Si la force mouvante P, ou la force
tante Q, est un poids II, qui descende, dans le premier cas, d'une hauteur verticale A, ou qui monte, dans le second cas, à la même hauteur, le travail moteur ou résistant qui en résultera, aura pour valeur le produit Pk , quel que soit le chemin parcouru par ce poids, de manière que A soit toujours la projection verticale de la ligne droite ou courbe que son centre de gravité a suivie. Si cette ligne est fermée ou présente des sinuosités, il y aura eu alternativement travail moteur et travail résistant; et h étant la différence de niveau du point de départ et du point d'arrivée, TIA sera l'excès du premier travail sur le second. Dans le cas où il n'y a pas d'alternatives, la quantité de travail correspondante à un poids n élevé à à la quantité de travail •
II' élevé à une hauteur A', telle que Ton ait A'= — .
Quelle que soit la force P ou Q, l'intégrale JPdp ou fQdq est toujours équivalente au produit d'un poids II et d'une hauteur A; et pour comparer entre eux et exprimer en nombres des travaux de différente nature, on peut ainsi les assimiler à des poids donnés, élevés à des hauteurs données. On prend alors pour unité de travail, que l'on appelle communément unité dynamique , le travail correspondant k un poids de 1000 kilogrammes, qu'on élève à la hauteur d'un mètre, ou qui descend d'nn mètre de hauteur verticale. Cela étant, si l'on calcule les valeurs numériques des intégrales fVdp et ftydq , en prenant 1000 kilogrammes pour unité de force, et le mètre pour unité linéaire, lea nombres que l'on obtiendra de cette manière exprimeront en unités dynamiques , les quantités de travail représentées par ces intégrales. Unei
vive, telle que -Imv ^^m. Hau ,|»«, ,
être exprimée en unités dynamiques ; car si l'un appelle / la hauteur due à la vitesse e, y la gravité, etp le poids de m, on surs
f 1 = 2gl, p = ym , — Imv = Xpl ;
et cette somme est de la même nature que les intégrales pfdp et/Qdg, ou que le produit TIA.
686. Lorsque la machine part du repos, l'équstion (c) se réduit à
*m» = f*Vdp - Jïqdq. (si)
Son premier membre étant une quantité essentiellement positive, il faut que dans les premiers momens le travail moteur l'emporte sur le travail résistant. Hais les vitesses des points de la machine ne pouvant pas croître indéfiniment , ce premier membre atteint son maximum au bout d'un certain temps, qui est généralement peu considérable. Par un moyen qui sera indiqué tout-à-l'heurc, on fait en sorte qu'à partir de cet instant du maximum, ls
demi-somme — Imv* des forces vives demeure cont
ADDITION
Vante, ou n'éprouve plat que de t rès petites ▼■rie- I tiona ; et Ton dit alori que la machine est parvenue à son état permanent. Dans cet état constant, on a, eo différentiant l'équation précédente,
XVdp = 2Qdo ;
de manière que la machine n'a plus d'autre effet qne de changer, à chaque instant, le travail moteur élémentaire en une quantité égale de travail résistant. Hais il importe d'observer que la quantité /XQdo de travail résistant dans lequel se change le travail moteur /SPd/>, pendant un temps quelconque, ne comprend pas seulement le travail qu'on veut exécuter, au moyen de cet instrument ; l'intégrale J ïûJq comprend aussi le travail résistant qui provient du frottement des parties de la machine, entre elles ou contre des corps étrangers, et de la résistance du milieu dans lequel la machine est en
Pour avoir égard, par exemple, aux frottemens, il faut, d'après ce qu'on a vu dans le n» 569, ajouter à l'intégrale / 2Q<tg, provenant du travail résistant proprement dit, une autre intégrale fXfîids, dans laquelle/* est le coefficient du frottement, > la pression mutuelle des parties frottantes, et d» l'élément de la courbe décrite par leur point de contact. Cette addition changera l'équation {d) en
celle-ci :
-.JZPdq-PQdq-fZfXd,. (.}
- Zut»
Il suit de là que quand une machine a atteint état permanent, la quantité de travail j1?dp^ produite pendant un temps donné, par les forces mouvantes, n'est pas représentée en totalité par la par* tie utile JIQdq du travail résistant, laquelle partie est toujours moindre que le travail moteur / SPa*!), de tonte la quantité de travail correspondante aux frottemens et aux autres résistances. Une machine est d'autant meilleure que le travail utile flQdq approche davantage d'être égal au travail moteur / tPdp ; mais la première intégrale ne peut, quelle que toit la combinaison des parties de la machine, être égale à la seconde , ni , à plus forte raison, la surpasser. Parmi les machines imparfaites , où le travail utile n'était qu'une très petite fraction du travail moteur, et où la plus grande partie de celuici se trouvait absorbée par les frottemens, on peut citer, pour exemple, l'ancienne machine de Marly : le travail moteur consistait en une chute d'une partie considérable des eaux de la Seine, et le travail utile était l'élévation d'une quantité d'eau à une hauteur qui était bien loin de compenser l'exiguité de son volume.
