DO MOUVEMENT RECTILIGNE BT DB LA MESURE DES FORCES

£ l". Formules du mouvement rectilignt.

110. Le mouvement le plu» simple que puisse prendre un point matériel est celui qui a lieu en ligne droite, et dans lequel le mobile décrit îles espaces égaux en temps égaux. C'est ce mouvement reeiiligne que l'on appelle uniforme , et qui sert de terme de comparaison à tous les autres mouve-

Quand le rapport des espaces parcourus aux temps employés à les décrire, change continuellement , le mouvement est varié ; si ce changement n'avait lieu qu'à des intervalles de temps finis , le mouvement ne serait qu'une succession de mouveincns uniformes.

Dans un mouvement quelconque , l'espace parcouru par le mobile , 011, plus généralement, sa distance à un point fixe pris sur la ligne qu'il décrit , est une fonction du temps écoulé depuis une époque convenue. Ainsi, en appelant / ce temps, et * cette distance, on aura, dans tous les cas,

x = Ff;

et les diverses sortes de mouvemens différeront entre elles par la forme de cette fonction Ff. La variable t pourra être positive ou négative : ses valeurs positives répondront à des époques postéi ienres à celle d'où l'on compte le temps , et ses valeurs négatives , à des époques antérieures. Dans le mouvement uniforme , si l'on appelle a

l'espace parcouru dans chaquo unité «le temps, et b la distance du mobile au point fixe , à l'origine du temps /, c'est-à-dire, la valeur de x qui répond à fr=0 , on aura, à un instant quelconque,

* = b + at ;

car, d'après la définition de ce mouvement, l'espace s — b décrit dans le temps t doit être égal à l'espace constant a , répété autant de fois que t renferme d'unités.

111, On ne déGnit ni le temps ni l'espace; mais il suffit à la Géométrio cl à la Dynamique que nous puissions mesurer les dimensions des corps et les durées de leurs mouvemens. La mesure des longueurs est fondée sur la superposition , et se conçoit sans aucune difficulté ; celle du temps exige quelque explication.

On ferait un cercle vicieux si l'on disait, d'une part , que le mouvement uniforme est celui dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels au temps, et, d'un autre côté, que le temps a pour mesure le mouvement uniforme, c'est-à-dire qu'il est proportionnel aux espaces parcourus dans ce mouvement. Mais la notion des temps égaux et la mesuredu temps ne sont fondées nécessairement sur aucune loi particulière de mouvement , et l'on peut , en conséquence , les supposer dans la définition du mouvement uniforme et de toute autre sorte de mouvemens.

Concevons , en effet , que des corps parfaitement

DTHAIfQllE , PREMIÈRE PARTIE.

identiques »e mentent successivement , et que, pendant tonte la durée de son mouvement , chacun des mobiles se trouve exactement dans le même ëtat qne celui qui l'a précédé : il est évident que tous ces mouvetnens , dont la loi n'est pas donnée , s'exécuteront en temps égaux , et que leur nombre pourra servir de mesure au temps. Ainsi , par exemple , si ces corps sont pesans et retenus par un axe fixe horizontal, qu'on les écarte tous également de lear position d'équilibre , et qu'un les abandonne ensuite à eux-mêmes , de sorte que le mouvement du second commence des que le premier est revenu à cette position , celui du troisième aussitôt que le second y est revenu de même, et ainsi de suite, il n'y aura aucune différence possible entre tous ces mouvemens successifs qui s'achèveront en temps égaux. On prouvera par la suite qu'il n'est pas nécessaire pour cela que ce soient différens mobiles qui se succèdent , et que les oscillations successives d'un même corps, de part et d'autre de sa position d'équilibre , sont aussi isochrones , ou d'égale durée; mais la considération précédente , qui ne suppose la solution d'aucun problème de Mécanique , suffit a l'objet que nous nous sommes proposé.

Les astronomes ont reconnu, parles observations les plus précises et le plus souvent répétées, l'invariabilité de la révolution apparente de la sphère céleste autour de la terre ; et , effectivement , la théorie n'indique aucune inégalité sensible dans le mouvement de rotation de la terre qui donne lieu à cette apparence. On appelle j'ovr «d*ra/ la durée constante de cette révolution , laquelle durée est moindre que celle de la révolution diurne du soleil. Celle-ci n'est pas exactement la même à toutes les époques de l'année; et c'est sa grandeur moyenne que Ton prend pour unité de temps dans les usages ordinaires , et que l'on appelle le jour moyen. Nous adopterons , dans cet ouvrage , la division du jour en 84 heures, de l'heure en 60 minutes, et de la minute en 60 secondes ; en sorte que la seconde sera la 86400* partie du jour moyen. Le jour sidéral ne contient que 86164,09 secondes ; d'où il résulte que pour exprimer en jours sidéraux un temps donné en jours moyens . il fiitidra le multiplier par le rapport de 86400 ■ 86164,00 , ou par le nombre constant 1,0027379.

112. Un mouvement uniforme diffère d'un autre par la grandeur de l'espace parcouru dans l'unité de temps. Dans chaque mouvement uniforme , cet espace constant est ce qu'on appelle la vitesse du mobile; mais, pour parler exactement , cet espace n'est que la mesure de la vitesse , et non pas la vitesse elle-même. La vitesse d'un point matériel en mouvement est une chose qui réside dans ce point, dont il est animé, qui le distingue actuellement d'un point matériel en repos , et n'est pas susceptible d'une autre définition. La vitesse exprimée , dans le mouvement uniforme , par l'espace que le mobile décrit dans chaque unité de temps ,

suppose qu'on prend ponr nnité de vitesse celle du mobile qui parcourt l'unité linéaire dans l'unité de temps.

