CHAPITRE IL

DE LÉQGILIBRB DC LBVIER.

40. On considérera ici un levier comme une ligne droite ou courbe ECF (fig. 10) inextensible, et de forme invariable, qui ne peut que tourner, dans un plan , autour d'un de ses points C supposé fixe, que l'on appelle le point d'appui du levier. Ordinairement il n'y a que deux forces qui soient appliquées à cette machiné, et dont l'une a pour objet de tenir l'autre en équilibre; la première s'appelle la puissance, et la seconde la résistance. Nuis, pour plus de généralité, nous supposerons qu'un nombre quelconque de forces , dirigées dans le plan du levier , agissent en difTérens points de cette ligne; et il s'agira de trouver les conditions de leur équilibre.

Je ne me propose pas, dans cet ouvrage, d'appliquer aux diverses machines les lois de l'équilibre qui y seront exposées. Pour ce qui regarde les machines simples, je renverrai aux Traités élémentaires de Statique ; mais la loi de l'équilibre dans le levier étant un principe de la Mécanique , il est nécessaire de nous en occuper ; et l'on va montrer comment ce principe est lié à celui de la composition des forces qui agissent sur un point isolé.

41. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à nn corps qu'on suppose de forme invariable, on peut transporter le point d'application de chacune de ces forces en un autre point du corps pris sur sa direction ou sur son prolongement. Si une force donnée Pagit, pur exemple, à l'extrémité E du levier, suivant la droite AE , et que H soit un autre point appartenant à cette direction , qu'on suppose lié au levier d'une manière invariable, il est permis «le remplacer la force P par une autre force de même intensité, agissant au poiut M suivant la droite HA. En effet , on peut d'abord appliquer au point M deux forces égales entre elles , agissant en sens contraires, l'une suivant MA, l'autre suivant son prolongement MA'; si , de plus , on suppose que chacune de ces forces soit égale à P, celle qui agit suivant MA' détruira la force P oppliquée au point E suivant EA , puisque ces deux forces égales agissent en sens contraires aux extrémités de la droite ME, de longueur invariable, par hypothèse; il no

restera donc plus que la force P agissant au point M dans la direction MA , et par laquelle la force donnée P, qui agissait au point E , se trouvera remplacée.

Les forces agissent souvent sur les corps qu'elles mettent en mouvement ou qu'elles tendent à mouvoir, soit en les tirant par le moyen d'un fil qui leur est attaché, soit en les poussant par le moyen d'une barre appuyée contre leur surface. Ce fil ou cette barre s'étend ou se contracte plus ou moins ; c'est quand ils ont cessé de s'alonger ou de se raccourcir qu'on les considère comme des lignes invariables qui représentent la direction de chaque force, dont l'action est la même alors que si elle s'exerçait immédiatement aux points de la surface du mobile où ces lignes viennent aboutir. Un levier n'est pas non plus , comme on le suppose ici , une ligne do forme invariable ; c'est une barre qui fléchit un tant soit peu , et s'étend ou se contracte aussi d'une petite quantité , en raison des forces qui y sont appliquées. La forme qu'il doit prendre serait très difficile à déterminer d'avance ; mais c'est quand il y est parvenu qu'on le considère comme invariable, et c'est à cette figure, très peu différente de sa forme naturelle, que se rapporteront les conditions d'équilibre qu'il s'agit de trouver.

42. Supposons qu'une seconde force Q agisse à l'autre extrémité F du levier, suivant la droite FB , et que les deux directions EA et FB soient comprises dans le plan où le levier peut tourner; ces deux droites, ou leurs prolongemens, viendront se couper eu un certain point M, que l'on pourra prendre, d'après ce qu'on vient de prouver, pour le point d'application commun à P et Q. Cela étant, par la règle du parallélogramme des forces, on déterminera la résultante de ces deui forces , de laquelle M sera aussi le point d'application. Or, pour qu'elle soit détruite et que le levier demeure en équilibre, il sera nécessaire que sa direction vienne passer par le point d'appui C ; et cela suffira , puisqu'en y transportant cette résultante, elle sera détruite par la résistance de ce point fixe. D'après ce qu'on

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE

a vu dans le n° 20, si l'on abaisse du point C des perpendiculaires CG et CM sur les directions des forces P et Q , on aura donc , dans le cas de l'équilibre,

p : q : : ce : cg ;

et , réciproquement , l'équilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par conséquent , en appelant p et q les perpendiculaires CG et CH, l'équation d'équilibre sera

Pp = Qç.

