La résultante de deux forces étant connue

il est aisé d'en déduira celle d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et situées ou non situées dans un même plan. Ou prendra d'abord la résultante de deux de ce»

forces; ensuite, on composera cette résultante avec une troisième force , ce qui donnera une seconde résultante , que l'on composera de même avec une quatrième force ; et l'on continuera do même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données. Dans cette construction , il est aisé de voir que si les grandeurs de toutes les forces sont représentées par les côtés d'une portion de polygone , parallèles à leurs directions et tracées dans le sens de leurs actions , la résultante sera représentée , en grandeur et en direction , par la droite qui joindra les deux extrémités de cette ligne brisée et fermera le polygone. L'ordre dans lequel les côtés parallèles aux forces so succéderont, sera indifférent. Quand le polygone se fermera de lui-même, la résultante sera nulle, et les forces données se feront équilibre.

Il suit de là que quand les forces données sont au nombre de trois, non situées dans un même plan, leur résultante est, en grandeur et en direction, la diagonale du parallélépipède dont ces trois forces sont les rôtés odjacens.

31. On peut effectuer d'une manière plus simple cette réduction d'un nombre quelconque de forces & une seule, en considérant d'abord le cas particulier de trois forces rectangulaires , auquel on ramène ensuite le cas général.

Soient X , Y , Z , les trois composantes, R leur résultante, a, h, e les angles qu'elle fait avec X, Y, Z. D'après ce qu'on vient de voir, R est la diagonale du parallélépipède dont X , Y , Z sont les trois côtés adjacens ; or , ce parallélépipède étant rectangle, il s'ensuit qu'on aura

Il en résulte aussi que si l'on joint l'extrémité de la diagonale R à celles des trois côtés X, Y, Z, on formera trois triangles rectangles , dont R sera l'hypoténuse commune; d'où l'on conclura

X = R cos n, Y = Rcosô, Z = Rcoscj (4)

équations qui s'accordent avec la précédente, à cause que les trois angles a, b, c, sont liés entre eux par cette équation (n° 6)

cos» a + cos» b + cos» c = 1.

Lorsque les composantes X, Y, Z, seront données, l'équation (a) fera connaître la valeur de la résultante, et les équations (b) en détermineront la direction au moyen des trois angles a, b, c; si, au contraire, la force R est donnée, et qu'il s'agisso de la décomposer en trois forces rectangulaires X, Y, Z, qui fassent avec elle des angles donnés a, b, c, les valeurs des forces demandées seront immédiatement déterminées par les l'équations (b).

Si l'une des composantes, la force Z par csein-

pie, est nulle, R n'est plus la résultante que des deux forces X et Y; elle est comprise dans leur plan, et sa direction dépend seulement des deux angles a et b. Ces angles et la valeur de R sont alors déterminé* par les équations

R» = X» + Y» , X = R cos o, Y=Rco»A.

32. Supposons actuellement que H (6g. 1"-) soit le point d'application d'un nombre quelconque de forces donuées. Représentons ces forces par I 1 , P', P", etc. ; et, pour fixer les idées, supposons que la droite MO soit la direction de la force P. Les directions des autres forces sont inutiles à indiquer dans la figure. Soient », C, y, les angles que fait la direction MD avec les trois axes rectangulaires MA, MB, MC, menés arbitrairement par le point M. Désignons de même par a', C, y', les angles que fait la force P* avec ces mêmes axes; par »", C", y", ceux qui répondent à la force P" ; etc. Tous ces angles sont donnés et doivent s'étendre depuis xéro jusqu'à 180« (n° 7) , afin que les forces P, P', P", etc. , puissent avoir toutes les positions possibles autour du point M.