Dans un mouvement varié quelconque, la vitesse du mobile varie par degrés infiniment petits , et elle est une fonction du temps qui se déduit, ainsi qu'on le verra tout a l'heure , de celle qui exprime l'espace parcouru : mais, auparavant, il est nécessaire de connaître le genre de mouvement que prendra un point matériel en vertu de sa vitesse acquise , si la force qui lui a imprimé cette vitesse, par son action continuée pendant un certain temps, vient à cesser d'agir, et que ce mobile soit abandonné à lui-même.

1 13. Il est d'abord évident que si le mobile s'est mu jusque là en ligne droite , il continuera à se mouvoir suivant le prolongement de la ligne qu'il décrivait ; car il n'y aurait aucune raison pour que ce point matériel s'écartât de la direction qu'il a reçue plutôt d'un côté que de l'autre. Mais nous no pouvons pas affirmer , à priori , que la vitesse qui lui a été imprimée ne se ralentira pas d'elle-même , et ne finira pas par s'éteindre entièrement; ce n'est que par l'expérience et l'induction que celte question peut être décidée.

Or , à mesure que les obstacles à l'état de mouvement des corps , tels que les frottemens et les résistances des milieux qu'ils traversent , diminuent d intensité , nous les voyons persévérer de plus en plus dans cet état; et, toutes les fois que nous apercevons une altération dans leur vitesse, nous reconnaissons que cet effet peut être attribue à une cause étrangère. Nous sommes donc conduits à conclure que s'il était possible qu'un point matériel , après avoir été mis en mouvement , ne fût plus sollicité par aucune force, et ne rencontrât aucun obstacle, son mouvement serait rectiligne et uniforme , c'est-à-dire, le plus simple de tous les mouvemens.

Ainsi, par exemple, si une parcelle de fer c»t mise en mouvement dans le vide, sur on plan horizontal et sans frottement , par lu seule action du pôle d'un aimant , et que tout à coup on détruise le pouvoir attractif de ce pôle , en y juxtaposant un pôle égal et contraire , cette parcelle continuera de se diriger vers ce point ; mais son mouvement deviendra uniforme, et sa vitesse sera plus ou moins considérable , selon qu'on aura laissé agir la force attractive plus ou moins long-temps.

L'impossibilité où sont tous les points matériels de se mettre en mouvement ou de changer le mouvement qui leur a été communiqué , sans le secours d'une force, est ce qu'on entend par Y inertie de la matière. Ce mot ne signifie pas que la matière soit incapable d'agir ; car . nu contraire , chaque point matériel trouve toujours dans l'action d'autres points matériels , mais jamais en lui-même , le principe de son mouvement.

114. Au bout du temps t, et quand le mobile se trouve à la distance * d'un point fixe pris sur la

droite qu'il décrit , toit v sa vitesse acquise , c' esta-dire , la vitesse du mouvement uniforme qui aurait lien , si, à cet instant, lu force qui agit sur le mobile venait à cesser d'agir. L'action de cette force continuant, l'espace dx que le mobile parcourra dans l'instant dt sera décrit en vertu de cette action et de la vitesse t>; la partie de dx correspondante a cette vitesse, qui scruit décrite d'un mouvement uniforme, aura vdt pour valeur. Eu appelant donc i la partie de cet espace qui répond à l'action de la force pendant l'instant dt, nous aurons.

dx — vdt +

Or , la vitesse variant par degrés infiniment petits , et ses variations étant uniquement dues à l'action delà force appliquée au mobile, il s'ensuit que dans le temps dt, celte action ne peut produire qu'une vitesse infiniment petite , par conséquent , cette même action ne peut faire décrire qu'un espace infiniment petit du second ordre , moindre que celui qui serait décrit uniformément pur le mobile, •'il recevait au commencement de dt toute la vitesse cpii sera produite pendant la durée de cet instant. On peut donc négliger « par rapport à vdt dans l'équation précédente ; et alors on aura

pour l'expression de la vitesse dans un mouvement quelconque.

Si l'on voulait connaître la partie • de l'espace parcouru par le mobile dans le temps dt, en vertu de l'action de la force qui le sollicite, il faudrait conserver le» puissances de dt supérieures à la première. Or, en appelant j la distance du mobile au point fixe , au bout du temps I -\- dt, on aura , par le théorème de Taylor,

pour l'expression complète de l'espace parcouru dans cet instant dt. Le premier terme, égal à vdt, est l'espace dû à la vitesse acquise au bout du temps t; si doue on néglige les termes du troisième et des ordres supérieurs par rapport à ceux du second , on aura

' = 7 dir » '

ou , ce qui est la même chose ,

i = 1/2 drdt ,

pour la partie de l'espace x' — s que l'action de la force n fait parcourir. La vitesse produite en même temps par cette action étant de, on voit que l'espaoc que le mobile décrirait uniformément , pendant ce temps dt, s'il recevait au commencement toute cette augmentation de vitesse, serait égal au

produit de dt et dt, ou double de l'espace « qu'il

décrit réellement.

IIS. Lorsque l'espace parcouru sera donné en

fonction

on en

immédiatement

la vitesse correspondante, au moyen de l'équation ds

t» = — . Par exemple, les mobiles, dans la madt

chine d'Athood, décrivant des espaces qui croissent comme les carrés du temps , on en peut conclure que leurs vitesses acquises doivent être proportionnelles aux temps pendant lesquels ces espaces sont parcourus; ce que cette machine fournit , en effet , le moyen de vérifier.

