Revenons maintenant au calcul des attractions
Si la distance du point O nu corps attiré est très) grande relativement aux dimensions de ce corps , on pourra , dans l'expression de T du n» 06, déve-
lopper la quantité — en série convergente, ordon-
née suivant Ici puissances et les produits de x, y, s En faisant
on aura alors
-f- etc.
Si l'on prend le centre de gravité du corps attirant pour l'origine D des coordonnées , on aura
fffxdm = 0, fffydm = 0 , fffxdm = 0, T
puisque ces intégrales, divisées par la corps , seraient les trois coordonnées de (n° 01). En désignant cette masse par I , rons donc
■ du
-7+-///(" + C * + >»)' dm Jff{x* + y + ) dm + etc.
Lorsquc la distance OD ou t sera assci grande pour qu'on puisse réduire cette voleur de T à son premier terme, les équations (2) deviendront
fi '
or ces composantes sont les mêmes que celles d'une M»/
force égale à "JT"" , agissant nu point O suivant la
direction OD ; il s'ensuit donc que l'attraction exercée sur un poiut O, par un corps qui en est très éloigné, esta peu près la même, en grandeur et en direction , que si la masse X de ce corps était réunie à sou centre de gravité.
Lorsque ce corps sera une sphère homogène ou composée de couches concentriques , on trouvera que tous les termes de la valeur da T , excepté le premier, se détruisent; il suffira pour cela de remplacer x, y, x, par les coordonnées r, t , 4 , comme dans le n° 02 ; ce qui permettra d'effectuer les intégrations relatives à » et 4- Ec théorème qu'on vient d'énoncer sera donc alors tout-a-fait exact, si la distance t est seulement assez grande pour
que le développement de — soit une série converti
ganta ; et, en effet, on verra dans le numéro suivant , sans recourir à la réduction eu série , que ce théorème a lieu, quelle que soit la distance du point O à la sphère attirante , pourvu qu'il ne soit pas situé dans son intérieur. Il est facile d'en con-
clure qne l'attraction d'une sphère sur une autre est la même que si la masse de chaque sphère était réunie à son centre; car, en appelant M et M' les masses des deux sphères , et C et C leurs centres , l'attraction de M sur un point quelconque O de M' est d'abord la même que si lu masse M était concentrée au point C; en outre, celte attraction de C sur tous les points 0 de M' , est *■.<!<■ et contraire à l'attraction de tous ces points ou de M' sur C, laquelle est la même que si la masse 1' était réunis au point C; donc , l'attraction des deux sphères est la même que celle de deux points matériels situés en C et C et dont les masses seraient H et HT.
100. L'attraction exercée sur le point O par une couche sphérique, homogène et d'une épaisseur constante , dont D est le centre , se réduira évidemment à une force dirigée suivant OD. En faisant coïncider cette droite avec l'axe Dr, les composantes B et C , parallèles aux axes Dy et Ds, seront donc nulles, et l'on n'aura que la valeur de A s calculer.
Dans ce calcul, on emploiera, comme dans le n» 02 , les coordonnées polaires r, I , 4- L'axe Dx se confondant avec la droite DO, on aura alors
ODM = I,DO = *,« = 0, > = 0;
et à cause de DM = r et OM = u, il en résultera
««=««— 2*r cos 6 -f- r>
L'angle 4 sera celui que fait le plan ODM avec un
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE
plan Tito passant par la droite DO ; un prendra
(ne 93)
dv = r« lin térit *},
pour l'élément du volume, et dans l'élément dm — fdvde la masse, on regardera f comme un facteur constant.
Après av. -ii substitué ces valeurs dans l'expression de T du n" 96, on intégrera depuis r = h jusqu'à r — a t en désignant uar a et b les rayons extérieur et intérieur île la couche sphérique , et depuis t ^= Û et 4 = 0 jusqu'à 6 = * et 4 = 2w. Comme la variable 4 n'eutrera pas tous le signe J , l'intégration relative à cette variable se réduira à la différentitlle i*4 par 2». Cela étant,
y»* t rut r Sltl 6(/4 .
f / , -) rdr.
