CHAPITRE III

DB LA COMPOSITION ET DE i/ÉQUILIBRE DES PORCES PARALLELES.

60. La composition des forces parallèles se déduit, ainsi qu'on Ta tu précédemment (n° 43), de la règle du parallélogramme des forces, en considérant les forces données comme des forces dont le point de concours est à l'infini ; mais en s'appuyaut toujours sur cette règle, on peut aussi obtenir la résultante de deux forces parallèles par un autre moyen qu'il est bon de connaître.

Soient P et Q les deux composantes, agissant aux points £ et F de la droite inflexible EF, suivant les directions parallèles E.V et FB, dans le même sens (fig. 19), ou en sens opposés (fig. 20). On ne changera rien à ce système de forces, en appliquant aux extrémités de cette droite des forces égales, dirigées en sens contraire l'utie de l'autre, suivant ses prolongemens EC cl FI) , et dont la commune sera représentée par S. Je i résultante des forces Pet S appliquées au point E, qui sera une force P' agissant suivant une droite E.V comprise dans l'angle AECj de même la résultante des forces Q et S, qui agissent au point F, sera une force Q dirigée suivant une droite FB', comprise dans l'angle BFD ; et si l'on excepte le cas du n" 44 , où les forces dounées P et Q sont égales et agissent en sens opposés, les deux droites E.V et FB' ne seront pas parallèles. Par conséquent, en supposant leur point d'intersection K lié invariablement à la droite EF, il sera permis do le prendre pour le point d'application commun aux deux forces P' cl Q' (n° 41). Parce point K, je mène les droites 1 1 et KIT, parallèles à la droite EF et k la direction des forces P et Q , puis je décompose chacune des forces P' et Q' suivant ces parallèles : il est évident qu'on retrouvera de cette manière les composante» S et P, dirigées suivant KE' et KH, et les composantes S et Q, dirigées suivant KF' et KH (fig. 19), ou suivant ki et KH' (fig. 20). Nous aurons donc les quatre mêmes forces qu'auparavant, mais appliquées toutes quatre à un même point K. En supprimant les deux forces S, il restera les deux forces P et Q, dirigées suivant la même droite KH, dans le cas de la figure 19, ou suivant cette droite KH et snu prolongement KIT, dans le cas de la figure 20, qui Q est la plus grande des deux forces c, la résultante de ces denx forces

leur sera parallèle ; et en la désignant par H, aurons

selon qu'elles seront dirigées dans le même ou en sens opposés.

Pour déterminer le point 0 , où sa direction viendra couper la droite EF ou son prolongement, je supposerai que E' et F' soient les intersections des lignes AE et BF avec la droite E'F'; les deux quadrilatères EE'K.0 et FF'KO seront des parallélogrammes; et si l'on prend leurs diagonales KE et KF pour représenter les résultantes P' et Q', on oura

s : p : : eo : ko , s : q : : fo : ko ,

pour les rapports des composantes. On conclut de là

P : Q : : fo : eo ;

ce qui fera connaître la position du point 0 qu'on pourra prendre pour le point d'application de la

On en déduit aussi

p : q ± p : : fo -. ef , q : q ± p : : eo : ef ,

les signes supérieurs se rapportant à In figure 19, et les signes inférieurs à la figure 20 ; en ayant égard à la valeur précédente de R, on aura donc,

p : Q : R : : fo : eo : ef ;

ce qui montre que chacune des trois forces P, Q, R , est proportionnelle à la distance comprise entre les points d'application des deux autres.

Cette proportion , et, par suite, la position du point 0, sont indépendantes de l'angle sous lequel les directions des forces données sont coupées par la ligne EF , qui peut être une droite quelconque aboutissant par ses extrémités à ces deux directions.

culté, toutes les questions qui peuvent se présenter sur la composition des deux forces parallèles eu et sur la décomposition d'une force en qui lui soient parallèles. Nous n'en-

trerons dans aucun détail à ce sujet ; et nous no reviendrons pas non plus sur le cas particulier des forces égales et non directement opposées, que nous avons exclu de la démonstration précédente et qui a été suffisamment examiné dans len»44.

Je vais actuellement considérer un nombre quelconque de forces parallèles, dont une partie agit dons un sens et l'autre partie dans le sens opposé, qui sont situées ou non situées dans un même plan, et appliquées à des points liés entre eux d'une manière invariable , par exemple , à différen* points d'un corps solide.

En composant deux de ces forces en une seule, puis celle-ci et une troisième encore en une seule, et ainsi de suite, on parviendra à déterminer ht grandeur et la position dans l'espace de la résultante de toutes les forces données, a moins que les deux dernières forces qu'on aura à considérer ne tombent dans le DU d'exception du n° 44. Celte résultante sera évidemment parallèle à la direction commune des composantes ; de plus, elle sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens, moins lu somme de celles qui agissent en sens contraire, et elle agira dans le sens de la plus grande somme. Si donc on regarde les unes comme des quantités positives, et les autres comme des quantités négatives (n° 11), qu'on les représente toutes par P, P', P", etc., et leur résultante par R, on aura toujours

R = P + V + P» + etc.