Réciproquement , si la vitesse est donnée en fonction du temps par la définition du mouvement, ou en déduira , par l'intégration , l'expression de l'es|>ace parcouru. Ainsi, après le mouvement uniforme , le plus simple est celui dans lequel la vitesse augmente ou diminue de quantités égales, en temps égaux , et qu'on appelle , pour cette raison , accéléré ou retardé. Si donc on appelle g l'accroissement constant, positif ou négatif, de la vitesse dans chaque unité de temps, et o la vitesse du mobile quand t = 0, la vitesse v à un instant quelconque sera , dans ce mouvement.

* = a + gt ;

et en multipliant par dt et intégrant, on aura

x = b + at + 1/2 «* , •

pour la distance du mobile à un point fixe de la droite qu'il décrit; b étant cette dislance à l'origine du temps t.

Lorsque les deux constantes o et b seront nulles , ou aura si

r = gt , * = 1/2 jf* .

L'espace parcouru est donc alors proportionnel au carré du temps ; et la vitesse acquise au bout d'un temps quelconque t est telle qu'en vertu de cette seule vitesse le mobile décrirait, en un temps égal à t, un espace vt double de celui qu'il a parcouru. Il s'ensuit que si l'on connait l'espace parcouru dans la première unité de temps, on aura, en la doublant , la valeur de la vitesse constante g, par laquelle un mouvement uniformément accéléré diffère d'un autre mouvement de la même nature.

Ce mouvement est celui des corps pesans qui tombent dans le vide. En un même lien , la vitesse g est égale pour tous leurs poinU ; en sorte qu'ils décrivent tous , d'un même mouvement de cette espèce , des droites verticales. Cette vitesse varie d'un lieu à un autre; en prenant la seconde pour unité de temps , et le mètre pour unité linéaire , on a conclu de l'expérience

g = 9»',8089fl ,

à l'Observatoire de Paris.

La force qui produit des vitesses égales en I

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

égaux est pour nous un« foret constante. Ainsi , la pesanteur est une force constante ; ce qui signifie ici qu'elle agit avec la mente intensité sur les corps déjà animés de vitesses quelconques , et nou pas seulement, comme dans lo n° 59, que son intensité est ta méwe dans toute l'étendue d'un corps de dimensions ordinaires.

1 16. Les lois de l'équilibre ne supposent oucunc relation particulière entre les forces et les vitesses correspondantes; et, pour résoudre les problèmes de Statique, il suffît de connaître lis rapports numériques des forces , tels qu'ils ont été définis dans le n» 5. Les lois du mouvement, au contraire, dépendent du rapport qui doit exister entre les grandeurs des vitesses produites par des forces données; et ce rapport, dont la connaissance est indispensable pour la solution des problèmes de Dynamique, est le même que celui des forces, ainsi qu'on va le démontrer.

Soient toujours * et v l'espace parcouru et la vitesse acquise par un point matériel au bout du temps t. Supposons qu à cette époque deux forces données /et/' agissent simultanément sur le mobile, suivant la direction de son mouvement; désignons par u la vitesse infiniment petite que la force /imprimerait au mobile, si elle agissait seule pendant nn temps r infiniment petit, et par si' celle qui serait produite pur la force /', dans le même temps, si la force /n'existait pas. Je dis que la simultanéité de ces deux forces ne modifiera pas les vitesses dont elles sont capables séparément , rt que la vitesse produite pur la force/-}- /• sera u -f- h', c'est-à-dire qu'au bout du temps / -f r . la vitesse du mobite sera devenue r -f- u -f u'.

Eu effet, l'augmentation de vitesse du mobile ue pourra dépendre que du temps r auquel elle sera proportionnelle, et de l'état de ce point matériel, ou, autrement dit, de sa position et de sa vitesse pendant ce même temps r ; ce ne serait donc qu'en influant sur cet état que l'action de la force /' pourrait modifier la vitesse qui sera produite par la force /. Or , pendant le temps r, lu distance du mobile à un point fixe et sa vitesse ne peuvent varier que de quantités infiniment petites, négligeables par rapport à s et e,- ses variations de distances à d'autres points fixes ou mobiles, d'où peuvent émaner les forces /et/, sout également négligeables ; par conséquent , la vitesse que produira la force J, pendant cet intervalle de temps r, ne saurait être modifiée eu aucune manière par l'action simultanée de la force /'; et il en sera de même à l'égard de la vitesse due à la force /', qui ne sera pas non plus changée par l'action dey. Donc la vitesse totale imprimée au mobile pendant le temps r, par la force / -f-/. sera égale à si -f-

On verra de même que si la force/ agit dans le sens de la vitesse r, et la force /' en sens contraire , l'augmentation de vitesse produite par la force/—/', sera égale à M — «'.

Quelle que soit la nature de chacun* des forces/

cl/ 1 , si elles sont capables d'une même vitesse u dans un même temps iufiniment petit , ce sont pour nous des forces égales. Appliquées en sens contraire l'une de l'autre , elles ne changeront pas la vitesse du mobile, s'il est déjà en mouvement ; il y aura équilibre, si ce point matériel est en repos; ce qui rentre dans la définition des forces égales du n° 5.

Lorsque la force qui agit sur le mobile dans le sens de la vitesse acquise Reviendra double, triple, quadruple,.. . la vitesse qu'elle produira dans le temps r croîtra suivant la même proportion. Réciproquement , quand celte force se réduira à moitié, au tiers, au quart la vitesse qui sera produite diminuera de la même manière ; et , généralement, les vitesses infiniment petites produites pendant des inslans égaux , dans le sens ou en sens contraire de la vitesse acquise , ou imprimées à un point matériel en repos, seront entre elles commo les intensités des lurces correspondantes.