» W o J/»»— ;>«rcost + r» /
Aux limites t = 0 et I = * , le radical aura pour valeurs
mais romme il exprime la valeur de « , qui doit être constamment positive (n° 96), il faudra prendre » -f- r à lu limite t = w , et r — « ou « — r à la limite t = Q , selon que le point 0 sera situé en dedans ou eu dehors de In couche sphérique. Nous verrons tout à l'heure ce qu'on doit faire lorsque ce point appartiendra à la couche même, de sorte qu'on ait r > a dans une partie de cette couche , et r < ■ dans l'autre partie.
Relativement 4 », l'intégrale indéfinie étant
r sin f<f*
on
cos t -f- r« , dans le cas du point intérieur , r sin t<ft
= — y/ — 2«r cos t -f» r» -f" c°m»-
•r cos I -f- r»
par conséquent, la valeur de T ne dépendra pos de « , et celle de A qui s'en déduit au moyen de la
pie r
r sin êd»
première équation (2) , sera égale à xéro. Dans le cas du point extérieur, on aura de même
— 2*r cos t + r»
et , conséquemment ,
ou, ce qui est la i
>l éUnt la masse de la couche sphérique dout le
4* (ai - bi ) volume est 1— On en conclut.
ce qui est la même force que si la masse entière de cette couche attirante était réunie à son centre.
101. Ces résultats s'étendent immédiatement aux cas d'une couche sphérique d'une épaisseur constante, mais composée d'autres couches concentriques, dont la densité varie de l'une à l'autre, suivant telle loi qu'on voudra, et ne change pas dans toute l'étendue d'une même couche ; car on peut déterminer séparément les attractions de ces différentes couches , rt faire ensuite la somme de toutes ces forces, laquelle sera nulle pour un point intérieur, et donnée por la formule (3) pour un point extérieur ; M exprimant toujours la masse totale du corps attirant.
Concluons donc ,
1» Que les attractions en raison inverse du carré des distances, exercées par tous les points d'une couche sphérique d'une épaisseur constante, homogène ou composée de couches concentriques, sur un point 0 situé duns l'espace vide que cette couche termine, se détruisent mutuellement; en sorte que ce point demeurerait en équilibre, quelque part qu'il fût placé dans cet espace.
2° Que l'attraction de cette même couche et , par conséquent aussi , l'attraction d'une sphère entière, exercée sur un point extérieur 0, est la même que si la masse du corps attirant était réunie à sou centre.
Si le point 0 fait partie de la couche attirante , ou , autremeut dit , si l'ouu * > 6 et »< a, on partagera cette couche sphérique en deux autres : l'une dont les rayons extérieur et intérieur seront a et » , l'autre pour laquelle ces rayons seront * et b, le point 0 étant intérieur à l'égard de la première de ces deux couches, elle n'exercera sur lui aucune action ; et si l'on appelle m la masse de la seconde couche, par rapport à laquelle le point O est extérieur , l'attraction de cette couche se déduira de la formule (3) , en y mettant m au lieu de H. L'attraction totale exercée sur le point O i donc pour valeur
Si U couche sphériqne se change en une sphère entièrement pleine, et qu'elle nit partout la même densité, on aura
c'est-à-dire que dans l'intérieur d'une sphère homogène , l'attraction est proportionnelle à la distance du point attiré à son centre.
Les mêmes théorèmes ont lieu dans le cas d'une répulsion , pourvu que celte force varie toujours en raison inverse du carré des distances.
102. L'équilibre du point 0 , situé dans l'espace que termine une couche sphérique, et attiré ou repoussé par tous ses points , peut facilement se vérifier.
Supposons, pour cela, que cette couche soit d'abord infiuiiiicnt mince. Soit i sou épaisseur. Décomposons sa surface en élémens infiniment petits; et désignons par m l'air de celui qui répond au point P (6g. 33). Les élémens corresponduns du volume et de la masse de celle couche seront l» et ftm , et si l'on appelle r la distance OP, la valeur de la force dirigée suivant cette droite sera
Imaginons un cône dont la base soit « et le sommet 0; en prolongeant la génératrice OP jusqu'à ce qu'elle rencontre en P' la surface sphérique, et prolongeant de même toutes les autres génératrices , on déterminera sur cette surface un second élément que je désignerai par Soit, de plus, r 1 la distance OP, la force dirigée suivant cette droite, en sens contraire de la précédente, aura pour valeur
or, je dis que ces deux forces contraires seront égales entre elles , c'est-à-dire qu'on aura
Soient, en effet, POQ et POQ' les sections des deux cônes , faites par un même plan quelconque, passant par leur sommet commun 0. Les surfaces semblables » et •>' seront entre elles couine les carrés des lignes homologues PQ et PQ'. À cause des triangles semblables POQ et POQ', on a d'ailleurs
PQ : PQ' : : op : OP';
en élevant au carré les quatre termes de celle proportion, on en conclura donc
«•» • . r* • r* , et, par conséquent l'équation précédente.
