FG : GA
en sorte que FG est le tiers de GA ou le quart de AF ; ce qu'il s'agissait de prouver.
On en conclut que si les quatre sommets A , B, C, D, de la pyramide sont les ceulres de gravité de masses égales , le point G sera le centre de gravité de ces quatre masses; car déjà le point F est celui des trois ruasses qui répondent à B, C, D (n° 77) ; et ensuite le point G , tel que GF est le tiers de GA, sera le centre de gravité de ces trois masses et de la quatrième.
D suit de la (n<> 67) que si l'on applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des forces représentées , en grandeur et en direction , par les droites qui vont de ce point aux quatre sommets, ces quatre forces se feront équilibre.
88. Ayant déterminé le centre de gravité d'une pyramide triangulaire, on en déduit immédiatement celui d'une pyramide ou d'un cône à buse quelconque, en décomposant cette base en un nombre fini ou inCni de triangles : le centre de gravité de cette pyramide ou de ce cône doit se trouver à la fois sur la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base, et dons le plan parallèle à la base qui coupe toutes les lignes menées du sommet à cette base, aux trois quarts à partir du sommet; ce qui s'accorde avec le résultat du n° 80.
On en déduit uussi le centre de gravité d'un secteur sphérique. En effet , si l'on décompose ce secteur en une infinité de pyramides dont le sommet commun soit au centre de la sphère , et qui aient pour bases les élémens infiniment petits de la base du secteur, leurs centres de gravité se trouveront tous sur la base du secteur concentrique , dont le rayon sera les trois quarts de celui du secteur donné; d'où l'on conclut que le centre de gravité du secteur donné sera le même que celui de la base du secteur concentrique ; ce qui en détermine la position.
Supposons que le secteur sphérique soit engendré par le secteur circulaire CAOB (fig. 29), tournant autour du rayon CD , qui aboutit au milieu de l'arc AB; le triangle CAB et le segment circulaire ADB engendreront , en même temps, un cône et sphérique : et le centre de gravité de
ce segment sphérique se déterminera d'après ceux du secteur sphérique et du cône.
Pour cela , appelons V, , V , V, les volumes respectifs de ces trois corps, et *, , x , x', les distances de leurs centres de gravité au point C; nous aurons
V = V + V, , Ys = W + Vl mu (a)
Soient a le rayon CD, cla corde AB et fh flèche DE de l'arc ADB. Relativement au cône , on aura
V = 1/12 «» (a - /), *' bb 3/4 (a - f).
La base du secteur sphérique sera égale au produit de la flèche et de la circonférence du grand cercle, ou à 2%af, et son volume aura pour valeur le pro-
1 2m» / duit de cette base et de — o, ou -. Si l'on
3 3 décrit du point C comme centre , et d'un rayon égal à 3/4 CD, un arc de cercle tel que A' D' B', le centre de gravité de la surface engendrée par cet arc, se trouvera au milieu de la flèche D'E' (n« 81), ou, autremement dit, à une distance du point C égale à CD' — 1/2 D'E', dont la valeur est 3/4 (a — 1/2/). Donc, ce centre de gravité étant, d'après ce qu'on vient de dire, celui du secteur sphérique V, on aura
En substituant ces différentes valeurs dans les équations (a), il vient
2/3,o./=l/l2» c . (<,/) + ¥, , l/2-a./(o-l/5/)=l/lfl»c (a-/> + V.r,
d'où l'on tirera les valeurs de V| et s\ .
Si l'on appelle / la longueur de l'arc AB, on aura
C = 2a sin — , /= a ( 1 — cos — ) ,
et il en résultera
( 1 — cos sin»— cos— },
2a sin* — 2a
8(1 — cos sin» — cos — ) ;
Lorsque l'arc l est la demi-circonférence, on a is**, et par suite
2wai 3a
89. On détermine aussi par des intégrales simples le volume et le centre de gravité de tout corps
TRAITÉ DE KECAIfIQUE.
symétrique par rapport à un ose , solde, par exemple.
Soient x, y, z, les trois coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la surface , prenons Taxe de figure pour celui des m t et désignons par X Taire de la section perpendiculaire à cette droite, qui répond à l'extrémité de l'abscisse x. Si l'on décompose le volume en élémens infiniment minces et perpendiculaires à Taxe de figure, on pourra prendre Xdx pour le volume d'un élément quelconque , et x pour la distance de son centre de gravité à l'origine des coordonnées. Donc , en désignant par V une tranche comprise entre deux sections correspondantes à des abscisses données • et C , et par x% la distance de son centre de gravité ù l'origine des coordonnées, nous aurons
*Xdx.
