulement total , on aura

qj ° g en observant que l'intégrale^ 0 4 ~* '** est la moitié de^°°^e ~' qui a |/Tr>our valeur,

on l'a vu dans le n 513. Il s'ensuit que le temps T est celui des petites oscillations d'un pen-

idule simple, dont la longueur serait — H.

675. Lorsque l'orifice AB est très petit par rapport aux sections horiiontales du vase , on peut négliger le terme multiplié par « dans l'équation(4), du

à moins que le facteur — ne soit très grand ; ce dt

quia lieu, en effet, au commencement dn mouvement , où la vitesse u varie avec une grande rapidité. On peut aussi y mettre l'unité a la place de C ; et alors , soit que le niveau EF s'abaisse ou qu'il ne varie pas , l'équation (4) se réduit a

3 (* + •) - 7 «' = 0 ; d'où l'on tire

Il eu résulte ce théorème : que la vitesse d'un liquide qui sort d'un vase par un très petit orifice, est égale à celle qu'un corps pesant acquerrait en tombant dans le vide, d'une hauteur égale à celle du niveau du liquide au-dessus de cet orifice, quand les pressions supérieure et inférieure sont égalas , ou , plus généralement, de la hauteur du niveau , augmentée de la constante c , quand ces deux pressions sont inégales.

Dans le cas du niveau constant, ce théorème résulte de la valeur finale de m, trouvée dans le n» 672, en y faisante = 1. Il résulte aussi de la formule (8), appliquée au cas oùn est un très grand nombre , afin que l'orifice « soit une très petite partie de la section horisontale a du cylindre. On peut alors mettre n» a la place de »» — 2; ce qui chango d'abord la formule (8) en celle-ci :

u = v*$V i - (Ay\

Or, dès que a sera notablement moindre que H,

la puissance n» du rapport — sera une très petite

fraction, et cette valeur de u se réduira, à très peu près, à ss= X'^'jh.

L'orifice AB étant très petit , si la section MN n'est pas très voisine de cette ouverture, le rap- •»

port — , qui entre dans ! a formule (3) , sera très V*

petit; le rapport — l'est également; on pourra •*

donc supprimer le dernier termede rette formule; et si l'on néglige aussi le terme multiplié par « , elle se réduira à

d'où l'on conclut que, dans le cas d'un très petit orifice, la pression en tous les points du vase éloignés de cette ouverture, est sensiblement la même pendant le mouvement que dans l'état d'équilibre.

670. L'hypothèse du parallélisme des tranches exige, en général, que l'orifice soit horizontal ; mais, dans le cas d'un très petit orifice, on l'admet encore lorsque le liquide s'écoule par une ouverture latérale, dont le plan a une inclinaison quelconque, et peut même être vertical. L'observation fait voir qu'alors le liquide situé à peu de distance au-dessous de celte petite ouverture, demeure stagnant , et que les tranches horisontales situées à une pareille distance au dessus de cette même ouverture, descendent parallèlement à ellesmêmes ; en sorte que le parallélisme des tranches n'est troublé . comme dans le cas d'un petit orifice horitontal, que pour la partie du liquide très voi sine de l 'orifice. On pourra donc prendre V*9 (*+«)» po«r !» vitesse d'un liquide qui s'écoule par une très petite ouverture , quelle que

soit l'inclinaison de cet orifice; k étant la hauteur variable ou constante du niveau du liquide audessus du centre de l'orifice, et c la constante provenant de la différence des pressions extérieures qui répondent à ce niveau et à cette ouverture. Si le vase est placé dans le vide, de sorte que les deux pressions et cette constante soient nulles, les molécules du liquide auront, en sortant du vase, la vitesse [/2gh duc à la hauteur h , qui est aussi la vitesse nécessaire pour s'élever , dans le Yide , à cette hauteur (ri* 130). Par conséquent , si l'on donne au fluide, au moyen d'un tuyau, une direction verticale , il remontera , au dehors , à la hauteur de son niveau intérieur ; ce qui est , en effet , conforme à l'expérieuce. Géuéralement , les molécules du fluide décriront dans le vide, après un très court intervalle de temps , des paraboles dont la tangente à leur point de départ dépendra de k direction du jet, et le paramètre, de la hauteur h ou h -f- c, si la constante c n'est pas nulle.

I.a pression p sera sensiblement la même que dans l'état d'équilibre, excepté à l'orifice , où elle sera égale à m— ope, au lieu de «-|-apA. Or, si elle était aussi égafe à «-f g f h sur cette partis] du vase , les pressions horisontales se détruiraient , les pressions verticales se réduiraient au poids du liquide, augmenté de la pression mm qui a lieu sur la surface du -niveau ; d'où l'on peut conclure que , dans l'état de mouvement , la charge totale que le vase aura a supporter se composera de la pression verticale qui aurait lieu dans l'état d'équilibre, et d'une force normale au plan de l'orifice, dirigée de dehors en dedans du vase, et égale à l'excès de la pression . • — , Jf k) « sur la pression (« — gfc) m, ou à (A -f c | * , en désignant toujours par* l'aire très petite de cet orifice.