Il résulte de là que les actions exercées sur le point 0 par tous les élémens de la couche sphérique se détruisent deux à deux. L'action totale de cette couche sera donc nulle; et il en sera encore de même si elle a une épaisseur finie, car alors on pourra la décomposer en une infinité découches infiniment minces, dont chacune n'exercera aucune action sur le point 0.
$ II. Formulas refaite» à C ellipsoïde.
103. Lorsque le point 0 (fig. 32) appartiendra à la masse attirante, on facilitera souvent les intégrations en prenaut ce point pour origine des coordonnées polaires. Le rayon vecteur du point quelconqne M sera alors si; en appelant donc, comme dans le n° 03 , dm I élément de la surface sphérique dont le rayon est l'unité, on aura
dp = «' dud» , dm = r u> dud» ,
et si l'on appelle g, h, à, les angles que fait la droite OM avec des parallèles aux axes Us, Dy, Ds, menées par le point 0 , on aura aussi , d'après les notations du n» 95,
cos g = , cos =— cos*=
u si H
ce qui changera les équations (1) de ce numéro en celle-ci :
A = ~ tffff f oo t gdud., B = — ff/Jff cos hdudm, C — — pffjft cos kdud*.
Les intégrales relatives à « s'étendront depuis u = 0 jusqu'à u — r, en désignant par r le rayon vecteur d'un point quelconque de la surface qui termine le corps attirant. Pour plus de simplicité, si l'on suppose ce corps homogène, ces intégrales s'effectueront immédiatement, et il en résultera
Pour déterminer la valeur de r, qu'on devra substituer dans ces formules , soit , en coordonnées rectangulaires,
l'équation de la surface du corps attirant. En un point quelconque de cette surface, on a
*=« + r cosy,y=e-frcos h, -----,+ r -os * ,
d'après les valeurs précédentes de cos g, cos A, cos k, et C, y, étant toujours les trois coordonnées du point 0 dont les vuleurs sont données. On substituera donc ces valenrs de x, y, z, dans l'équation précédente; celle qui en résultera donnera, en général, deux valeurs de r, l'une positive, et l'autre négative; mais on rejettera la valeur
STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE
négative , parce que le rayon vecteur r est quantité positive dont la direction est uniquement déterminée parles angles g, h, k, qui peuvent être aigus ou obtus.
Après la substitution de la valeur de r dans les équations (a), les intégrales doublet s'étendront • tous les élément dm de la surface sphérique, décrite du point 0 comme centre, et d'un rayon égal k l'unité.
104. Appliquons ces formules nu cas de l'ellipdont la surface a pour équation
a, b, c, désignant les trois demi-oies , et le centre de figure étant l'origine D des coordonnées. Si l'on y substitue les valeurs précédentes de *, y, s, il vi<
pn+Sgr en faisant, pour abréger,
• cos g C cos h y cos k
Or , la quantité p est positive ; la quantité l est aussi positive ou séro, parce que le point 0, qui répond aux coordonnées », C, v, est situé dnns l'intérieur de l'ellipsoïde, ou, tout au plus, à sa surface; par conséquent, il faudra prendre le radical avec le signe -f-, pour que le ruyon r ne soit pas négatif. Je dis, de plus, qu'on pourra supprimer ce radical dans les formules (a). En efTet, la partie correspondante de l'intégrale contenue dans A , par exemple , serait
ff-y
Sf* + pl.coigdm,
ruais pour chaque couple d'élémens dm dont les rayons sont dans le prolongement l'un de l'autre.
car en passant de l'un de ces élémens d* à l'autre, chacun des trois cosinus cos g , cos h , cos k, change de signe, les quantités p, l, q* , restent les mêmes , et le coefficient de dm sous le signe/
des valeurs égales et de signe contraire.
