CHAPITRE VL

CALCUL DR l/ ATT II ACTION DES COHPS.

$ It. Formules relatives d uu corps quelconque et à la sphère en particulier.

94. Supposons qu'un point matériel O (fig. 32) soit soumis aux attractions de tous les points d'un corps de forme quelconque; en décomposant ebocane de ces forces en trois antres , dirigées suivant des axes rectangulaires menés arbitrairement par le point 0, et faisant ensuite la somme des composantes positives ou négatives qui agissent suivant chaque axe, on aura les trois composantes dont la résultante exprimera , en grandeur et en direction , l'attraction totale qui sera exercée sur le point O. Ces trois composantes seront des sommes d'une infinité d'élémens infiniment petit», étendus à la masse entière du corps attirant ; elles s'exprimeront par des intégrales triples, et le calcul de ces quantités sera semblable a celui des coordonnées du centre de gravité d'un corps quelconque dont nous venons de nous occuper : c'est pourquoi je placerai ici ce que j'oi à dire sur le calcul des attractions.

Cette question est une de celles dont les géomètres se sont le plus occupés, soit à cause des diffi-

cultés d'analyse qu'elle présente , toit à raison de ses rapports avec le problème de la figure de lu terre et de la loi de lu pesanteur 4 sa surface ; mois , dans cet ouvrage , on se bornera à donner les formules qui se présentent immédiatement, el quelques-unes de leurs applications. Je renverrai , pour de plus grands développement , au second volume de lu Mécanique céleste , el à mon Mémoire sur V Attraction des Sphéroidss , inséré dans la Connaissance des Temps de Tannée 1829.

96. Soit D un point fixe pris dans l'intérieur du corps attirant; par ce point, menons trois axes rectangulaires Dx, Dy, Dx, qui seront les axes des coordonnées positives; désignons par x, y, % , 1rs coordonnées d'un point quelconque M du corps attirant, et pur dm l'élément différentiel de su masse , qui répond à ce point M ; représentons aussi par a, C, y, les trois coordonnées du point 0, et par i* lu masse de ce point matériel ; et soit enfin u la distance OM , de sorte qu'on ait

L'attraction exercée par dm sur /* sera dirigée suivant la droite OM. On suppose cette force propor-

tionnelle aux produits des deux masses, et en raison inverse du carré de la distance m ; en la désignant donc par F , on aura

F J t^dut

f étant un coefficient constant qui exprimera l'intensité du pouvoir attractif, rapporté aux unités de masse et de distance. Pour se former une idée précise de eette quantitéy, il faut concevoir deux corps de forme et de dimension quelconques, dont les masses sont égales et prises pour unité, et supposer que l'attraction ne varie ni eu grandeur ni en direction daus toute l'étendue de ces deux corps; en sorte qu'elle soit la même entre deux élémens quelconques de leurs masses, égaux à dm et ù /u, qu'entre les points matériels /u et dm que nous considérons, lorsque leur distance OS est égale à l'unité : la force / est l'attraction totale qui serait exercée alors par l'un de ces deux corps sur l'autre.

Les projections de la droite 031 sur les axes Dx , Dy, Ds , sont <* — s, C — y f y — s ; en les divisant par u, on aura les cosinus des angles qui déterminent la direction de la force F j ses trois

et en y considérant « comme une quantité positive, elles tendront, selon qu'elles seront positives ou négatives, à diminuer ou à augmenter les trois coordonnées», C,y, du point 0. Si donc on désigne par A, B, C, les trois composantes de l'attraction totale exercée sur ce point , on aura , en mettant pour F sa valeur, et observant que /u et /

dm ,

entière

ces intégrales triples s\ du corps attirant.

En représentant par f la densité de l'élément dm, et par dv son volume , on aura

dm — f dv.