88r5. Les quantités qui constituent essentiellement une machine sont la partie a laquelle sont appliquées les forces mouvantes, celle qui est en contact avec le corps que l'on a pour objet de mouvoir ou de déformer, et la partie intermédiaire qui transmet l'action des forces mouvantes. Quand on
a satisfait aux conditions de la solidité, il importe pour l'économie des frais de construction et pour la diminution des frottemens, que la masse totale de la machine soit la plus petite possible; mais il y a nne autre considération, qui exige que l'on augmente cette masse, et qu'on ajoute aux trois partiel essentielles dont elle se compose, une autre pièce qu'on appelle un volant, et qui consiste, en général, en un corps solide tournant autour d'un axe fixe horizontal.
Les mouvemens des trois premières parties d'une étant alternatifs ou révolutifs, la demi-
~^mv* des forces vives qui s'y rapportent,
•près qu'elle a atteint son maximum, devient une quantité périodique ; il en est de même, par conséquent, à l'égard du secoud membre de l'équation(e); en sorte que si la machine était réduite à ses trois parties essentielles, le travail moteur et le travail résistant, en comprenant dans celui-ci les effets des frottemens, l'emporteroient alternativement l'un sur l'autre; et si les variations alternatives du travail moteur / ZPdp, et de la partie f2ftldt du travail résistant, n'étaient pas réglées exactement sur les périodes de la machine, la quantité JHQdq de travail utile varierait continuellement. Or, pour la bonne exécution des ouvrages que l'on veut effectuer au moyen d'une machine, il est iudispensable, le plus souvent, que le travail utile approche, autant que possible, de l'uniformité; et c'est à remplir cette condition que le volant est destiné.
En effet , soient dm un élément de la masse du volant, et r sa distance à l'axe de rotation ; appelons m la vitesse angulaire autour de cet axe, commune à tous les élémens dm, et qui peut varier d'un instant à un autre ; r» sera la vitesse absolue de dm; par conséquent, la somme des forces vives de toute la masse du volant aura pour vuleur Jr><.>dm, ou, ce qui est la même chose, le produit p»> , eu désignant par fi le moment d'inertie du volant par rapport à son axe, c'est-à-dire, l'intégrale /r» dm étendue à sa masse entière. Si donc on ajoute
-/«•• eu premier membre de l'équation (•), et si
l'on suppose que la demi-somme ^1vu>* se rapporte aux trois autres parties de la machine, oo aura
+ iïme. =/2Pd>-/lQo'p-/2/> < fri
d'où Ton tire
fïQdq = R - 1 m- ,
en faisant, pour abréger,
R = fï?dp — flfKd* - I Zmc» .
