DES MAC111NKS E* MOUVEMENT

680. Lo principe des vitesses virtuelles donne immédiatement les conditions d'équilibre des forces appliquées eux machines; celui des forces vives renferme de même la théorie de leur mouvement, et h i m il le moyen le plus direct de calculer les effets des forces qui leur sont appliquées. Cet usage du principe des forces vives forme, pour ainsi dire , le point de jonction de la Mécanique rationnelle et de la Mécanique industrielle. Cest pourquoi j'ai cru devoir donner succinctement , dans cette addition , les notions les plus générales sur cette matière. Pour de plus grands dévcloppemens, j'indiquerai les leçons de M. Xavier, à l'École des Ponts et chaussées, et de M. Poncelet, a l'École de l'Artillerie et du Génie, qui ont été seulement lithogrsphiées , nuis auxquelles ces aavans professeurs donneront sans doute plus de publicité.

681. Va machines sont des instrumens ou des systèmes de corps solides, propres à transporter Faction des forces, d'une partie à une autre de ces assemblages.

Quand une machine est en mouvement, certains points sont donc soumis à des forces données , et d'autres parties exercent des pressions sur les corps extérieurs, ou sont pressées réciproquement par ces corps que la machine est destinée à déplacer ou à déformer. Les premières forces s'appellent fore*» mourantes; leurs points d'application se meuvent suivant lenrs directions, ou, plus généralement , les directions des mouvemens de ces points font des angles aigus avec celles de ces forces. Par opposition, on nomme forces ri Estantes , les pressions exercées par les corps extérieurs ; et les directions des mouvemens de leurs points d'application sont contraires a. celles de ces forces, ou, du moins, elles font avec celles-ci des angles obtus.

La liaison des parties d'une machine est telle, qu'elle ne peut prendre, en général, que deux

mouvemens directement opposées l'un à l'autre; il s'ensuit donc que, quand le sens du mouvement qu'elle prend effectivement est connu , il suffit d'une seule équation pour déterminer ce mouvement d'une manière complète. Cette équation est celle que Ton obtient en intégrant les deux membres de l'équation (o) du n» 666 , savoir :

ld.W=2»(Xdx + YoV+Wa). (a)

Au bout d'un temps quelconque I, compté depuis l'origine du mouvement, r représente la vitesse du point dont x , y , s , sont les trois coordonnées rapportées à des axes fixes et rectangulaires; sa est la masse de ce point , dx , dy , ds , sont les projections, sur ces axes, de l'espace qu'il parcourt pendant l'instant dt ; on désigne par m \ , m Y , «Z , les composantes de sa force motrice parallèles à ces mêmes axes, et les sommes S s'étendent à tous les points m du système.

682. Avant d'aller plus loin , il importe de distinguer t dons le second membre de l'équation (a), les termes qui proviennent des forces mouvantes et ceux qui résultent des forces résistantes, et de leur donner une autre forme.

Pour cela, soient P unedes forces mouvantes, et «, C, y y les angles que fait sa direction avec des parallèles aux axes des x, y, s; relativement à cette force, on aura

mX=Peos«, i»Y = PcosC, n»Z = Pcosy.

Soient aussi ds l'espace décrit pir son point d'application pendant l'instant ds, et x, r, les angles que fait la direction de dt avec ses projections dx , dy, ds, de sorte qu'on ait

dx = ds cos x , dy = ds cos M , dt SS dt cos r.

Désignons enfin par dp la projection de dt sur la direction de la force P, et par » l'angle compris entre dp et dt ; nous aurons

dp = dt cos r, cos r = cos * coi > + cos C cos ai ■+■ cos y cos r;

et, de ces diverses é\ |U ...».„ , ,

«(Xd* + Xdy + 14b) = Vip ,

i de l'équation (a),

pour le terme du second qui répond à la force P.

En désignant par Q une des forces résistantes , et par dq la projection sur le prolongement de sa direction , de l'espace parcouru pendant l'instant dt par son point d'application, on trouvera de même — Qdg pour le terme de ce second membre qni provient de la force Q. De cette manière , l'équation (a) prendra la forme

ld.2mt«= ÏPJp — ïQrf î; (ft)

l'une des sommes S contenues dans son second membre s'étendant à toutes les forces mouvantes de la machine , et l'autre à toutes les forces résistantes. D'après les hypothèses qu'on a faites sur les directions de ces deus sortes de forces, eu égard au sens des mouvemens des points où elles agissent, les quantités dp et aVy sont positives , ainsi que P et Q, et conséquemment, les sommes 2 ne se composent que de termes positifs.

683. En désignant par A la vitesse initiale du point quelconque m, ou la valeur de v qui répond à t = 0 , et intégrant les deux membres de IV tion (4) , on

1 2m*. = fïVdp - ftqiq ; (c)

les intégrales étant prises de manière qu'elles •'évanouissent à l'origine do mouvement.

C'est sous cette forme qu'on emploie l'équation des forces vives, pour calculer les efTels des machines en mouvement; elle coïncide avec l'équation (&) du n° 665, lorsqu'on peut effectuer les intégrations indiquées dans son second membre.

Les produits Vdp et Qdp , dont les sommes sont soumises à ces intégrations , ont reçu différentes dénominations : on les appelle Quantités d'action , moment d'activité , effets dynamiques, des forces P et Q. Il serait à désirer qu'on les désignât toujours par un même nom. H. Coriolis a proposé de lea nommer quantités de travail élémentaire; nous adopterons cette dénomination. Les sommes ~XPdp •t ZQdo seront donc les quantités de travail élémentaire, produites pendant un même instant par toutes les forces mouvantes et toutes les forces résistantes; et leurs intégrales f%Pdp et /2Qdg exprimeront le travail moteur et le travail résistant qui ont ed lieu dans la machine , depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant que l'on considère.

Ainsi, l'équation (c) signifiera que, dans une machine en mouvement, l'accroissement, pendant un temps quelconque, de la demi-somme des forces vives de toutes ses parties, est toujours égal à l'excès du travail moteur sur le travail résistant pendant le même temps.