Décomposous chacune de ces forces en trois autres dirigées suivant les axes MA, MB, MC. Les composantes de la force P, seront P cos * , P cos C, P cos y\ celles de la force P' seront P' cos »', P' cos C, P' cos etc.; et ces composantes agirout suivant les axes ou suivant leurs prolongeraens, selon qu'elles seront positives ou négatives. Par exemple, la direction MD tombant, ainsi que l'axe MC, au-dessus du plan AMB des deux autres axes , la composante P cos ; de la force P teud à élever le point M, c'est-à-dire qu'elle agit suivant MC ; et , dans ce cas , P cos y est une quantité positive, puisqu'on a y < 90°. Au contraire , si cette direction MD tombait au-dessous du plan AMB , on ouroit y > 90» ; la composante P cos y serait négative , et , en même temps , elle tendrait a abaisser le point M , c'est-à-dire qu'elle agirait suivant le prolongement de MC. En ayant donc égard aux signes des composantes , ou voit , d'après ce qu'on a dit dans le n° 24 , que toutes les forces dirigées suivant un même axe et son prolongement , se réduisent à une seule, égale à leur somme.

De celte manière, les forces données P,P', l 1 . etc., seront remplacées par trois forces rectangulaires ; et en désignant celles-ci par X, Y, Z, on aura

X = P cos « + P f cos + P" cos «" -f etc., i

Y = P cos C -|- P» cos C + P" cos C" + etc., \ (c)

Z=Pcos y + P'cosy r + P"cos > " + clc. \

Les valeurs de X , Y, Z , pourront être positives ou négatives, et leurs signes feront connaître le sens de leur action. Si la force X est positive, c'est qu'elle agit suivant l'axe MA ou dans le sens des composantes P cos a , P' cos «', etc., qui sont posilives; si elle est négative, il en faut conclure qu'elle agit suivant le prolongement de MA on dans

le sens des composantes négatives ; et de même pour les forces Y et Z.

Cela posé , soit R la résultante des forces donnée* P, P', P", etc., ou des trois forces X , Y, Z ; soient aussi a, b t c, les angles que sa direction inconnue fait avec les axes MA, MB, MC. Les valeurs de R , a, b, c, seront données par les équations (a) et (6), dans lesquelles on mettra les formules (c) à la place de X, Y, Z. Les ongles a, b, c, pourront être aigus ou obtus ; à cause que la force R doit toujours être une quantité positive , les signes de leurs cosinus seront les mêmes que ceux des quantités X , Y , Z, en vertu des équations (6,. De celte manière, la force R sera complètement déterminée en grandeur et en direction.

33. La grandeur do la résultante R ne saurait dépendre de la direction arbitraire des axes MA, MB , MC ; elle dépend seulement de la grandeur des forces données et des angles compris entre leurs directions; et, en cflel, on en peut trouver une expression qui ne contienne que ces quantités.

Pour cela, désignons par PMP', PMP",P'MP", etc., les angles compris entre les directions des forces P et P\ P et P", P' et P", etc. D'après l'équation (2) du n° 9, nous aurons

cos PMP 1 =cos * cos «'-{-cos C cos C'-f-cos y cos y' t cos PMP"=cos a. cos »"-j-cos C cos C"-|-cos y cos y'\ cosP , MP"=cos*'cos«"+cosC cosC"+cosy cos>", etc.

Nous aurons aussi

cos» • -f- cos» C -f- cos» y = 1 , cos» + cos» C -f" cos» y' = 1 , cos» + cos» C" -f cos» y" = 1 , etc. ;

et, cela étant, si l'on «joute les carrés des formules (c), et qu'on ait égard à l'équation (o), il vient.

R» = P» + P»» + P"« + etc.

+ 2PP" cos PMP* + 2PP" cos PMP" + 2fV> cos VMV" -f- etc. ,

pour le carré de la valeur R dont il s'agit.

34. On déduit aussi des équations (b) et (c) une propriété de la résultante , qui nous sera utile dans un des numéros suivant.

D.ms une direction quelconque , je mène par le point M une droite, dont j'appelle O l'autre extrémité. Soient g, h, *, les angles AMO, B10, CMO, que cette droite fait avec les trois axes MA, MB, MC. Désignons par RMO, PMO, P'MO, etc., les angles compris entre cette même droite MO et les directions des forces R , P, P 1 P", etc; on aura, comme tout à l'heure

cos RMO = cos g cos a -{- cos À cos 6 -f- cos k cos c, cos PMO = cos g cos a -f- cos h cos C -4-eos k cos y, cos P'MO— . os g cos -f- cos fccosC'-|-cos k cos y\

etc.