Or, on conçoit que les variations de » peuvent êtro réglées sur celles de cette quantité R , de manière
que la variation totale de R — | /*•» soit i
ADDITION
désignant
répond à one antre quantité de travail équiva
lente à la denii-foree vive — en
par g la gravité. On devrait encore ajouter à l I7o«
r~ » U P artie do la demi-somme des force»
vives provenant des vitesses relatives de tous les autres points du corps (n° 570); mais j'en ferai abstraction dans cette évaluation , qui ne peut être qu'un aperçu. Je supposerai aussi que le second demi-pas a lieu en vertu de la vitesse acquise à la fin du premier , et du poids du corps qui retombe 1 , de manière que , pendant le second i, l'homme n'exerce plus aucun effort , et que les vitesses verticale et horitontale , dont son centre de gravité se trouve encore animé à la fin dupas entier, soient détruites par le choc et le frottement de son pied droit contre le sol. Dans cette hypothèse, la quantité de travail de l'homme
1 Hat
oull + en appelant « la hauteur due à la vitesse a, de sorte qu'on ait a* = 2g».
Il suit de là que dans un nombre n de pas égaux et semblables , la quantité de travail d'an homme ou d'un animal, portant un fardeau et marchant sur une route horizontale, aura pour valeur (• + *)t « n désignant par h son poids II augmenté de celui du fardeau. Si le poids total a été élevé verticalement à une hauteur h au-dessus du point de départ , il faudra ajouter K h à la quantité n K (• + •); et si le fardeau est traîné sur une route, où il éprouve un frottement qui soit représenté par une partie F de son poids, il en résultera une autre augmentation de travail égale à Fi, en appelant /la longueur du trajet.
690. Dans le calcul des effets des machines en mouvement, il est souvent utile de distinguer les vitesses communes et les vitesses relatives de leurs différens points. Pour cela , soient toujours * , y , z , au bout du temps *, les coordonnées du point quelconque dont la masse est m; à cet instant, les composantes de sa vitesse absolue seront ds dg ds
— » — , — ;et,aubontdutempsr + dr, lescoor-
dt dt dt
données de ce même point deviendront x +dx, y + •% » * + ds. Or , on peut décomposer le mouvement du système , pendant l'instant dt , en un mouvement de translation et de rotation commun à tous ses points, dans lequel leurs distances soient invariables , et en des mouvemens particulier! où ces distances varient convenablement. Rappellerai ds , d'y , d's , les accroissemens de * , y, », qui proviennent du mouvement commun , et < *,*><*.y> rf > » ceux qui résultent du mouvemeut relatif de m , de sorte qu'on ait
dx = d'*-fd ( x, dy — Jg^d^, rf*=(fs+d>.
Pour ce point m , j'appellerai aussi »', «/, les troi» composante» de la vitesse commune qu'on regardera comme des fonctions donnée» de r, *, y,», et qui seront
dfx dg d»,
dt dt dt
celles de sa vitesse
ds
dt ~ pour
d.s dv
relative seront aussi — , — , dt dt
4> dy d,y ds ds
«'+-, — = »'+ — , - = *>'+-, dt dt dt dt dt
les composantes de sa vitesse absolue ; et en , il en résultera
d> s du' ddx
dt* dt T ' d'y dv' ^ ddy
dt* ~ dt + "d7r'
en
tP s dt*
daV dds dt + dt> '
pour les forces accélératrices de ce point m, suivant tes axes des coordonnées; les différentielles relatives à t qui sont indiquées, étant prises par rapport a cette variable et aux coordonnées *, y, s, regardées comme des fonctions de t.
Si ce point m est astreint à se mouvoir sur une surface qui peut être fixe ou mobile , mais dont la forme est invariable, il devra demeurer constamment sur cette surface, en vertu de sa vitesse absolue , et l'on pourra aussi supposer qu'il y resterait constamment, en vertu du mouvement commun du système. En représentant par L = 0 , l'équation de la surface, L sera une fonction donnée des coordonnées de w, rapportée» à des axes mobiles qui participent au mouvement commun, et celte quantité pourra être changée en une fonction du temps et des coordonnées de m rapportées à des axes fixes , c'est-à-dire, en une fonction de t, s, y , s. L'équation L=0 devra subsister, lorsqu'on y remplacera ces quatre variables , soit par t -f dt, x + « f *i y + dy» « + <**, dans le mouvement absolu de m, soit parx-f d/ ( s -{■ dx , y -f d'y , « + d's, dans le mouvement commun du système. En négligeant les infiniment petit» du ordre, on aura donc simultanément 4L dl
-+ T (dx + d,x) dt dx
dl dl
+ 7 {d> + d,y) + («/a + d (î ) = 0, dg dt
dl dl dl dl ~ + -d-* + d> + d J==l ,, dt di dg ds
et , par conséquent ,
dl dl dl
dx dy dt
Cela posé , nous niions chercher la somme des forces vives dues aux vitesses relatives de tous les points du système , et la comparer à la somme des forces vives qui résultent de leurs vitesses absolues.