Cette quantité ; sera , dans le cas général , une fonction donnée des coordonnées du point M ; elle se réduira a une constante donnée , dans le cas de l'homogénéité du corps attirant. On exprimera de au moyen des différentielles des coordonnées de H , dont on fera usage, et qui seront le plus propret à faciliter les intégrations.

96. Par une considération très simple, on réduit a une seule les trois intégrales triples d'où dépendent les valeurs de A , B , C.

Les limites étant les mêmes que dons ces intégrales, faisons

A cause que ces limites sont indépendantes de la position du point 0, si l'on différentie T par rapport à ses coordonnées, on pourra effectuer ces différentiations sous les signes J (n° 14) ; et comme on a d'ailleurs

d* u> dC

il en résultera

ce qui change les équations (1) en celles-ci :

dV dl dT

.* = -/./-, B = -M/-,C = -iu/-; (2) da. dC dy

de sorteque le calcul des trois composantes A, B, C, ne dépendra plus que d'une seule intégrale T.

En la déterminant, il sera important de se rappeler que le dénominateur s* de»ra avoir constamment le même signe dans toute l'étendue de l'intégration , et qu'il doit être positif si l'on veut que les composantes A, B, C, tendent à diminuer ou « augmenter les coordonnées du point 0 , selon que leurs valeurs données par les équations (2), seront positives ou négatives.

Au lieu d'une attraction , si le point 0 était soumis à une répulsion, il suffirait de changer les signes des valeurs de A, B , C, ou, ce qui est la même chose, d'y regarder /comme une constante négative. Dans le cas où la force attractive ou répulsive qui agit sur le point 0 ne serait pas, comme nous l'avons supposé , en raison inverse du carré de la distance, et qu'on représenterait, en général, le coefficient de t*dm par une fonction donnée de u, que je désignerai par su, on prendrait i fonction «Du , telle que l'on eut.

dOn

et que 'on mettrait à la place de — dans l'cxpres-

• ion de T. Il se pourrait aussi que celle force fût ■ttract'iTe pour une partie du corps qui agit sur 0 , et répulsive pour une aulre partie, auquel cas la fonction au, dans laquelle est compris le coefficient j , changerait de signe dans retendue de l'intégrale que T représente.

Les composantes de l'action exercée sur un corps de forme el de dimensions quelconques, se déduiront des formules précédentes, en y remplaçant /» par l'élément différentiel de sa masse , qui repond aux coordonnées, a, C, y, et intégrant ensuite, par rapport a ces trois variables, dans toute l'étendue de cctle musse; d'où l'on voit que les composantes de l'action exercée par un corps sur un outre dépendront , généralement , d'intégrales sextuples.

Telle s sont les formules d'après lesquelles on calculera les attractions ou répulsions ; mais avant d'en foire aucune application , il est néiessairc d'expliquer comment elles conviennent à la constitution intime des corps naturels , et d'examiner la difficulté dont il a été question à la fin du n° 01.

97. Les difTérens corps renferment , sons des volumes égaux, îles quantités inégales de matière pondérable (n° 60); et ces quantités variant, pour un même corps, avec sa température et lu pression extérieure a laquelle il est soumis, on a été conduit à considérer les corps naturels comme un assemblage de parties matérielles non contiguës, et séparées les unes des outres par des porta ou espaces vides de matière pondérable. Ces parties matérielles se nomment des atomes ,* leurs dimensions et celles des pores échappent , par leur extrême petitesse , a nos sens et à tous nos moyens de les mesurer. On regarde les atomes comme indestructibles , et la masse, la forme, le volume de chacun d'eux, comme invariables. Les dimensions des pores varient, au contraire, avec les quantités diverses de chaleur qu'on introduit dans les corps ou qu'on en fait sortir, et avec les pressions auxquelles on les soumet; et comme les changemens de volume d'un corps peuvent être très grands, sans que sa masse ait augmenté ni diminué, il s'ensuit que les dimensions des parties vides doivent être comparables et généralement supérieures à celles des parties pleines.