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE

D'après la première de cei formule! et les équations (6), , on aura

R cm RHO =a X cos g +• Y cos h -f- l cos k ;

et, en vertu des formules suivantes . si Ton ajoute les équations (c) après les avoir multipliées , la première par cos g, la deuxième par cos h, la troisième par cos k, il en résultera

R cos RMO = P cos PMO + V cos I"MO + etc. ;

ce qui montre déjà que la composante de lu résultante R, suivant une dirction quelconque MO, est égale à la somme des composantes de P, P', P'' etc., suivant cette même direction.

Cela posé, je projelte la droite 910 sur les directions des forces R, P, P', P", etc. ; j'appcle r, ?» V » P '> elc M * es projections , de sorte qu'on ait

r s MO cos RMO ,

p = MO cos PMO , pf = MO cos P'MO , etc. ,

en considérant chacune des quantités r, p, p', p' 1 , etc., comme positive ou comme négative, selon que la projection qu'elle représente, tombe sur la direction même de la force ou sur son prolongement. Si donc on multiplie par MO l'équation précédente, on aura

Rr = Pp + Py + Py + etc. ; (d)

ce qui renferme la propriété de la résultante qu'il s'agissait de démontrer.

35. Pour que les forces P, P', P", etc.,J soient en équilibre, il suffit que leur résultante R soit nulle, et cette condition est nécessaire si leur point d'application M est entièrement libre; mais l'équation R = 0 , ou

ne pent avoir lieu , à moins qu'on ait séparément

c'est-à-dire , en vertu des équations (c),

P cos • -f- P* cos a! + P" cos »" + etc. = 0 , ,

P cos C + P' cos C* + P" cos C" + etc. = 0, [ (*)

P cosy + P' cos y' + P" cos y" + etc. = 0 , >

Telles sont donc les équations d'équilibre d'un point matériel qu'on suppose entièrement libre. Dans cet état, chacune des forces qui le sollicitent doit être égale et directement contraire à la résultante de toutes les autres; c'est en effet, ce qu'il est aisé de vérifier.

Soit R' la résultante des forces P', P", etc. Appe- Ions el, b',c , les angles qu'elle fait avec les axes MA , MB , MC , et faisons , pour abréger ,

X' = P' cos *' +P" cos •" + ela, Y' = Feus C' + P"cosC' + elc, V = P' cos y' + P" cos y" + etc. {

nous aurons , d'après le W> 32 ,

X' = R'coso\ V = R'cost', Z' = R'cose',

et par conséquent , en vertu des équations d'équilibre ,

P cos « — — R' cos a' , P OM C = - R' cos 6' , P eos y — — R' cos c".

En ojoutant ces équations , après avoir élevé leurs deui membres au carré , on a

à cause de (n° 0)

cos' • + cos* f + cos» y = 1 , cos» al + cos» b' + cos» c 1 = 1 ;

on aura donc P = ± R'; mais comme ces forces doivent être toutes deux des quantités positives, il faut prendre P = R'. Les équations précédentes deviennent alors

cos *= — cos a', cos C= — cos 6', cos y= — cos c* ;

par conséquent , les angles «, C, y, sont supplémens de a', b', c', et répondent à une force dont la direction est le prolongement de la force R' (n« 7). Il s'ensuit donc que la force P est égale et directement opposée à la résultante R' de toutes les autres forces P', P", etc. ; ce qu'il s'agissait de vérifier .