On appelle moment d'une force par rapport à un point, In produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa direction. Ainsi, la condition d'équilibre dans le levier consiste en ce que les uiomens de la puissance et de la résistance , pris par rapport au point d'appui , sont égaux ; ces deux forces tendant d'ailleurs à faire tournrr le levier en sens opposés.

Si l'on suppose les droites CG et CH liées invariablement au levier, on pourra prendre G et H pour les points d'application des forces P et Q , et remplacer le levier de figure quelconque ECF par le levier coudé GCH (fig. 11). Les perpendiculaires CG et CD s'appellent les bras dé levier, de la puissance et de la résistance. La condition de l'équilibre ne dépend pas de la grandeur de l'angle GCH; et c'est aussi ce que l'on peut voir à priori.

En effet, si du point C et d'un rayon CH on décrit l'arc de cercle HH', qo'on le suppose lié invariablement au levier, et qu'on applique au point H' deux forces égales à Q, agissant en sens contraires, suivant les parties H B et H'B" de la tangente eu ce point , il est évident que la force Q , dirigée suivant H'B'', sera détruite par la force Q dirigée suivant HB ; car ces deux forces tendent i faire tourner le système en des sens opposés, et il n'y aurait pas de raison pour qu'il obéît plutôt à l'une qu'à l'autre. La seconde de ces deux forces •e trouvera donc remplacée par la force Q dirigée suivant H'B', et l'angle GCH sera changé dans l'angle GCH', plus grand ou plus petit, sans que l'équilibre soit troublé.

Par ce changement, l'angle des deux bras du levier pourra devenir 180° ou xéro ; alors le levier sera droit ; lu puissance et la résistance seront des forces parallèles dirigées dans le même sens on «en sens contraires; et, pour l'équilibre, il faudra toujours que leurs intensités soient en raison inverse des longueurs de leurs bras de levier.

43. Si l'on appelle R la résultante des deux forces P et Q concourantes au point X (fig. 10), et m l'angle AMB compris entre leurs directions, on aura (n° 80)

R» = P« + Q« + 2 P Q cos n;

et la valeur de R fera connoitre la charge que le point d'appui C aura à supporter dans l'état d'équilibre. Appliquée en ce point , la force R aura pour

direction la droite CD, prolongement de MC. La figure 10 suppose le point C situé entre les points d'application E et F de la puissance et de la résistance. Le contraire a lien dans la figure 12; mais les raisonnemens qu'on vient de faire s'appliquent à ces deux cas : ils différent l'un de l'autre en ce que , dans le premier cas , les forces P et Q agissent de deux côtés différens du levier, et l'angle AMB est aigu, au lieu que, dans le second cas, elles agissent d'un même côté, et l'angle AMB est obtus.

Les trois points E, F, C, restant les mêmes, si le point de concours M des trois forces P, Q , R , s'éloigne à l'infini, ces forces deviendront parallèles. Dans le cas de la figure 10, l'angle aa devient alors infiniment petit; on a cos m= 1 , et conséquemment

Dans le second cas, c'est le supplément de l'angle, m qui devient infiniment petit; on a donc cos m — -l,et

en supposant P < Q. Par conséquent ,1a résultante de deux forces parallèles est égale à leur somme ou à leur différence , selon que ces forces agissent dans le même sens ou en sens opposés; et quand leurs directions sont contraires, la résultante agit dans le sens de la plus grande. Dans ces deux cas, les composantes P et Q sont en raison inverse de leurs distances CG et CH à la résultante.