C'est sur ce principe général qu'est fondée la mesure des forces dans la Dynamique. On a coutume de le présenter comme une hypothèse; nous le donnons ici comme une conséquence nécessaire de co que les vitesses imprimées par des forces quelconques, dans des intervalles de temps infiniment petits, sont toujours infiniment petites, et de ce qu'en même temps les déplacemens des mobiles sont aussi infiniment petits.

1 17. Si les foret s que l'on veut comparer l'une à l'autre sout des forces constantes, de sorte que chacune d'elles produise, pendant toute la durée du mouvement | des vitesses égales eu temps égaux (u" 115), leurs intensités seront entre elles comme les vitesses qu'elle» impriment en un même temps quelconque à un même point matériel. Lors donc que ces vitesses seront données par l'observation, ou en conclura le rapport des forces; et, réciproquement , quand ce rapport sera donné à priori, on pourra le prendre pour celui des vitesses.

Désignons, par exemple, par m et V les intensi. tés de la pesanteur à deux latitudes différentes, et supposons qu'on ait détermiué, eu ces deux lieux de la terre, les vitesses g cl g', acquises en une seconde par les corps qui tombent verticalement dans le vide; on aura

Le rapport de ces forces m et «' sera aussi celui des poids d'un même corps, ou de deux corps homogènes et d'uu même volume, à ces deux latitudes. L'observation a fait couuaitrc que les vitesses dues à la pesanteur, augmentent en allant de l'équateur au pôle, et que l'accroissement total est à peu pies de la plus petite. Il s ensuit donc que le

poids d'uu même corps , transporté de l'équateur au pôle, augmentera de 1/2, i \ et que, pour mettre en équilibre les poids rie deux corps homogènes placés en ces deux liei:x de la terre, il faudra que

le volume du corps situé à l'équateur, etcèdo do 1/200 celui du corps situé au pôle.

Soieut encore m l'intensité de la pesanteur dans le sens vertical , et sa composante suivant une droite qui fait avec sa direction un ongle ». D'après la règle du parallélogramme des forces , non

«I ss m COS a,

et si l'on appelle g et gi les vitesses qui seront produites dans l'unité de temps par ces deux forces constantes, agissant séparément sur un même point matériel , la proportion

g S ft S S • • «i |

donnera aussi

g t = g ces

Si ce point matériel pesant est posé sur un plan incliné, qui fasse avec le plan lioriiontal un angle égal à 90« — * , la force m se décomposera en dcui i, l'une perpendiculaire au plan donné et qui détruite par sa résistance , l'autre dirigée suice même plan et qui sera la force m,. C'est dernière force qui produira le mouvement dans le vide , abstraction faite du frottement du mobile contre le plan incliné. Ce mouvement, dû ■ une force constante , sera donc uniformément accéléré ; et si l'on appelle x, , et e, , l'espace parcouru et la vitesse acquise au bout du temps /, on aura

équations dans lesquelles on devra mettre la valeur précédente de gi.

Cet exemple est très propre a montrer la nécessité de connaître à priori le rapport des vitesses dues à des forces dont le rapport est connu j car si Ton ne savait pas déduire ai de la vitesse g donnée par l'observation , et qu'il fallût , pour faire usage de ces dernières équations , déterminer aussi par l'expérience la valeur de g t qui répond è chaque valeur de l'angle «, la Dynamique se trouverait à peu près réduite à une science expérimentale.

118. Pour mesurer une force variable, il faut en considérer l'effet pendant un temps infiniment petit, durant lequel on peut la considérer comme consUnle. Soit donc a , dans un mouvement rectiligne quelconque , la force qui agit sur le mobile au bout du temps l, et que nous regarderons comme une quantité positive ou négative, selon que cette force agira dans le sens de la vitesse acquise ou en sens opposé. Cette vitesse étant v au même instant , elle sera • + de au bout do temps t + dt; en sorte que la force e aura imprimé une vitesse dv au mobile dans l'instant dt. Si d une on désigne par m une force constonte et connue, capable d'une vitesse g dan§ l'unité de temps , et qui puisse, conscqucmmcnt, imprimer au mobile une vitesse gdt dans le temps dt, on aura

» : * : : de : s dt ;

d'où l'on tire

f SB i

Après avoir choisi arbitrairement une unité linéaire et une unité de temps , on exprimera en

nombres la constante g et la valeur de — qui a lieu

ou bout d'un temps donné. Cette formule fera ensuite connaître, au même instant, le rapport numérique de la force e a la force connue t \ et si celle-ci est la pesanteur, ce rapport sera celui de la foree f nu poids du mobile sur lequel elle a^it , en sorte que ce point matériel étant pesant et sollicité par la force e en sens contraire de la pesanteur , demeurerait en équilibre, si l'on trouvait , 1 dv c, = 1.

g dt

On simplifiera la formule précédente, en prenant m et g pour unités , ce qui la réduira à

• ta — .

L'unité de force sera alors la force constante qui imprimerait au mobile, dans l'unité de temps, une vitesse représentée par l'unité linéaire, de munière que si ces deux dernières unités sont la seconde rt le mètre, l'unité de force sera à peu près le diiiémo du poids du mobile, d'après la valeur de g du n°llô.

On peut remarquer que cette mesure — de la

force variable a est la vitesse que produirait, dans l'unité de temps, une force constante qui conserverait pendant ce temps la même intensité que la force a pendant l'instant dt. Ainsi , dans le mouvement d'une parcelle de fer vers le pôle d'un aimant, que nous ovons déjà pris pour exemple (n° 113), la force a dépend de la distance au pôle , et est par conséquent variable; mais si l'on suppose qu'à un instant donné le pôle recule devant le mobile, de manière que la distance de l'un à l'autre devienne constante, la force a le deviendra aussi , le mou-

ment accéléré, et l'augmentation de vitesse qui aura lieu dans l'unité de temps sera la mesure du cette force à l'instant oû elle est devenue constante.