36. Si le point M , auquel sont appliquées les forces P, V, P", etc., est assujetti à rester sur une surface donnée, il ne sera plus nécessaire, pour l'équilibre , que leur résultante soit nulle ; il suffira qu'elle soit normale à la surface, puisqu alors elle ne pourra faire glisser le point M dans aucun sens sur cette surface ; et , de plus , cette condition sera nécessaire ; car si elle n'était pas remplie , la résultante se décomposerait en deux forces, l'une normale à la surface et qui serait détruite , l'autro tangente et que rien n'empêcherait de faire glisser le mobile. On n'aurait donc qu'à chercher dans chaque cas , la direction de la résultante des forces P, P', P", etc., et à examiner si elle est perpendiculaire à la surface donnée, pour savoir si l'équilibre existera ; mais il vaut mieux , comme nous venons de le faire pour un point libre, exprimer les conditions de l'équilibre par des équations entre les données de la question.

Or, la composante normale de chacune des forces qui agissent sur le point M, est détruite par la résistance de la surface; par conséquent, cette résistance équivaut à une force égale et contraire à la totalité des forces détruites. On conçoit donc que l'on peut faire abstraction de la surface donnée , et considérer le point matériel comme entièrement libre, pourvu que l'on joigne aux forces données P, P', P'', etc., une nouvelle force de grandeur inconnue et perpendiculaire à cette surface.

Soient donc M cette force, et *, /», », les angles que sa direction fait avec les axes MA , MB , MC; chacune des équations d'équilibre qu'on vieut de

TRAITÉ DB

trouver fera ougmentée d'un nouveau terme, de sorte qu'au lieu des équations (0), on aura

N cosx+Pcos*+P'cos«»'-|-P"cos »"+elc.=:0,l Ncos M +PcosC+P'cos p" col C"-j-etc.=0,X/) N co* ,+P cos y+P'cos y < +P"co. y* +etc.=0.)

Je désigne par x, y, s , les trois coordonnées de M rapportées a des axes parrallèles à MA, MB, MC, et par L r= 0 l'équation de la surface donnée; la direction de la force N étant, par hypothèse, celle de la normale au point M, on aura, d'après les équations (A) du n« 21 ,

dL dl dL

cos x = V — , cos (à = V — , cos t = V — , ds dy ds

«■ faisant, pour abréger,

Le signe de V sera inconnu , parce qu'on ne sait pas d'avance suivant quelle partie de la normale doit être dirigée la force N ; mais V disparait lorsqu'on élimine N entre les équations [f)\ et si l'on a égard aux formules (c) , on trouve

dL dL dL dL

Y__ x = o, Z - - X = 0, M dx dy ds ds

pour les deux équations nécessaires et suffisantes de l'équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface donnée.

37. Si la position de ce point sur cette surface n'est pas connue, les équations (y), jointes à l'équation donnée L = 0 , serviront à déterminer les coordonnées des différens points de celte surface , où le mobile pourra demeurer en équilibre. Lorsque sa position sera donnée, on aura seulement a vérifier si les coordonnées x , y, s, des points d'application des forces données satisfont aux équations (y). Mais , duns ce cas, on aura des équations plus simples en faisant coïncider l'un des axes HA, MB, MC, le premier, par exemple, avec l'une des deux parties de la normale ; d'où il résultera

cos x = ± 1 , cos f> = 0, cos » = 0 j

ce qui change les équations (f) en celles-ci :

±N+ P cos • + P' cos -f P" cos + etc. = 0, P cos C 4- P' cos C + P" cos C" + etc. = 0, P cos y -j- P' cos y' 4- P" cos y" \- etc. = 0.

Ces deux dernières équations font voir , ce qui est d'ailleurs évident, que dans le plan tangent à la surface donnée, les composantes des forces appliquées au mobile doivent se faire équilibre, comme si cette surface n'existait pas.