Cela étant, si l'on mène une perpendiculaire commune aux trois forces parallèles , et qu'on appelle a la partie GH de celte droite (fig. 13 et 14) comprise entre les deux composantes P et Q, et * la distance CH de la résultante R à la composante Q qu'on suppose la plus grande, on aura

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que P et Q agiront dans le même sens (Gg. 13) ou en sens contraires (fig. 14). On en déduit

et , par conséquent ,

aP

ce qni fera connaître la position de la résultante, dont la valeur sera en même temps Q ± P.

44. Lorsque les forces P et Q agissent en sens contraires, et qu'elle* diffèrent très peu l'nnede l'autre , leur résultante , toujours dirigée dans le sens de la plus grande, se trouvera située à une très grande distance des forces données. Mais quand elles seront rigoureusement égales , cette distance deviendra infinie ; ce qui signifie que deux forces égales, parallèles et agissant en sens opposés, ne peuvent être remplacées par une seule force; et, en effet , il n'y aurait aucune raison pour que cette

force unique ogit plutôt dan* un sens que dans l'autre.

Deu» semblables forces agissant aux extrémités «l'un droite GH (fig. 1A), feront tourner cette ligne autour de son milieu K ; effet qui , évidemment , ne «aurait être produit par l'action d'une seule force. Un peut les remplacer d'une infinité de manières différentes par deux autres forces qui tombent dans le même cas ; car on ne changera rien à leur action en appliquant , par exemple , aux points G et H suivant les prolongerons GE et HF de la droite GII , des forces égales et de grandeur quelconque ; or, la résultante des forces dirigées suivant GA etGE, et celle des forces dirigées suivant I1B et HF, seront encore des forces égales, parallèles et dirigées en sens opposés , suivant des droites GC et HD, et ces résultantes remplaceront les forces primitives qui agissaient suivant GA et HB. Si l'on appelle P la grandeur commune de ces deux forces, et a leur distance mutuelle , l'une et l'autre de ces deux quantités changeront par l'opération que nous indiquons; mais leur produit a P demeurera constant, ainsi qu'on le prouvera tout à l'heure.

45. Au reste, ce cas particulier est le seul dans lequel un système d'un nombre quelconque de forces P, P*, P' 1 , etc., comprises dans un même plan et agissant sur des points matériels liés entre eux d'une manière invariable, ne puisse pas se réduire à une seule force. En effet , soit que les deux forces P et P' concourent en un point , ou qu'elles soient parallèles , on les réduira à une seule force Q, par la règle du parallélogramme des forces, ou par celle du numéro précédent. On réduira de même à une seule force Q', cette première résultante Q et P"; puis à une seule force Q", la seconde résultante Q' et P"'; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait réduit toutes les forces données à deux seulement, qui se réduiront elles-mêmes à une seule force R, a moins qu'elles ne tombent dans le cas d'exception dont il s'agit.

Dans le cas général, cette force R est la résultante des forces données P, P', P'', etc.; et si l'on joint aux composantes une force R' égale et contraire ii H . il v aura équilibre dans le système. La grandeur de R et sa position dans le plan des forces données ne dépendra nullement de l'ordre dans lequel on aura pris ces forces dans les réductions successives qu'on vient d'indiquer ; car, en changeant cet ordre , si l'on parvenait à une force S différente de R en grandeur ou en direction, il faudrait que l'une de ces deux forces prise en sens contraire fît équilibre à l'autre ; ce qui serait impossible.