En ayant égard à la valeur de • trouvée dans le n* 114 , on peut i

9 ~ dt*'

Il suit donc de celte formule et do la qu'une force a également pour mesure la vitesse qu'elle produit dans un temps infiniment pelit , | di\isée par ce temps, ou bien le double de ( espace

DÏ.WSIQUE, PREMIÈRE PARTIE.

qu'elle fait parcourir, divisé par le carré de ce même temps. Dans le mouvement uniformément accélère , ces deux manières équivalente» de mesurer la force ont encore lieu , sans qu'il soit nécessaire que le temps soit infiniment petit. 119. Nous avons maintenant

dx de x = ¥t, r = - , • = — , dt dt

pour les formules générales du mouvement reeti- 1 1 : H--. Elles montrent les rapports qui existent , dans un mouvement quelconque, entre l'espace parcouru , la vitesse acquise et la force qui agit sur le mobile , et comment ces trois fonctions du temps peuvent se déduire l'une de l'autre , soit par la différentiatiun , soit par l'intégration.

En éliminant r entre les deux dernières, on a

(fi s

ce qui suppose qu'on prenne le temps t pour la variable indépendante, et que sa différentielle dt soit constante; hypothèse que nous ferons de même, dans toute la suite de cet ouvrage, sans que nous ayons besoin de le répéter.

Par l'élimination de dt, on aura aussi

ce qui servira à déterminer v quand la force * sera donnée en fonction de x, et, réciproquement, cette force lorsque la vitesse sera connue en fonction de l'espace parcouru.

flous donnerons, dans le chapitre suivant, diverses applications de cet formules générales.

dei forces en

égard aux

120. Avant de montrer comment on devra tenir apte des masses dans la comparaison des forces qui agissent sur des mobiles différens, il importe de rectifier une expression inexacte qne Ton emploie souvent , et qui tient à nne confusion d'idées.

Concevons qu'un corps soit posé sur un plan horizontal, et qu'il n'y soit retenu par aucun frottement. Si je veux le faire glisser sur ce plan , il faudra néanmoins . k cause de l'inertie de la matière, que j'exerce un effort quelconque ; si à ce corps on en joint un second, puis un troisième, etc., il faudra que je déploie , pour produire le même mouvement , une force de pins en plus considérable. J'aurai , dans chaque cas , le sentiment de l'effort qne je serai obligé de faire ; mais je ne devrai pas en conclure que la matière oppose ouenne résistance à cet effort , et qu'il existe dans les corps ce qu'on appelle très improprement une fore» d"intr- Hé. Quand on s'exprime ainsi , on confond la

tion que l'on a éprouvée , et qni résulte de l'effort qu'on a exercé , avec la sensation d'une résistance qui n'existe réellement pas.

Lorsque le corps frotte contre le plan , il y a effectivement une résistance ou mouvement horizontal , et je ne peux pas déplacer le mobile sur co plan sans exercer un effort supérieur à cette résistance. De même , quand je veux soulever le mobile verticalement , il y a aussi une résistance à ce mouvement , que je dois vaincre par un effort qui la surpasse. I>ans les deux cas, je ne produirai aucun mouvement tant que je ne ferai pas un effort plus grand que le poids du corps , ou que son adhésion au plan horitonlal; mais si l'on ne suppose ni pesanteur ni frottement , je mettrai le corps en mouvement, quelque faible que soit l'effort que j'exercerai, et quelque grande que soit la masse du mobile : alors, si j'éprouve qu'il faut faire un plus grand effort pour communiquer le même mouvevement à un corps qu'à un autre, j'en conclurai que le premier se compose d'une plus grande quantité de matière que le second , et si je pouvais comparer avec précision les grandeurs des efforts qne j aurai exercés, leur rapport serait celui des masses de ces deux mobiles. C'est sur une semblable considération qn'est fondée, ainsi que nous allons l'expliquer , la mesure des masses d'après les grondeurs des forces qni les mettent en mouvement , et, réciproquement , la mesnre des forces en ayant égard aux masses et nnx vitesses.

121. Deux points matériels, appartenant à des corps qui peuvent être de nature différente, ont des masses égales ou inégales , selon que des forées qu'on suppose égales leur impriment, dans un même temps , la même vitesse ou des vitesses différentes. Supposons, pour fixer les idées, que les forces appliquées a ces deux points soient verticales, et qu'après les avoir placées dans les deux plateaux d'une balance , if y ait équilibre. Ces forces seront égales dans celte hypothèse j et cela étant, si les denx points sont rendus entièrement libres, et que les mêmes forces les mettent en mouvement, leurs masses seront égales ou inégales , selon qu'ils prendront , dans le premier instant , des vitesses infiniment petites , égales ou inégales.

Lorsque, de cette manière, les masses de différens points matériels ooront été reconnues égales , en les réunissant on formera d'autres points dont les masses auront entre elles des rapports quelconques. Ainsi , en appelant u la masse de chacun des points égaux , m et m' les masses de deux autres points formés de n et n' des premiers , m et m' seront entre elles comme ces nombres n et »', et l'on aura

Maintenant , soient u, v, v\ des v ilesses infiniment petites , s et s" des nombres entiers , et

r = tu , t> = sV

TRAITÉ I)K MÊC\H!QCB.

Si deux forces f H f impriment aux rousses m et «" les vitesses v et r' clans un même instant , je dis qu'on aura

/:/' :: mv : «v.