Tous les élémens de l'intégrale précédente se détruisant ainsi deux à deux , la râleur de A devient d'abord
en ayant égard à la valeur de q. Or, les deux dernières de ces trois intégrales se composeront de couples d'élémens qui répondront aux mêmes valeurs de h et de 1 , et k des valeurs de g supplémens l'une de l'autre. Chacun de ces couples d'élémens se réduira donc à xéro , et , par conséquent aussi, les intégrales entières. En supprimant ces intégrales et faisant subir des réductions semblables aux valeurs de B et de C , on aura simple-
b\jj p
cos« *
Soient actuellement I l'angle compris entre le rayon OM .et la parallèle à l'axe Os menée par le point D , et 4 l'angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan passant par la seconde et parallèle à celui des x et y; nous aurons (n° 8)
cosy=cos t, cos A=sin I cos 4, cos Jt=sin I sin 4,
et , en même temps (n° 93) ,
dm = sin idbd-l ;
d'où il résultera
a*b*c*p=zb*c* cos»»-J-(c» cos»4+o» sin»4)a> sin»l,
^ nft* rr cos» i sin idhd\
a» JJ p
Pour comprendre les directions de tous les rayons OM , les intégrales devront s'étendre depuis I sa 0 et 4 = 0 jusqu'à B = w et 4 = 2* , mais i cause que lo coefficient de d* a la même valeur pour I et pour w — I , il suffira d'intégrer depuis 1=0 jusqu'à i=I/2«, et de doubler le résultat; etpareeque le coefficient de 4 est le même pour 4 et pour *±4> il suffira aussi d'intégrer depuis 4 = 0 jusqu'à 4=1/2 »,et de quadrupler le résultat. Cela étant, je fais
sU
• = tang 4, * =
cos" 4 '
et à cause de cos' 4 = -
sin' 4 =r
il en résulte
»+a« sin' l}c» + (c» cos' l+o» sin' 1)6' t« ra» Se
2 K (6» cos" » + o» sm* ») (c> cos» I + o» sin» •) '
déduira C de A en y mettant y an lien de et
permutant les lettre* a et c. De cette manière, on aura finalement
au moyen de qnoi la valeur de A ne dépendra plus que de l'intégrale relative a I. Sans nouveau calcul , on déduira B de A en y mettant C au lieu de et permutant les lettres a et b { et de même , on
cos» l-fa» sin» l)(e» cos' 6+ a» »iu> •) 1
oc co s' *VmJrf»
• + 4» sin» If (c« cos» • + ATsTnTÏ) 1
ah cos» 4 sin idi
bc cos» i sin tell
— 4 *t*fnJ
1/ (6» cos» ( -f c» sin' l) [a» cos» e + c» sin» lf
Ces valeurs de A, B, C, étant positives, il s'ensuit que chacune de ces trois composantes tend à rapprocher le point O du centre de l'ellipsoïde ; le contraire aurait lieu dans le cas d'une répulsion où l'on devrait mettre , dans ces formules , — f au lieu de f.
105. Désignons par l'une constante positive, et supposons qu'on substitue (1 -f- i) a,{\ -f- i) b, (1 -j- S) c, au lieu de a, b, c, dans les formules (c). Le facteur 1+1 disparaîtra , et les valeurs de A, B, C, resteront les mêmes. Or, par cette substitution, l'ellipsoïde se trouvera augmenté d'une partie comprise entre sa surfucc primitive et une surface semblable; les composantes A, B, C, ne changeant pas , il en faut donc conclure que l'action de cette partie additive sur le point intérieur O, se réduit à xéro.
Ainsi une couche homogène comprise entre deux surfaces elliptiques semblables, ayant le morne centre et leurs axes dans les mêmes directions, n'exerce aucune action attractive ou répulsive sur un point O situé dans l'espace vide que termine sa surface intérieure; en sorte que ce point matériel restera en équilibre, quelque part qu'il soit placé dans cet espace; théorème qui comprend celui que nous avons précédemment trouvé pour le cas d'une roucbe sphérique.