691. Reprenons, pour cela, la formule générale du n° 632, de laquelle on a déduit l'équation (a) du n° 681 , et formons successivement les termes de cette formule , relatifs ans différentes sortes de forces qui peuvent agir sur le système que l'on considère.
Désignons d'abord par P une des forces extérieures et données ; tj> étant la projection du déplacement de son point d'application, sur sa direction , et en regardant cette projection comme une quantité positive ou négative, selon qu'elle tombe sur la direction même de P ou sur son prolongent, on aura , comme dans le b» 682 ,
m(X* + Y#y + ZJ»):=P*,
citée, qui résulte
pour la partie de la de cette force P. -
Soit aussi R l'action mutuelle de deux points du système dont les masses sont met m' ; appelons r la distance mm 1 , dont R est une certaine fonction ; *, y, s, **, y', *\ étant les coordonnées de m et m',
et si Jt exprime la variation de r qui résulte de **, Xy, J*, ls\ ly\ **\<m
rtr = (* — *')[** — tx')
Les composantes de la force R appliquée au point m, seront
mt = ± ml = ±
et celles de la même force appliquée au point m'
— ±f£=aï.
d'où
m (XI* + Yly+Zfs)
+ «V ÇLW + Y'Xy' + ï»Jk»j = ± Rfr,
pour la partie de la formule générale , provenant de la force R; le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, selon que cette force est répulsive ou attractive.
Si le point m est astreint a demeurer sur la surface dont on a représenté l'équation par L=0, dans le numéro précédent , et que l'on appelle « l'élément de cette surface auquel le point m répond au bout du temps f , et »U la résistance qu'il en éprouve, cette force sern normale à la position actuelle de » ; on aura donc ponr ses composantes
dl dl dl
mX = .UV — , mï = -CV— , ml — .UV — , ds dy dz
en faisant, pour abréger , et si l'on fait aussi
,dl ^dx
dl dl N
+ - *y + -*«)== fr,
dy dt '
il en résultera ni' tu , pour le terme de la formule générale qui provient de la résistance «U. Le facteur TJ exprimera cette résistance rapportée à Vanité de surface ; tu sera la projection du déplacement de m sur la normale à l'élément • ; elle aura un signe ambigu, à cause du radical V, et Ton regardera tu comme une quantité positive ou négatif , selon que la projection du déplacement de m tombera sur la direction même de la résistance •U , on sur son prolongement.
Outre la résistance normale de la surface sur laquelle le point m est assujetti i se mouvoir, il éprouvera encore une résistance tangentielle provenant du frottement contre cette surface; et si Ton désigne cette force par «F, et par X» la projection du déplacement du point matériel m sur sa trajectoire, il en résultera mftt, pour le terme correspondant de la formule du n° 632.
D'après cela, cette formule pourra s'écrire ainsi :
,«Vr *, £* s i \dt> ^ do yT d<. ) ){k)
la somme 2 du premier membre répondant à tous les points du système, et les sommes 2 du second membre s'é tendant, la première aux points qui sont soumis à des forces motrices extérieures, la seconde aux actions mutuelles de tous les points du système pris deux a deux, la troisième et la quatrième à tous les élémens des surfaces résistantes et frottantes.
ADDITION'
Cela posé, si l'obligation d'une partie des pointa du | système, de demeurer sur ces surfaces, est la seule condition qui restreigne les mouvemens du système entier, on pourra maintenant considérer tous ces points comme entièrement libres, et faire telle hypothèse qu'on roudra sur les variations i i , ly, tx, des coordonnées d'un point quelconque.