Les atomes de même nature on de nature différente, se réunissent en diverses proportions, pour former d'autres parties des corps, toujours insensibles, qu'on appelle leurs moUculss. Les corps diffèrent entre eux par la nature et la proportion des atomes qui entrent dans la composition de chaque molécule ; et les atomes sont regardés comme invariables et indestructibles, ainsi qu'on vient de le dire, parce qu'en les réunissant dans les mêmes proportions, on reproduit, à toutes les époques , les mêmes corps, jouissant des mêmes propriétés.

98. Il est évident, d'après cela , que la division de la masse en élémens infiniment petits, et la supposition d'une densité de chaque élément , qui ne

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 63

varie pas dans les corps homogènes , on qni varie

par degrés insensibles dans les corps hétérogènes, no conviennent point aux corps naturels ; mais cela n'empêche pas qu'on ne puisse faire usage des formules fondées sur cette considération , et qu'elles ne soient encore applicables lorsque les corps ont été divisés en parties de grandeur tout-à-fitt insensible.

En effet, les molécules sont si petites et si rapprochées les unes des autres , qu'une partie de la musse d'un corps qui en renferme des nombres immenses , peut encore être supposée extrêmement

petite , et son volume regardé comme insensible. Soit p le volume d'une semblable partie , d'une grandeur insensible , et qui contient, néanmoins , des myriudes de molécules ; soit aussi m la somme de leurs masses ; et désignons par M un des points de v, qui sera , si l'on veut, son centre de gravité. Si nous faisons

ce rapport f exprimera réellement la densité du corps au point 11 , quelles que soient d'ailleurs les masses des molécules et leur distribution régulière ou irrégulière dans l'étendue de r. De même , en désignant par n le nombre de molécules qoe e renferme, et faisant

cette ligne t, de grandeur insensible, pourra être appelée Yinterralle moyen des moUcules qui répond au point II et à la densité f . Dans un corps homogène, ce rapport et cette ligne ne varient pas avec la position du point M ; dans un corps hétérogène, ces deux quantités varieront par degrés insensibles , et pourront être supposées des fonctions données des coordonnées de ce point.

Cela posé , si l'on veut connaître la masse d'un corps, ou , plus généralement, la somme des parties extrêmement petites de celte masse , multipliées chacune par une fonction U des coordonnées de l'nn de ses points M , on divisera le volume V de ce corps en parties extrêmement petites e, puis on fera la somme de tous les produits Uff, que j'indiquerai par

ïVrv,

et qui devra s'étendre à toutes les parties v de V. D'après le théorème du n° 13 , si les termes de cette somme étaient inGniment petits et que leur nombre fût infini , sa valeur serait rigoureusement égale à l'intégrale définie.

étendue an volume entier V , dont dp est l'élément différentiel. Or , on conçoit qu'en général la difféentre cette somme et celte intégrale dimide plus en plus . à mesure que les parties de

TRAITÉ DE MÉCASÏQUE.

la première deviendront plus petites, et que leur nombre sera plu» » i uni ; de telle sorte que la grandeur de r étant insensible, mnis toujours distincte de de, on pourra néanmoins prendre, suui erreur appréciable , l'intégrale à la place de la somme. Il y a cependant une exception à ce principe général : c'est lorsque U est du genre des fonctions qui varient très rapidement, et qu'en même temps cette quantité change de signe dans l'étendue de Tinté* gration; ce qui arrive, effectivement , dans le calcul des forces provenant de l'attraction moléculaire et de la répulsion calorifique , qui ne sont sensibles qu'à des distances insensibles. Mais il nous suffit, quant à présent , d'observer que cette exception n'a aucun rapport avec 1rs formules des n°» 01 et 05 , relatives aux centres de gravité des corps et

aux attractions en raison inverse du carré des distances, et qu'où peut, ennséquemment , les appliquer aux corps naturels formés de molécules disjointes.