Dans le cas de l'ellipsoïde , l'équation de la surface est
Jf» y» z *
a, b, e, désignant les trois demi-axes. Ceux de la section X seront
on aura donc
= -i,roc(C» -••)('
d'où l'on tire
Si l'on applique cette formule au segment sphérique que l'on a considéré dans le n° précédent, il faudra prendre
« = a cos — , C = a ;
ce qui donne
3a ^1 + cos ~^) sin * ~~
4^1 — cos — + sin» — )
et en multipliant le numérateur et lo dénominateur
de cette fraction par 1 — cos — , on vérifie qu'elle
coïncide avec la valeur de Xi déjà trouvée.
Pour avoir la valeur entière de l'ellipsoïde, il faudra faire C=oet» = — a; ce qui <
Ce volume est aussi donné par l'intégrale triple fjj'dxdyds , étendue à tous les élémens de l'espace terminé par la surface de l'ellipsoïde ; mais en fai-
*=ox\ y = oy», m = es',
l'équation de cette surface devient
et l'intégrale triple se change en
abcffjds'dïd*'.
Cette nouvelle intégrale devra s'étendre à tous les élémens de l'espace circonscrit par la surface qui répond à l'équation précédente; elle sera, par conséquent, le volume de la sphère qui a l'unité pour
rayon ; et ce volume étant égal à — , il en résulte
4 a-oie
lipsoïde.
OU. Les corps symétriques autour d'un axe comprennent les solides de révolution. Nous prendrons toujours l'uxc de figure pour celui des abscisses x. En supposant alors un solide de cette nature engendre par une aire plane , comprise entre deux courbes données et les perpendiculaires à l'axe des x qui répondent à x= * et x = C, et désignant par y et y' les ordonnées de ces courbes relatives à une même abscisse quelconque x, il faudra faire
dans les formules du numéro précédent; ce qui donne
X=*f\ r -rt')ds, Vx. =^'jy.-y'.)x«x.
Dans le cas le plus ordinaire où la courbe intérieure se confondra avec l'axe de figure, on aura y' = 0, et sir
¥ = »y^S-sk,T#, = »y y»xax. (6)
La cycloïde fournira encore des exemples de l'application de ces formules , dans lesquels toutes les intégrations s'effectueront sous forme finie.
Si l'on considère le solide convexe , engendré par l'aire CMP (fig. 26) tournant autour de l'axe
STATIQUE, PREMIERE PARTIE
Cx.on intégrera d'abord par partie; ce qui
V = *jy» — 2*fxydy t Vx, — 1/2 y — */x> ydy;
les intégrale! étant pri»et de manière qu'elles s'évanouissent au point C, on quand x — 0. En vertu de l'équation (o) du n° 73 on aura donc
V = xxg* — 2«/y \/ax — x* dx , Vx, = 1/2 ix> y* — wfyx \/ ai — x« £r ;
et les calculs s'achèveront par des transformations semblables à celles du n° 80. Dans le cas du volume engendré par la demi-cycloïde CAR, on trouve
S'il s'agit, au contraire, du solide convexe entendre par l'aire CSP tournant autour de l'axe Cy, il faudra préalablement permuter x et y dans les filiations (4) ; d'où il résultera
V «./«-%, Vy, = yrfy;
y ( étant la distance au point C, dn centre de gravité qui se trouve sur l'axe Cy, et les intégrales l'évanouissant en ce point C. Eu vertu de l'équation [a) de lu cycloïde, ou aura donc
V — w fx \/ax — x»dx, Vyi= wffX [/ax — x'dx.
La première intégrale s'obtiendra sans difficulté ; la seconde, par des transformations semblables à celles du n° 80. Dans le cas où CM sera la demi-cycloîdc entière , on trouvera
91. Maintenant, soient *•>•/>»'>* '« trois coordonnées rectangulaires du centre de gravité h' un corps de forme quelconque, homogène ou hétérogène , dont la masse sera représentée par H. D'après ce qu'on a déjà dit dans le w 85, il faudra , pour déterminer cet trois inconnues, diviser S en parties infiniment petites, et changer, en conséquence, les sommes en intégrales dans les seconds membres des équations (1) de ce numéro. On aura , de cette manière ,
Mx, =ifJfxdm,Hy l ^fffydm^z, —fffxdm\{\)
dm étant l'élément différentiel de la masse du corps qui répond aux coordonnées x, y, s. En appelant p la densité de ce même élément, et dv son volume, on aura aussi
dm = fdc.