Pour l'équilibre des forces P, F, 1' , etc., quand elles seront appliquées à un levier situé daus leur plan , il faudra d'abord qu'elles se réduisent à une seule force ; car si elles se réduisaient à deux forces; parallèles S et S' non réductibles à une seule , et que S' fût la plus rapprochée du point d'appui , on pourrait décomposer S' en deux forces Q et Q', parallèle* et agissant dans le même sens, dont la

première serait directement opposée à S et la seconde passerait par le point d'appui: ces deux composantes seraient l'une et l'autre moindre* que S' ou S , la force Q' serait détruite , et il ne resterait qu'une force S — Q, qui ferait tourner le levier dans le sens de S. Les forces données étant réduites k une force unique R , il faudra , en outre, pour l'équilibre du levier, que cette force vienne passer par son point d'appui. Cette condition s'exprimera par une équation, au moyen du théorème que nous allons démontrer.

46. Considérons d'abord deux forces seulement et leur résultante. Le moment de cette résultante, par rapport à un point situé dans le plan des trois forces , sera égal à la somme on à la différence des momens des deux composantes par rapport au même point : à la différence , quand le centre des momens est situé dans l'angle des composantes , ou , dans son opposé, au sommet; à lu somme, quand ce point est hors de ces deux angles.

Bn effet , soient P et P' ces deux forces , MA et MA' (fi; 16 et 17) leurs directions, Q leur résultante agissant suivunt MB, C le centre des momens, p, p', q, les perpendiculaires Ca, Ca', Ci, abaissées du point C sur la direction de P, P', Q. Décomposons chacune de ces trois forces en deux outres, dirigées suivant la droite MC et suivant la perpendiculaire KMK' à cette droite; et considérons les composantes perpendiculaires. On a évidemment

cos BMK = ein BMC = — ,

en désignant par c la longueur de la droite MC; donc la composante de Q suivant MR sera égale à Q?

— . De même , les composantes de P et P' perpen-

p P py

diculaires à MC seront — et — . Elles ogissent en c c

sens contraire, quand la ligne SC traverse l'angle AMA' (fig. 16), et dans le même sens, quand elle tombe hors de cet angle. Or, la somme de ces composantes, dans le second cas , et l'excès de la plus grande sur la plus petite, dans le premier, doit reproduire la composante de Q, puisque Q est la résultante de P et !» , en supposant la composante de P plus grande que celle de P', et supprimant le diviseur commun c, on aura donc

q? = pp ± py ;

ce qu'il s'agissait de prouver.

Si l'on imagine que le point C soit fixe et que les perpendiculaires Ca, Ca*, Ci, forment un système invariable, les forces P, P', Q, qui peuvent être censées agir aux extrémités a, a', b, de ces droites, ne pourront produire qu'un mouvement de rotation autour du centre des momens. Or, l'inspection de la figure 17, a laquelle répond le signe supérieur dans l'équation précédente , montre que quand le point C tombe hors de l'angle AMA', et de

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STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE

sou opposé ou sommet, les trois force» P, P', Q, tendent à Taira tourner leurs points d'application dans le même sens autour du point C ; nu contraire, lorsque ce point tombe dans l'un de ces deux angles, lu figure 18, qui répond au signe inférieur, fait voir que les forces P et F tendent à faire tourner les points a et a' en sens opposés ; et l'on voit aussique , dans ce cas , la résultante Q tend à faire tourner son point d'application dans le même sens que la composante qui a le plus grand moment. D'après celte remarque , le théorème qu'on vient de démontrer revient à dire que le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme ou à la différence des momeiis de ces deux forces , selon que les composantes tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens ou en sens opposés autour du centre des momens , et que la résultante tend à faire tourner dans le seus de la composante qui a le plus grand moment.

Ce théorème ayant lieu pour des forces dont les directions font un angle quelconque, doit encore subsister lorsqu'elles deviennent parallèles ; c'est effectivement une conséquence facile à déduire de de la composition des forces de ce genre (n° 43).

47. L'avantage de ce dernier énoncé est de pouvoir facilement s'étendre à un nombre quelconque de force. P, P', P", etc., dirigées dans un même plan. En regardant le centre des momens comme un point fixe, autour duquel les forces tendent à faire tourner le système de leurs poiots d'application , liés entre eux d'une manière invariable, le moment de la résultante est égale à la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner dans le même sens qu'elle , moins la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire.