La résistance N , que la surface oppose aux forces P, V , P', etc., est égale et contraire à la pression qu'elle en éprouve. En vertu des équations </), celte pression, dans l'état d'équilibre,

est la résultante même de ces forces. Dans la pratique, il en faudra calculer la grandeur au moyeu de l'équation (a) , pour savoir si la surface est capable de la supporter. Si le mobile est seulement posé sur cette surface, qui sera celle d'un corps solide, il faudra, de plus, que le sens de cette pression soit tel qu'elle appuie le mobile sur cette surface; condition qui ne peut être exprimée par une équation, et qu'on devra vérifier dans chaque cas, en déterminant la direction de cette force d'après les équations (4). Cette vérification se fera plus simplement au moyen de la première des trois équations précédentes.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que 1a partie de la normale avec laquelle ona fait coïncider l'axe MA, soit la partie située dans la concavité de la surface. On saura si les angles donnés * , •', »", etc. , sont aigus ou obtus ; et le signe de la somme X des composantes dirigées suivant cette droite sera connu. La quantité N devant être positive, il faudra, dans l'équation dont il s'agit, c'est-à-dire,

prendre le signe — ou le signe + devant N , selon que la somme X sera positive ou négative. Dans le premier cas, on aura cos x = — 1, et la pression contraire à N sera dirigée suivant MA; dans le secoud cas, on aura cos x = 1, et la pression agira suivant le prolongement de cette partie déterminée de la normale.

38. Lorsque le point matériel M sur lequel agissent les forces P, P', P", etc., sera assujetti à rester sur deux surfaces données ou sur leur courbe d'intersection , il suffira , pour l'équilibre, que la résultante de toutes ces forces puisse se dét-omposer en deux forces perpendiculaires aux surfaces données, et qui seront détruites par leurs résistances. En joignant donc aux forces P, P', P", etc., deux forces normales à ces surfaces, nuis inconnues en grandeur, on pourra faire abstraction des surfaces , et considérer le mobile comme entièrememt libre.

N et Pi' étant donc ces nouvelles forces ; X, p, », les angles qui déterminent la direction de Pi par rapport aux axes MA , MB , MC , et x', /u', ceux qui déterminent de même la direction de M'; les équations (e) deviendront

N cos x+H' cos x'+P cos »-+-P'oos *'-|-ctc.=0,i N cosH-R' co »A»'4- p cos c4-P'cos C'4-etc.=0,((*) N cos , +N' cos r*+P cos H-P'cos > '+etc.=<M

D'ailleurs, en représentant par x, y, s, les coordonnées du point M, rapportées à des axes parallèles à MA , MB , MC , et par L= 0 et L' =0 , les équations des deux surfaces données, les valeurs de cos x, cos p, cos r, seront les mêmes que précédemment, et celles de cos x', cos cos »', s'en déduiront en y changeant L en L'. Si l'on substitue ces valeurs daus les trois équations (*) , et qu'on

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE

élimine ensuite H et W entre elles, on aura l'équation d'équilibre h laquelle do mut satisfaire les forces données P, P\ P", etc. ; on bien, si la position du mobile n'est pas donnée sur l'intersection des deux surfaces, cette équation d'équilibre, et les équations L = U et L' = 0, détermineront ses trois coordonnées x, y, z.

Quand la position du mobile est donnée sur la courbe où il doit rester, on obtient immédiatement l'équation d'équilibre des forces P, P r , P", etc., en prenant les axes MR et MC, auxquels répondent les anglrs /*, C, C, etc., », >,}', etc., dans le plan des normales aux deux surfaces données. Le troisième axe MA tombe alors sur la tangente à leur courbe d'intersection; il est donc perpendiculaire aux forces normales N et PT; en sorte que l'on ■ x = 90°, x'=90», et, en yertu de la première équation [h),

P cos • + P' eo« + V cos m." + etc. = 0 ,

pour l'équation demandée.

Cette équation exprime que la somme des composantes de P, P', P", etc., tangentes à l'intersection de» deux surfaces données , est égale à xéro ; ce qui est, en effet, la condition pour que le point M ne puisse pas glisser sur celte courbe. Après s'être assuré qu'elle est remplie, on déterminera les valeurs des forces Pi et Pi', et le sens dans lequel elles agissent, au moyen des deux dernières équations (A). Si Ton prend ensuite des forces égales et contraires à PS et N f , et qu'on Ici réduise à une seule par la règle du parallélogramme des forces, celle-ci sera la résultante des forces P, P', P", etc., et fera connaître la pression exercée sur la courbe donnée, à laquelle elle sera perpendiculaire.