Il en résulte que l'action d'un ellipsoïde plein et homogène sur un point O de sa masse , se réduit à celle qui est exercée par la partie de cette niasse terminée par la surface elliptique , passant par ce point, semblable ù celle du corps entier, et semblablcment pincée. D'après les formules (c), la composante de cette force , parallèle à chacun des trois axi s de l'ellipsoïde , est proportionnelle à l'ordonnée du point O parallèle à cet axe, et ne dépend que de cette variable. Dans le cas géuéral où les trois demi-axes a, b, c, sont inégaux, on transformera en fonctions elliptiques les intégrales relatives ù I que ces formules renferment j ce qui per-
mettra d'en calculer les valeurs numériques , au moyen des tables de M. Legendre. Ces mêmes intégrales s'obtiennent sous forme finie, lorsque deux des constantes a, b, c, sont égales , et qu'il s'agit , par conséquent , d'un ellipsoïde de révolution.
108. Supposons , par exemple , qu'on ail e = b ; la forme des intégrales relatives à I sera différente , selon que l'ellipsoïde sera aplati nualongé, c'està-dire, selon qu'on aura b > a ou b < o. Supposons aussi que ce soit le premier cas qui ait lieu ; et faisons, dans cette hypothèse,
en sorte que la fraction c soit l'aplatissement de l'ellipsoïde , et m sa masse. Il en résultera
CM* I sin lot
l + «» cos' « '
et, en effectuant l'intégration , on aura
A = •^-(•-.rc(t«ng = e)],
pour la composante parallèle à l'axe de révolution. On
* '/'«■ cos» ê sin Ml
l/ l+#« ainsi
Les composantes B et C étant entre elles comme les coordonnées C et y du point O , il s'ensuit que leur résultante sera dirigée suivant la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe de révolution. En appelant A' cette force, et la longueur de la perpendiculaire , de sorte qu'on ait
STATIQUB, PREMIÈRE PARTIE.
et effectuant l'intégration iudiquéo , il vient
La résultante des deux forces A et A' exprimera , en grandeur et en direction , l'action totale de l'ellipsoïde sur le point O.
Lorsque e sera une très petite friction, on pourra développer ces valeurs de A et A' en séries très convergentes , ordonnées suivant les puissances de 9. A couse de
ci e»
arc (tiing =e)= » + etc. ,
= « «3 + ,» etc. ,
— + el.,.).
Dans le cas de la sphère , ou de « = 0 , la résul-
A et A' aera dirigée ver» le centre , et aura la même intensité que dans le n» 101.
107. Le colcul de l'attraction d'un ellip mogèue sur un point extérieur présente beaucoup plus de difficulté; maison doit ù M. Yvori un théorème au moyen duquel ce cas peut être rameué à celui du point intérieur ; ce qui permet d'exprimer les composantes de l'attraction par des intégrales simples , semblables aux formules (c). Voici une démonstration de cette importante proposition.
Eu faisant, dans la première équation (1) du a- »«,
dm — fdsdydz, et observant que f est un facteur constant, on a
(•— *) dxdyds
Je suppose que l'équation de la surface soit ton jours l'équation (6) , et j'y mets ax' , by' , es' , h la place de x, y, s, ce qui la change en celle-ci :
*'* + */* + »'• = l« la valeur de A devient
et si l'on désigne par i x,, les valeurs de x', égales I précédente, l'intégrale relative a * 'devra être prise et de signe contraire , que l'on tire de l'équation I depuis x' = — Xi jusqu'à x 1 = x, ; ce qui donne
a = fît* {^jy* [(.-ox, )'+(<-**')• +(>-"')•]•/•
/y» dV££ \
Chacune de ces deux intégrales doubles «'étendra à tons les élémensde la demi-surface sphérique dont le rayon est l'unité , et qui a son centre à l'origine dos coordonnées; le produit dy' ois' est la projection sur le plan des y etx, d'un élément quelconque. Si donc on désigne par 6 l'angle que le rayon qui aboutit à cet élément fait avec Taxe des x , et par 4 l'angle compris entre le plan de ces deux droites et le plan des x et y , Taire de cet élément sera sin %dkd\ , sou inclinaison sur le plan des y et s sera l'unglc ê , et il en résultera
dy'di' = eus « sin W»d| , pour M projection sur ce plan. On aura en même
temps
xi — cos I , }/' -- sin t'eos 4 t *' — sin * sin 4-
Les limites des deux intégrales seront maintenant 1 = 0 et 4 = 0, v=l/2«et 4 = 2»; mais si l'on met , dans la seconde , * — t à la place de * , il est aisé de voir que ces deux intégrales se réuniront en une seule , qui aura les mêmes limites par rapport a \ , cl dont les limites relatives à 6 deviendront I = 0 et » = w ; en sorte que Ton aura simplement
* n C* f** cos«sin«d»d4
en faisant , pour abréger ,
R* = *' + C» 4- y« — 2 (* a cos » -f- £6 sin • cos 4 4~ > c sin I siu 4) 4- «» cos» • 4- 6» sin» * cos» 4 -f- c» sin' I sin» 4 ,
TRAITE DE MÉCAÎflQUB.