Pour fixer les idées , supposons que les trois premières forces P, P', P", t^dent à faire tourner dans un même sens , et toutes les autres dans un sens opposé. Reprenons la série de réductions du n» 45. Soient Q la résultante de P et P', et Q' celle de Q et P", ou de P, P', P". Soient aussi p, p\ f, q, q' t les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de P, P', P", Q,Q'j nous aurons, d'après ce qu'on vient de voir,

Q^Pp + py, qy= Qo + pv .

et, par conséquent,

QV = pp + py + V'p»

De même si l'on désigne par Q, la résultante de toutes les autres forces P"', P« , etc. ; par q, la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur sa direction; part»",,,», etc., les perpendiculaires abaissées du même point sur les directions P"', P 1 ' , etc., on aura aussi

q,q, = pyi + p np „ + rte.

Or, la résultante R de toutes les forces données sera celle des deux forces Q* et Q,; si, donc, on représente par r la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur la direction de R , et si l'on considère que ces forces Q' et Q, tendent a faire tourner en sens opposés , on aura

»r=±(QV-Q (îl ), selon que Qy sera plus grand ou moindre que Q q . Dans le premier cas , la force R tendra à faire tourner dans le même sens que la force Q*. et, consëquemment , dans le même sens que les trois forces P, P', P". flous supposerons que ce soit ce premier cas qui ait lieu, et en substituant pour QY et Q,?, leurs valeurs, nous aurons alors Rr=Pp + py + Pv-P'y-P» r __ et c ; (I)

équation qui renferme le théorème qu'on voulait démontrer.

En supposant que le centre des momens soit le point d'appui dti levier auquel les forces P, P', P", etc., sont appliquées, il faudra, pour l'équilibre de ce levier, qu'où ait

p P + IV + IV— FV» — P» JH» — étc.=0, (2)

puisque dans ce cas, ces forces doivent avoir une résultantcqui doit passer par le point d'appui (n° 46), et pour laquelle on a donc r =0.

48. On peut rendre l'équation (1) plus générale, en supposant que par des décompositions et recompositions des forces P, P', P", etc., on les ait transformées eu d'autres forces S, S', S", etc., dont l'ensemble soit équivalent aux forces données. En désignant par », é, ê'\ etc., les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de S, S', S", etc., on trouvera, par le même raisonnement que dans le numéro précédent,

U + S* ê + S V + etc. = P p + V f, + P v p, v , p,, ^ elc .

équation dans laquelle on devra prendre avec le signe + les momens des forces S, S', S", etc., qui tendent à faire tourner dans le même sens que P, P*, P"; et ovec le signe — , les momens de celles qui tendent à faire tourner dans le même sens que P"', P" , etc.

le cas particulier où les forces P, P*, P", etc., sont irréductibles à une seule , est compris dans cette dernière équation. Soient alors S et S' deux forces égales, parallèles et non directement opposées; et appelons h leur distance mutuelle. Si le

centre des momens est situé entre leurs directions, on aura * + = elles tendront a faire tourner dans le même sens autour de ce point; on donnera donc le même signe à leurs momens , et il en résultera

Ss + SV = SA.

Si, au contairc, le centre des momens n'est pas compris entre S et S*, et qu'on suppose s > a", ou anra * — *' —h; ces deux forces tendront à faire tourner en sens opposé; ondevra donner le signe -4,- au moment

de S et le signe — au moment de S*; et il en résultera S» — 8V ES Sh.

Par conséquent , l'équation (3) deviendra toujoura Sk = Pp + P'p» + P"p» — P"'p"' - ?»p„ - etc.

Son second membre se composant de quantités qui sont toutes données , il en résulte que si les valeurs de S et A Tiennent a changer , leur produit demeurera constant, ainsi qu'on l'avait déjà dit plus haut.

