P + V) KG = V. M'H

A cette équation, j'ajoute l'équation identique

(P + F) GE = P. MQ + P'. HQ';

ce qui donne

( P + P' ) NR = P* + P'

La résultante des deux forces P -f- P' et P ' rencontrera en un point If' la droite KM" ou son prolongement, selon que ces deux forces auront le même signe ou des signes contraires ; et si K' est la projection de V sur le plan des x et y, on trouvera, comme dans le cas précédent,

(P + pi + p" )K . k . = (P + p, )HK + p, V ,. par conséquent, on aura

On continuera de même jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données P, P', P", etc. ; et si R est leur résultante totale, on aura finalement

Rs, ss Pa -f PV + PV" + elc

La figure 22 suppose que tous les points M 1 , M', M" , etc. , K, H', et*, sont situés d'un même côté du plan des * et y, ou que leurs ordonnées parallèles à l'axe des z sont toutes de même signe ; mais il est aisé de voir que si l'équation précédente est Traie dans ce cas , elle le sera encore lorsque ces coordonnées seront en partie positives et en partie négatives. En effet, transportons le plan des * et y, parallèlement à lui-même, à une distance quelconque A de sa position primitive. Par rapport à ce nouveau plan, soient Z, Z', Z", etc., les coordonnées de M, M', M", etc., et Z„ celle du centre des

forces parallèles, de sorte qu'on ait

Z,=s,-», l=M-h, V=s'-h, Z»= 3 "*, etc.;

si l'on retranche de l'équation précédente l'équation identique

M = PA + Vh + Vh + etc.,

il en résultera

RZ, = PZ + P'Z' + P»Z" + etc.;

équation dans laquelle les ordonnées Z, Z', Z", etc., peuvent être positives ou négatives.

On voit donc que, dans tous les cas, le moment delà résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles par rapport à un plan choisi arbitrairement, est égal à la somme des momens de ces forces par rapport au même plan.

55. En prenant successivement les momens par rapport aux trois plans des coordonnées, on aura, d'après les notations précédentes,

Ri, = Px + P»*' + PV" + etc. , ) R yi = Py + PV + PV + etc., [ (l) R Sl = Ps + PV + PV' + etc.; '

et à cause de

R = P + P' + P» + etc., (2)

les trois coordonnées du centre des forces parallèles seront complètement déterminées. En menant par ce point une droite parallèle aux forces données, dans le sens indiqué par le signe de R, on aura la direction de la résultante. Ces quatre équations renfermeront , de la manière la plus générale, la théorie des forces parallèles.

La somme des momens des forces P, P', P", etc., est égale à xéro, par rapport a tout plan passant par le centre des forces parallèles ; car, en prenant ce plan pour celui des x et y, il faudra qu'on ait *, = 0, et , conséquemment,

Ps + PV + PV" + etc. = 0.

Dans le cas particulier où P, P', P", etc., se réduisent à deux forces égales, agissant en sens opposé, leur somme R est égale à xéro; ce qui rend infinies les valeurs de x, , y, , s,. Le centre des forces parallèles est donc alors situé à l'infini, ou plutôt ce centre n'existe pas, non plus que la résultante.

50. Lorsque tous les points d'application M, H', M", etc. , des forces données sont situés dans un même plan, il est évident, par la nature du centre des fortes parallèles (n° 62), que ce point, s'il existe, devra aussi se trouver dans ce plan ; c'est aussi ce que l'on peut conclure des équations (1) et (2).

En désignant par a, h, c, trois constantes données, on aura, daus ce cas,

M = ax + by + e , ax'+V+ C, s''= «x« + 4y" + c, etc.

Je substitue ces valeurs de m, m", m", etc., dans la troisième équation (1); il Tient

Rs, = ( Px + PV + P'V + etc.) a + ( Py + P'y' + P"y" + etc.) 4 + (P + P' + P" + etc.) c.

En vertu des deux autres équations (t) et de l'équation (2), on peut remplacer par Rxi , Ryi , R, les coefficiens de a, b, c; et en supprimant ensuite le facteur commun R, on a

mi = aii + by x + c;

re qui montre que le centre des forces parallèles appartient au plan des points M, M', M", etc.