677. Dans le cas d'un niveau constant » t d'un orifice très petit, horizontal ou incliné , la dèpemso pendant le temps t , c'est-à-dire, le volume q du liquide qui sort du vase ovec la vitesse J/i^A, sera

ce qui résulte aussi de la valeur finale de q trouvée dans le n° 672, en y négligeant le carré de *. Mais on ne doit pas oublier que l'hypothèse du parallélisme des tranches , sur laquelle celte valeur de q est fondée, n'est qu'une approximation dont le degré d'exactitude ne peut pas élre évalué à priori, et dont les résultats ne doivent pas être employés sans restriction. Or, l'expérience ne s'accorde pas toujours ovec cette valeur théorique de la dépense.

Si la paroi du vase n'est pas très mince , et que l'ouverture pratiquée dans son épaisseur soit évasée intérieurement , de telle sorte que le fluide qui s'écoule hors du vase soit un cylindre vertical, ou un cylindre recourbé dont les sections normales soieut constantes et égales à l'aire » de l'orifice, prise sur la surface extérieure du vase ; dans ce cas , disons-nous , la dépense observéu s'accorde

HYDRODYNAMIQUE.

n voc la valeur précédente de g. Hais dans le cas d'un orifice en musc* paroi , la dépense observée est toujours proportionnelle à Taire de l'orifice , et à la racine carrée de l'élévation du niveau , comme dans la formule théorique; mais elle s'écarte de cette formule dans sa valeur absolue . qui en diffère par un facteur a peu près constant et moindre que l'unité. D'après les eipériences qni méritent le plus de confiance, ce facteur est 0,62 ; en sorte que la valeur de g, dont on fait usage dans le pratique, est

pour un très petit orifice en mince paroi , et une hauteur du niveau asset grande par rapport aux dimensions de cette ouverture, horizontale ou inclinée.

On attribue cette différence aux directions inclinées que prennent les molécules du liquide en approchant de l'orifice, que je suppose horizontal, pour fixer les idées ; directions qu'elles conservent après avoir traversé la mince paroi du vase. Il en résulte que la veine fluide eitérieure se rétrécit, jusqu'à une petite distance du vase , où la section transversale est à son minimum, pour devenir ensuite constante. Ce phénomène est ce qu'on appelle la contraction de la reine fluide. L'écoulement du fluide est le même que si l'orifice était la section de la veine à l'endroit de sa plus grande contraction , de manière quo si l'on désigne par Taire de cette section, et par à' sa distance constante au niveau du liquide, la dépense sera exprimée par »' t [/îgk\ ou , à très peu près , par

«' t \/2Qh y à cause du peu de différence de h' et h; or, en effet, par des mesures directes de la section *' comparée à l'orifice • , on trouve que ces deux quantités sont dans un rapport à peu prés indépendant de ft, et que Ton a constamment = (0,82)

Si Ton adapte à l'orifice en mince paroi, un ajutage cylindrique en dehors du vase, perpendiculaire au plan de Torifice , et par lequel l'écoulement aura lieu, l'expérience montre que la dépense est augmentée, et peut s'élever aux quatre cinquièmes du résultat de la théorie. Si cet ajutage est enfoncé dans l'intérieur do vase , la dépense est, au contraire, diminuée, et réduite à moitié de la dépense théorique ; en sorte que , dans la valeur précédente de g, le facteur 0,82 doit être remplacé par 0,80 dans le premier cas , et par 0,60 dans le second. Je me borne à citer succinctement ces résultats de l'observation , qui n'ont été ramenés, jusqu'à présent, à aucune théorie.

678. On admet aussi l'hypothèse du parallélisme des tranches dans le mouvement d'un fluide élastique qui sort d'un vase par un orifice quelconque ; et ello s'écarte peu de la vérité, quand les sections du vase, parallèles au plan de Torifice , ne diffèrent pas beaucoup Tune de l'autre , et que la longueur

st asses grande par rapport à leurs dimensions.