et regardant R comme une quantité positive. Le» deux autres composantes B et C s'exprimeront pareillement par des intégrales doubles.
Maintenant, considérons l'attraction d'un autre ellipsoïde ayant la même densité s , le même centre , et ses axes dans les mêmes directions que le premier. Soient a, 1 1, , Os » Im trois demi-axes correspondans à o, 4, c ; appelons 0, le point soumis h cette attraction , «i , Ci , >t , «es coordonnées, et A, , B, , C, , les composantes de cette force, parallèles aux trois oxes de l'ellipsoïde. En supposant toujours que n soit la masse du poiut attiré , nous aurons
cos » sin MM*
Ri étant ce que devient R quand on y change a, b, e, C, y, en a, ,4, , a, , Ci t y t . Les valeurs de Bi et Ci se déduiront de même de celles de B et C.
Supposous que les deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers , et couséquemment des excentricités i alors
A, k, A — k, étant des quantités positives ou négatives qui exprimeront, abstraction faite du signe , les carrés des excentricités communes à ces deux corps. Supposons, de plus , que le point 0. , attiré par le second ellipsoïde , soit situé sur la surface du premier, et le point 0 attiré par le premier, sur la surface du second. D'après l'équation (4) et celle do la surface du second ellipsoïde, il faudra qu'on ait
Soient nons
Pi
p et g deux angles donnés ; et pre-
•i =ncosp,C, =4sinp cosç,y, • =a,co%p, C =b 1 »iapcos q,y
ttmp tmfi
?isinpsino,
valeurs qui satisferont aux deux équations précédentes et qui établissent une relation particulière cuire les coordonnées des points 0 et Oi . En substituant ces valeurs de a, C, y, dans l'expression de R» , et y mettant aussi les valeurs précédentes de 4» , c» , 4* t , c«, , il vient
R» = a», -f o* -f- A(sin» pcos» q -|-sin» I cos» j) -f- A (sin» p sin» q + sin» • sin» 4) — 2(o, a cosp cos 1 + 4 , 4 sin p cos q sin I cos 4 + c, c sin p sin q sin I sin 4)-
Or , sa us écrire lu valeur du R»i , on voit qu'elle sera la même que celle de B» ; car elle s'en déduirait par les permutations de a et ai , 4 et 4i , c
et Ci , sans changer A et*, qui sont des communes aux deux ellipsoïdes ; et il est évident que cette dernière formule ne change pas par ce» permutations. A cause d L - R, = R, les valeurs de A et A, renfermeront la même intégrale double ; en l'éliminant , on aura donc
Ai 4c == A4i ci .
Relativement aux autres composantes , on obtiendra des résultats semblables} en sorte que , d'après les suppositions qu'on a faites sur les deux points attirés 0 etOi , on aura finalement.
Ai 4, Ci Bi o, c t Ci a ( 4,
ac
Pour énoncer le théorème que ces trois équations renferment , appelons poùir* correrpondans , sur les surfaces des deux ellipsoïdes, deux points dont les coordonnées sont entre elles dans le rapport des demi-axes auxquels elles sont parallèles. Le point Oi de la surface du premier ellipsoïde , dont les coordonnées parallèles aux demi-axes a, 4, c, sont «i , C, , y t , aura pour correspondant, sur la surface du second ellipsoïde , le point 0 , dont les coordonnées parallèles aux demi-axes a, , 4, , c, , sont * , C , y , puisqu'on a , d'après les équations (2) ,
«i a Ci 4 yi c
» Oi ' C 4, y c,
Cela posé , il résulte des équations (3) le théorème suivant :
Si l'on a deux ellipsoïdes homogènes qui aient le même centre et les mêmes foyers, l'attraction suivant chaque axe que l'un des deux corps exerce sur un point situé à la surface de l'autre , est à l'attraction de celui-ci sur le point correspondant de la surface du premier , comme le produit des deux autres axes du premier ellipsoïde est au produit des deux autres axes du second.