On pourra prendre maintenant , pour l'élément dr dd volume , le parallélépipède rectangle dont les trois côtés adjacent sont parallèles aux axes des x,
y, t, et égaux «ax différentielle* dx, dy, dx; d'où il résultera
dv = dxdydx.
Si le corps est homogène , sa densité sera constante; en désignant par V ton volume, on aura
S = fV; et lot équationt (1) deviendront Vx, =fffxdc, Vy, =JXfydv,\z t =/)7«*r.(t).
Si le corps est hétérogène , il pourra te présenter deux cas différens. Dans le premier cas, ce corps se composera de parties homogènes de grandeur finie, et la densité ne variera que d'une partie à l'autre. On appliquera donc à chacune d'elles les équations (2), puis on déterminera le centre de gravité du corps entier d'après ceux de toutes ses parties (ii» 64]. Dans le second cas , la densité variera par degrés insensibles dans l'intérieur du corps; et alors on fera usuge des équations (I), dnns lesquelles f devra être une fonction donnée de x,y, z.
Toutefois, on doit remarquer que, soit qu'il s'agisse d'un corps homogène ou d'un corps hétérogène, la division de la masse en élémens infiniment petits , dont les densités sont les mêmes ou ne varient que par degrés insensibles, suppose que ce corps est formé d'une matière continue. Or, cela n'a pas lieu dans la nature , où les corps , au contraire , se composent de parties matérielles ditjointes et séparées les unes des autres par des espaces vides, comparables en grandeur aux parties pleines. ïNous reviendrons sur cette observation dans le chapitre suivant , et nous ferons voir qu'on peut , néanmoins, appliquer les formules (l) et (2) aux corps naturels, comme si la matière n'éprouvait aucune discontinuité dans leur intérieur.
92. Au lieu des coordonnées x, y, s, il sera quelquefois nécessaire, pour faciliter les intégrations, d'employer les coordonnées polaires de chaque élément dm. Soit alors r son rayon vecteur, I l'anglo qu'il fait avec l'axe des x pot itivet , et -j l'angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des x et y; nous aurons (n° 9)
x = r cos t , y =: r sin * cos 4 j x — r sin • sin -\.
Il faudra, en même temps , exprimer dp au moyen des différentielles de ces nouvelles variables r, », 4. On a des formules générales pour la transformation des variables indépendantes dans les intégrales multiples; mais on peut aussi trouver directement l'expression de dv dont nous devront faim usage, savoir :
de — r> tin * ir d* (**>{.,
ainsi qu'on le verra tout à l'heure.
Je mets fdv h la place de dm dans les équn tions (1) , et j'y substitue ensuite cette valeur de dv et celles de x,y, s; elles deviennent
M* My Ms
: fffff* sin » cos %dr d\
r' sin» * cos prJ |Id« I sin
hdrdhd-Sf, 1
no
n quoi il faudra joindre l'équation
Jk=zfffff tiaUrdid^.