39. Par ce qui précède, on voit que quand le mobile est astreint à demeurer sur une courbe donnée, il n'y a qu'une équation d'équilibre ; qu'il y en a deux lorsqu'il peut se mouvoir sur une surface donnée , et trois lorsqu'il est entièrement libre ; en sorte que le nombre de ces équations augmente, comme cela doit être effectivement, à mesure que les roouvemens possibles du mobile sont moins limités. Ces diverses équations peuvent cire renfermées dans une seule formule, qui deviendra, par la suite, l'équation générale de l'équilibre, applicable à un système quelconque de points matériels.

Pour obtenir cette formule, supposons que le mobile soit transporté d'un point M, qu'il occupe dans sa position d'équilibre , en un autre point 0 infiniment voisin de M, et tel que ce déplacement soit compatible avec la condition à laquelle le mobile est assujetti , s'il n'est pas entièrement libre. Désignons par r, p, p', p", clc, les projections de la droite infiniment petite HO sur les direction! des forces R, P, P', P"; etc., dans la première position du mobile ; et considérons chacune de ces projections comme une quantité

positive ou négative, selon qu'elle tombe sur In direction même de la force i laquelle elle répond, ou sur son prolongement. Si l'on suppose que la force R soit la résultante des forces P, P\ P", etc., le produit Rr sera toujours nul dans le cas de l'équilibre : il sera nul pour un point matériel entièrement libre, parce qu'alors la résultante R devra être égale à xéro; il le sera encore pour un point assujetti à demeurer sur une surface nu sur une courbe donnée, parce que, d'une port, la force R devra être dirigée suivant la normale, et que, d'un outre côté, la droite infiniment petite MO appartiendra au plan tangent ou à la tangente, ce qui rendra nulle sa projection r sur la direction R. D'après l'équation (d), qu'on a démontrée précédemment , et qui a également lieu quaud la droite MO est infiniment petite, on aura donc

Pp + Py + PV'+etc.=0, (s)

toutes les fois que les forces P, P*, P", etc., se feront équilibre. Réciproquement, l'équilibre existera quand cette équation aura lieu pour tous les déplacemens possibles d'un poiot matériel entièrement libre , ou astreint à rester sur une surface ou sur une courbe donnée.

On appelle vitesse virtuelle d'un point matériel en équilibre, toute droite infiniment petite , telle que MO, qu'on peut lui faire décrire, en observant les conditions auxquelles il peut être assujetti; et le principe d'équilibre contenu dans l'équation qu'on vient d'écrire, sur lequel nous reviendrons par la suite, se nomme le principe des vitesses virtuelles. En l'appliquant successivement à un point matériel entièrement libre, assujetti à rester sur une surface, astreint à demeurer sur une courbe, on retrouvera sans difficulté les équations d'équilibre que uous avons précédemment obtenues. Chacune des équations (e) se déduira de la formule (t), en prenant pour MO le déplacement de M sur l'un des axes MA, MR, MC ; ou obtiendra les équations d'équilibre qui ont lieu dans le cas d'un point assujetti à rester sur uue surface donnée, en considéraut ses déplacemens suivant deux axes tracés dans le plan tangent ; et la formule (s) fournit immédiatement l'équation d'équilibre d'un point astreint à rester sur une courbe donnée, en prenant pour MO l'élément de cette courbe, et pour p, p' , p", etc., les projections de cet élémeut sur les directions des forces P, P', P'', etc. Les angles que ces directions font avec la tangente à la courbe , étant », •', •", etc., on aura alors

j?=MOcos«, f/^MOcos»', p"=M0cos«"; etc.;

en supprimant le facteur MO commun à tous les termes de l'équation (»), il en résultera

P cos • + P' cos + P" cos «" + etc. = 0 .

TRAITÉ DE MÉCTAIQUE.