Lorsque tous ces points sont sur une même ligne droite, ce ccnlre s'y trouve également ; et il surfit de la première des équations (1) pour déterminer sa position, en prenant cette droite pour Taxe des x. Si, de plus, les forces P, P', P'', etc., sont perpendiculaires à cette droite, les momens que nous considérons actuellement se confondent avec les momens par rapport à un point , qui est ici l'origine 0 des abscises x, et la première équation (1) coïncide avec l'équation (l) du n° 47. Il est aisé de voir, en effet, que parmi les forces données P, P', P", etc., celles qui tendent à faire tourner autour du point 0 dans le même sens que la résultante R, •ont toutes les forces qui ont le même signe que leurs distances s, s', s", etc., à ce point, et que celles qui tendent k faire tourner dans le sens opposé, sont les forces qui ont un signe contraire à celui de ces mêmes distances ; par conséquent, les momens des premières s'ajoutent, et ceux des dernières se retranchent, conformément à l'énoncé du numéro cité.

67. Les équations d'équilibre des forces parallèles P, P\ P", etc., se déduisent aisément de la théorie qu'on vient d'exposer.

S'il n'existe aucun point fixe dans le système, il faut, pour l'équilibre, qu'en séparant l'une de ces forces, par exemple In force P, toutes les autres aient une résultante qui soit égale et directement opposée a P. Soit donc R la résultante des forces V, P", etc.; puisque les forces P et R' sont égales et dirigées en sens contraires , elles doivent être égales et de signes différens , ou, autrement dit, on doit avoir P -j- K'=0. Hais R' est la somme des composantes P*, P", etc. ; il en résulte donc, pour la première équation d'équilibre,

P + F + P» + etc. = 0. (o)

Pour exprimer , en outre, que les forces P et R' sont directement opposées, soient •, C, y, les trois coordonnées du centre des forces parallèles P* P", etc., de manière qu'on ait

R'. = P**' + P"x" + etc. ,

r-c = py + py + etc. ,

R',, = P'*' + PV + etc.

Ce centre étant le point d'application de leur ré-

MÉCAMQIE.

•nlUnte R', il sera nécessaire qu'il se trouve snr la direction de la force P, pour que R' soit directement opposée a cette force, ou, ce qui revient au même, ce centre et le point d'application H de la force P doivent être sur une même parallèle à la direction commune des forces données. Si donc on prend, pour plus de simplicité, le plan des * et y perpendiculaire à cette direction, il faudra que ces deux points soient situés sur une même perpendiculaire à ce plan ; ils auront alors la même projection sur ce plan; par conséquent, leurs coordonnées seront les mêmes parallèlement aux axes des x et y, de sorte que l'on aura

• = x , C sa y.

Je substitue donc x et y à la place de a et C dans les deux premières équations précédentes, et, k cause de R' = — P, il vient

Px + PV + P"x" + etc. = 0, i

Py + P'y' + P'y' + C t C . = 0; f W

équations qui signifient que la somme des momens de toutes les forces P, P', P ', est nulle, etc., par rapport aux plans des x et s, et des y et s, parallèles à leur direction.

Ainsi , l'équilibre de ces forces exige que les équations (o) et (6) aient lieu en même temps. Réciproquement, quand ces trois équations sont satisfaites, l'équilibre existe; car si l'on considère la résultante R' de toutes ces forces moins une, on aura, en vertu de ces équations,

R» = - P , R'. = - Px , R'C = - Py ,

et, par conséquent,

en sorte que celte résultante sera égale et directement opposée à la force P , qu'on avait omise. Il n'est pas nécessaire, pour cela , que les deux plans par rapport auxquels la somme des momens des forces données est xéro, soient perpendiculaires l'un à l'autre; il suffit qu'ils soient parallèles à la direction de ces forces ; et l'on peut aussi s'assurer facilement que si cette condition est remplie par rapport à deux plans parallèles à cette direction, elle le «era également par rapport a tous les autres.

Concluons donc que pour l'équilibre d'un système de forces parallèles, appliquées à un corps solide entièrement libre, il est nécessaire et il suffit :

1° Que la somme de ces forces soit égale & xéro ;

2" Que la somme de leurs momens soit nulle par rapport à deux plans quelconques parallèles à leur direction commune. Quand toutes les forces seront comprises dans un même plan, cette seconde condition sera déjà remplie par rupport à ce plan, et il suffira qu'elle le soit, en outre, par rapport à un autre plun.