Quant aui limites de ces intégrales triples, elles seront différentes selon que l'origine des coordonnées scro placée en dehors ou en dedans du corps. Lorsque cette origine sera un des points de M , on intégrera d'abord depuis r = 0 jusqu'à r= si, en représentant par « une fonction de » et 4 donnée par l'équation dr la surface ; cela fait , on intégrera depuis » — 0 et 4 = 0 jusqu'à t r= » et 4 — 2* , en commençant à volonté par l'ongle » ou par l'angle 4. Les limites seront généralement plus compliquées quand l'origine des coordonnées n'appartiendra pas à la masse M. Représentons , dans ce eas , par u et u' dent fonctions données de * et 4 > par m et m deux fonctions de 4 » et put * et *' deux ongles donnés; supposons qu'il s'agisse d'une portion de corps comprise , d'une part , entre 1rs deux surfaces qui ont pour équations r = u et r — m' ; d'une autre purt , entre les surfaces coniques qui ont pour axe commun l'axe des x, leur sommet aussi commun n l'origine des coordonnées , et pour équations » = m et * = ; enfin , entre les deux plans passant par cet axe , et qui font des angles •
et »' avec le plan ûic d'où l'on compte l'angle 4- On intégrera d'abord depuis r = u jusqu'à r = m', ensuite depuis I = «jusqu'à Isa', et finalement , depuis 4 = * jusqu'à 4 = •'•
Prenons, par exemple , pour les deux premières surfaces relies de deux sphères concentriques qui ont leur centre commun à l'origine des coordonnées, et dont les rayons sont o et a'; supposons, en même temps, que les deux cour* soient ft base circulaire , ou, autrement dit, que « et •' soient des ongles constnns ; supposons, de plus, que la densilé ne soit fonction que de r; de sorte que la portion de corps que l'on considère appartienne à une sphère composée de couches concentriques infiniment minces , dont chacune nit la même densité dans toute son étendue, laquelle densilé variera d'une couche à l'autre , suivant une fonction donnée île la distance au centre. En faisant pour abréger ,
^ pr. dr = k*J* f ndr=b,
et effectuant les intégrations relatives à t et 4 1 on trouve
M = A (*' — a) (cos e — cos «.'), Mx, =. 1/2 B (•' — •) (cos » « — cos» J),
My, = 1/2 B (sin - fin «)(„'„ |/2 ,i n 2 J + 1/2 sin 2 »),
Mx, = 1/2 B (cos . - cos ••)(„' — „ — 1/2 ,i„ 2 «' + 1/2 sin 2 •
ce qui fait connaître les valeurs de r, , y, , 3, , qu'on 110 pourrait déduire , dans cet exemple , des équutions (I).
Si la masse H forme un anneau complet , de sorte qu'on ait a' — m -f- 2», il en résultera y ■ = 0 et M, — 0 , c'est-à-dire que le centre de gravité sera situé, comme cela doit être, sur l'axe de cet anneau : sa distance tt\ au centre de la sphère dont cet onneau fait purtie , aura pour valeur
B(cos m -f- cos*')
Dans le cas de l'homogénéité de la sphère, la densité f étant constante , on aura
A = 1/3 t {a'i — ai ), B ss 1/4 . (o'i — ai ).
Quand le vide de l'anneau disparaîtra , on fera m =0; et, enfin, s'il se change en un secteur sphérique , on fera aussi a == 0 ; d'où il résultera
r, 5= — ( 1 4- cos
ce qui s'accorde avec la valeur de la quantité désignée par x dans le n° S8 , en observant que la flèche représentée par /aurait pour valeur o' (1 — cos •'), et que le rayon est a'.
03. Pour trouver la différentielle de du volume, exprimée au moyen des différentielles des coordon-
nées polaires, je suppose que M (fig. 31) soit le point qui répond aux coordonnées 1 , I . -I . m sorte que O étant leur origine , OM soit le rayon vecteur r, t l'angle MOx compris entre ce rayon et un axe fixe Ox , et 4 l'angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan fixe mené arbitrairement parla seconde. Soit H' un point situé sur In prolongement de OM, et dont le rayon vecteur OM' sera r'. Du point O comme centre, et dans le plan M Ox , décrivons les arcs de cercle MX et M'Y compris entre Us deux droites OMM' et O.W, et désignons par I' l'angle NOx ; enfin , faisons tourner le plan de cet angle autour de l'axe Ox, et représentons , dans sa nouvelle position , par 4' l'angle qu'il fera avec le plan fixe. Dans ce mouvement , l'aire MM YN engendrera un volume MM'N'NPP'Q'Q, «lue je représenterai par U. Or , cette aire , différence des deux secteurs circulaires M'ON' et MON , est égale à
Si l'on appelle u la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur l'axe Ox, on aura m (4' — 4) pour la longueur de l'arc que ce centre décrira autour de cette droite. D'après le théorème du n« 8* , nous aurons donc
! -(r» + r)(r'-r)(r-iM4'-.4).
STATIQUE, PR
Cela posé, concevons que les trois dimensionj de
0 deviennent infiniment petites, et foison*, en conséquence,
r> - > = d, , f » - dt, 4' - 4 = d4.
Le facteur r' -f- r so réduira , en même temps , à 2r; on pourra aussi prendre pour tt la perpendiculaire MH abaissée du point 9 sur l'axe Ox , laquelle est égale à r sin 4 , et ne saurait différer de u que d'un infiniment petit; enCn U se changera en dt, dont la valeur, qu'il s'agissait de déterminer, sera
dp= r* uni dr 0-144.
On remarquera , effectivement , que ce volume de peut êlre considéré comme un parallélépipède rectangle , dont les trois côtés adjacens sont MM' ou dr , Tare infiniment petit Mît , qui a son centre