Dans ce cas, on peut faire abstraction de la pesanteur, et supposer que le mouvement soit uniquement dû à la force élastique du fluide , plus grande ou plus petite à l'intérieur du vase qu'en dehors. On supprimera donc le terme dépendant de g dans l'équation (1) , qui convient aux liquides et aux fluides élastiques. De plus , la différentielle de e , qu'elle renferme, devant être prise par rapport à I et à la variable * considérée comme fonc tion de f, on aura

dv dr dr

dv = — dt A dl \

dt ds dt

on a aussi — = e, cette équation dedt

dp dv de

ds dt ds

Le fluide étant compressible, il n'en plus un même volume, à chaque instant, par toutes les sections du vase, et l'équation (2) n'aura pas lieu. La niasse de fluide qni passe pendant l'instant dr par la section M , sera égale à r ycdl j ce sera cette même masse qui passera , l'instant d'après , en changeant de volume, par la section l'FT ; et pendant toute la durée du mouvement , sa grandeur ne variera pas. La différentielle du produit fyp, prise pnr rapport à t et à la variable * considérée comme une fonction de t, sera dono nulle; et à cause que y n'est fonction que de tt , ds

et qu'on a — = v , on en conclura

Enfin , si Ton suppose que la meure constante pendant le mou toute la masse du fluide , on aura

k étant un coefficient constant et donné.

Cela posé , en mettant — au lieu de » dans le*

équations (a) et (4), on aura deux équations aux différences partielles du premier ordre , pour déterminer, en fonctions de s et t , les deux inconnues v etpdu problème. Elles ne sont pas intégrantes sous forme finie , et les valeurs de r et p ne pourront s'obtenir que par approximation. Ces valeurs renfermeront deux fonctions arbitraires , que Ton

pour cela, je supposerai, d'une part , que l'écoulement ait lieu à Tair libre , en sorte qu'en désignant

par m la pression atmosphérique, ropportéc à l'unité de surface, on ait constamment p = «,à l'orifice AB. D'un autre côté, je supposerai aussi i soit en communication avec un gazo»

d'une gronde capacité, au moyen duquel on entretienne une pression constante et donnée, sur une section EF du fluide , parallèle à AB et de position fixe, de manière qu'en désignant par cette pression rapportée à l'unité de surface, on ait aussi p=V, en cet endroit du vase, pendant toute la durée du mouvement. Si donc on compte la distance x à partir du plan EF , et qu'on appelle l la distance comprise entre AB et EF , on aura , quel que soit I , p = «' pour s = 0, et p = m pour x=l ; ce qui servira à déterminer les deux fonctions arbitraires, et & compléter la solution du problème. Hais cette solution est trop compliquée pour qu'on en puisse déduire aucun résultat utile ; et, dans la pratique, il suffit de connaître In vitesse constante de l'écoulement du fluide par l'orifice AB , lorsque la pression y et la vitesse 0 sont devec. instantes en chaque point du vase ; ce qui

arrive, en général, après un très court intervalle de temps.

dv dp 678. Faisons dooo — = 0 et— =0 , dans les dt dt

équations (a) et (6) ; elles se réduiront a deux équations différentielles, savoir:

k dp dv p dx dx

dy d .pv

dx dt

L'intégrale de la seconde de ces équations est ypv = c;

e étant la constante arbitraire. En désignant toujours par « l'or 1 : AB, et par si la vitesse du fluide à cet orifice, de sorte qu'on ait à la fois y = *, v — «i p = », et, par conséquent, c = mii, il en résultera , en un point quelconque du vase ,

cette valeur de v dans la première (c), il vient ^

~pdx py dx * '

d'où l'on tire, en intégrant et désignant par c 1 la constante arbitraire ,

Je désigne par a l'aire de la section EF , de 1 qu'on ait, en même temps, y —a et » = •'; on aura donc

et, en retranchant cette équation de la précédente,

A loi; 1 m» «« ( ; 1=0. (#)

Les équations (d) et («) feront connaître fa vitesse et la pression en un point quelconque du vase , dès que l'on connaîtra la vitesse si relative a l'orifice. Or, en faisant ps« et f/ = «, dans l'équation 1», on en conclut

" , ( l -oT^r) ==8 * ,og 7 ; W

d'où l'on tirera la valeur de si. On fera , dans cette formule,

k = yrh,

en appelant y la gravité , et r le rapport de la densité du mercure à celle du fluide intérieur , sous une pression barométrique dont la hauteur est k , le volume du fluide qui sortira du vase pendant le temps t aura pour valeur «us.

Quand l'orifice sera très petit, ou remarquera, comme dans le n° 676 , qu'il ne sera plus nécessaire qu'il soit parallèle à la section EF, c'est-àdire , qu'il pourra être pratiqué à la partie latérale du vase , et avoir une inclinaison quelconque sur le plan de cette section. On pourra alors négliger

de l'équation (f) qui deviendra

si* = 2grk . log — ;

par conséquent, la vitesse de l'écoulement du fluide par un très petit oriGce, sera celle qui serait due à une hauteur rh, multipliée par le logarithmo

népérien du rapport — . La supposition qu'on a m

faite d'une température invariable pendant toute la durée du mouvement exige que la vitesse u ne •oit pas très considérable, sans quoi la température varierait comme dans la propagation du sou.

ADDITION