On conclut aussi de cette dernière équation que , quand son second membre est nul , les forces données ne peuvent pas tomber dans le cas d'exception où elles sont irréductibles à une seule ; il s'ensuit donc que l'équation (2) exprime à la fois que les forces P, P*, P", etc., ont une résultante unique, et que cette résultante passe par le centre des moment ; par conséquent , elle est l'équation nécessaire et suffisante pour l'équilibre du lévier dont ce centre est le point d'appui. La résultante R qne l'on obtiendra par la série des réductions du n° 45, exprimera la charge qu'il aura à supporter ; quand elle sera nulle, les forces P, P", P", etc., se feront équilibre dans leur plan sans le secours de ce point fixe.

49. La condition de l'équilibre dans le levier peut aussi s'exprimer par une équation analogue 4 la formule (s) du n» 39.

Soient, par exemple, 1, M', 1" (fig. 18), les points d'application des trois forces P, P', P*', qui ogissent sur le levier ECF, suivant des directions MA, l'A', M" A", comprises dans son plan. Faisons tourner infiniment peu ce levier autour de son point d'appui C, de sorte que H , H', M", viennent en m, m 1 , m". D'après la définition du n° 39, les arcs infiniment petits Mm, M'm', M''m", que l'on peut prendre pour des lignes droites , seront les vitesses virtuelles des points d'application M , M', H", des trois forces que l'on considère. J'abaisse de m, ml, m'' t des perpendiculaires ma, m'a' , m" a", sur les droites MA, M'A', M" A", ou sur leurs prolongemens ; Ma sera la projection de Mm sur la direction même de la force P qui tend à faire tourner le levier dans le aens de la rotation qni a eu lieu ; M'a* et M"a" seront les projections de M'm' et M"m" sur les prolongemens des deux autres forces PJ et P" qui tendent à le faire tourner dans le sens oppose. Pour cette raison , je considère la première de ces projections comme une quantité positive, et les deux autres comme des quantités négatives. Je représenterai ces trois quantités par.,V,V.

Cela posé, en vertu du principe des vitesses virtuelles , la somme des forces données multipliées respectivement par les projections ainsi définies des vitesses virtuelles de leurs points d'application,

est nulle dans le cas de l'équilibre, et réciproquement l'équilibre a lieu quand cette somme est xéro; en sorte que l'équation d'équilibre du levier est

p„ + pv -f PV' = 0; (4).

et, en effet , il est aisé de vérifier qu'elle coïncide avec celle que l'on a déduite de la considération dea momens.

Pour cela , désignons par p, ff, p", les perpendiculaires CG, CG', CG", abaissées du point C sur les directions dea forces P, P 1 , P"; par c, if, c", les distances CM , CM', CM", de leurs points d'application au point C ; et par y t y', -y", les vitesses virtuelles Mm, IW, M"m". L'arc infiniment petit Mm se confondant avec sa tangente , les triangles Mma et CM G ont leurs côtés perpendiculaires l'un à l'autre, et sont semblables ; on a donc

Ma : Mm .: CG : CM,

a à cause de

Ma = *. Mm = y, CG=p, CM = c , on en déduit

On aura de mime

py py

* - —> * pr»

en observant que V et «" sont , par hypothèse , des quantités négatives. De plus, la forme du levier étant supposée invariable , les trois arcs Mm, MW, M"ro", décrits en même temps, répondent à un même angle ; et en les divisant par leurs rayons respectifs CM , CM', CM", on aura trois rapports égaux. En désignant par 6 la grandeur commune de ces rapports, on aura donc

et , par conséquent, • = p», V = -p«l, V' = -p"ê.

Or , si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (4), et qu'on supprime ensuite le facteur I commun à tous ses termes, elle deviendra

p p py py» = o;

ce qui est effectivement l'équation d'équilibre du levier que noua considérons. Réciproquement, si l'on multiplie celte dernière équation par », elle se changera dans l'équation (4).

Le raisonnement serait évidemment le même ,

P*, P", etc, et le sens dans lequel elles tendent à faire tourner le levier.