108. Lorsque deux ellipsoïdes difTércns ont, comme on le suppose , le même centre et les mêmes foyers , l'un des deux est entièrement compris dans l'autre; par conséquent , si le point O est extérieur par rapport au premier ellipsoïde , le point 0, sera intérieur par rapport au second. Pour déterminer, au moyen du théorème précédent, l'attraction d'un ellipsoïde donné sur un point extérieur O aussi donné , on fera donc passer par ce point la surface d'un second ellipsoïde ayant le même centre et les mêmes foyers que le premier; par les formules relatives aux points intérieurs , on déterminera les trois composantes A, , B, , Ci , de l'attraction de ce second corps sur le point O» de ht surface du premier, correspondant du point 0 ; les équations (3) feront ensuite connoîtro les composantes A , B , C , de l'attraction de l'ellipsoïde donné sur le point donné. Ainsi tout se réduira à trouver les valeurs des trois demi-axes Ut , 4, , Ci , du second ellipsoïde , d'après ceux du premier qu'on a
STATIQIB, PREMIÈRE PARTIB.
représentés par a , b , c , et d'après les coordonnées m , C , y , du point donné 0.
Pour fixer les idées . je suppose que a soit la plus petite des trois quantités a, b, c; ce qui rendra positives les quantités h et k du numéro précédent, rappelle m le carré de u, ; on aura
et il ne restera plus qu'à déterminer cette inconnue u, qui devra être réelle et positive. Or, en vertu de lu seconde équation (I) , nous au-
équation du troisième degré par rapporta u, qui a au moins une racine réelle et positive ; car en faisant croître ss depuis xéro jusqu'à l'infini , son premier membre est d'abord plus grand et ensuite plut petit que le second ; en sorte qu'il y a au moins une valeur positive de si qui les rend égaux. Je dis de plus qu'il n'y en a qu'une ; car en supposant qu'il y en ait deux , m et u\ il faudrait qu'on eût à la fois
et en retranchant ces équations l'une de l'autre , et supprimant le facteur u' — u, commun à tous les termes , il eu résulterait
109. Nous ferons remarquer que le théorème du n° 107 convient également à toutes 1rs lois d'attraction en fonction de la distance ; car la démonstration qu'on vient d'eu donner est fondée sur la forme qne prend l'expression de R« . qui se trouve identique pour les deux points 0 et 0| , et non sur I la forme de la fonction de R , qui exprime la loi de l'attraction.
Si les deux ellipsoïdes sont des sphères concentriques, l'attraction de chacune d'elles sera la même sur tous les points de la surface de l'outre, et il ne sera plus nécessaire que les points 0 ctOi soient correspondais. En appelant u et a, les rayons de ces deux sphères, D l'attraction de la sphère du rayon a sur un point de la surface sphérique du rayon tu , et D t celle de la sphère du rayon ai , sur un point de la surface sphérique du rayon a, lesquelles forces seront dirigées suivant les rayonades point* attirés , on aura
ce qui est évidemment impossible. Donc il n'existe qu'un seul ellipsoïde qui ait le même centre et les mêmes foyers qu'un ellipsoïde donné , et qui passe en outre par un point donné. La quantité u , d'où dépendent ses trois demi-axes a, , 6, , c, , est déterminée par l'équatation (4) ; ce qu'il s'agissait de trouver.
quelle que soit la loi de l'attraction en I la distance.
Cette proportion est facile à vérifier dans le cas ordinaire où l'attraction est en raison inverse du carré de la dislance. En effet , d'après les résultats du n<> 101 , si l'on suppose a > a, , l'attraction U de la sphère du rayon o sur un point intérieur , situé à une distance a t de son centre et dont a» e»t
l'attraction Di de la sphère du rayon ai sur un point extérieur , dont /* est aussi la masse et qui se trouve à la distance a de son centre, aura pour
et en comparant ces valeurs de D et D, , on voit qu'elles sont entre elles comme les carrés des rayons a et ai.