Eu effet, on peut regarder la force f rommc la somme d'un nombre n de fnrrcs égales qui impriprimenl la même vitesse r à chacun des n points égaux dont m »c compose; de sorte qu'en appelant * l'une de ces forces égale* , on aura

Soit, en outre, h la force qui imprimerait la vitesse «à chacun de ces points égaux , pendant le même instant que la force k lui imprime la vitesse v. Ces forces agissant sur un même point matériel , seront entre elles comme les vitesses si et r (n" 1 16) ; et , à cause de e = t'sf, il en résulter.!

k = ik.

Nous aurons de même

en regardant j' comme la somme de n forces *' capables d'imprimer la vitesse v' à chacun des points égaux dont se compose m', et appelant h' la force qui imprimerait à chacun de ces mêmes points la vitesse «. Or, h et Vêlant des forces capables d'imprimer dans un même instant une même vitesse u à deux points égaux en masse, savoir, k deux des points dont la masse commune a été représentée par /*, il suit de ce qui précède qu'on doit avoir h 1 — h D'après les équations précédentes, on aura alors

f=inh, f — »VA ;

et, en ayant égard aux valeurs de m, m\ t , t>', il en résultera la proportion qu'il s'agissait de démontrer.

122. Cela posé, considérons un corps de grandeur et de forme quelconques, dont tous les points décrivent des droites parallèles, avec une vitesse commune qui peut d'ailleurs varier avec le temps. Partageons ce corps en une infinité de points matériels égaux en masse, tels qu'on vient de les définir. On pourra attribuer le mouvement de tous ces points à des forces qui seront égales et parallèles dans toute l'étendue du mobile; leur résultante , pour une partie quelconque de ce corps , sera égale à leur somme, et appliquée au centre de gravité de celte même partie. Les forces correspondantes a deux parties quelconques seront donc entre elles comme leurs masses ; par conséquent, si l'on appelle y la force totale qui agit sur le mobile, m sa masse, et e la force qui répond à une partie de cette masse prise pour unité , on aura

Quant à la force a , elle sera proportionnelle à l'accroissement de la vitesse des points du mobile pendant un temps infiniment petit; et si l'on

appelle c crtto vitesse au bout du temps f,on pourra prendre pour sa mesure, comme dan* len< 118,

* " dt

II en résulter i donc

pour l'expression do la force dans un mouvement quelconque , en ayant égard ik la masse du mobile, et supposant tous ses points animés d'une même vitesse.

Cette forme f, qui est la résultante ou la somme des forces infiniment petites qu'on peut supposer appliquées à tous les points dont le corps est composé , se nomme force motrice ; le facteur a de sa voleur m», s'appelle foi ce accélératrice , et n'est nuire chose que la force motrice rapportée à l'unité de masse.

La force motrice se change en une pression lorsque la masse sur laquelle elle agit est appuyjée contre un plan fixe, perpendiculaire à sa direction. Une pression et une force motrico ne diffèrent donc l'une de l'autre qu'en ce que les vitesses infiniment petites qu'une pression tend à produire sant incessamment détruites par la résistance du plan fixe qui la supporte, tandis que celles qui sont effectivement produites pendant chaque instant par U force motrice s'accumulent dans le mobile , et qu'il en résulte une vitesse finie après un temps fini. Deux pressions sont entra elles comme les masses multipliées par les vitesses infiniment petites qu'elles tendent à leur imprimer dans un même instant, et qu'elles leur imprimeraient, en effet, si ces masses étaient libres.

123. Si le mouvement commun à tous les points d'un mobile est uniforméiucnt accéléré, et qu'on appelle g I augmentation de vitesse qui ■ lieu dans chaque unité de temps , on a

• f=mg.

Pour une autre force constante/ agissant sur une masse m', et produisant une vitesse </ dans l'unité de temps , on aura de même

Or, l'observation a prouvé que deux corps pesans , quelle que soit la différence des matières, acquièrent la même vitesse en tombant dans le vide pendant un même intervalle de temps. Dans le cas de la pesanteur, on a donc g — g'; et, consequemment, les poids fetf de deux corps quelconques sont entre eux comme leurs masses m et m', ainsi que nous l'avons supposé dans le n n 00. Le seul fait , constaté par une expérience journalière, que des corps hétérogènes ont des poids égaux sous des volumes différens, ne suffisait pas pour décider si leurs masses sont égales ou inégales; il

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

fallait savoir, de plu» , que la pesanteur leur imprime le même mouvement, pour pouvoir conclure, de l'égalité de» poids , l'égalité des quantités de matière.

Le poids d'un corps pesant qui tombe dans le vide est sa force molrire, et la pesanteur est sa force accélératrice. Pour nbréger , on appelle souvent pesanteur ou tjraritè la vitesse g, qui n'est que la mesure de cette force.

124. Si des forces données agissent à la surface ou sur d'autres parties d'un corps solide, et qu'il en résulte pour tous ses points des vitesses égales et parallèles, il faudra que ces forces aient une résultante unique, qui coïncidera , en candeur et en direction, avec la force motrice, telle qu'on Tient de la définir , et dont on déduira la force accélératrice en la divisant par la masse entière du mobile.