62. Si les forces données viennent à tourner autour de leurs points d'application sans cesser d'être parallèles, leur résultante tournera aussi autour d'un des points de sa direction; car sou point d'application, qu'on trouve en composant successivement les forces données, comme on vient de l'indiquer, ne dépend en aucune manière de la direction commune de ses forces, et reste, conséquemment le même quand celte direction vient à changer.

Ainsi, par exemple, supposons que les forces données soient au nombre de trois, P, P', P'', dirigées suivant les droites MA, M'A', M" A" (fig. 21). Soit d'abord Ml la direction de la résultante de P et P', qui sera égale à P + P' ; soit ensuite Fi'R' la direction de la résultante de P + P' et P"; cette dernière force P" étant supposée, dans la figure, agissante en sens contraire de P et P' , et plus grande queP-j-P'. Concevons maintenant que les trois forces P, P', P', tournent autour des points M, M', H", en conservant leur parallélisme et le sens relatif de leurs actions. Soient Ma, M'a', M"a", leurs nouvelles directions. Dans ce nouvel état, la résultante des forces P et P' rencontrera la droite MM' au même poiut N qu'auparavant, puisque la position de ce poiut ne dépend que du rapport des composantes, et nullement de l'angle que lu droite MM' fuit avec leurs directions (n° 50) ; elle sera présentement dirigée suivant la droite U parallèle a Ma et M'a', et encore égale à P + P'.

Par la même raison, U résultante de P + P' et P" rencontrera le prolongement de la droite MM' au même point Ht qu'auparavant, et sera dirigée suivant une droite > 7/ parallèle à No ; par conséquent, les trois forces P, P', P", tournant autour de leur» points d'applicotion M, M', M", leur résultante tournera aussi autour d'un même point S'.

53. Nous appellerons centre de» forcée parallèle* re point dans lequel viennent se couper toutes les directions successives de la résultante, quand se» composantes tournent autour de leurs points d'application, qu'on suppose invariables.

On verra par la suite combien le centre de* forces parallèles est important a considérer , surtout dans les questions relatives a l'équilibre et au mouvement des corps pesans. On peut déjà observer que si un corps solide est sollicité par des forces parallèles quelconques , que l'on déterminele centre de ces forces, et qu'on le suppose fixe, l'équilibre aura lieu dans tontes les positions que le corps pourra prendre autour de ce point, ponrvn que les forces données restent toujours parallèle* et appliquées aui mêmes points de ce corps ; car alors leur résultante passera constamment par le point fixe , ce qui suffit pour qu'elle soit détruite.

Les coordonnées du centre des forces parallèles, rapportées à trois axes rectangulaires, dépendent, comme on va le voir, des produits de ces forces multipliées par les coordonnées de leurs points d'application. A cause que ces produits se présentent dans un grand nombre de cas, on leur a donné un nom particulier; on appelle moment d'une force par rapport à un plan , le produit de cette force et de sa distance à ce plan. Ainsi , P étant l'intensité d'une force appliquée en un point dont les coordonnées sont s, y, m, les produits P«, Py, Px, seront ses momens par rapport aux plans des * et y, des * et *, des y et s. Les momens de cette espèce n'ont rien de commun , en général, avec les momens par rapport h un point qu'on a définit dans le n» 42. Ceux-ci dépendent de In direction de lu force, et sont indépendans de son point d'application ; les momens par rapport i un plan dépendent , au contraire, de la position du point d'application de la force, et sont indépendans de sa direction. On ne fait usage des derniers que dsnt lo cas des forces parallèles ; en sorte qu'ils peuvent être des quantités positives ou négatives , à raison du signe de la force cl des coordonnées du point où elle est appliquée.

54. Soient M, M', M", etc. (fig. 22), les points d'application des forces parallèles P, P', P", etc. , dont il sera inutile d'indiquer les directions. Menons arbitrairement trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, qui seront ceux des coordonnées ; désignons par x, y, a, les coordonnées de M ; par s', y', jt', celles de M r , par y", celles de B", elc. ; et supposons que toutes ces coordonnées et ce* forces sont des quantités données qui peuvent être positives ou négatives. Soient encore Q, Q',

STATIQUE, PREMIERE PARTIE

Q', elc. , le» projections des points!, M*, M", etc., sur le plan des * et y ; en sorte qu'on ait

MQ= 3 ,M'Q'= 3 \ M"Q" = *", tic.

Enfin, représentons par x, , y. , *i , tes trois coordonnées du centre des forces parallèles dont il s'agit de trouver les valeurs.

La résultante P + V des deux forces P et P rencontrera en un point Pi la droite MM' ou son prolongement, selon que ces deux forces seront de même signe ou de signe contraire ; mais dans les deux cas on aura

p : P + P' :: m : MM'.

Soit K la projection de Ji sur le plan des x et y. Pur le point M, menons la parallèle MGH a la droite QKQ', qui rencontre les droites NK. et MQ' aux points G et H, de sorte qu'on ait

MQ = GK = HQ';

on aura aussi