Supposons, par exemple, qu'un corps pesant tombe dans l'air, dans l'eau, ou dans tout autre fluide, et que sa forme et sa densité, s'il n'est pas homogène , soient symétriques autour d'un ose Tertical. Il est évident que tout étant semblable antour de cet axe, tous les points du mobile dé' criront des droites verticales; ce qui exige, puisqu'il s'agit d'un corps solide, qu'ils aient tous la même vitesse à chaque instant. La résistance du milieu , qui s'exerce a la surface de ca corps , se réduira donc k une force dirigée suivant son axe de figure. Je désignerai par R son intensité a un instant quelconque, par 4 la partie correspondante de la force accélératrice du mobile , et par m sa

Comme cette force agit en sens contraire de la gravité pendant la chute du corps, la force accélératrice totale sera g — 4. Si le mobile était lancé verticalement de bas en haut, les deux forces agiraient dans le même sens , et la force accélératrice totale serait négative et égale à — g — 4.

La théorie de la résistance des fluides est en-ore trop peu avancée pour qu'on puisse déterminer, à priori, la valeur de R , laquelle peut dépendre de la vitesse v dont le mobile est animé, de sa forme, de la densité et de la nature du fluide. Le plus communément, on h suppose proportionnelle nu carré de r et à la densité du fluide, que je représenterai par f , de sorte que l'on,a

R sm r r t» ;

r étont un coefficient qui ne peut plus dépendre que de la forme et des dimensions du corps , de la nature du fluide, liquide ou aériforme , et de sa température.

Dans le cas d'une sphère, on regarde le coefficient 9 comme proportionnel à sa surface ou au carré de son diamètre. En désignant donc par r

son rayon, et par D ta densité, de sorte que su masse soit

il en résultera

y désignant un coefficient numérique qui sera le même pour toutes les sphères , et dont la valeur devra être déterminée par l'expérience pour chaque nature dp fluide. A cause que cette quantité 4 est de la même nature que g, il s'ensuit que »i l'on désigne par * vue vitesse donnée, il faudra qu'on ait

Dr A»

afin que l'expression de 4 prenne la forme

conformément an principe de l'homogénéité de» quantités (n° 23).

125. Une même force constante, agissant successivement sur des masses différentes , produira des mouvemens uniformément accélérés , dans lesquels la force accélératrice , ou l'accroissement constant de la vitesse dans chaque unité de temps, sera en raison inverse de la masse.

Ainsi, par exemple . /étant le poids mg d'une masse m, si l'on suspend cette masse à l'extrémité d'un fil qui soit attaché par son autre bout h une autre masse us' posée sur un plan horizontal , il est évident que ce» deux masses prendront on même mouvement uniformément accéléré , et dû à la force motrice f, abstraction faite du frottement et du poids de la partie verticale du fil. Si donc on appelle g' la force accélératrice de ce mouvement , on aura

m -(- tn'

on, ce qui est la même chose,

g' — g eos « ,

en désignant par » un angle tel que l'on ait

m = (m -|- wi'j cos a.

Par conséquent, le mouvement dont il s'agit sera le même que celui d'un corps pesant sur un plan incliné, qui fait l'angle « avec la verticale (n° 117).

Tous les corps étant mobiles et susceptibles de prendre des vitesses en raison inverse de leurs masses, lorsqu'ils sont soumis, pendant un même temps, m l'actioi! d'une même force, il s'ensuit qu'il n'existe pus de corps réellement fixes; ceux qu'on appelle ainsi sont des corps qui ont de Irèa

grande» masses pur rapport à celles dont dépendent les forces motrices qu'on leur applique , et qui ne reçoivent, conséqucnimcnt , de l'action de ces forces que des vitesses extrêmement petites. A la surface de la terre, ce sont les corps atluches à cette surface qui ne font qu'une seule masse avec celle du globe terrestre; et, en effet, en prenant cette niasse pour m' dans l'exemple précédent, on voit que la vitesse g' qui lui sera imprimée dans l'unité de temps, pur un poids mo correspondant à une masse m de grandeur ordinaire, pourra être regardée comme tout-à-fait insensible.

120. On a coutume d'appeler quantité de mouvement d'un corps le produit de sa masse par sa vitesse. Pour me conformer à l'usage, j'emploierai cette expression , à laquelle il serait toutefois plus correct de substituer celle de quantité de vitesse, puisque c'est la vitesse qui réside dans le mobile , et que le mouvement n'eu est qu'un effet subséquent.

Il n'y a aucune force qui produise instantanément une quantité finie de mouvement. Le choc d'un corps solide en mouvement contre un corps •olide en repos imprime à celui-ci , dans un temps très court, mau non pat infiniment petit, uns vitesse qui peut être quelquefois très grande; et, pendant cet intervalle de temps , les deux corps ne se déplacent pas sensiblement. Quelque durs qu'on les suppose, ils se compriment toujours un tant •oit peu ; la vitesse passe de l'un à l'autre par degrés infiniment petits; et si Ton fuit abstraction de l'élasticité de ces deux corps , leur action mutuelle cesse dès qu'ils ont des vitesses égales. Cette communication rapide de la vitesse, sans déplacement sensible des masses, est ce qu'on appelle une percussion ou une impulsion; elle équivaut, comme on voit, a une force motrice agissant, pendant on temps très court, avec une très grande intensité.

En considérant ainsi la percussion comme la somme des actions infiniment petites d'une force motrice, on en conclut qu'elle se décompose en deux autres percussions, suivant des directions données, par la règle du parallélogramme des forces , comme chacune de ces actions successives. Si, par exemple, on exerce sur la tête d'un coin une percussion normale que j'appellerai P , elle se décomposera en deux autres percussions perpendilaires a ses deux faces,- et si Ton représente par Q et Q' les deux composantes, pur K et K les longueurs des faces auxquelles elles répondent , et par II celle de la tète du coin , il est aisé de voir qu'on aura , d'après la règle citée.

dou l'on lire

PK PR»

Ainsi , en supposant que cette percussion P provienne d'une masse m qui vient frapper la tète du coin avec une vitesse a, ses deux fuces, ou plutôt les obstacles fixes contre lesquels elles s'appuient, seront dans le même cas que s'ils étaient frappes normalement par lu même masse m , animée da vitesses proportionnelles à leurs longueurs, et cx-

Ra R'o primées par — et — .

127. Si un corps solide en repos est frappé ù la fois , en sens opposés , par deux autres corps dont les masses sont m et us', et les vitesses v et p'; quo ces trois corps soient symétriques autour d'un même axe quant à leur forme et quant à leur densité, et que tous les points des deux derniers se meuvent parallèlement à celte droite, leurs percussions sur le corps intermédiaire se feront équilibre, lorsque les quantités de mouvement mr et mV seront égales, c'est-à-dire que ces quantités de mouvement passeront , pendant un temps très court, dans le corps intermédiaire , et s'y détruiront sans que ce corps soit déplacé d'une manière sensible.

L'équilibre aura lieu également si Ton supprime le corps intermédiaire, et que la communication de la vitesse se fasse immédiatement entre les deux autres corps. Ainsi, deux corps solides qui vont uu devant I un de l'autre se réduisent au repos, abstraction faite de l'élasticité, lorsqu'ils viennent à se choquer , et que leurs masses sont en raison inverse de leurs vitesses; et, réciproquement, les produits des masses et des vitesses sont égaux quand il y a équilibre dans le choc de deux corps solides. Ou suppose ici , comme on vient de le dire, les deux mobiles symétriques autour d'uno même droite, et les vitesses de tous leurs points parallèles à cette droite, laquelle est celle qui passe par le centre de gravité des deux masses. La condition d'équilibre dans le choc de ces corps est donc l'égalité de leurs quantités de mouvement, ou l'équation

mr — wV ,

m et m' étant leurs masses, et 9 et leurs vitesses. Nous déterminerons par la suite les mouvemens qui auront lieu après le choc, quand ces conditions relatives aux grandeurs et à la direction des vitesses, et à la forme des mobiles, ne seront pas remplies, ou bien quand on aura égard à leur élasticité.

Il résulte de celte loi de l'équilibre dans le choc que la percussion fournirait le moyen le plus direct de mesurer la masse des corps. On imprimerait une vitesse connue a h tous les points d'un corps dont la masse serait prise pour unité ; et si Ton pouvait déterminer exactement la vitesse r dont tous les points d'un autre corps devraient être animés , pour qu'il fit équilibre au premier , en le choquant en sens contraire de son niomo-

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE

ment, la masse do co second corps aurait alors

pour Taleur numérique le rapport—; mais il est

inutile de dire que ce moyen est impraticable, et que c'est toujours aux poids des corps qu'il faut recourir pour mesurer leurs masses.

Il s'ensuit aussi que deux percussions exercées sur un corps solide, devront être regardées comme équivalentes, lorsqu'elles répondront à des quantités égales de mouvement; en sorte que, dans l'exemple du numéro précédent, la téte et les deux faces du coin éprouveront les mêmes effets, ou seront frappées avec la même énergie, si U masse m et la vitesse a sont remplacées par une masse m' et une vitesse o r , telles que l'on ait ma — m'a' .

128. Lorsque deux percussions, provenant de vitesse en raison inverse des mnsses, seront exercées simultanément sur les deux plateaux d'une balance, il y aura équilibre ; la balance remplaçant ici le corps intermédiaire que nous avons considéré dans le numéro précédent. Ce cas sera , par exemple, celui de deux corps pesans, dont les masses sont m et m', et qui tombent au même instant sur ces deux plateaux , après avoir acquis des vitesses v et r>', telles que l'on ait mv—m'v'.

Si la masse m est en repos dans l'un des deux plateaux , son poids y exercera une pression qui sera généralement vaincue par la percussion de Vautre masse ; mais il n'est point exact de dire, comme on le fuit ordinairement, que cela aura toujours lieu , quelque grande que soit U pression dans son espèce, et quelque petite que soit la percussion dans la sienne.

En effet , on peut remplacer la percussion de m' par une force motrice agissant sur l'un des deux plateaux sans le déplacer sensiblement , pendant que je représenterai par r. En

esen sens

désignant par m'udt lu quantité infiniment petite de vitesse dont cette force variable est capable

pendant l'instant dt, le produit m' / udt sera la

quantité de vitesse qu'elle communiquera ù la balance pendant le temps r. Pendant ce même temps, le poids de m produira une quantité de mouvement exprimée par «tjr, en représentant par g la gravité. Pour qu'il y ait équilibre dans le système, il faudra donc que l'intégrale^* udt soit toute la

tesse c r dont la masse m' est animée à l'instant où la percussion commence, de sorte qu'il ne lui reste plus aucun degré de vitesse quand le choc est fini j et, cela étant , il suffira que les quantités de

mouvement mgr et m J udt, imprimé*

contraire h la balance pendant la durée du clioc , soient égales entre elles. La condition de cet équilibre sera exprimée par l'équation

m V = mgr ;

et selon qu'on aura , au contraire , mV > mgr ou m'v < fH<7r,cesera la percussion qui l'emportera sur la pression , ou la pression sur la percussion. Or, quoique le temps r soit extrêmement petit , ce dernier eus est possible, en supposant la masse m suffisamment grande h l'égard de a»' : pour qu'il fut impossible, il faudrait que la durée de la percussion fût infiniment petite; ce qui n'a pas lieu dans la nature.

La Dynamique sera une application continuelle des principes que nous avons exposés en détail dans ce chapitre, et dont il est nécessaire de so former une idée précise , avant d'essayer de résoudre les i